Zestaw do domu nr 1 1) Zbadac metoda przeciec wykres funkcji z
Transkrypt
Zestaw do domu nr 1 1) Zbadac metoda przeciec wykres funkcji z
Zestaw do domu nr 1 1) Zbadać metoda̧ przeciȩć wykres funkcji z = xy. Co przedstawiaja̧ przekroje pÃlaszczyznami x =const, y =const, z =const. 2) Znajdź najwiȩkszy podzbiór R2 , dla którego poniższa funkcja jest poprawnie określona 1 1 z(x, y) := √ +√ . x+y x−y 3) W kulȩ o promieniu R wpisany jest ostrosÃlup o podstawie prostoka̧tnej; rzut wierzchoÃlka ostrosÃlupa znajduje siȩ w punkcie przeciȩcia przeka̧tnych podstawy. Objȩtość v ostrosÃlupa jest funkcja̧ boków x i y jego podstawy. Czy funkcja ta jest jednoznaczna? Znaleźć analityczne wyrażenie tej funkcji, zbadać w jakim obszarze funkcja ma sens. 4) Znaleźć granicȩ: −1 e x2 +y2 lim . (x,y)→(0,0) x4 + y 4 5) Znajdź najwiȩkszy podzbiór R2 , dla którego poniższa funkcja jest poprawnie określona 1 z(x, y) := . x−y Wyznacz punkty jej niecia̧gÃlośći i czy mozna ja̧ przedÃlużyć w sposób cia̧gÃly w niektórych punktach. 6) Zbadać cia̧gÃlość funkcji: ( f (x, y) := x4 −y 4 x4 +y 4 0 dla (x, y) 6= (0, 0) dla (x, y) = (0, 0). 7) Znaleźć powierzchnie warstwicowe (tj. powierzchnie na których funkcja jest staÃla) funkcji: p 1 + x2 + y 2 + z 2 p . u(x, y, z) := ln 1 − x2 + y 2 + z 2 1 8) Czy istnieje granica lim (x + y) sin (x,y)→(0,0) 1 1 sin ? x y Czy istnieja̧ granice iterowane: µ µ ¶ ¶ 1 1 1 1 lim lim (x + y) sin sin , lim lim (x + y) sin sin ? x→0 y→0 x y y→0 x→0 x y 2