m - Wrocław

Nr 48
Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych
Politechniki Wrocławskiej
Studia i Materiały
Nr 20
Nr 48
2000
obwód magnetyczny, moc czynna,
moc bierna, rezystancja zastępcza,
indukcyjność zastępcza
Jerzy BAJOREK*, Józef KOLASA*,
Grzegorz KOSOBUDZKI*, Józef NOWAK*
POMIAR WIELKOŚCI ELEKTROMAGNETYCZNYCH
W OBWODZIE MAGNETYCZNYM
Uwzględniając współczesne możliwości synchronicznego próbkowania napięcia elektrycznego
i magnetycznego, prądu oraz strumienia magnetycznego, przedyskutowano podstawowe zależności
elektrotechniczne pod kątem wyznaczania mocy czynnej, mocy biernej, rezystancji zastępczej i
indukcyjności zastępczej obiektu nieliniowego, jakim jest obwód magnetyczny z magnetowodem
ferromagnetycznym.
1. WSTĘP
Wielkości elektromagnetyczne i parametry charakteryzujące właściwości elektryczne
obiektów zostały zdefiniowane w początkowym okresie rozwoju elektrotechniki za pomocą
wartości skutecznych napięcia i prądu oraz mocy czynnej, biernej i pozornej. Definicje
parametrów odnoszą się w zasadzie do sinusoidalnych przebiegów napięcia i prądu.
Dokładne wyznaczenie wielkości i parametrów zgodnie z definicją jest możliwe, ale w
warunkach laboratoryjnych. W rzeczywistych warunkach funkcjonowania obiektu przebiegi
napięcia i prądu nie są sinusoidalne, ciągle zmienia się ich kształt i wartość. Ponadto
charakterystyki obiektów są nieliniowe, a ich parametry nie są stałe. Właściwości
elektryczne i magnetyczne obiektów można jednak badać w warunkach rzeczywistych, ale
nie za pomocą uśrednionych parametrów sygnałów pomiarowych, lecz stosując
synchroniczne próbkowanie wielkości zależnych od prądu i napięcia.
Przedstawiono podstawowe wzory, według których na podstawie próbek można
wyznaczyć wielkości elektromagnetyczne i parametry obiektu nieliniowego dla dowolnych
niekoniecznie okresowych przebiegów napięcia i prądu.
_____________
* Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Politechniki Wrocławskiej, ul.
Smoluchowskiego 19, 50-372 Wrocław.
215
2. POMIAR LOKALNY
Cała moc elektromagnetyczna przetwarzana na pracę i ciepło oraz gromadzona w postaci pola elektrycznego i magnetycznego w przestrzeni o ograniczonej objętości jest równa
strumieniowi wektora Poytinga
r
r r
(1)
W = [E × H ]
przenikającego powierzchnię zamkniętą ograniczającą tę przestrzeń
r r
p = ∫ W ds
(2)
Z tego twierdzenia wynika możliwość pomiaru mocy elektromagnetycznej w określonym
fragmencie obwodu magnetycznego (rys. 1). Aby otrzymać prawidłowy wynik pomiaru, na
powierzchni badanego fragmentu trzeba zapewnić jednorodny rozkład składowej stycznej
natężenia pola magnetycznego. Składowa styczna natężenia pola elektrycznego Er jest na
powierzchni zewnętrznej obwodu prostopadła do składowej stycznej natężenia pola
magnetycznego H. Z warunku jednorodności składowej stycznej natężenia pola
magnetycznego wynika, że strumień mocy na powierzchniach przekroju poprzecznego
obwodu będzie równy zeru. Moc chwilową we fragmencie obwodu magnetycznego można
więc przedstawić za pomocą wzoru
p = l H ∫ E r dr = u µ el = −u µ
dΦ
dt
(3)
uµ
H
Er
dr
e
Rys. 1. Fragment obwodu magnetycznego
Fig. 1. A part of magnetic circuit
W równaniu (3) uµ oznacza napięcie magnetyczne, e1 siłę elektromotoryczną, a Φ jest
strumieniem magnetycznym w przekroju poprzecznym fragmentu obwodu.
Średnia wartość mocy chwilowej (3) w okresie jest mocą przetworzoną na ciepło
P=
Występująca w równaniu (4) całka
1T
1
u µ e dt = ∫ u µ dΦ
∫
T0
T
(4)
216
σ = ∫ u µ dΦ
(5)
określa powierzchnię pętli histerezy (rys. 2). Okresowość przebiegu nie jest tu istotna.
Podstawowe znaczenie ma zamkniętość pętli. Moc przetworzona może być bowiem
określona tylko wtedy, gdy pętla histerezy zostanie zamknięta.
50
6
Φ
e
5
40
4
30
3
20
2
10
1
uµ
0.3
0.2
0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.3
0.2
0.1
uµ
0
0.1
0.2
0.3
1
10
2
20
3
30
4
40
5
50
6
Rys. 2. Pętla histerezy
Fig. 2. Hysteresis loop
Rys. 3. Pętla bierna
Fig. 3. Reactive loop
Zamkniętą pętlę otrzymuje się również we współrzędnych fazowych (uµ, e) (rys. 3). Do
tej pory nie określono miarą jakiej wielkości jest jej powierzchnia. Można wykazać, że
powierzchnia tej pętli jest proporcjonalna do mocy pola elektromagnetycznego gromadzonej
wewnątrz obwodu (mocy biernej).
Ekstremalne wartości uµm ,Φm rodziny pętel histerezy wyznaczają charakterystykę
magnesowania
( )
Φ m = f u µm
(6)
i określają indukcyjność fragmentu obwodu magnetycznego
L=
Φm
u µm
(7)
( )
(8)
Charakterystyka indukcyjności
L = f u µm
pozwala wyznaczyć moc bierną pola elektromagnetycznego w inny sposób, ze wzoru
217
u
1 µm (max)
Q=
L u µm du µm
(9)
T ∫0
Nie jest zbadane, czy tak określona moc bierna będzie proporcjonalna, lub w jakich
warunkach będzie proporcjonalna do powierzchni pętli we współrzędnych (uµ , e). Nie jest
również zbadane zagadnienie odwrotne.
Ekstremalne wartości rodziny pętel we współrzędnych (uµ , e) na ogół nie pokrywają
się. Otrzymuje się wobec tego dwie charakterystyki
( )
(10)
( )
(11)
em = f u ′µ
oraz
e′ = f u µm
które określają dwie rezystancje zastępcze: jedną dla obwodu równoległego
Rr =
em
u ′µ
(12)
Rs =
e′
u µm
(13)
a drugą dla obwodu szeregowego
Dyspersja rezystancji jest więc ewidentna, natomiast dyspersji indukcyjności zwykle się nie
obserwuje, gdyż indukcyjność obwodu magnetycznego jest parametrem dominującym i jej
wartość jest praktycznie taka sama dla równoległego i szeregowego obwodu zastępczego.
Z zależności (4), (12) i (13) wynikają cztery sposoby wyznaczania mocy czynnej:
• obliczenie iloczynu skalarnego funkcji uµ(t) i e(t),
• obliczenie powierzchni pętli histerezy,
• obliczenie całki
em (max)
P=
1
e m dem
Rr
(14)
∫ Rs u µm du µm
(15)
∫
0
• obliczenie całki
u µm (max)
P=
0
Dwa pierwsze sposoby są równoważne w ogóle (teoretycznie). Równoważność dwóch
następnych jest określona równoważnością zastępczych obwodów elektrycznych
(szeregowego i równoległego), w przypadku gdy Rr i Rs nie są stałe, lecz zależą od e i uµ.
Równoważność sposobów określania mocy za pomocą chwilowych wartości uµ(t), e(t) lub
218
uµ(t) i Φ(t) oraz sposobów wymagających uprzedniego określenia rezystancji zastępczych
(parametrów zastępczych) może wystąpić w przypadku, gdy parametry nie zależą od czasu lub
częstotliwości.
Z przedstawionych zależności wynika, że wszystkie wielkości elektrodynamiczne
w jednorodnie magnesowanym fragmencie obwodu magnetycznego mogą być określone,
gdy znane będą wartości chwilowe (próbki) składowej stycznej natężenia pola na
powierzchni tego fragmentu i odpowiednie wartości chwilowe (próbki) strumienia
magnetycznego w jego przekroju poprzecznym. Uniwersalną metodą przetworzenia obydwu
wielkości na sygnał napięciowy jest metoda indukcyjna. Najbliżej powierzchni granicznej
można przetworzyć składową styczną natężenia pola magnetycznego za pomocą cewki
Rogowskiego [1, 2]. Do przetworzenia składowej stycznej nadaje się również cewka płaska,
w przypadku gdy powierzchnia obwodu jest płaska i występuje małe pole
odmagnesowujące. Sygnał napięciowy, zarówno na wyjściu indukcyjnego czujnika
natężenia pola, jak i na wyjściu czujnika strumienia w przekroju poprzecznym (zwoju) jest
proporcjonalny do pochodnej tych wielkości. Informację o wartości chwilowej
przetwarzanej wielkości można pobrać z takiego sygnału bezpośrednio i w dokładnie
określonej chwili metodą próbkowania całkowego [3].
3. POMIAR W CAŁYM OBWODZIE
Różnica między pomiarem wielkości elektromagnetycznych w całym obwodzie
magnetycznym lub jego fragmencie jest niewielka. Aby wyznaczyć wielkości
charakteryzujące cały obwód, trzeba pobrać sygnał pomiarowy zależny bezpośrednio nie od
składowej stycznej natężenia pola na powierzchni jego fragmentu, lecz od prądu
pobieranego ze źródła zasilającego (prądu magnesującego). Struktura układu pomiarowego
nie ulegnie w ogóle zmianie, jeśli sygnał zależny od prądu zostanie pobrany za pomocą
czujnika indukcyjnego [4]. Wartości parametrów charakteryzujących właściwości
magnetyczne magnetowodu otrzyma się również takie same jak przy pomiarze lokalnym,
jeśli cały obwód magnetyczny będzie jednorodny i jednorodnie magnesowany. Jeśli
wreszcie cały obwód magnetyczny potraktować jako obiekt bez struktury wewnętrznej, to
charakteryzujące go wielkości elektromagnetyczne będą określone przez napięcie u i prąd i
źródłaMoc
zasilaj
przetworzona
ącego.
na ciepło jest iloczynem skalarnym prądu i napięcia jako funkcji
czasu
1T
P = ∫ u i dt
T0
(16)
Wzór (16) można również formalnie przedstawić za pomocą powierzchni pętli histerezy we
współrzędnych (i, Φ)
P=
1
i dΦ
T∫
(17)
219
Czas T nie musi być okresem. Ogólnie T można traktować jako czas cyklu, w którym
napięcie jest różne od wartości zerowej. Symbol Φ we wzorze (17) oznacza strumień
zastępczy zdefiniowany za pomocą równania
Φ (t ) = ∫ u (t ) dt
(18)
Moc czynną można formalnie przedstawić w jeszcze innej postaci, za pomocą powierzchni
pętli we współrzędnych (q, u)
1
u dq
T∫
(19)
q (t ) = ∫ i(t ) dt
(20)
P=
gdzie
– ładunek zastępczy. Jeśli co najmniej jedna z wielkości u, i będzie niesinusoidalna, to
kształt pętli we współrzędnych (i,Φ) będzie inny niż we współrzędnych (u, q), ale pole pętli
będzie jednakowe.
Pętla we współrzędnych (i, u) jest pętlą bierną. Jej powierzchnia powinna być
proporcjonalna do mocy biernej, a współczynnik proporcjonalności można znaleźć,
normując powierzchnię dla przebiegów sinusoidalnych. Dla u = Um sinωt oraz i = Im sin(ωt
– φ) powierzchnia pętli we współrzędnych (i, u) wynosi
T
 di 
 dt = π U m I m sin ϕ
 dt 
σ = ∫u 
0
(21)
a moc bierną dla przebiegów sinusoidalnych określa wzór
1
Q = U m I m sin ϕ
2
(22)
Ze wzorów (21) i (22) wynika, że współczynnik proporcjonalności jest równy 2π.
Parametry: indukcyjność i rezystancję obwodów zastępczych całego obwodu
magnetycznego można obliczyć podobnie jak dla jego fragmentu, czyli na podstawie
szczególnych, synchronicznie pobranych próbek odpowiadających szczytowym wartościom
prądu, napięcia i strumienia magnetycznego.
4. PODSUMOWANIE
Niezależnie od kształtu przebiegu prądu i napięcia, na podstawie synchronicznie
zebranych próbek tych wielkości można wyznaczyć moc przetworzoną na ciepło w całym
obwodzie magnetycznym (moc czynną) przez obliczenie iloczynu skalarnego oraz moc
220
bierną przez obliczenie powierzchni pętli we współrzędnych (i, u). Na podstawie pary
szczególnych próbek odpowiadających wartości szczytowej prądu lub napięcia można
obliczyć rezystancję zastępczą obwodu magnetycznego.
W przypadku badania fragmentu obwodu magnetycznego trzeba pobrać próbki
składowej stycznej natężenia pola magnetycznego na jego powierzchni lub próbki spadku
napięcia magnetycznego uµ zamiast próbek prądu oraz próbki strumienia magnetycznego Φ
w przekroju poprzecznym obwodu magnetycznego zamiast próbek napięcia. Pętla we
współrzędnych (uµ, Φ) jest pętlą czynną (histerezy), jej powierzchnia jest proporcjonalna do
mocy przetwarzanej na ciepło we fragmencie obwodu magnetycznego (mocy czynnej).
Dla całego obwodu magnetycznego można przyjąć zastępczy strumień magnetyczny
otrzymany przez wykonanie operacji analogowego całkowania napięcia w czasie.
Szczególna para próbek prądu i strumienia odpowiadająca wartości szczytowej strumienia
określa indukcyjność zastępczą obwodu magnetycznego.
Na podstawie rezystancji zastępczej i indukcyjności zastępczej możliwe jest również
obliczenie mocy czynnej i mocy biernej. Ten sposób może mieć duże praktyczne znaczenie
w przypadku, gdy parametry: rezystancja zastępcza i indukcyjność zastępcza nie zależą od
częstotliwości w określonym pasmie.
LITERATURA
[1] NOWAK J., Bezpośredni pomiar natężenia pola magnetycznego w jednorodnie magnesowanych
obszarach arkuszy blach, II Krajowe Seminarium Pomiarów Magnetycznych, Materiały Konferencyjne,
Zeszyty Naukowe Politechniki Świętokrzyskiej, Elektryka 19, Kielce, 1988, s. 155–162.
[2] SALZ W., HEMPEL K. A., Which field sensors are suitable for a rotating flux apparatus? Twodimensional magnetic measurement and its properties, Konferencja w Japonii, 1992, s. 117–126.
[3] BAJOREK J., NOWAK J., Próbkowanie całkowe prądów przemiennych, Konferencja Elektrotechnika
Prądów Niesinusoidalnych EPN’97, Materiały Konferencyjne, Zielona Góra, 1997, s. 7–14.
[4] KOLASA J., NOWAK J., Właściwości indukcyjnych przetworników prądu elektrycznego, Konferencja
Elektrotechnika Prądów Niesinusoidalnych EPN’95, Materiały Konferencyjne, Zielona Góra, 1995,
s. 92–97.
THE MEASUREMENT OF ELEKTROMAGNETIC QUANTITIES
IN MAGNETIC CIRCUIT
The basic electrical engineering equations from an angle of possibilities for active power, reactive
power, vicarious resistance and vicarious inductance of an unlinear object what is magnetic circuit with
ferromagnetic core before contemporary possibilities synchrous sampling of electrical and magnetic tension,
current and magnetic flux independently of their run’s shape are presented in the paper.