Normalizacja funkcji falowej

Postulaty mechaniki kwantowej
Rozwiązanie zadań
Normalizacja funkcji falowej
Zadanie 1. Wyznacz stałą normalizacyjną i podaj postać funkcji unormowanej:
Ψ = N cos(αx) dla x ∈ [0, a]
Opis sposobu rozwiązania zadania krok po kroku:
1. Zaczynamy
od napisania warunku unormowania podanej funkcji falowej
R
( |Ψ(r1 , r2 , ..., t)|2 dτ = 1):
Z a
|N cos(αx)|2 dx = 1
(1)
0
2. Pamiętając definicję kwadratu modułu funkcji falowej (|Ψ|2 = Ψ∗ Ψ):
|N cos(αx)|2 = (N cos(αx))∗ N cos(αx) =
w rozpatrywanym przypadku funckcja cos(αx) jest funkcją rzeczywistą (a stała normalizacyjna N jest z definicji rzeczywista), dlatego możemy zapisać:
= N 2 cos(αx)2
3. Podstawiamy powyższy wynik do równania 4:
Z a
N 2 cos(αx)2 dx = 1
0
4. Wyciągamy stałą normlizacyjną N przed znak całki:
N
2
Z a
cos(αx)2 dx = 1
0
5. Obliczamy N 2 :
N2 = R a
0
1
cos(αx)2 dx
6. Obliczamy N :
N = qR a
0
1
cos(αx)2 dx
Odp. Postać funkcji unormowanej:
√
2α
Ψ= q
cos(αx) dla x ∈ [0, a]
aα + sin (aα) cos (aα)
1
Postulaty mechaniki kwantowej
Rozwiązanie zadań
Zadanie 2. Wyznacz stałą normalizacyjną i podaj postać funkcji unormowanej:1
nπx
dla x ∈ [0, l]
Ψ = N sin
l
Zadanie 3. Wyznacz stałą normalizacyjną (w całej przestrzeni) i podaj postać
funkcji unormowanej:
Zr
Ψ = N exp −
a0
Opis sposobu rozwiązania zadania krok po kroku:
1. Zaczynamy od napisania warunku unormowania podanej funkcji falowej:
Z π
Z 2π
Z ∞
Zr 2
N e− a0 r 2 dr
sinθdθ
dφ
0
0
=1
(2)
0
2. Pamiętając definicję kwadratu modułu funkcji falowej (|Ψ|2 = Ψ∗ Ψ):
Zr 2
N e− a0 = Ne
− Zr
a
∗
Ne
0
− Zr
a
0
=
oraz, że funkcja sprzężona do Ψ różni sie znakiem części urojonej (funkcja w
tym
przypadku
jest rzeczywista):
Ne
− Zr
a
0
∗
= Ne
− Zr
a
0
, a stała normalizacyjna N jest z definicji rzeczywista:
− 2Zr
a
= N 2e
(3)
0
3. Podstawiamy powyższy wynik do równania:
Z ∞
4πN 2 e
− 2Zr
2
a0
r dr = 1
0
Uwaga: Skąd się bierze 4π?2
4. Wyciągamy stałą normlizacyjną N przed znak całki:
N
2
Z ∞
− 2Zr
4π
e a0 r2 dr
=1
0
5. Obliczamy N 2 :
N2 =
1
R
− 2Zr
4π ∞ e a0 r2 dr
0
1
2
Rozwiązanie zobacz w: iCSE Chemteor07 z26 postulaty ROZWIAZANIA
R 2π
Rπ
sinθdθ = 2 natomiast 0 dφ = 2π
0
2
Postulaty mechaniki kwantowej
Rozwiązanie zadań
6. Obliczamy N :
1
N=q
4π
R ∞ − 2Zr
e a0 r2 dr
0
Odp. Postać funkcji unormowanej:
3
Z2
Zr
Ψ= √
exp −
3
( )
a0
πa0 2
3
Postulaty mechaniki kwantowej
Rozwiązanie zadań
Konstrukcja operatorów mechaniki kwantowej
Zadanie. Podaj postać operatorów podanych wielkości fizycznych:
1. Składowej z-towej momentu pędu (Wyrażenie klasyczne: Mz = xpy − ypx )
Odpowiedź:
Przyporządkowujemy (zgodnie z drugim postulatem) w wyrażeniu klasycznym: Mz = xpy − ypx zmiennym odpowiednie operatory:
M̂z = x̂p̂y − ŷ p̂x
x̂ → x
ŷ → y
∂
p̂y → −i~
∂y
∂
p̂x → −i~
∂x
w wyniku takiej zamiany otrzymujemy postać operatora składowej z-towej
momentu pędu:
M̂z = x̂p̂y − ŷ p̂x =
!
!
∂
∂
− y −i~
= x −i~
∂y
∂x
2. Kwadratu całkowitego operatora pędu (Wyrażenie klasyczne: p2 = p2x + p2y + p2z )
Odpowiedź:
Przyporządkowujemy
(zgodnie
z drugim postulatem) w wyrażeniu klasycz
2
2
2
2
nym: p = px + py + pz zmiennym odpowiednie operatory (pamiętając, że
(−i)(−i) = i2 = −1):
∂
∂2
∂
(−i~)
= −~2 2
∂x
∂x
∂ x
∂
∂
∂2
= p̂y p̂y = (−i~)
(−i~)
= −~2 2
∂y
∂y
∂ y
∂
∂
∂2
= p̂z p̂z = (−i~)
(−i~)
= −~2 2
∂z
∂z
∂ z !
2
2
∂
∂
∂2
= p̂2x + p̂2y + p̂2z = −~2
+
+
= −~2 ∇2
∂ 2x ∂ 2y ∂ 2z
p̂2x = p̂x p̂x = (−i~)
p̂2y
p̂2z
p̂2
4
Postulaty mechaniki kwantowej
Rozwiązanie zadań
2
3. Energii potencjalnej (Wyrażenie klasyczne: V = − Zer )
Odpowiedź:
V̂
= −
5
Ze2
r
Postulaty mechaniki kwantowej
Rozwiązanie zadań
Liniowość operatorów
Operator F̂ jest liniowy, jeżeli dla dowolnych funkcji porządnych f i g spełnione
są jednocześnie warunki:
F̂ (f + g) = F̂ f + F̂ g
(4)
F̂ (cf ) = cF̂ f
(5)
gdzie c - dowolna stała (najczęściej zespolona)
Zadanie. Sprawdź, czy następujące operatory są liniowe:
1. operator różniczkowania
Sprawdzamy, czy spełnione są jednocześnie warunki na liniowość operatorów:
warunek (34):
d
d
? d
(f + g) =
f+ g
dx
dx
dx
Warunek ten jest spełniony: Pochodna sumy funkcji równa jest sumie pochodnych.
warunek (35):
d
d
?
cf = c f
dx
dx
Warunek spełniony. c- to stała, można ją wyciągnąć przed znak pochodnej.
Odp.: TAK. Operator różniczkowania jest liniowy.
2. operator całkowania
Sprawdzamy, czy spełnione są jednocześnie warunki na liniowość operatorów:
Z
?
(f + g) dτ =
Z
?
Z
cf dτ = c
f dτ +
Z
Z
gdτ
f dτ
Odp.: TAK. Operator całkowania jest liniowy.
3. operator potęgowania
Sprawdzamy, czy spełnione są jednocześnie warunki na liniowość operatorów:
?
(f + g)2 = f 2 + g 2
NIE jest spełniony ten warunek, ponieważ:
(f + g)2 = f 2 + 2f g + g 2
6
Postulaty mechaniki kwantowej
Rozwiązanie zadań
Drugiego warunku już nie musimy sprawdzać.
Odp.: NIE. Operator potęgowania NIE jest liniowy.
4. operator sprzężenia
Sprawdzamy, czy spełnione są jednocześnie warunki na liniowość operatorów:
?
(f + g)∗ = f ∗ + g ∗ TAK
(cf )∗ = cf ∗
NIE
NIE:, bo stała c jest stałą zespoloną. Gdyby c była stałą rzeczywistą, to
c∗ = c i wtedy warunek byłby spełniony.
Odp.: NIE. Operator sprzężenia NIE jest liniowy.
7
Postulaty mechaniki kwantowej
Rozwiązanie zadań
Hermitowskość operatorów
d
Zadanie. Sprawdź hermitowskość operatora p̂x = −i~ dx
1. Zaczynamy od napisania warunku hermitowskości operatorów:
Z
Z
f ∗ F̂ gdτ =
g(F̂ f )∗ dτ
(6)
2. Podstawiamy w miejsce operatora F̂ , operator p̂x :
Z ∞
−∞
Z ∞
∗
f (x)pˆx g(x)dx =
Z ∞
−∞
∗
g(x) pˆx f (x)
dx
(7)
!∗
!
Z ∞
d
d
f (x) −i~
g(x)dx =
g(x) −i~ f (x)
dx
dx
−∞
−∞
∗
dx
(8)
3. Rozpisujemy lewą stronę równania (wyciągając wszystkie stałe przed znak
całki):
Z ∞
d
f ∗ (x) g(x)dx =
L = −i~
(9)
dx
−∞
R
R
0
0
(całkowanie przez części uv = uv − vu ):
0
d ∗
u = f ∗ (x)
u = dx
f (x)
= 0
d
v = dx g(x) v = g(x)

=
+∞
∗

−i~ f (x)g(x)
+∞
=
−∞

Z ∞
d
−
g(x) f ∗ (x)dx =
dx
−∞
−∞
= i~
Z ∞
g(x)
−∞
d ∗
f (x)dx
dx
4. Rozpisujemy prawą stronę równania (3):
!∗
Z ∞
d
g(x) −i~ f (x)
P =
dx
−∞
dx =
• pamiętając, że i∗ = −i
Z ∞
d ∗
f (x)dx =
dx
−∞
• wyciągamy stałe przed znak całki, otrzymujemy:
=
= i~
g(x)i~
Z ∞
−∞
8
g(x)
d ∗
f (x)dx
dx
Postulaty mechaniki kwantowej
Rozwiązanie zadań
5. Sprawdzamy, czy L (równanie 6) = P (równanie 9):
Z ∞
d ∗
f (x)dx
dx
−∞
Z ∞
d
P = i~
g(x) f ∗ (x)dxr
dx
−∞
L = P
L = i~
g(x)
Odp. TAK. Podany operator jest operatorem hermitowskim.
9
Postulaty mechaniki kwantowej
Rozwiązanie zadań
Wartość własna. Funkcja własna
Zadanie3 :
1. Oblicz wartości własne operatora px działającego na:
a) funkcję Ψ = eikx
b) funkcję Ψ = e−ikx
2. Oblicz wartości własne operatora p2x działającego na:
a) funkcję Ψ = eikx
b) funkcję Ψ = e−ikx
3. Oblicz wartości własne operatora px działającego na:
4. Sprawdź, czy funkcja Ψ =
q
2
sin nπx
l
l
jest funkcją własną operatora:
a) p̂x
b) p̂2x
Wartość średnia3
Zadanie:
q Oblicz wartość średnią operatora pędu p̂x dla cąstki w pudle potencjału
Ψ = 2l sin nπx
l
3
Rozwiązanie zobacz w: iCSE Chemteor07 z26 postulaty ROZWIAZANIA
10