PIĄTY WYMIAR I HIPERPRZESTRZEŃ

Szymon Maćkowiak
PIĄTY WYMIAR I HIPERPRZESTRZEŃ
Aby zrozumieć zarys teorii wyższych wymiarów, na początek powinniśmy zastanowić się czym w
ogóle są wymiary? Rzecz jasna nie mam na myśli wymiarów idealnej kobiety (90x60x90 o ile się nie mylę) a
wymiary przestrzenne, czyli w naszym przypadku długość, szerokość i wysokość. Chyba każdy z nas
intuicyjnie rozróżnia te parametry. Zasadniczo wymiary służą, do określania położenia jakiegoś ciała,
wyznaczania jego wielkości, lub zlokalizowania jakiegoś zdarzenia. Wiemy już czym są wymiary, dlatego
teraz wyobraźmy sobie drobny przykład: proces umawiania się na kawę. Jeśli np. Jaś zaprosi Małgosię na
kawę w miejscu o współrzędnych X i Y oraz na wysokości Z, to wcale nie powiedziane, że są już umówieni!
Określenie miejsca zdarzenia, bez ustalenia czasu kompletnie nie ma sensu. Stąd też mówimy, że czwartym
wymiarem naszej rzeczywistości w której się poruszamy jest czas. Teraz, jeśli Jaś zaprosi Małgosię na
przecięciu ulic poznańskiej (wymiar X) i wschowskiej (wymiar Y) na parterze (wymiar Z) w piątek o 10:00, to
nie mamy już wątpliwości, że omawiana para umawia się właśnie na podejrzane wagary.
Mamy już cztery wymiary: długość, szerokość, wysokość i godzinę. Czy nie dałoby rady znaleźć ich
więcej? To pytanie frasowało matematyków drugiej połowy XIX wieku, zaś rozwikłanie tej teoretycznej
zagadki z matematycznego punktu widzenia zlecono jednemu z większych geniuszy ówczesnej epoki
Georg'owi Friedrich'owi Bernhard'owi Riemann'owi. Teoria wyższych wymiarów była tematem jego pracy
doktorskiej. Wykazał w niej, że nie ma matematycznych podstaw do zakładania, że nasza przestrzeń ma
tylko trzy wymiary przestrzenne, co więcej udowodnił, że wyidealizowana geometria euklidesowa nie oddaje
rzeczywistych parametrów i dał początek geometrii nieeuklidesowej. Jeden z prostszych dowodów
myślowych oparty był o znane nam wszystkim twierdzenie Pitagorasa. Mianowicie, mając dowolny prostokąt,
mogę bez problemu wyznaczyć długość jego przekątnej stosując zależność, że przekątna c jest równa:
Gdybym z kolei chciał wyznaczyć przekątną prostopadłościanu, mogę ułożyć bardzo podobne równanie,
zawierające kolejne krawędzie prostopadłościanu:
Riemann udowodnił, że korzystając z twierdzenia Pitagorasa, korzystając z powyższego algorytmu, możemy
wyznaczyć przekątną hiperścianu o dowolnej liczbie wymiarów, zaś przekątna ta byłaby równa:
Tak więc matematyka w swych rozważaniach rozpatruje przestrzenie n-wymiarowe.
Jeśli zaś chodzi o fizyczne dowody słuszności tej tezy, to ciekawą historię opisuje profesor Kaku w
książce „Hiperprzestrzeń”. Mianowicie, na początku XX wieku były dwie wspaniałe teorie opisujące naszą
rzeczywistość. Była to teoria względności Einsteina, oraz teoria pola elektromagnetycznego Maxwella. Od
żadnej z tych teorii nie znaleziono doświadczalnych odstępstw (czyli, że eksperymenty przebiegały dokładnie
tak jak mówiły przewidywania teoretyczne). Jeśli zaś obie koncepcje były tak doskonałe jak sądzono, z
jednej powinno dać się wyprowadzić drugą i na odwrót. Niestety, Einstein próbując z całych sił nie mógł w
żaden sposób (licząc w oparciu o przestrzeń czterowymiarową) z teorii Maxwella wyprowadzić swoich
równań! Był pewien nawet, że teoria Maxwella jest po prostu błędna ;-) Ale pewnego dnia dostał list od
matematyka polskiego pochodzenia z uniwersytetu w Królewcu, Teodora Kałuży, który w korespondencji
zamieścił swoje rachunki nad teorią względności ale w oparciu nie o przestrzeń czterowymiarową, a o
przestrzeń pięciowymiarową i o dziwo bez większych problemów z teorii Einsteina otrzymał teorię Maxwella i
odwrotnie! Potem przyszła wojna i problem wyższych wymiarów został zarzucony na wiele lat, tym bardziej,
że po wojnie umysły fizyków zostały opanowane przez mechanikę kwantową, która w swej istocie jest
diametralnie różna od harmonijnej tezy o wyższych wymiarach. Ale wracając do głównego wątku, obliczenia
Kałuży były jakoby fizycznym dowodem potrzeby istnienia wyższych wymiarów. Można by zapytać w takim
razie, gdzie jest ów piąty wymiar? Czemu go nie dostrzegamy? Przestrzennie każdy z nas ma trzy wymiary.
Aby zrozumieć, czemu nie widzimy kolejnych, musimy się „cofnąć” o jeden wymiar niżej i zastanowić się, jak
wyglądałby nasz świat, gdybyśmy mieli przestrzennie tylko dwa wymiary. Pomyślmy przez chwilę, jak
wyglądałby świat dwuwymiarowego chłopczyka narysowanego na dwuwymiarowej kartce papieru.
Rys. 1. Dwuwymiarowy chłopczyk w dwuwymiarowej przestrzeni.
Nasz chłopczyk ma dwa wymiary i jego świat też ma dwa wymiary. I generalnie dzięki nim dotrze do
każdego fragmentu swojego świata i kolejny wymiar przestrzenny nie jest mu do niczego potrzebny. Nie
dostrzega go bo jego zmysły nie zostały do tego przygotowane, zaś dobór naturalny w żaden sposób nie
premiował osobników dostrzegających więcej wymiarów, gdyż nie miało to biologicznie-praktycznego
zastosowania. Jednak, jeśli spojrzymy na kartkę, zauważymy, że w dużym powiększeniu, ma ona trzeci
wymiar! Owszem, grubość kartki jest niezwykle mała, niezwykle drobna w porównaniu do jej pozostałych
wymiarów, ale jest! Podobnie jest z nami! Nie dostrzegamy kolejnych wymiarów przestrzennych, nie możemy
sobie ich nawet wyobrazić, gdyż nie zostaliśmy do nich stworzeni, a one same zaś są po prostu
spłaszczone! Obliczenia Kałuży kontynuowane potem przez Kleina mówią o spłaszczeniu do odległości
rzędu 10−35 m ! Wróćmy jednak do naszego dwuwymiarowego „płaszczaka”. Gdyby go np. obrysować
kółkiem, to nasz chłopczyk jest totalnie zamknięty i w oparciu o dwa wymiary nie ma prawa wyjść ze swojej
pułapki, jeśliby jednak uświadomić go czym jest trzeci wymiar, mógłby śmiało stanąć na nogi, zrobić krok do
przodu i już byłby poza swą celą. Podobnie byłoby z nami. Gdyby uwięzić nas w kuli, nie mamy
najmniejszych szans na wyjście z niej. Gdyby jednak „nauczono” nas kolejnych wymiarów, śmiało
moglibyśmy zrobić krok przed siebie i bylibyśmy na wolności. Właśnie w ten sposób na początku ubiegłego
wieku tłumaczono „mechanizm transportu duchów” i ich domniemane przechodzenie przez ściany! W ogóle
teoria wyższych wymiarów odcisnęła niesamowite piętno na ówczesnej nauce i kulturze. Ludzkie umysły
pochłonięte były próbami wyobrażenia sobie jak np. powinna wyglądać wielowymiarowa postać, lub jak my
wyglądalibyśmy w oczach takiej postaci. Dla postaci wyższej wymiarowo, powinniśmy być widoczni z każdej
strony. Właśnie to próbował ująć w swych obrazach wspaniały Picasso!
Rys. 2. „Portret Dory Maar” - P. Picasso.
Dopiero w ujęciu geometrii wielowymiarowej można dostrzec istotę kubizmu i geniusz Picassa. Oto
właśnie próba spojrzenia na świat oczami postaci wielowymiarowej! Próba wykroczenia po za własny wzrok i
ludzkie ograniczenia! Jeśli zaś chodzi o nasze oczy, to jak wspominałem wcześniej, nie jesteśmy wstanie
dostrzec postaci wymiarowo wyższej od nas. Wracając do płaszczaków, gdyby na kartce papieru postawić
kostkę, to nasz chłopczyk zobaczyłby co najwyżej kwadrat, jednak tą samą kostkę możemy rozłożyć na
dwuwymiarową siatkę, którą dostrzec już powinien.
Rys. 3. Trójwymiarowa kostka oraz jej siatka.
I w naszym przypadku myślowa analiza mówi, że nie możemy ujrzeć pięciowymiarowej kostki, nie mniej
możemy zbadać jej siatkę, która powinna wyglądać mniej więcej tak:
Rys. 4. Siatka hiperścianu.
Niektórzy uważają, że poprzez medytacje nad trójwymiarową figurką podobną do powyższego rysunku
osiągają wyższy poziom postrzegania i zaczynają „wyczuwać” piąty wymiar. Dla innych motyw hiperścianu
był inspiracją artystyczną. Przykładem może być Salvador Dali i jego obraz „Corpus Hypercubus”, w którym
to umieścił postać Chrystusa na siatce hiperścianu:
Rys. 5. „Corpus Hypercubus” - S. Dali.
Jeszcze raz poproszę Cię o myślowy powrót do naszego ukochanego płaszczaka. Gdyby naszemu
chłopczykowi powyginać czasoprzestrzeń (czyli kartkę), nie miałby o tym zielonego pojęcia. W żaden sposób
nie dostrzegłby zakrzywienia w trzecim wymiarze (czyli zwyczajnego zagięcia karteczki). Jego
czasoprzestrzeń może być nawet zgięta wpół, tak, że jeden koniec kartki dotyka drugiego! Dotychczas, nasz
chłopiec aby dostać się z jednego końca swojego świata na drugi, musiał pokonać całą drogę równą
długości świata! Jeśli jednak teraz, gdy stoi na jednym końcu, drugi zaś jest „pod” nim, starczyłoby nauczyć
go czym jest trzeci wymiar, starczyłoby zrobić dziurę, a nasz płaszczak uskoczyłby w wyższy wymiar w
wylądował na drugim końcu swojego świata niesamowicie zaoszczędzając na drodze i tym samym na
czasie! Nasza czasoprzestrzeń również jest pozakrzywiana, co przewidział i udowodnił Einstein.
Czasoprzestrzeń jest zakrzywiana przez masę! Podczas jednego z zaćmień słońca dokonano
zdumiewającej obserwacji. Mianowicie, w pobliżu słońca przy zaćmieniu, gwiazdy przyjmują inne pozycje,
niż w nocy bez niego! Było to właśnie dowód na to, że duża masa słońca zakrzywia tor biegu promieni
świetlnych, stąd nam wydaje się, że gwiazdy są w innej pozycji! Tak, nasza przestrzeń jest pozakrzywiana.
Może być nawet tak krzywa jak kartka naszego płaszczaka. Gdyby tylko udało się znaleźć przejście do
wyższego wymiaru, moglibyśmy wykorzystać tą krzywiznę i śmiało podróżować na drugi kraniec
wszechświata bez konieczności osiągania, czy przekraczania prędkości światła (co jak wiadomo dla ciał
materialnych jest niemożliwe). Tak. Oto w zarysie elementy koncepcji wyższych wymiarów. Można by temat
ten rozwijać o wiele dłużej, można by pokazywać, że prawa fizyki w wyższych wymiarach stają się prostsze,
że otaczający nas świat ma nie pięć, a dziesięć lub dwadzieścia sześć wymiarów, można by jeszcze
pomyśleć nad tak ciekawymi zagadnieniami teoretycznymi jak pętla Mobiusa czy butelka Kleina itd. jednak
celem tego artykułu jest przede wszystkim „zaciekawienie” i przedstawienie głównych idei. Wszystkim
zainteresowanym polecam następujące książki, z których czerpałem wiedzę na ten temat: Michio Kaku –
„Hiperprzesrzeń”, Steven Hawking – „Krótka historia czasu”. Dodam tylko, że obie dostępne są w naszej
wolsztyńskiej bibliotece miejskiej.
Pozdrawiam – Sz. M.