Rozwiązanie T2
Transkrypt
Rozwiązanie T2
XXXVII OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP I Zadanie teoretyczne. ZADANIE T2 Nazwa zadania: „Drgająca deska pomiędzy sprężynkami” Deska o masie M leży na dwóch jednakowych, jednorodnych wałkach o masie m każdy. Końce deski są przymocowane do sprężyn o współczynnikach sprężystości k (ryc. 1). Zakładając, że walce nie ślizgają się Ryc. 1. po podłożu a deska po wałkach, znajdź okres drgań układu. ROZWIĄZANIE ZADANIA T2 Wychyleniu deski z położenia równowagi np. w prawo o x odpowiada x przemieszczenie każdego z walców w prawo o , wydłużenie lewej sprężyny o x i 2 x skrócenie prawej sprężyny o . Zmiana energii potencjalnej obu sprężyn (łącznie) wynosi E p = kx 2 . Walce w czasie drgań układu toczą się bez poślizgu. W układzie występuje więc siła tarcia T , ale nie wykonuje ona pracy. Można zatem stosować zasadę zachowania energii mechanicznej. W momencie przejścia układu przez położenie równowagi deska ma energię kinetyczną 1 E kd = Mv2 . 2 Każdy z walców ma wtedy energię kinetyczną 1 1 E kw = mv02 + Iω02 , 2 2 przy czym prędkość środka walca v0 równa się gdzie r oznacza promień walca. Zatem 1 v V ,ω 0 = 0 oraz I = mr 2 , 2 2 r 1 1 3 E kw = mv 2 + mv 2 = mv 2 , 8 16 16 całkowita energia kinetyczna układu wynosi więc Ek = 1 3 1 3 1 Mv2 + 2 mv 2 = M + m v 2 = mr v 2 , 2 16 2 4 2 gdzie 3 mr = M + m 4 jest masą zredukowaną drgającego układu. Zgodnie z zasadą zachowania energii mamy E p + E k = const. Zatem 2 1 dx 2 kx + mr = const. 2 dt Obliczając pochodną względem czasu z obu stron tej zależności dostajemy 2kx dx dx d 2 x + mr 2 = 0 dt dt dt stąd d 2 x 2k + x = 0. dt 2 mr Jest to równanie ruchu harmonicznego postaci x + ω 2 x = 0, gdzie ω= 2π . T Stąd dostajemy T =π 4 M + 3m . 2k Punktacja: Energia potencjalna 2 pkt. Energia kinetyczna 4 pkt. Zachowanie energii mechanicznej 2 pkt. Równanie ruchu 1 pkt. Okres 1 pkt. Razem 10 pkt. Źródło: Zadanie pochodzi z czasopisma „Fizyka w Szkole” maj-czerwiec 1988 Komitet Okregowy Olimpiady Fizycznej w Szczecinie www.of.szc.pl