Seria 5 - dynamika bryły sztywnej

PF1 zima 201
2016-17 ćwiczenia grupa R-4 - seria 5

1. Ciężka szpula z nawiniętą nicią, do której przyłożono siłę F ,
leży na płaszczyźnie poziomej. W którą stronę, i z jakim
przyspieszeniem kątowym będzie poruszać się szpula w zależności
od kąta  między kierunkiem działania siły a pł
płaszczyzną
poziomą? Masa szpuli m , zewnętrzny i wewnętrzny promień to
odpowiednio R i r,, moment bezwładności szpuli względem osi
symetrii I0.
Wsk. Najłatwiej rozwiązywać to zadanie w układzie chwilowej osi obrotu (tj. w punkcie A
styczności
yczności szpuli z podłożem).
Odp. Przyspieszenie środka masy szpuli wynosi a  FR R cos   r  I 0  mR 2 . Dla
>0 i nić nawija się na szpulkę, dla cos   r R a < 0 (nić rozwija się ze
cos   r R a>0
szpulki).
2. Na gładkiej nieruchomej rrówni pochyłej o kącie nachylenia
do poziomu =/4 znajduje się klocek o masie M1 = 1 kg
połączony linką przerzuconą przez obracający się jednorodny
cylindryczny bloczek o promieniu R = 10 cm i masie
M3 = 0,5 kg, z wiszącym klockiem o masie M2 = 3 kg. Znaleźć:

a) sumaryczny moment działających sił N liczony względem
osi bloczka, b) całkowity moment pędu L układu (obu klocków
i bloczka), w chwili, gdy klocki poruszają się z prędkością  = 10 cm/s, c) wartość
przyspieszenia linowego klocków a.. Dana jest wartość przyspieszenia ziemskiego
g = 9,81 m/s2.
Odp. a) N  M 2 gR  M 1 gR sin  = 2,25 N·m, skierowane prostopadle do płaszczyzny



rysunku. W tym przypadku za tę płaszczyznę; b) L  R M 2  M 1  0,5M 3   0,0425 kg·m2/s


– skierowane prostopadle do pł
płaszczyzny rysunku; c)
N  dL dt . Stąd
M 2 gR  M 1 gR sin   M 1  M 2  0,5M 3 
gR M 2  M 1 sin 
d
, co daje a 
=0,64 m/s2..
dt
M 1  M 2  0,5M 3
3. Dwa klocki o masach M1 i M2 umieszczone jeden na
drugim, znajdują sie na poziomej płaszczyźnie (rys.). Są
one połączone ze sobą nierozcią
nierozciągliwą nieważką linką
przechodzącą przez walcowy obrotowy bloczek o
promieniu R i masie M3. Do klocka M1 przyłożono
poziomo skierowaną siłę F.. Zakładając, że ruch linki
względem bloczka odbywa się bez poślizgu, a
współczynnik tarcia między klockami i między
klockiem M1 a podłożem jest taki sam i wynosi ,, znajdź wartość przyspieszenia a klocka M1
Odp. a 
F   M 1  3M 2 g
.
M 1  M 2  0,5M 3
4. Cienką jednorodną obręcz o promieniu r ustawiono pionowo na podłodze i nadano jej
poziomą prędkość postępową 0 i obrotową prędkość kątową 0 , tak że obręcz porusza się w
ustalonej pionowej płaszczyźnie. Znaleźć czasową zależność prędkości ruchu postępowego
(t)) i prędkości kątowej ruchu obrotowego obręczy (t),
), jeśli współczynnik tarcia obręczy o
podłogę wynosi f.
PF1 zima 2016-17 ćwiczenia grupa R-4 - seria 5
Odp. Obręcz będzie się toczyć z poślizgiem do momentu, gdy prędkość liniowa środka masy
vk i prędkość liniowa punktów na obwodzie obręczy rk zrównają się. vk   v0  0 r  2 ;
k  vk r   v0  0 r  2r . Czas po jakim to nastąpi: tk  v0  0 r 2 gf .
5. Bąk o masie m  0,5 kg, momencie bezwładności
I0 = 5·10-4 kg·m2 obraca się z prędkością kątową   60s 1
wokół osi, nachylonej pod pewnym kątem do pionu. Środek
masy bąka jest odległy od punktu podparcia o l = 4 cm. Bąk
obraca się wokół własnej osi w kierunku przeciwnym do ruchu
wskazówek zegara. Jaki jest kierunek, zwrot i wartość prędkości
kątowej precesji bąka? Dana jest wartość przyspieszenia
ziemskiego g =9,81 m/s2.
Odp.  prec  mgr I
6. Na brzegu poziomo ustawionej tarczy o momencie bezwładności I0 (względem osi
pionowej przechodzącej przez środek tarczy) i promieniu R znajduje się człowiek o masie m.
Obliczyć prędkość kątową tarczy, gdy człowiek zacznie poruszać się wzdłuż jej brzegu ze
stałą prędkością v (względem tarczy).
Odp.   mRv I 0  mR 2  .
7. Na bocznej powierzchni jednorodnego walca o promieniu R i masie
M, który może obracać się bez tarcia wokół pionowej osi wykonano
gładkie śrubowe płytkie wycięcie o kącie nachylenia do poziomu
równym . W chwili początkowej t = 0 walec spoczywał. W wycięcie
włożono małą kulkę o masie m. Kulka zaczęła się opuszczać, wprawiając
walec w ruch obrotowy. Określić prędkość kątową h walca w chwili,
gdy kulka opuściła się o wysokość h.
Wsk. Skorzystać z zasad zachowania momentu pędu i energii. Pamiętać,
że w trakcie swojego ruchu kulka ma także składową poziomą prędkości.
2m
2 gh
Odp.  h 
.
2
R 2mM  M  2m  M 2 tan 2 
8. **Łańcuch kotwiczny o długości l nawinięty jest równomiernie
w jednej warstwie na wałek kotwiczny o promieniu R, masie m i
momencie bezwładności I 0  mR 2 2 . Masa jednostki długości
łańcucha wynosi . Do łańcucha przymocowana jest kotwica o masie
m. Pod wpływem ciężaru kotwicy łańcuch zaczyna się rozwijać.
Zaniedbując tarcie, wyznaczyć ruch kotwicy tj. zależność ht  . Dana
jest wartość przyspieszenia ziemskiego g.
Wsk. Wygodnie, ale niekoniecznie, jest wyjść z zasady zachowania
energii (łącznie kinetycznej i potencjalnej) dla całego układu. Po jego
zróżniczkowaniu po czasie otrzymuje się równanie ruchu –
niejednorodne równanie różniczkowe (proszę się nie przerażać nazwą!). Pełne rozwiązanie
takiego równania jest równe sumie ogólnego rozwiązania równania jednorodnego i
rozwiązania szczególnego.

 
m
g
Odp. h t   cosh
t   1 .
 
 3m 2  l  