Wstęp do teorii miary
Transkrypt
Wstęp do teorii miary
Wstęp do teorii miary SPPI, rok II Wykład 3 1. Chcemy uogólnić pojęcie długości odcinka na większą klasę zbiorów. Łatwo przenieść pojęcie na sumy rozłączne odcinków, ale dalej? Postulaty dla funkcji zbioru µ: 1. µ(A) jest zdefiniowana dla każdego A ⊂ R 2. dla odcinków µ(I) o długość odcinka I 3. przeliczalna addytywność (czyli sensowne zachowanie przy operacji sumy) 4. niezmienniczość na przesunięcia, tzn. µ(x + A) = µ(A). Okazuje się, że to się nie uda! Zrezygnujemy z pierwszego postulatu i będziemy konstruować miary tylko na wybranych rodzinach zbiorów – na σ-algebrach. 2. Skąd problemy ze spełnieniem wszystkich postulatów? Miara Jordana jest sensowną próbą przeniesienia definicji pola znanych figur płaskich na dowolne podzbiory R2 . Licząc miarę Jordana przybliżamy zbiór od dołu i od góry prostokątami. Jeśli biorąc coraz lepsze przybliżenia od wewnątrz i od zewnątrz uzyskamy te same liczby, określiliśmy miarę Jordana. Łatwo skonstruować zbiory niemierzalne: zbiór liczb wymiernych (zawarty w kwadracie [0, 1] × [0, 1]), „kwadrat z dziurami”. 3. Formalna definicja miary i własności. Definicja 1 Miara na σ-algebrze F to nieujemna funkcja zbioru µ : F → R̄, która jest przeliczalnie addytywna i spełnia µ(∅) = 0. Zbiory z σ-algebry będziemy nazywać mierzalnymi względem F. Parę (X, F) nazwiemy przestrzenią mierzalną, a trójkę (X, F, µ) przestrzenią miarową lub przestrzenią z miarą. Fakt 1 Miara jest subtraktywna, tzn. A ⊂ B pociąga µ(B \ A) = µ(B) − µ(A), gdy µ(A) < ∞. Dowód µ(B \ A) + µ(A) = µ(B) Teraz wystarczy przenieść µ(A) na prawą stronę. Fakt 2 µ(A) + µ(B) = µ(A ∪ B) + µ(A ∩ B) Dowód µ(A) + µ(B) = µ(A ∩ B) + µ(A \ B) + µ(B) | {z µ(A∪B) } Fakt 3 Miara jest monotoniczna, tzn. A ⊂ B pociąga µ(A) ¬ µ(B). Dowód Wynika z faktu 2. Fakt 4 Miara jest przeliczalnie podaddytywna, tzn. µ( S∞ n=1 An ) ¬ P∞ n=1 µ(An ). Dowód Urozłączniamy zbiory An : µ( ∞ [ n=1 An ) = µ ∞ [ n=1 An \ (A1 ∪ ... ∪ An−1 ) = } {z | Bn ∞ X n=1 µ(Bn ) ¬ ∞ X µ(An ) n=1 Fakt 5 Miara jest „ciągła w górę”, tzn. jeśli A1 ⊂ A2 ⊂ ... dla A1 , A2 ... ∈ F ,to [ lim µ(An ) = µ( n→∞ An ). n Jeśli µ(X) < ∞), to miara jest też „ciągła w dół”, tzn. jeśli A1 ⊃ A2 ⊃ ... dla T A1 , A2 ... ∈ F ,to limn→∞ µ(An ) = µ( n An ). Dowód Na ćwiczeniach. 4. Przykłady: ( 1. miara licząca: n(A) = n dla A n-elementowego , +∞ dla A nieskończonego ( 2. miara Diraca: δx (A) = 1 gdy x ∈ A , 0 gdy x ∈ 6 A 3. miara o skończonym nośniku: µ(A) = N X an · δxn (A) n=1 dla pewnego zbioru {x1 , ..., xN } ⊂ X oraz zbioru liczb dodatnich {a1 , ..., aN }, 4. Niech f (x) będzie funkcją całkowalną. Określmy Z 1 µ(A) = 0 f (x)1A (x) dx Uwaga: tu czai się drobne oszustwo, bo musimy mieć gwarancje, ze funkcja f · 1A musi dać się scałkować. Definicja 2 Miarę µ : F → R̄ nazywamy: • skończoną, gdy µ(X) < ∞, • σ-skończoną, gdy istnieje ciąg zbiorów X1 , X2 , ... ∈ F taki, że X = ∞ n=1 Xn i µ(Xn ) < ∞ dla każdego n (można dodatkowo zażądać by Xn były parami rozłączne). S