CIĄGI LICZBOWE - test z rozwiązaniami

Zadanie 1.
Ciąg an jest określony wzorem 𝑎𝑛 = (−2)3𝑛 ⋅ (𝑛2 − 4) dla 𝑛 ≥ 1. Wówczas
A. 𝑎2 = 64
B. 𝑎2 = 0
C. 𝑎2 = −64
D. 𝑎2 = 128
Zadanie 2.
Ile wyrazów ujemnych ma ciąg (𝑎𝑛 ) określony wzorem 𝑎𝑛 = 2𝑛2 − 9 dla 𝑛 ≥ 1?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Zadanie 3.
Ciąg (𝑎𝑛 ) określony jest wzorem 𝑎𝑛 = −2 +
dla
A. 𝑛 = 2
B. 𝑛 = 3
12
𝑛
C. 𝑛 = 4
dla 𝑛 ≥ 1. Równość 𝑎𝑛 = 4 zachodzi
D. 𝑛 = 5
Zadanie 4.
Ciąg arytmetyczny (𝑎𝑛 ) jest określony wzorem 𝑎𝑛 = −2𝑛 + 1 dla 𝑛 ≥ 1. Różnica tego
ciągu jest równa
A. −1
B. 1
C. −2
D. 3
Zadanie 5.
W ciągu arytmetycznym piąty wyraz jest równy 8, zaś siódmy wyraz tego ciągu jest
równy 14. Dziesiąty wyraz tego ciągu jest równy:
A. 21
B. 23
C. 24
D. 3
Zadanie 7.
Dany jest ciąg arytmetyczny (𝑎𝑛 ) w którym różnica 𝑟 = −2 oraz 𝑎20 = 17. Wówczas
pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
A. 45
B. 50
C. 55
D. 60
Zadanie 8.
Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛 ) jest równa 35.
Pierwszy wyraz a1 tego ciągu jest równy 3. Wtedy
A. 𝑎10 = 72
B. 𝑎10 = 4
C. 𝑎10 = 325
D. 𝑎10 = 32
Zadanie 9.
Miary kątów trójkąta są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.
Najmniejszy kąt tego trójkąta ma miarę 40∘ . Różnica ciągu arytmetycznego wynosi:
A. 10∘
B. 20∘
C. 30∘
D. 40∘
Zadanie 10.
Liczby 𝑥, 4, 𝑥 + 2 są w podanej kolejności drugim, trzecim i czwartym wyrazem ciągu
arytmetycznego. Wówczas liczba x jest równa
A. 2
B. 3
C. 6
D. 1
Zadanie 11.
Trzydziesty wyraz ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛 ) jest równy 4, a trzydziesty piąty wyraz
tego ciągu jest równy 7. Wówczas różnica ciągu (𝑎𝑛 ) jest równa
A. 5
B. 3
C. 53
D. 35
Zadanie 12.
W ciągu geometrycznym (𝑎𝑛 ) mamy 𝑎3 = 5 i 𝑎4 = 15. Wtedy wyraz 𝑎5 jest równy.
A. 10
B. 20
C. 75
D. 45
Zadanie 13.
Ciąg geometryczny (𝑎𝑛 ) określony jest wzorem 𝑎𝑛 =
A. 3
B. 34
3𝑛
4
. Iloraz tego ciągu jest równy:
C. 13
D. 14
Zadanie 14.
Liczby 2; 2𝑥 − 1; 0,5 (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem
monotonicznego ciągu geometrycznego dla
A. 𝑥 = 0
B. 𝑥 = 0 𝑙𝑢𝑏 𝑥 = 1
C. 𝑥 = 1
D. 𝑥 = −1
Zadanie 15.
Ciąg (2√2, 4, 𝑎) jest geometryczny. Wówczas
A. 𝑎 = 8√2
B. 𝑎 = 4√2
C. 𝑎 = 8 − 2√2
D. 𝑎 = 8 + 2√2
Zadanie 16.
W ciągu geometrycznym (𝑎𝑛 ) są dane:𝑎2 = −1, 𝑞 = −2. Suma czterech kolejnych
początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
A. 2,5
B. −7,5
C. −2,5
`
D. 7,5
Zadanie 17
Dany jest ciąg (𝑎𝑛 ) określony wzorem 𝑎𝑛
wyrażenia 𝑎20 − 𝑎10 .
= (−1) ∙
𝑛
2−𝑛
𝑛2
dla 𝑛 ≥ 1. Oblicz wartość
Zadanie 18.
Suma 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 początkowych n wyrazów pewnego ciągu
arytmetycznego (𝑎𝑛 ) jest określona wzorem 𝑆𝑛 = 𝑛2 − 2𝑛. Wyznacz wzór na n-ty
wyraz tego ciągu.
Zadanie 19.
Ile wyrazów ujemnych ma ciąg (𝑎𝑛 ) określony wzorem𝑎𝑛 = 𝑛2 − 2𝑛 − 24 dla 𝑛 ≥ 1?
Zadanie 20.
Znajdź sumę pięćdziesięciu kolejnych liczb będących wielokrotnościami 12
(zaczynając od 24).
Zadanie 21.
Między liczby 4 i 22 wstaw pięć liczb tak, aby wraz z danymi liczbami tworzyły ciąg
arytmetyczny.
Zadanie 22.
Ile liczb trzeba wstawić między liczby 16 𝑖 250, aby otrzymać ciąg arytmetyczny,
którego suma wynosi 1995?
Zadanie 23.
Suma czwartego i siódmego wyrazu ciągu arytmetycznego wynosi 86, a suma drugiego
i trzynastego wyrazu tego ciągu jest równa 22. Znajdź pierwszy wyraz i różnicę tego
ciągu.
Zadanie 24.
Pewien pan spłacił dług w wysokości 5100 zł w dwunastu ratach, z których każda była
mniejsza od poprzedniej o 50 zł. Ile wynosiła pierwsza, a ile ostatnia rata?
Zadanie 25.
Ciąg (9, 𝑥, 19) jest arytmetyczny, a ciąg (𝑥, 42, 𝑦, 𝑧) jest geometryczny. Oblicz 𝑥, 𝑦
oraz 𝑧.
Zadanie 26.
Liczby 𝑥, 𝑦, 19 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym 𝑥 + 𝑦 = 8.
Oblicz x i y.
Zadanie 27.
1 √5+2
2
4
Wykaż, że liczby√5 − 2, ,
tworzą ciąg geometryczny.
Zadanie 28.
Między liczby 12 i 2916 wstaw cztery liczby tak, by wraz z podanymi liczbami
tworzyły ciąg geometryczny.
Zadanie 29.
Jaką jednakową liczbę należy dodać do każdej z liczb 1, 10, 46, aby otrzymane sumy
utworzyły ciąg geometryczny?
Zadanie 30.
2
Piłka odbijając się od ziemi osiągała za każdym razem wysokość wynoszącą
3
poprzedniej. Jak wysoko wzniosła się piłka po pierwszym uderzeniu, jeżeli po szóstym
odbiła się na wysokość 32 cm?
Zadanie 31.
Pan Jan złożył do banku 2500 zł na cztery lata na procent składany. Jaką kwotę będzie
miał na koncie po tym okresie, jeżeli oprocentowanie w banku wynosi 10% w skali
roku, a odsetki kapitalizuje się:
a) po roku
b) po 6 miesiącach
c) po 3 miesiącach
Przy rozwiązaniu należy uwzględnić 20% podatek od odsetek.
Zadanie 32.
Ciąg (2𝑥– 1, 𝑦, 6𝑥 + 3) jest arytmetyczny, a ciąg (3, 𝑦, 27) jest geometryczny rosnący.
Oblicz 𝑥 𝑖 𝑦.
Zadanie 33.
Ciąg liczbowy (𝑎, 𝑏, 𝑐) jest arytmetyczny i 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 33, natomiast ciąg (𝑎 − 1, 𝑏 +
5, 𝑐 + 19) jest geometryczny. Oblicz 𝑎, 𝑏, 𝑐.