ZESTAW ZADAŃ NA ĆWICZENIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ

ZESTAW ZADAŃ NA ĆWICZENIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ

ZESTAW ZADAŃ NA ĆWICZENIA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ
Ćwiczenie 0.1. Wyznaczyć wskazane wyrazy i wskazane różnice wyrazów ciągu (xn ):
1. x2008 i x2009 , gdy xn = 1 + (−1)n ;
2. x2008 i x2009 − x2008 , gdy xn = 1 + 2 + . . . + n;
3. x2 , x3 i x2n − x2n−1 , gdy xn =
1
n!
+
1
(n+1)!
+ ...+
1
(2n)! ;
4. x2 , x3 i x4 , gdy x1 = 1 i xn = 2xn−1 + 1 dla n ­ 2.
Ćwiczenie 0.2. Określając znak różnicy xn+1 − xn lub wartość ułamka
niczność ciągu (xn ), w którym:
1. xn =
n
;
3n+1
2. xn =
10n
;
(2n)!
3. xn = n−2n ;
2
4. xn = n − n;
5. xn = n!;
(n+1)!+n!
;
(n+1)!−n!
n
7. xn = n ;
3
6. xn =
n
8. xn = 1 − (1/3) ;
2n
;
n!
√
10. xn = n2 + 1;
9. xn =
xn+1
xn ,
zbadać monoto-
10n
;
2n2
p
12. xn = n2 +1−n;
11. xn =
1
;
n + ln n
π
14. xn = cos .
n
1
1
15. xn = 1−
−
.
n+1 n+2
13. xn =
Ćwiczenie
0.3. Dany jest ciąg (xn ), w którym x1 jest dodatnią liczbą rzeczywistą, a xn+1 =
x21
1
x
+
dla każdej liczby naturalnej n. Indukcyjnie wykazać, że ciąg (xn ) jest stały.
n
2
xn
Ćwiczenie 0.4. Zbadać ograniczoność ciągu (xn ), gdy:
5n
;
1+n
1 + n2
2. xn =
;
1 + n3
1. xn =
√
4
1
n4 + 4
3n
n
;
5.
x
=
(−1)
+
;
;
7.
x
=
n
n
n
2
3 +3
n
n+1
√
2n
4. xn = 100 − n; 6. xn =
8. xn = n3−n/2 .
;
n!
3. xn =
Ćwiczenie 0.5. Obliczyć granicę ciągu (xn ), gdy:
1. xn =
5n + 1
;
2n
7. xn =
(3n − 1)(2n2 + 1)
;
1 − 7n + 14n3
3
n3 − n + 1
;
n+ 2n2 −2n3
4n+1
2
14. xn =
−
1
· 3 2n+3 ;
2
n
13. xn =
(n + 1)(2n + 3)
5n6 − 1
5n6
; 8. xn =
+
;
2
6
4n
5 − 6n
5 − 6n7
n
2+3n
n+1
1
(2n5 −3)5 (n2 −3n)6 15. xn = 4 n+1 + (1/2) 1−n ;
3. xn =
1−
; 9. xn =
;
2n
n
r
(5 + n4 )8 (1 − 2n5 )
2
3 7 + 3n + 8n
4
4
n+3
16. xn =
;
(n
+
1)
−
(n
−
1)
4. xn = 2
;
3 + 4n + n2
10. xn =
;
4
4
n + 5n + 6
(n + 1) + (n − 1)
√
3
n6 + 4
2
2
n3 − 100n2 + 1
17. xn =
;
n
n
5. xn =
; 11. xn =
2n + 3n2
−
;
100n2 + 15n
2n − 1 2n + 1
s
2
2
5 + n2
2n +n− 1
(n + 1)! + (n + 2)!
18. xn = 3
.
6. xn =
;
12.
x
=
;
n
(2 + n)3
n2 − 5n
(n + 3)!
2. xn =
Ćwiczenie 0.6. Korzystając z twierdzenia ??, wyznaczyć granicę ciągu (xn ), gdy:
√
√
√
√
n
n+4− n+3
√
1. xn = n + 1 − n;
11. xn =
;
3
√
6. xn = √
;
n + n3 + 1
n
+
2
−
n
+
1
√
2n + 1
2. xn = n2 + 3n − n;
p
p
√ ;
3
3
12. xn =
7. xn = n3 + 3n− n3 + 1;
1−3 n
p
3. xn = n − n2 − n;
√
√
√
13. xn = 2n + 5− n − 1;
8. xn = 3 n3 + 4n2 + 2 − n;
√
3
27n3 + n − 1
√ √
√
4. xn =
; 9. x = n(3n − √9n2 − 5);
14. xn = n( n + 1− n);
n
n + 27
√
√
3
n − n2 − 1
n2 + n
√
√
√
; 10. xn =
;
5. xn =
15. xn = 3 1 − n3 + n.
2
n+1
2n− 4n −n
Ćwiczenie 0.7. Obliczyć granicę ciągu (xn ), gdy:
2n + (−1)n
1. lim
;
n→∞
3n + 1
sin(2n2 + n)
;
n→∞
2n + 1
2. lim
√
3
n2 sin n!
3. lim
;
n→∞
n+1
4. lim
n→∞
1
1
5. lim
+ ...+ 2
;
n→∞ n2 + 1
n +n
1
1
6. lim n
+ ...+ 2
.
n→∞
n2 + 1
n +n
1
⌊nx⌋ (x ∈ R);
n
Ćwiczenie 0.8. Obliczyć granicę ciągu (xn ), gdy:
1. xn =
6n + 2n · 3n−1 − 4n
;
3n − 3 · 6n+1 + 1
3. xn =
2 · 5n + 33n + 2
;
7n − 3 · 5n + 32n + 1
2. xn =
7n + 2 · 8n + 3 · 9n
;
73n + 82n + 9n
4. xn =
7n + 3 · 5n + 3 · 42n + 1
.
−2 · 7n − 3 · 5n+2 + 42n+1
Ćwiczenie 0.9. Wyznaczyć granicę ciągu (xn ), w którym:
√
n
10n;
√
n
= 4n n;
√
n
= 32n+1 ;
1/n
3
=
;
n
p
n
= n2 − n;
1/ln n
1
=
;
n
1. xn =
2. xn
3. xn
4. xn
5. xn
6. xn
πn + 1
7. xn =
;
4n
3n − 2n
8. xn = n
;
4 − 3n
sin2 n
;
2n
n
−2
10. xn =
;
3
(−4)n
;
n!
17. xn = (n−4)1/(n+4) ;
9. xn =
16. xn =
18. xn =
ln n
;
n1/n
n
12. xn = n ;
2
11. xn =
19. xn =
20. xn =
3n
13. xn = 3 ;
n
14. xn =
5n
;
n!
15. xn =
n2 2 n
;
n!
21. xn =
22. xn =
23. xn =
24. xn =
Ćwiczenie 0.10. Obliczyć granicę ciągu (xn ), gdy:
2
3n + (−3)n
;
4n
2n + (−1)⌊n/2⌋
;
2n + 1
√
n
3n + sin n;
q
n
(4/5)n + (5/6)n ;
p
n
1 · 21 + . . . + n · 2n ;
√
n
−2n + 4 · 5n + 3 · 6n ;
√
n
7 · 2n − 5n + 3 · 6n .
10n
1
1. xn = 1 +
;
5n
n
n−1
;
2. xn =
n
n
n+3
3. xn =
n−4
n
3n + 1
4. xn =
;
3n − 1
2n
2
5. xn = ln 1 +
;
n
n
2n + 3
;
6. xn =
2n + 4
7. xn =
n2 − 1
n2
8. xn = 1 −
9. xn =
n
2
n+3
1 + n2
n2 + 2
;
2n+1
;
2n2 +n
.
Ćwiczenie 0.11. Wykazać zbieżność i wyznaczyć granicę ciągu rekurencyjnego (xn ), w którym:
√
1
4
1. x1 = 1 i xn+1 = 1+2xn dla n ­ 1;
4. x1 = 3 i xn+1 =
xn +
dla n ­ 1;
2
xn
√
2. x1 = 3 i xn+1 = 15+2xn dla n ­ 1;
1
dla n ­ 1.
5. x1 = 1 i xn+1 =
1+x
n
4xn +2
3. x1 = 3 i xn+1 =
dla n ­ 1;
xn +3
3