Analiza matematyczna F2 Kolokwium II

Analiza matematyczna F2
Kolokwium II - zadania przykładowe
1. Stosując twierdzenia o różniczkowaniu i/lub całkowaniu szeregów potęgowych oblicz sumy szeregów:
(a)
∞
X
n · 2n
;
n
n=1 3
(b)
∞
X
2n + 1
;
4n
n=0
(c)
∞
X
1
;
n
n=0 (n + 1)2
(d)
∞
X
(−1)n
;
n
n=1 n · 2
2. Korzystając z rozwinięcia w szereg potęgowy znanej funkcji elementarnej, rozwiń w szereg Maclaurina
funkcję:
(a) f (x) =
1
;
1 − 3x
(b) f (x) =
1
;
2 + 3x
(c) f (x) =
1
;
(x + 2)(x − 1)
(d) f (x) =
1
.
x2 + 2x − 3
Określ promień zbieżności otrzymanych szeregów.
(Wzory, twierdzenia: pod linkiem zadania dodatkowe na II kolokwium (dla moich grup))
3. Korzystając z reguł różniczkowania oblicz pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji
x2
(a) f (x, y) = ;
y
(d) f (x, y) =
!
x y
(b) f (x, y) = ln
+
;
y x
ex
;
ln(x + y)
(e) f (x, y) = arcsin
y
(c) f (x, y) = esin x ;
xy
;
x+y
(f ) f (x) = xcos y .
4. Oblicz pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji
(a) f (x, y) =
x y
− ;
y x
(b) f (x, y) = xy +
x2
;
y3
(c) f (x, y) = x · exy ;
x
(e) f (x, y) = arcsin ;
y
(d) f (x, y) = sin(xy);
x
(f ) f (x, y) = e y .
5. Sprawdź, czy podana funkcja spełnia wskazane równanie
(a) f (x, y) = ln x2 + xy + y 2 ;
(b) f (x, y) =
√
y
x · sin ;
x
x
x
∂f
∂f
+y
= 2;
∂x
∂y
∂f
∂f
f
+y
= .
∂x
∂y
2
6. Sprawdź, że równanie
x2
2
∂ 2f
∂ 2f
2∂ f
+
2xy
+
y
= 0,
∂x2
∂x∂y
∂y 2
(x, y > 0)
spełniają podane niżej funkcje
s
y
x
y
√
(a) f (x, y) = arctan ; (b) f (x, y) = x+
; (c) f (x, y) = x+ln 1 +
; (d) f (x, y) = x+ xy.
x
y
x
7. Oblicz pochodną kierunkową funkcji
"
∂f
x
1
1
(a)
(1, 3); f (x, y) = √ 2
, ~v = √ , − √
∂~v
x +y
2
2
q
∂f
3 4
(b)
(1, −1); f (x, y) = 2(x3 − y 3 ), ~v = ,
∂~v
5 5
#
" √ #
√
y
∂f
1 3
2
(c)
(−1, 1); f (x, y) =
+ x sin(x − y), ~v = ,
∂~v
x
2 2
1
12 5
∂f
(0, 1); f (x, y) = −x + ln(x2 + y), ~v =
,
∂~v
y
13 13
(d)
8. Napisz równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji we wskazanym punkcie
(a) f (x, y) =
√
1
sin
x − y , (1, 1, f (1, 1))
x
1
2
√ + √ cos x2 − y , (−1, 1, f (−1, 1))
x
y
√
(c) f (x, y) = arctan 2x + 3y, (0, 1, f (0, 1))
(b) f (x, y) =
(d) f (x, y) = ln
q
4
x2 + y 4 , (1, 0, f (1, 0))
9. Wyznacz wszystkie punkty stacjonarne podanej funkcji i zbadaj, w którym z nich istnieje ekstremum
lokalne. Określ jego rodzaj.
2
(a) f (x, y) = y 3 + 3xy 2 − 12x2 − 15x; (b) f (x, y) = 3xy − x3 − y 3 ; (c) f (x, y) = x3 − 3x e−y ;
2
(d) f (x, y) = ln(x4 · y 2 ) − 4y 2 + 2x; (e) f (x, y) = x2 − y 2 e−2y ; (f ) f (x, y) = x2 − y 2 e−x .
10. (grupy LB) Znaleźć wartości największe i najmniejsze dla funkcji z poprzedniego zadania na zbiorze:
n
o
D = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0
11. W podanych całkach iterowanych zamienić kolejność całkowania
Z1
(a)
Z0
dx
−1
−
√
f (x, y)dy; (b)
Z4
dx
√
0
1−x2
√
2Z x
f (x, y)dy;
4x−x2
√
Z2
(c)
y+2
Z
dy
−2
√
−
f (x, y)dx; (d)
1+
Z1
dy
0
4−y 2
Z 1−y
√
1−
2
f (x, y)dx;
1−y 2
12. Obliczyć podane całki iterowane i narysować obszar całkowania:
(a)
Z1
dx
(c)
−2
x2 y dy; (b)
√
−1
Z2
Z0
dx
√
− 4−x2
xy dy; (d)
Z1
0
dx
√
0
− 1−x2
x+2
Z
Z4
dx
√
2Z x
y 3 dy;
4x−x2
√
1+ Z 1−x2
(y − 1)x dy;
√
1− 1−x2
Zadania 11 i 12 - w zależności od tego, co już było na ćwiczeniach.