Piętrzenie wiatrowe w ujściu rzeki w warunkach silnych wiatrów

PIĘTRZENIE WIATROWE W UJŚCIU RZEKI W WARUNKACH
SILNYCH WIATRÓW
WIND SWELLING IN RIVER MOUTH DUE TO STRONG WINDS
prof. dr hab. inż. Zygmunt Meyer
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie
Katedra Geotechniki, al. Piastów 50, 70-310 Szczecin
e-mail: [email protected]
1. WSTĘP
Ostatnie dziesięciolecia wskazują, że w odniesieniu do przepływów wody w rzece nasilają się
zjawiska ekstremalne. Przejawia się to m.in. w osiąganiu stanów ekstremalnych, które
przewyższają te wynikające z prawdopodobieństwa pojawienia się. Stany ekstremalne
związane są głównie z dużymi przepływami w rzece, a te wynikają z opadów na zlewni. W
ujściowych odcinkach rzek np. w ujściu rzeki Odry do morza obserwujemy bardziej złożone
zjawiska piętrzenia wody. Jednym z czynników, który wywołuje wysokie stany w rzece są
spiętrzenia w morzu, które przenoszą się w górę rzeki. Spiętrzenia te są zwykle wywoływane
przez niże atmosferyczne przemieszczające się nad południowym Bałtykiem. Spiętrzenia w
ujściowym odcinku Odry mogą być również wywołane przez wiatry północne. Najczęściej
występują oba te czynniki i na wysoki stan w morzu nakłada się cofka wiatrowa. Pod
pojęciem cofki wiatrowej rozumie się krzywą spiętrzenia wody w rzece wywołaną wiatrem.
Zagadnienie krzywej spiętrzenia wywołanej wiatrem znajduje swoje odzwierciedlenie w
literaturze.
Pierwszą pracę analityczną, która opisywała mechanizmy piętrzenia wody w rzece, gdy na
powierzchni występują naprężenia wiatrowe przedstawił Meyer (1982, 1986). Analizę
przeprowadzono przy założeniu, że składowa naprężeń burzliwych w rzece zmienia się
liniowo w kierunku pionowym oraz że możliwym jest zastosowanie hipotezy Boussinesqua
(Prantl 1956) do wyprowadzenia równania tachoidy. Różne równania tachoidy w warunkach
występowania wiatru na powierzchni otrzymano zakładając różne pionowe rozkłady
współczynnika lepkości burzliwej wody. Analizę przeprowadzono przy założeniu stałego
współczynnika lepkości burzliwej wody. Buchholz (1989) przedstawił równanie tachoidy
przy założeniu że współczynnik lepkości w kierunku pionowym w rzece zmienia się
wykładniczo. Równanie krzywej spiętrzenia wody w rzece przy założeniu na powierzchni
wody naprężeń wiatrowych przedstawił Meyer (1995). Krzywą spiętrzenia wiatrowego
zweryfikowała w oparciu o badania terenowe Libront (1999). Dalsze badania nad tachoidą
obejmowały możliwości wykorzystania liniowego rozkładu współczynnika lepkości burzliwej
wody w kierunku pionowym w rzece. Doprowadziły one do zmodyfikowanej tachoidy
logarytmicznej (Meyer 2009a) oraz do wykorzystania tej tachoidy, gdy na powierzchni wody
występują naprężenia styczne (Meyer 2010). W oparciu o te wyniki badań autor przedstawił
uogólnione równanie krzywej spiętrzenia wiatrowego w rzece (Meyer 2009b). Równanie to
różni się od wcześniej wyprowadzonej postaci (Meyer (1995) członem uwzględniającym
wpływ naprężeń wiatrowych. Uogólnione równanie krzywej spiętrzenia wiatrowego zostało
porównanie z wynikami badań prezentowanymi w literaturze (Buchholz 1989, oraz Libront
1999) co pozwoliło na wypracowanie praktycznej formuły określającej spiętrzenie wiatrowe
w rzece. Uzyskana praktyczna formuła jest wygodna w obliczeniach inżynierskich i może być
wykorzystana do oceny spiętrzeń wywołanych warunkami ekstremalnymi: stany morza i
prędkość wiatru. Wykorzystanie tej formuły jest przedmiotem niniejszego opracowania.
2. OPIS MATEMATYCZNY ZJAWISKA
Do analizy zjawiska przyjęto przepływ w rzece o stałym spadku dna w warunkach,
kiedy
na
powierzchni
występują
naprężenia
wiatrowe.
Schematycznie
przepływ
przedstawiono na rys. 1.
Rys. 1. Schemat wpływu wiatru na krzywą spiętrzenia (Scheme of the wind backwater curve)
Zgodnie z wynikami uzyskanymi z poprzedniej pracy (Meyer 2009) równanie krzywej
spiętrzenia w warunkach, kiedy na powierzchni występują naprężenia wiatrowe ma postać:
3
dH τ b + τw
 H  dH
−  kr  ⋅
= Ib −
−
dx
ρgH
 H  dx
gdzie
(1)
q2
g
H kr =
(2)
W powyższym równaniu przyjęto następujące oznaczenia: g - przyspieszenie
ziemskie, H – głębokość wody piętrzonej w rzece, H kr - głębokość krytyczna, q – przypływ
jednostkowy wody w rzece, τ b - naprężenia styczne przy dnie, τ w - naprężenia styczne
wiatrowe na powierzchni wody, I b - spadek dna, ρ - gęstość wody, H 0 - głębokość wody w
rzece w ruchu jednostajnym w warunkach wiania wiatru, x, y – oś układu współrzędnych.
Zależność pomiędzy naprężeniami wiatrowymi τ w , a naprężeniami przy dnie τ b oraz średnią
prędkością przepływu otrzymamy z granicznej zależności (Meyer 2009)
υ0 =
1 H
1
2τ − τ
υ x ( y ) ⋅ dy = ⋅ H b w
∫
H 0
6
ρ⋅K
(3)
W równaniu tym K - oznacza współczynnik lepkości burzliwej wody:
K = κ ⋅ q = κ ⋅ υ0 ⋅ H
(4)
gdzie: κ - jest bezwymiarowym współczynnikiem. Po podstawieniu zależności (4) do
równania (3) otrzymamy związek
1
2
τ b = 3 ⋅ ρ ⋅ κ ⋅ Vo2 + τ w
(5)
Pozwala to na uzyskanie równania krzywej spiętrzenia wiatrowego w postaci

3 ⋅ κ ⋅ q2 3
 H kr3  dH
τw 
1 − 3  ⋅
=
I
1
−
− ⋅


b
3


2 ρ ⋅ gHI b 
H  dx
 I b ⋅ g ⋅ H

(6)
Równanie (6) posiada postać asymetryczną dla x → ∞ . Mamy:
dH
=0
x → ∞ dx
lim H = H ow
oraz
lim
x →∞
ponadto zakładamy,
że wiatr reprezentowany jest przez parametr wiatrowy ξ lub a
ξ=
τw
ρgHIb
lub
a=
ξ
(7)
1− ξ
Przy tych założeniach otrzymamy
H
1+ a
=
H 0 [F0 (a )]3 / 5
2
(
1 + a ) ⋅ (2 − a )
F0 (a ) =
2
gdzie
(8)
(9)
κ = κ (a ) ⋅
C0 =
g
[F0 (a )]− 4 / 5
2
3 ⋅ C0
(10)
1 1/ 6
H0
n
 q⋅n 

H0 = 
 I 
b


(11)
3/ 5
(12)
W przybliżeniu dla celów praktycznych obliczeń można przyjąć
H 0w
 3 
= H 0 ⋅ 1 − ξ 
 2 
−0 ,3
(13)
Uogólnione równanie krzywej spiętrzenia ma wtedy postać
2
3
H ow   H ow  
 H ow 
−
1
 
 
1− 

H   H  
dH
H 

= −Ib ⋅
− Iw ⋅
3
3
dx
 H kr 
 H kr 
1− 
1
−



 H 
 H 
(14)
gdzie
Iw =
3 τw
3
⋅
= ξ ⋅ Ib
2 ρgH ow 2
(15)
jest tak zwanym spadkiem wiatrowym. Przedstawiona równaniem (14) krzywa spiętrzenia
różni się od podawanej w literaturze Buchholz (1989, Libront (1989), Meyer (1995) członem
zawierającym I w . Dla celów praktycznych obliczeń w ujściowym odcinku rzeki rozwiązanie
równania (14) można przedstawić w postaci


X
H ( x ) = H 0 + [H (0) − H 0 ] ⋅ exp − I b ⋅

H (0 ) − H 0 




X

I ( x ) = I b ⋅ 1 − exp − I b ⋅
H (0 ) − H 0 


oraz
(16)
We wzorach tych zgodnie z rys. 1: H 0 - oznacza głębokość regulacyjną w rzece o spadku I b
i przepływie Q; H (0) - oznacza głębokość wody piętrzonej w przekroju x = 0, natomiast I ( x )
- oznacza spadek zwierciadła wody w odległości „x” od odpływu. W równaniach (16)
przyjęto, że w miejscu odpływu x = 0 mamy I (0) = 0 , co oznacza że zwierciadło układa się
poziomo. Możemy przyjąć, że w miejscu wypływu występuje spadek zwierciadła wody
I (0) ≠ 0 , taki który umożliwia zachowanie przepływu Q. Wówczas I (0) możemy obliczyć
ze wzoru Chezy
I (0) =
a 2n2
B ⋅ H 10 / 3
(17)
Za wartości spadku I (0) można przyjąć tę, która wynika z zachowania ciągłości przepływu
10 / 3
 H0 

 H (0 ) 
dla x = 0 Q = const wymaga aby było I (0) = I ⋅ 
. Wówczas spadek I (0) powinien
spełniać nierówność
I* = I ⋅
0,3
H
1⋅ 3 − 0
H (0 )
oraz
I (0 ) < I *
(18)
Wtedy równanie krzywej spiętrzenia przyjmie postać
 I − I (0 )

H ( x ) = H 0 + [H (0 ) − H 0 ] ⋅ exp − b
⋅ x
 H (0 ) − H 0 
 I − I (0 )

I ( x ) = I b − [I b − I (0 )] ⋅ exp  − b
⋅ x
 H (0 ) − H 0 
oraz
(19)
Jeżeli profil podłużny składa się z dwóch odcinków o różnych spadkach I1 i I 2 oraz o
różnych długościach L1 i L2 wówczas przy pomocy wzorów (16) lub (19) obliczamy
napełnienie w rzece i spadek zwierciadła wody na pierwszym odcinku, natomiast na drugim
odcinku stosujemy ten sam wzór wyrównując stany i spadki z obu stron.
Mamy
I (L1 ) = I1 (L1 ) ; H (L1 ) = H1 (L1 )
i wtedy dla
0 < x < L2
mamy
 I − I (L )

H 2 ( x ) = H 02 + [H1 (L1 ) − H 02 ] ⋅ exp − 2 1 1 ⋅ x 
 H1 (L1 ) − H 02 
 I − I (L )

I 2 ( x ) = I 2 − [I 2 − I1 (L1 )] ⋅ exp − 2 1 1 ⋅ x 
 H1 (L1 ) − H 02 
(20)
Działanie wiatru uwzględniamy w ten sposób, że zmieniamy głębokość regulacyjną. W
miejscu H 0 wstawiamy H 0 w , głębokość w rzece w ruchu jednostajnym w warunkach kiedy
wieje wiatr.
Głębokość tę wyznaczymy z wykresu przedstawionego na rys. 2. Na rysunku tym
wprowadzono parametr ξ 0 ,
ξ0 =
τw
ρg ⋅ HI b
(21)
Rys. 2. Wykres
H 0w
H
= f (ξ 0 ) (The graph 0 w = f (ξ 0 ) )
H0
H0
3. PRZYKŁAD OBLICZENIOWY
W celu przedstawienia praktycznego wykorzystania uzyskanych zależności do obliczenia
wpływu wiatru na piętrzenie wody w rzece poniżej podano przykład obliczeniowy.
Obliczenia wykonano dla odcinka ujściowego rzeki Odry od Gozdowic do Trzebieży.
Przekrój podłużny oraz oznaczenia pokazano na rys. 3.
Rys. 3. Przekrój podłużny przez odcinek obliczeniowy rzeki (Longitudinal river cross section)
Do obliczeń przyjęto następujące wymiary:
- szerokości :
B1=500 m
- spadki:
I b1 = 2 ⋅ 10 −5 ; I b 2 = 5 ⋅ 10−5
- odległości:
L1= 60 km
; B2=300 m
;
L2= 40 km
Ponadto przyjęto następujące uśrednione współczynniki szorstkości dna rzeki wg Maninga:
n1 = 0,031 oraz
n2 = 0,036
Wielkościami, które mogą się zmieniać przyjęto: stan wody w Trzebieży H (0) oraz przepływ
Q. Obliczenia wymagają ponadto przyjęcia warunków wiatrowych, które wywołują
naprężenia wiatrowe na powierzchni rzeki. Do opisu przyjęto następujące wzory Buchholz
(1989), Meyer (1995).
ξ0 =
τw
ρgH 0 I b
;
a=
ξ0
;
1 − ξ0
τ w = ρ ⋅ κ w ⋅W 2
gdzie
(22)
κ w = 1,3 ⋅ 10−6
(23)
stała κ w - przyjęta w zależności (22) ma charakter lokalny. Przyjęta wartość podana w
zależności (23) wynika z badań terenowych przeprowadzonych przez Libront (1999), dla
odcinka rzeki Odry od Gozdowic do Trzebieży. Do obliczeń przyjęto następującą siłę wiatru:
W1 = 15m/s ; W2 = 13m/s
Wyniki obliczeń: napełnienie w rzece bez wiatru, naprężeń wiatrowych τ w , parametru ξ 0
oraz napełnienia z wiatrem H 0 w przedstawiono w tabeli 1 i 2
Parametry hydrauliczne i wiatrowe (Hydraulics parameters and wind)
Tabela 1
odcinek
Trzebież - Widuchowa
Widuchowa - Gozdowice
wiatr
W1 = 15m/s
W2 = 13m/s
 3 
Q m s 


H 01
[m]
(1)
H 01
[m]
[Pa ]
350
2,58
3,15
0,30
1000
4,84
5,18
0,30
τ w1
H 02
[m]
(1)
H 01
[m]
[Pa ]
0,58
2,92
3,07
0,22
0,15
0,31
5,47
5,58
0,22
0,10
ξ 01
τ w2
ξ 02
Źródło [własne]
Napełnienia w rzece (River depth)
odcinek
Tabela 2
Trzebież - Widuchowa
Widuchowa - Gozdowice
 3 
Q m s 


H (0)
H L1 2
H (L1 )
H L2 2
H (L1 )
[m]
[m]
[m]
[m]
[m]
350
4,50
3,70
3,41
3,18
3,10
350
6,00
4,31
3,61
3,24
3,12
1000
6,00
5,72
5,60
5,58
5,58
Źródło [własne]
4. WNIOSKI
1. W pracy przedstawiono model matematyczny wpływu wiatru na piętrzenie wody w
rzece. Model opiera się na określonym wcześniej liniowym rozkładzie składowej
tensora naprężeń burzliwych τ xy ( y ) , oraz hipotezie Boussinesqa. Do analizy przyjęto
przypadek, kiedy lepkość burzliwa wody nie zmienia się w kierunku pionowym.
2. Uzyskane wyniki pozwalają na opisanie krzywej spiętrzenia wiatrowego w rzece w
warunkach, kiedy mamy małe spadki tj. np. w ujściowym odcinku rzeki. Krzywa
spiętrzenia wiatrowego opiera się na wielkości spiętrzenia wody w rzece na skutek
działania na powierzchni naprężeń wiatrowych w ruchu jednostajnym. Model opisuje
to spiętrzenie wprowadzając parametr wiatrowy ξ .
3. Przedstawiona metoda pozwala na znalezienie wartości współczynnika lepkości
burzliwej wody w rzece, stosownie do wiatru i hydraulicznych warunków przepływu.
4. Warunkami brzegowymi krzywej spiętrzenia są
-
napełnienie w rzece w ujściu H (0) ;
-
prędkość wiatru, który wieje przeciwnie do ruchu wody.
5. Przedstawiony przykład obliczeniowy dla odcinka ujściowego Odry wskazuje, że
proponowana metoda posiada znaczenie praktyczne, a uzyskane wyniki są zbieżne z
obserwacyjnymi w naturze. Metoda może być wykorzystana zwłaszcza przy
prognozowaniu stanów w rzece w warunkach wezbrania odmorskiego i silnych
wiatrów.
LITERATURA
Buchholz W.: Wpływ wiatru na przepływy w ujściach rzek. Wyd. Instytutu Morskiego w
Gdańsku , 1989.
Libront D.: Wpływ prędkości wiatru zmieniającej się wzdłuż koryta dolnej Odry na stany i
przepływy wody. Rozprawa doktorska, Wydz. Budownictwa i Architektury, Politechnika
Szczecińska, 1999 .
Meyer Z.: Vertical Circulation in Density Stratified Reservoir. Journal of the Hydraulics
Div. ASCE, HY7, 1982. pp.853-873.
Meyer Z.: Vertical Circulation in Density Stratified Reservoir. Encyclopedia of Fluid
Mechanics, vol. 2, Gulf Publishing Co. Huston, 1986, pp.572-636.
Meyer Z., Problemy hydrauliczne ujściowego odcinka Odry. XV Ogólnopolska Szkoła
Hydrauliki pn. Współczesne Problemy Hydrauliki Wód Śródlądowych, WrocławTrzebieszowice 1995.
Meyer Z.: Modified Logarithmic Tachoida Applied to Sediment Transport in River. Acta
Geophysica Institute of Geophysis Polish Academy of Science, vol. 57, No 3/2009,
pp.743-759.
Meyer Z. : Hydraulic condition of water flow in river mouth, Studia Geotechnica at
Mechanica, Vol. XXXI, No 3/ 2009, pp.3-25.
Meyer Z., An Analysis of the Mechanism of Flow in Ice-Covered Rivers . Acta
Geophysica Institute of Geophysis Polish Academy of Science, vol. 58, No. 2/2009, pp.
337-355.
Prandtl L.: Dynamika przepływów. PWN Warszawa 1956.