Wielkopolska Liga Matematyczna V WLM – ZESTAW A A1

Wielkopolska
Liga
V WLM
–
ZESTAW A
Matematyczna
A1.
Rozwiązać równanie a + b = a2 − ab + b2 w liczbach całkowitych a i b.
A2.
Dany jest trójkąt ABC. Punkty P , Q i R leżą na odcinkach odpowiednio BC, CA i AB,
przy czym AP jest dwusieczną kąta BAC oraz zachodzą równości BP R = CP Q = BAC.
Wykazać, że trójkąty BP R i CP Q są przystające.
A3.
W zależności od liczby naturalnej n > 2 wyznaczyć liczbę rozwiązań układu równań









x1 x2 = x1 + x2 ,
x2 x3 = x2 + x3 ,
..
.








xn−1 xn = xn−1 + xn ,
xn x1 = xn + x1 ,
w liczbach rzeczywistych.
A4.
Dwusieczne kątów wewnętrznych A i B trójkąta ABC przecinają odcinki BC i CA w punktach
odpowiednio P i Q. Wykazać, że jeżeli symetralne odcinków AP i BQ przecinają się na odcinku
AB, to AB 2 = BC · CA.
A5.
Na tablicy napisano pewnien skończony ciąg o wyrazach w zbiorze {1, 2, 3}. Liczba jedynek na
miejscach parzystych jest taka sama, jak na miejscach nieparzystych; analogicznie dla dwójek
i trójek. W danym momencie możemy wykonać jedną z dwu operacji:
1. Jeśli dwa kolejne wyrazy są równe, to można je zmazać;
2. Jeśli trzy kolejne wyrazy x, y, z są różne, to można je zastąpić przez z, y, x.
Dowieść, że stosując pewną liczbę razy te operacje, możemy całkowicie wymazać ciąg.
Rozwiązania powyższych zadań należy
przesłać listem poleconym na adres:
Wielkopolska Liga Matematyczna
Collegium Mathematicum
ul.Umultowska 87
61-614 Poznań
w terminie do
31 stycznia 2014r.
Wszystkie nadesłane przez uczestnika rozwiązania powinny
być zapisane na oddzielnych kartkach formatu A4,
zapisanych po jednej stronie. W lewym, górnym narożniku
każdego arkusza uczestnik wpisuje swoje imię i nazwisko
oraz nazwę szkoły i klasy. Warto podać również swój adres
e-mail.
Przed wysłaniem rozwiązań zadań prosimy zapoznać się
z Regulaminem dostępnym na stronie WLM.
Wszelkie informacje o Wielkopolskiej Lidze Matematycznej,
w tym treści zadań oraz aktualny ranking uczestników,
można znaleźć pod adresem
(decyduje data stempla pocztowego).
wlm.wmi.amu.edu.pl