Rachunek Matematyka , Lista 5

Rachunek Matematyka , Lista 5
Zad.51. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi, o których wiemy, że E(X) = 1, E(Y ) = 2,
V ar(X) = 1, V ar(Y ) = 16. Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej:
a) (X + Y + 1)2 , b) X 2 + 2Y 2 − XY + 4X − Y + 3.
Zad.52. Wykaż, że jeśli V ar(X) < ∞, V ar(Y ) < ∞, to:
a) E(XY ) istnieje, tzn. jest skończona;
def
b) Cov(X, Y ) = E[(X − E(X))(Y − E(Y ))] = E(XY ) − E(X)E(Y );
c) (E(XY ) − E(X)E(Y ))2 ¬ V ar(X)V ar(Y ), zatem ρXY ∈ [−1, 1].
Wskazówka: Przypomnij sobie nierówność Schwarza dla całek i skorzystaj z niej.
Zad.53. Dana jest funkcja



0
F (x) =  ax2 + bx

1
dla x ¬ 0,
dla 0 < x ¬ 1,
dla x > 1.
Znajdź wszystkie pary liczb rzeczywistych a, b, dla których F jest dystrybuantą. Dla jakich par jest to
dystrybuanta rozkładu absolutnie ciągłego?
Zad.54. Punkt w ∈ R nazywamy punktem wzrostu dystrybuanty F , jeśli dla każdego ε > 0 zachodzi
nierówność F (w + ε) − F (w − ε) > 0. Podaj przykład rozkładu dyskretnego, dla którego każdy punkt
prostej rzeczywistej jest punktem wzrostu jego dystrybuanty.
Zad.55. (dystrybuanta Cantora) Zbiór Cantora C to zbiór wszystkich liczb t postaci
(∗) t =
t2
t3
tn
t1
+ 2 + 3 + ... + n + ...,
3
3
3
3
gdzie tn przybiera jedną z dwóch wartości: 0 lub 2. Są to zatem te liczby z przedziału [0, 1], które można
zapisać w systemie trójkowym bez użycia cyfry 1.
a) Podaj przykład takiej liczby z [0, 1], która ma dwa różne zapisy w systemie trójkowym (wskazówka:
w dziesiętnym 1=0,9999...) i opisz zbiór liczb z [0, 1] z niejednoznacznym zapisem trójkowym.
b) Zauważ, że każda liczba ze zbioru C ma jednoznaczny zapis w systemie trójkowym (dlaczego?).
Określmy funkcję schodkową, przekształcającą zbiór Cantora na odcinek [0, 1], kładąc dla liczb zapisanych w postaci (∗)
t2
t3
tn
1 t1
+ 2 + 3 + ... + n + ...
φ(t) =
2 2
2
2
2
Poza zbiorem Cantora kładziemy odpowiednie stałe tak, aby funkcja o dziedzinie rozszerzonej z C do
[0, 1] była niemalejąca.
c) Zrób szkic wykresu tak określonej funkcji.
d) Wykaż, że jest to dystrybuanta ciągła ale nie absolutnie ciągła.
e) Czy potrafisz obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej o tej dystrybuancie?
Zad.56. Niech FX będzie dystrybuantą zmiennej losowej X. Załóżmy, że FX jest ciągła i ściśle rosnąca.
a) Znajdź dystrybuantę zmiennej losowej FX (X).
b) Znajdź rozkład zmiennej losowej Y = FX−1 na przestrzeni probabilistycznej ([0, 1], B[0, ∞] , dx).
c)♥ Gdy dystrybuanta F nie jest ściśle rosnąca, to nie ma funkcji odwrotnej. Można jednak wówczas
określić pewną funkcję G, kładąc G(t) = inf{s : F (s) > t}. Spróbuj znaleźć G, gdy F (t) = 0 dla t ¬ 0 i
F (t) = 1 dla t > 0 oraz dla dystrybuanty o dwóch skokach. Znajdź G, gdy F jest dystrybuantą i F (t) = t
dla 0 ¬ t ¬ 1. Jak wygląda G, gdy F jest funkcją Cantora?
d)♥ Czy dla każdego rozkładu niejednopunktowego można określić zmienną o takim właśnie rozkładzie,
ale w pewien sposób regularną, np. monotoniczną?