f t f

Koncepcja częstotliwości zespolonej. Uogólnienie analizy
w stanie ustalonym dla funkcji w postaci wykładniczej
Częstotliwość zespolona i własności
funkcji wykładniczej
f ( t ) = F me st
gdzie:
F m = Fme jα — amplituda zespolona dla t = 0
s = σ + jω — częstotliwość zespolona
Częstotliwość zespolona liczbą rzeczywistą: s = σ dla ω = 0
• s=σ=0
f ( t ) = F m = Fm e jα = Fm′ albo f ( t ) = Fm dla α = 0
f(t)
jω
s
σ
t
• s=σ<0
f ( t ) = F me − σt = Fme jα e − σt = Fm′ e − σt
albo
f ( t ) = F me − σt = Fme − σt dla α = 0
f(t)
jω
s
σ
t
• s=σ>0
f ( t ) = F meσt = Fme jα eσt = Fm′ eσt
albo
f ( t ) = F meσt = Fmeσt dla α = 0
f(t)
jω
s
σ
t
Częstotliwość zespolona liczbą urojoną: s = jω dla σ = 0
• s = jω = 0
f ( t ) = F m = Fme jα = Fm′
albo
f ( t ) = Fm
f(t)
jω
s
σ
t
• s = jω
f (t ) = F m e jωt = Fm e jα e jωt = Fm [cos(ωt + α ) + j sin (ωt + α )]
albo
f ( t ) = F me jωt = Fme jα e jωt = Fm cos ωt + j sin ωt
dla α = 0
f(t)
jω
s
σ
t
• s = jω i σ < 0
f (t ) = F m e st = Fm e jα e(−σ + jω )t = Fm e −σt e j (ωt +α )
= Fm e −σt [cos(ωt + α ) + j sin (ωt + α )]
albo
f (t ) = Fm e(−σ + jω )t = Fm e −σt [cos ωt + j sin ωt ] dla α = 0
f(t)
jω
s
σ
t
• s = jω i σ > 0
f (t ) = Fm eσt [cos(ωt + α ) + j sin (ωt + α )]
albo
f ( t ) = Fmeσt cos ωt + j sin ωt
dla α = 0
f(t)
jω
s
σ
t
[
]
1
f (t ) + f * (t )
2
1
= Fm [cos(ωt + α ) + j sin (ωt + α )
2
+ cos(ωt + α ) − j sin (ωt + α )]
Re[ f (t )] =
= Fm cos(ωt + α )
Im[ f (t )] =
[
]
1
f (t ) − f * (t ) = jFm sin (ωt + α )
2
f (t ) = Fm sin (ωt + α )
1
d st
e = se st oraz e st dt = e st
dt
s
∫
Elementy obwodu w dziedzinie
częstotliwości uogólnionej
u ( t ) = U ( s ) e st i i ( t ) = I ( s ) e st
U ( s) = RI ( s); U ( s) = sLI ( s); U ( s) = 1 I ( s)
sC
I ( s) = GU ( s); I ( s) = 1 U ( s); I ( s) = sCU ( s)
sL
X L ( s) = sL; BL ( s) = 1 ; X C ( s) = 1 ; BC ( s) = sC
sL
sC
Z ( s) =
U ( s)
I ( s)
; Y ( s) =
I ( s)
U ( s)
Metoda operatorowa. Transformacja
(przekształcenie) Laplace’a
∞
F (s) =
∫ f (t )e
− st
dt ; t > 0
0
∞
∫
F ( s ) = 1(t )e
0
− st
1 − st ∞
1
1
= − (0 − 1) =
dt = − e
0
s
s
s
_________________________________________________________________________________
(
)
f (t ) =U Ue − at U 1 − e − at U sin ωt e − atU sin ωt
F ( s) =
U
s
U
Ua
Uω
Uω
s + a s(s + a ) s 2 + ω 2 (s + a )2 + ω 2
_________________________________________________________________________________
1
f (t ) =
2πj
σ + j∞
∫ F (s)e
σ − j∞
st
ds
Prawo Ohma w postaci operatorowej
u (t ) = Ri + L
di 1
+
idt
dt C
∫
u ( 0)
U ( s ) = RI ( s ) + sLI ( s ) − Li ( 0) + 1 I ( s ) + C
sC
s
I ( s) =
uC ( 0)
s
R + sL + 1
sC
U ( s ) + Li ( 0) −
Z ( s) = R + sL + 1
sC
I ( s) =
U ( s)
U ( s)
⇒ Z ( s) =
Z ( s)
I ( s)
Gałąź szeregowa R i C
u (t ) = Ri +
1
idt
C
∫
U
U ( s)
s
I ( s) =
=
R+ 1
R+ 1
sC
sC
U C (s) =
I ( s)
=
sC
U
s
1 ⎞
⎛
sC ⎜ R +
⎟
sC ⎠
⎝
=
t
⎛
−
⎜
uC (t ) = U 1 − e τ
⎜
⎝
U
1 ⎞
⎛
s⎜ s +
⎟ RC
RC ⎠
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
gdzie:
τ = T = RC — stała czasowa obwodu RC
Gałąź szeregowa R i L
U
LU
U
U
s =
U L ( s ) = sLI ( s ) =
=
=
R
1
R⎞
R + sL
⎛
s+
L⎜ s + ⎟ s +
L
τ
L⎠
⎝
sL
gdzie:
Z(s) = R + sL — impedancja operatorowa
τ = T = L/R — stała czasowa obwodu RL
−t
u L ( t ) = Ue τ
Gałąź szeregowa R, L i C
u (t ) = Ri + L
di 1
+
idt
dt C
∫
U ( s)
I ( s) =
R + sL + 1
sC
U
s
1
1
I ( s) =
=
1
sC
sC R + sL +
sC
U
U
=
=
R
1 ⎞ sLC
⎛
sLC ⎜ s 2 + s +
⎟
L LC ⎠
⎝
U C ( s) =
U
s s 2 LC + sRC + 1
(
)
1
2
R ⎞
1 ⎛ R ⎞
⎛
−⎜ ⎟
⎜s +
⎟ +
LC ⎝ 2 L ⎠
2L ⎠
⎝
(1 ω )e− at sin ωt
gdzie:
a = R 2 Loraz ω 2 = 1 LC − (R 2 L )2
U C ( s) =
U
1
sLC (s + a )2 + ω 2
2
t
uC (t ) =
U
U e
e − at sin ωtdt =
ωLC
ωLC
∫
− at
(a sin ωt − ω cosωt )
a2 + ω 2
0
− at
(a sin ωt − ω cosωt )
e
U
0
=
1
ωLC
LC
U
= e − at (a sin ωt − ω cos ωt ) + ω
0
t
ω
[
]
τ = 2 L R = 1/ a
u(t)
uC(t)
U
0
t
Transmitancja operatorowa
X(s)
G(s)
Y(s)
G(s) =
Y (s)
X ( s)
t