Kolokwium I

Matematyka dla Biologów
Warszawa, 11 grudnia 2010.
Imi¦ i nazwisko: ..................................
nr indeksu:.................
Kolokwium I
GRUPA
A
Przy ka»dym z podpunktów wpisz, czy jest on prawdziwy (TAK) czy faªszywy (NIE).
1.
Czy poni»sze zdania logiczne s¡ tautologiami:
(a) (p =⇒ q) ∨ (r =⇒ q) ∨ (p =⇒ r);
(b) (p =⇒ g) ∧ r ⇐⇒ (¬p ∨ q) ∧ r ;
(c) (p ∨ q) ∧ (p =⇒ q).
2.
Dane s¡ zdania A, B i C. Czy z tego, »e prawdziwe s¡ A i B wynika prawdziwo±¢ C:
(a)
A. Wszyscy mieszka«cy ulicy Miªej maj¡ biaªe koty
B. Arek ma biaªego kota
C. Arek mieszka na Miªej;
(b)
A. Mieszkaniec Woli jest Warszawiakiem
B. Jacek jest Warszawiakiem
C. Jacek mieszka na Woli;
(c)
3, 2% tªuszczu
tªuszczu 3, 21%
A. Mleko tªuste zawiera co najmniej
B. Ola pije mleko o zawarto±ci
C. Ola pije tªuste mleko.
3.
Czy pary poni»szych zda« s¡ swoimi zaprzeczeniami:
(a) ¬(∀x, y ∈ X x 6= y)
∃x, y ∈ X x = y ;
(b) ¬(∀x ∈ X ∃y ∈ Y x = 5y) oraz ∃x ∈ X ∀y ∈ Y x > 5y ∨ x < 5y ;
(c)
oraz
Wszyscy grzybiarze zbieraj¡ grzyby na jesieni oraz Niektórzy grzybiarze zbieraj¡
grzyby w lecie.
4.
Dany jest wykres funkcji.
Czy poni»sze stwierdzenia s¡ prawdziwe:
(a)
a > 1, »e jest to wykres funkcji y = 2x we wspóªrz¦dnych póªlogarytmicznych (x, Y ), Y = loga y ;
(b) Dla dowolnego a > 0, a 6= 1, jest to wykres funkcji y = x2 we wspóªrz¦dnych podwójnie
logarytmicznych (X, Y ), X = loga x, Y = loga y ;
(c) Dla pewnego a > 1 jest to wykres funkcji y = x2 we wspóªrz¦dnych podwójnie logarytmicznych (X, Y ), X = loga x, Y = loga y .
Istnieje takie
1
5.
Czy prawdziwe s¡ poni»sze nierówno±ci:
(a) ln 5 + ln 7 < 2 ln 6;
1
;
2
(b) log 1 2 < log2
2
(c) log 1 16 + log 1 8 ¬ log 1
4
6.
e
2
5
e .
Czy podane wielko±ci s¡ jednakowe:
(a)
Odlegªo±¢ w terenie, która na mapie w skali 1:50000 wynosi
terenie, która na mapie w skali 1:20000 wynosi
(b)
(c)
7.
30 ms
Pr¦dko±¢
K¡t
150o
oraz pr¦dko±¢
2cm
oraz odlegªo±¢ w
5cm;
100 km
;
h
5
π rad.
6
oraz k¡t
Czy poni»sze równo±ci s¡ prawdziwe:
(a) 3, 9999(9) = 3, 999999;
(b) 1, 99(9) = 2;
(c)
8.
95
90
= 1, 0(5).
Czy prawd¡ jest, »e:
(a)
Cz¦±¢ rzeczywista liczby
(b)
Moduª liczby
(c)
Argument
π
?.
2
1√
1
równa si¦ ? ;
4
1+ 3i
√
1 + 3i równa si¦ 2?;
3
3
liczby z = z1 z2 , gdzie z1 = 2(cos π + i sin π) i z2 = cos π + i sin π
2
2
równa
si¦
9.
Czy prawdziwe s¡ nast¦puj¡ce stwierdzenia:
(a)
Moc zbioru liczb parzystych i moc zbioru liczb wymiernych jest jednakowa;
(b)
Moc zbioru
(c)
A = {n ∈ N :
{o, 4, ∨, ∇, ∗, o, 4, ∧, ∇, ∗} ;
n < 10}
jest taka sama, jak moc zbioru
Moc zbioru liczb nieparzystych jest taka sama, jak moc zbioru liczb postaci
B =
C = {n3 :
n ∈ N }.
"
10.
Dana jest macierz
(a)
A=
1 1
0 1
#
B,
»e
istnieje taka macierz
"
(b)
macierz
A3 = AAA =
. Czy prawd¡ jest, »e:
C = AB
3 3
0 3
jest macierz¡ o 3 wierszach i 2 kolumnach?;
#
;
"
(c)
11.
istnieje taka liczba
a∈R
i macierz
B=
1 1
a 1
#
, »e
"
AB =
3 2
2 1
#
.
Dla danego równania kwadratowego czy prawd¡ jest, »e:
(a)
x2 + 1 = 0 ma dwa pierwiastki urojone x1 = i oraz x2 = −i;
(b) Równanie x2 + 2xi − 1 = 0 ma jeden pierwiastek podwójny, który ma niezerow¡
Równanie
rzeczywist¡;
(c)
Liczby
+i
oraz
−2i
s¡ pierwiastkami równania
2
x2 − ix − 2 = 0.
cz¦±¢
12.
Na pªaszczy¹nie
R2
mierzymy odlegªo±¢ mi¦dzy punktami
x = (1, 2), y = (2, 1)
ró»nych metryk. Czy odlegªo±¢ miedzy nimi w danej metryce jest równa:
(a) %sup (x, y) = 2,
%sup to metryka supremum ;
(b) %m (x, y) = 2, gdzie %m to metryka miejska;
√
(c) %kol (x, y) = 2 5, gdzie %kol to metryka kolejowa.
13.
gdzie
Dany jest wykres funkcji
f (x)
Czy jest to wykres:
(a)
f (x) = 3 sin(3x);
(b)
f (x) = 2 cos
x
3
−
π
;
2
(c)
f (x) = ln(x2 ).
3
za pomoc¡
14.
Na rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji
f (x)
w dziedzinie
[−4, 4].
Z wykresu mo-
»emy wywnioskowa¢, »e
(a)
funkcja
f
jest bijekcj¡ z odcinka
[2, 3] w
[10, 36];
(b)
f jest surjekcj¡ z (0, 3) na
(−20, 36);
(c) funkcja f jest injekcj¡ z (1, 3] w [0, 36].
15.
funkcja
W przypadku relacji zdeniowanych za pomoc¡ poni»szych grafów okre±li¢, czy maj¡ one
dan¡ wªasno±¢:
(a)
(b)
(c)
O±wiadczam, »e powy»szy test rozwi¡zaªam/rozwi¡zaªem w peªni samodzielnie, w szczególno±ci nie ±ci¡gaªam/±ci¡gaªem od kole»anek, kolegów i nie korzystaªam/korzystaªem
ze ±ci¡g.
...........................
(podpis)
4
Odpowiedzi
Grupa A
1.
(a) TAK;
(b) TAK;
(c) NIE;
2.
(a) NIE;
(b) NIE;
(c) TAK;
3.
(a) TAK;
(b) TAK;
(c) NIE;
4.
(a) TAK;
(b) TAK;
(c) TAK;
5.
(a) TAK;
(b) NIE;
(c) TAK;
6.
(a) TAK;
(b) NIE;
(c) TAK;
7.
(a) NIE;
(b) TAK;
(c) TAK;
8.
(a) TAK;
(b) TAK;
(c) TAK;
9.
(a) TAK;
(b) NIE;
(c) TAK;
10.
(a) NIE;
(b) NIE;
(c) TAK;
11.
(a) TAK;
(b) NIE;
(c) NIE;
12.
(a) Nie;
(b) TAK;
(c) TAK;
13.
(a) NIE;
(b) TAK;
(c) TAK;
14.
(a) TAK;
(b) NIE;
(c) NIE;
15.
(a) TAK;
(b) NIE;
(c) NIE;
5