docSzczegółowe rozwiązanie zadania
download 
Reklamacja Transkrypt
Szczegółowe rozwiązanie zadania
Podsumowanie Sytuacja A 4 możliwości powieszenia ubrań 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sytuacja B 7 możliwości powieszenia ubrań 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ile możliwości powieszenia ubrań w szafie? Jak stwierdziliśmy na początku, z uwagi na symetrię, ilość ustawień ubrań w szafie to suma możliwości ustawień ubrań dla przypadków A oraz B, pomnożona przez 2: (4 + 7) * 2 = 11 * 2 = 22 Odpowiedź: Zosia może powiesić swoje ubrania na 22 sposoby. 108 Zbiór zadań przygotowujących do kuratoryjnego konkursu matematycznego Szkoły podstawowe Szczegółowe rozwiązania zadań 1 Szczegółowe rozwiązania zadań Zadanie nr 1 Treść zadania Arek ma pomalować płot u siebie i u swojego wujka. Obydwa płoty są identyczne, gdyż Rodzice Arka i wujek mieszkają w bliźniaku.. Arek własny płot malował w piątek od 13:00 do 19:00. W sobotę Arek również zaczął malowanie o 13:00. Po dwóch godzinach samotnej pracy dołączył do niego wujek, który nie szedł tego dnia do pracy. Odtąd wujek i Arek i malowali razem. O której godzinie w sobotę Arek i wujek skończyli pracę, jeśli wiadomo, że wujek maluje płot trzy razy szybciej od Arka? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sytuacja B – liczba możliwości powieszenia ubrań Przypadki od B1 do B3 zawierają wszystkie możliwe ustawienia granatowych swetrów i zielonych bluzek gdy czerwone spódnice zajmują pozycje nr 3 i 4. Zatem ilość ustawień ubrań dla przypadku B (czerwone spódnice zajmują pozycje nr 3 i 4) to suma możliwych ustawień ubrań od B1 do B3: 3+3+1=7 Sposób rozwiązania zadania Ponieważ Arek malował płot samodzielnie przez 6 godzin, więc podzielimy płot na 6 części otrzymując, że tempo pracy Arka to jedna część na godzinę. W sobotę, do momentu przyjścia wujka, Arek pomaluje dwie z tych sześciu części (wujek przyszedł po dwóch godzinach pracy Arka). Z pozostałych 4 części Arek pomaluje jedną, zaś wujek trzy, gdyż jest trzy razy szybszy. Ponieważ 2 107 Sytuacja B3 – drugi granatowy najbardziej na lewo na siódmej pozycji Mamy cztery miejsca ustalone: Arek maluje jedną część w godzinę więc pomalowanie pozostałych po przyjściu wujka czterech części zajmie im właśnie tę godzinę. Zatem skończą całą pracę w godzinę po przyjściu wujka – o 16:00. Szczegółowe rozwiązanie zadania 1 2 • 3 4 5 6 7 8 9 pozycja numer 3 i 4 to pozycje czerwonych spódnic zgodnie z naszym założeniem dla wszystkich sytuacji B • pozycja numer 5 to pierwszy granatowy sweter – zgodnie z warunkami zadania • pozycja numer 7 to najbardziej lewa pozycja drugiego granatowego swetra o nie może znajdować się na pozycji 6 gdyż sąsiadowałby z ustaloną pozycją 5 pierwszego granatowego swetra. o pozycje numer 1 i 2 już rozpatrzyliśmy Wówczas na wolnych dwóch pozycjach mamy tylko jedną możliwość powieszenia ostatniego (trzeciego) granatowego swetra i czterech zielonych bluzek, analogicznie jak w sytuacji A2: 106 Zrozumieć treść zadania i znaleźć istotne informacje Najważniejszym elementem zadania jest zrozumienie jego treści. Oto powinniśmy zrozumie, z treści zadania: 1. Mamy dwa takie same płoty: jeden malowany w piątek, drugi w sobotę 2. Ponieważ w piątek Arek malował płot od 13:00 do 19:00 więc samodzielne pomalowanie płotu zajmuje Arkowi 6 godzin 3. W sobotę Arek maluje sam od 13:00 do 15:00. O 15:00 przychodzi wujek, który płot maluje trzy razy szybciej od Arka i maluję razem. Musimy obliczyć o której skończą. Jak malował Kazik w piątek? W piątek Arek malował płot przez 6 godzin. Zatem jeśli podzielimy płot na 6 części to każdą z otrzymanych części Arek malował godzinę jak na rysunku poniżej: 3 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 Ile części pomalował Kazik samodzielnie w sobotę? W sobotę o 15:00 dołączył do niego wujek. Do tego momentu, czyli pomiędzy 13:00 a 15:00 Arek pomalował dwie części płotu z sześciu: Kawałki płotu pomalowane tylko przez Arka 13:00 14:00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Kawałki płotu, które Arek i wujek pomalują razem 15:00 Zatem w momencie przyjścia wujka (15:00) zostały do pomalowania cztery kawałki płotu zaznaczone na czarno powyżej. Jak podzielą się pozostałą pracą Arek z wujkiem? Ponieważ wujek pracuje trzy razy szybciej od Arka to z pozostałych czterech kawałków Arek pomaluje jeden kawałek, zaś wujek trzy kawałki: 4 105 Kawałki płotu, które Arek i wujek pomalują razem zajmując kolejno trzy pozycje: od siódmej do dziewiątej. Zatem dla sytuacji B1 (czerwone spódnice na trzeciej i czwartej pozycji, najbardziej lewa pozycja drugiego granatowego swetra wynosi jeden) mamy 3 różne ustawienia. Sytuacja B2 – drugi granatowy najbardziej na lewo na drugiej pozycji Mamy cztery miejsca ustalone: 1 2 • 3 4 5 6 7 8 9 pozycja numer 3 i 4 to pozycje czerwonych spódnic zgodnie z naszym założeniem dla wszystkich sytuacji B • pozycja numer 5 to pierwszy granatowy sweter – zgodnie z warunkami zadania • pozycja numer 2 to najbardziej lewa pozycja drugiego granatowego swetra zgodnie z naszym założeniem dla sytuacji B1 Wówczas również mamy 3 możliwości ustawienia ostatniego (trzeciego) granatowego swetra i czterech zielonych bluzek, podobnie jak w sytuacji B1. 104 Tą część pomaluje Arek Te części pomaluje wujek Arka Ile czasu Arek z wujkiem będą malować swoje części? Pamiętamy, że Arek maluje jeden kawałek w godzinę. Czyli właśnie godzinę zajmie 1. Arkowi pomalowanie jednego kawałka z pozostałych czterech 2. wujkowi pomalowanie trzech kawałów z pozostałych czterech (trzy razy szybszy od Arka) 5 Kawałki płotu, które Arek i wujek pomalują razem Tą część pomaluje Arek Te części pomaluje wujek Arka Zajmie mu to godzinę Zajmie mu to godzinę 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Identycznie jak w sytuacji A1, ostatni, trzeci granatowy sweter musi zajmować pozycje od 7 do 9 gdyż nie może sąsiadować z innymi granatowymi swetrami. Wędruje wśród zielonych bluzek 6 103 Sytuacja B1 – drugi granatowy najbardziej na lewo na pierwszej pozycji Mamy cztery miejsca ustalone: 1 2 • 3 4 5 6 7 Kawałki płotu pomalowane tylko przez Arka 8 9 pozycja numer 3 i 4 to pozycje czerwonych spódnic zgodnie z naszym założeniem dla wszystkich sytuacji B • pozycja numer 5 to pierwszy granatowy sweter – zgodnie z warunkami zadania • pozycja numer 1 to najbardziej lewa pozycja drugiego granatowego swetra zgodnie z naszym założeniem dla sytuacji B1 Wówczas na wolnych pięciu pozycjach mamy następujące 3 możliwości powieszenia ostatniego (trzeciego) granatowego swetra i czterech zielonych bluzek: 102 O której godzinie Arek z wujkiem skończą malowanie? Czyli otrzymujemy, że pozostałą pracę od chwili dołączenia się wujka (pomalowanie czterech pozostałych kawałków), Arek i wujek wykonają w godzinę. Ponieważ wujek dołączył do Arka o 15:00 więc całą pracę ukończą 16:00: 13:00 14:00 Kawałki płotu, które Arek i wujek pomalują razem 15:00 16:00 Tą część pomaluje Arek Te części pomaluje wujek Arka Zajmie mu to godzinę Zajmie mu to godzinę Odpowiedź: Arek i wujek skończyli pracę w sobotę o 16:00. 7 Zadanie nr 2 Treść zadania Kazik zawsze w sobotę obiera ziemniaki dla całej rodziny. Jednak robi to bardzo wolno i cała praca zajmuje mu prawie godzinę, a dokładnie 51 minut. W ostatnią sobotę zlitowała się nad nim siostra Lusia, która obiera ziemniaki cztery razy szybciej od Kazika. Lusia widząc brata obierającego ziemniaki, wzięła nóż i także przystąpiła do obierania. W ten sposób, od chwili gdy Kazik wziął pierwszy ziemniak, do zakończenia obierania ziemniaków przez obydwoje rodzeństwa minęło tylko 11 minut! Po ilu minutach samotnego obierania ziemniaków przez Kazika, Lusia przystąpiła do pracy? Zatem ilość ustawień ubrań dla przypadku A (czerwone spódnice zajmują pozycje nr 2 i 3) to suma możliwych ustawień ubrań od A1 do A2: 3+1=4 Sytuacja B – czerwone spódnice na 3 i 4 pozycji Gdy czerwone spódnice znajdują się na 3 i 4 pozycji to mamy ustalone następujące miejsca ubrań: 1 2 • Rozwiązanie – sposób I Uwagi i szkic rozwiązania Liczy się… pomysł Ten sposób rozwiązania zadania wymaga wytężenia umysłu i chwili zastanowienia się. Opiera się na pomyśle, który musi przyjść nam do głowy w trakcie konkursu. Jeśli „wpadniemy” na pomysł, to zadanie rozwiązuje się w 3 minuty. Prawdopodobnie autorowi zadania chodziło, by rozwiązać problem właśnie w poniższy sposób. 8 3 4 5 6 7 8 9 pozycja numer 3 i 4 to czerwone spódnice zgodnie z naszym założeniem. Rozpatrujemy ich kolejne położenie przesuwając je w prawą stronę • pozycja numer 5 to granatowy sweter – zgodnie z warunkami zadania Ilość możliwości powieszenia pozostałych ubrań dla takiej sytuacji rozpatrzymy ponownie w zależności od miejsca gdzie wisi najbardziej skrajnie lewy, drugi granatowy sweter. 101 o pozycję numer 1 już rozpatrzyliśmy Wówczas na wolnych dwóch pozycjach mamy tylko jedną możliwość powieszenia ostatniego (trzeciego) granatowego swetra i czterech zielonych bluzek: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ostatni, trzeci granatowy sweter musi zajmować pozycje 9 gdyż nie może sąsiadować z innymi granatowymi swetrami. Zatem dla sytuacji A2 (czerwone spódnice na drugiej i trzeciej pozycji, najbardziej lewa pozycja drugiego granatowego swetra wynosi siedem) mamy 1 ustawienie. Sytuacja A – liczba możliwości powieszenia ubrań Drugi granatowy sweter nie może znajdować się najbardziej na lewo na pozycji nr 8, gdyż wówczas ostatni granatowy sweter miałby pozycję numer 9 i obydwa granatowe swetry sąsiadowałyby ze sobą co jest sprzeczne z warunkami zadania. Zatem przypadki A1 oraz A2 zawierają wszystkie możliwe ustawienia granatowych swetrów i zielonych bluzek gdy czerwone spódnice zajmują pozycje nr 2 i 3. 100 Obrane ziemniaki przez Lusię kluczem do rozwiązania zadania Gdy Lusia zaczyna pomagać Kazikowi to mają do obrania pewną liczbę ziemniaków. Kazik obierze pewną część (x), zaś Lusia cztery razy więcej (4x). Jednak gdyby nie Lusia to Kazik obierałby te 4x ziemniaków przez 51 minut – 11 minut czyli przez 40 minut. Zatem x ziemniaków Kazik obiera w 10 minut. Ponieważ w czasie wspólnego obierania Kazik obrał właśnie x ziemniaków, więc Kazik i Lusia obierali razem ziemniaki przez 10 minut. Ponieważ od Kazik zajmował się obieraniem ziemniaków 11 minut więc Lusia przyszła mu do pomocy po 11 minut – 10 minut = 1 minucie. Szczegółowe rozwiązanie zadania Jak pracuje Kazik sam? Gdy Kazik pracuje sam to mamy sytuację jak na rysunku poniżej: 51 minut a Kazik zaczyna obieranie z Koniec pracy gdy Kazik cały czas obiera sam 9 Co zmienia Lusia? W pewnym momencie do pracy przychodzi Lusia, co możemy pokazać na rysunku następująco: 51 minut pozostała praca a b Kazik Lusia zaczyna przychodzi obieranie Kazikowi z pomocą z Koniec pracy gdy Kazik cały czas obiera sam Gdy Lusia zaczyna pracować, to została im do wykonania pewna praca. Jak podzielą się to pracą Lusia i Kazik? Lusia wykonuje 4 razy więcej pracy od Kazika w tym samym czasie. Zatem całą pracę musimy podzielić na 5 części. Lusia wykona 4 części z tej pracy (4x), zaś Kazik tylko jedną część (x). Co z czasem? Z powyższego wynika następujący diagram: 10 Ostatni, trzeci granatowy sweter musi zajmować pozycje od 7 do 9 gdyż nie może sąsiadować z innymi granatowymi swetrami. Wędruje wśród zielonych bluzek zajmując kolejno trzy pozycje: od siódmej do dziewiątej. Zatem dla sytuacji A1 (czerwone spódnice na drugiej i trzeciej pozycji, najbardziej lewa pozycja drugiego granatowego swetra wynosi jeden) mamy 3 różne ustawienia. Sytuacja A2 – drugi granatowy najbardziej na lewo na siódmej pozycji Mamy cztery miejsca ustalone: 1 2 • • • 3 4 5 6 7 8 9 pozycja numer 2 i 3 to pozycje czerwonych spódnic zgodnie z naszym założeniem dla wszystkich sytuacji A pozycja numer 5 to pierwszy granatowy sweter – zgodnie z warunkami zadania pozycja numer 7 to najbardziej lewa pozycja drugiego granatowego swetra o nie może znajdować się na pozycjach 4 i 6 gdyż sąsiadowałby z ustaloną pozycją 5 pierwszego granatowego swetra. 99 • pozycja numer 5 to pierwszy granatowy sweter – zgodnie z warunkami zadania • pozycja numer 1 to najbardziej lewa pozycja drugiego granatowego swetra zgodnie z naszym założeniem dla sytuacji A1 Wówczas na wolnych pięciu pozycjach mamy następujące 3 możliwości powieszenia ostatniego (trzeciego) granatowego swetra i czterech zielonych bluzek: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 51 minut 11 minut 40 minut x a b Kazik Lusia zaczyna przychodzi obieranie Kazikowi z pomocą 4x c Koniec pracy Lusi i Kazika z Koniec pracy gdy Kazik cały czas obiera sam Od chwili b (gdy Lusia przychodzi Kazikowi z pomocą) do chwili c (końca ich wspólnej pracy) Kazik wykona swoją część całej pracy: x. Co z pozostałą pracą 4x? Jak powiedzieliśmy wykona ją Lusia. Ale pamiętajmy jest to czterokrotność pracy Kazika od b do c. Gdyby nie Lusia, to Kazik przez 40 minut (zaoszczędzone mu przez Lusię) musiałby wykonać cztery razy tyle co wykonał od b do c. Czyli otrzymujemy, że czterokrotność pracy Kazika to 40 minut. Zatem od b do c Kazik pracował tylko 10 minut. Uzupełniamy diagram Teraz możemy już uzupełnić diagram: 1 2 98 3 4 5 6 7 8 9 11 • 51 minut 11 minut 1 minuta 40 minut 10 minut a b Kazik Lusia zaczyna przychodzi obieranie Kazikowi z pomocą 40 minut c Koniec pracy Lusi i Kazika z Koniec pracy gdy Kazik cały czas obiera sam Widzimy więc, że Lusia przyszła Kazikowi z pomocą już po 1 minucie! Znaczy się kochana siostra. Odpowiedź: Lusia przystąpiła do pracy po 1 minucie samotnego obierania ziemniaków przez Kazika. Rozwiązanie – sposób II pozycja numer 2 i 3 to zgodnie z naszym założeniem skrajnie lewe pozycje czerwonych spódnic, gdyż muszą znajdować się obok siebie (jeden podwójny element) a jednocześnie nie mogą być na początku • pozycja numer 5 to granatowy sweter – zgodnie z warunkami zadania Ilość możliwości powieszenia pozostałych ubrań dla takiej sytuacji rozpatrzymy w zależności od miejsca gdzie wisi najbardziej skrajnie lewy, drugi granatowy sweter. Pierwszy granatowy sweter ma ustaloną pozycję numer 5 zgodnie z warunkami zadania. Granatowych swetrów jest mniej niż zielonych spódnic i łatwiej jest usystematyzować (podzielić na przypadki) możliwe powieszenia ubrań w zależności od pozycji granatowych swetrów. Sytuacja A1 – drugi granatowy najbardziej na lewo na pierwszej pozycji Mamy cztery miejsca ustalone: Uwagi i szkic rozwiązania Brutalne rozwiązanie Jest to rozwiązanie siłowe, pozbawione jakiegokolwiek pomysłu. Układamy równanie i musi nam wyjść prawidłowy wynik. Jednak takie podejście wymaga następujących umiejętności: 1. Musimy bardzo dobrze operować na wyrażeniach algebraicznych. Zachęcamy do odwiedzenia stron: 12 1 2 • 3 4 5 6 7 8 9 pozycja numer 2 i 3 to pozycje czerwonych spódnic zgodnie z naszym założeniem dla wszystkich sytuacji A 97 Z symetrii wynika, że gdy czerwone spódnice są na pozycji jaki w przypadku (C) to ilość ustawień pozostałych ubrań jest jak w przypadku (A). Podobnie, gdy czerwone spódnice są na pozycji jaki w przypadku (D) to ilość ustawień pozostałych ubrań jest jak w przypadku (B). (A) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (B) 1 2 3 4 5 6 7 8 (C) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (D) 9 Dlatego wystarczy rozpatrzyć tylko ilość ustawień ubrań dla przypadków (A) i (B) a następnie sumę tych przypadków pomnożyć przez 2, by mieć ilość ustawień ubrań zgodnie z zasadami Zosi. . Sytuacja A – czerwone spódnice najbardziej na lewo: na drugiej i trzeciej pozycji Gdy czerwone spódnice znajdują się najbardziej na lewo to mamy ustalone następujące miejsca ubrań: http://www.cauchy.pl/podstawowa/wyrazeni a_algebraiczne/ http://www.cauchy.pl/gimnazjum/wyrazenia algebraiczne/ gdzie znajdziesz wiele przykładów z rozwiązaniami 2. Musimy bardzo dobrze operować równaniami. Zachęcamy do odwiedzenia strony: http://www.cauchy.pl/gimnazjum/rownania/ gdzie znajdziesz wiele przykładów z rozwiązaniami 3. Musimy uważać na jednostki. Na przykład, jeśli Kazik obiera całość sobotnich ziemniaków (oznaczmy jako z ) przez 5 minut ( 5m ) to prędkość jego obierania wynosi z . 5m Słowo „przez” jest odpowiednikiem kreski ułamkowej. Dlatego z jest w liczniku, zaś 5m w mianowniku. Nieprawidłowe są następujące zapisy: a. 5z m - oznacza, że obieramy pięć zestawów sobotnich ziemniaków w ciągu godziny b. 1 2 96 3 4 5 6 7 8 9 5m - zapis w ogóle nie oznacza z prędkości obierania ziemniaków. 13 Prędkość i równanie Najpierw stwierdzimy, że prędkość obierania z , zaś prędkość 51m 4z obierania ziemniaków Lusi to . Zatem przez 51m z ⋅ 11m 11 11 minut Kazik obierze = z sobotnich 51m 51 ziemniaków Lusia pomaga w czasie t w którym 4z ⋅ t obierze sobotnich ziemniaków. Razem obiorą 51m wszystkie sobotnie ziemniaki (czyli z ) co daje nam ziemniaków Kazika to równanie: z ⋅ 11m 4 z ⋅ t + =d 51m 51m Dzielimy na przypadki wobec najrzadziej występującego elementu Ponieważ czerwonych spódnic jest najmniej (właściwie jeden, podwójny element), więc najłatwiej ustawienia ubrań podzielić na przypadki względem położenia czerwonych spódnic, a następnie zsumować ilość ustawień z każdego przypadku. Symetria Przyglądając się chwilę wieszakowi, widzimy, że możliwe ustawienia ubrań są w pełni symetryczne względem środkowej pozycji nr 5, na której obowiązkowo znajduje się granatowy sweter. Dlatego wystarczy rozpatrzeć liczbę ustawień ubrań dla następujących przypadków (A) i (B) położenia czerwonych spódnic: z którego obliczamy, że Lusia pomagała Kazikowi 10 minut, czyli przyszła z pomocą po 1 minucie. Szczegółowe rozwiązanie zadania Oznaczenia z - całość ziemniaków obieranych każdej soboty. Każdej soboty jest dokładnie taka sama ilość ziemniaków do obrania m - jedna minuta v K - prędkość obierania ziemniaków przez Kazika v L - prędkość obierania ziemniaków przez Lusię 14 (A) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (B) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 95 ilość ustawień dla przypadków B oraz C jest taka sama. Dlatego rozpatrzymy tylko ilość ustawień granatowych swetrów i zielonych bluzek dla przypadków A oraz B. Suma ilości ustawień ubrań dla przypadków A oraz B pomnożona przez 2 da nam ilość ustawień wszystkich ubrań. Szczegółowe rozwiązanie zadania Przykładowy układ ubrań na wieszaku Prędkość obierania ziemniaków przez Kazika Kazik obiera sobotnią porcję ziemniaków przez 51 minut. Zatem jego prędkość obierania ziemniaków v K wynosi: vK = z 51m Możemy to interpretować, że Kazik obiera sobotni zestaw ziemniaków w ciągu 51 minut. Prędkość obierania ziemniaków przez Lusię Lusia obiera ziemniaki cztery razy szybciej od Kazika, więc jej prędkość obierania ziemniaków v L wynosi: vL = 4 ⋅vK = 4 ⋅ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Czerwone spódnice Zwróćmy uwagę, że dwie czerwone spódnice możemy potraktować jako jeden element, gdyż muszą znajdować się obok siebie – nie można ich rozdzielić. Również czerwone spódnice nie mogą zajmować pozycji numer 1 oraz 9 (skrajnych pozycji). 94 z 4z = 51m 51m Możemy to interpretować, że Lusia obierze cztery zestawy sobotnich ziemniaków przez 51 minut. Ile porcji sobotnich ziemniaków obierze każde z nich przez określony czas? Co oznaczają obliczone powyżej prędkości obierania sobotniego zestawu ziemniaków? Jeśli mamy dany czas to możemy obliczyć jaką część sobotniego zestawu ziemniaków obierze Kazik przez ten dany czas. Jeśli Kazik obiera sobotni zestaw ziemniaków prze 17 minut to w tym czasie obierze: 15 v K ⋅17 m = = z z ⋅17 m z ⋅17 ⋅17 m = = = 51m 51m 51 z 1 = z 3 3 Otrzymujemy, że w ciągu 17 minut Kazik obierze 1 części sobotniego zestawu ziemniaków. 3 Jeśli Kazik obiera sobotni zestaw ziemniaków przez 102 minuty (1h 42 minuty) to w tym czasie obierze: v K ⋅102m = = z z ⋅102m z ⋅102 = ⋅102m = = 51m 51m 51 z ⋅2 = 2z 1 Otrzymujemy, że w ciągu 102 minut (1h 42 minuty) Kazik obierze dwa zestawy sobotnich ziemniaków. Wydaje się to rozsądne, gdyż w ciągu 51 minut obiera jeden taki zestaw. Podobnie możemy obliczać jaką część sobotniego zestawu ziemniaków obierze Lusia w określonym czasie. Jeśli Lusia obiera ziemniaki przez 3 minuty to w tym czasie obierze: v L ⋅ 3m = = 16 4z 4 z ⋅ 3m 4 z ⋅ 3 4 z ⋅1 ⋅ 3m = = = = 51m 51m 51 17 4z 4 = z 17 17 Zadanie nr 9 Treść zadania Zosia przechowuje na odpowiednio długim wieszaku w szafie następujące ubrania: • cztery takie same zielone bluzki • trzy takie same granatowe swetry • dwie takie same czerwone spódnice Zosia nigdy nie wiesza swoich ubrań byle jak – ma określone zasady: • czerwone spódnice muszą zawsze wisieć razem – jedna obok drugiej przy czym żadna czerwona spódnica nie może wisieć z brzegu • grantowe swetry nigdy, ze sobą nie sąsiadują przy czym na środkowej pozycji (piątej od lewej) zawsze wisi granatowy sweter Na ile sposobów Zosia może powiesić swoje ubrania w szafie? Sposób rozwiązania zadania Dwie czerwone spódnice potraktujemy jako całość gdyż nie można ich rozdzielać. Mogą one zajmować 4 pozycje: A. 2 i 3 B. 3 i 4 C. 6 i 7 D. 7 i 8 Z uwagi na symetrię ilość ustawień ubrań dla przypadków A oraz D jest taka sama. Podobnie 93 Ile pozycji czerwonego żołnierza? Zauważmy, że mamy 6 pozycji czerwonego żołnierza: A (1) 1 2 3 4 5 Otrzymujemy, że w ciągu 3 minut Lusia obierze sobotniego zestawu ziemniaków. Podział pracy gdy Lusia przyszła z pomocą 6 B Część sobotnich ziemniaków obrana przez Kazika: pK = vK *11m (2) 1 2 3 4 5 4 17 6 Część sobotnich ziemniaków obrana przez Lusię: C 1 2 3 4 5 6 D t (4) 1 2 3 4 5 6 E (5) 1 2 3 4 5 6 F (6) 1 2 3 4 5 6 Ile możliwości ustawień żołnierzy? Każda z powyższych 6 pozycji czerwonego żołnierza daje nam 10 ustawień pozostałych żołnierzy. Zatem liczba wszystkich ustawień żołnierzy w szeregu to 6 * 10 = 60. Odpowiedź: Mateusz może ustawić swoich żołnierzy na 60 sposobów. 92 p L = vL*t (3) minuta 0 Kazik zaczyna obieranie minuta x Lusia przychodzi Kazikowi z pomocą minuta 11 Koniec pracy Lusi i Kazika Ile sobotnich ziemniaków obrał Kazik? W naszej sytuacji (gdy Lusia przychodzi z pomocą po x minutach) Kazik pracował 11 minut. W tym czasie Kazik obrał pewną część sobotnich ziemniaków. Możemy ją obliczyć jak poniżej ( p K - obrana przez Kazika część sobotnich ziemniaków w ciągu 11 minut): p K = v K ⋅11m = z z ⋅11m ⋅11m = 51m 51m (1) Celowo nie skracamy miana minut, gdyż później będziemy musieli mieć w mianowniku 51m by 17 dodać ułamki (ziemniaki obrane przez Kazika i Lusię). Otrzymujemy, że Kazik obrał z ⋅ 11m 11 = z 51m 51 sobotnich ziemniaków w ciągu 11 minut. Ile sobotnich ziemniaków obrała Lusia? Lusia nie pracowała cały czas. Oznaczmy czas pracy Lusi jako t . W tym czasie Lusia obrała pewną część sobotnich ziemniaków, którą możemy obliczyć jak poniżej ( p L - obrana przez Lusię część sobotnich ziemniaków w czasie t ): pL = vL ⋅ t = 4z 4z ⋅ t ⋅t = 51m 51m (2) Otrzymujemy, że Lusia obrała 4z ⋅ t 51m części B pierwszy granatowy żołnierz może mieć najbardziej lewą pozycję: • nr 1 (sytuacja B1) wówczas drugi granatowy żołnierz ma 4 możliwe pozycje (jak w przypadku A1) • nr 3 (sytuacja B2) wówczas drugi granatowy żołnierz ma 3 możliwe pozycje (jak w przypadku A2) • nr 4 (sytuacja B3) wówczas drugi granatowy żołnierz ma 2 możliwe pozycje (jak w przypadku A3) • nr 5 (sytuacja B4) wówczas drugi granatowy żołnierz ma 1 możliwą pozycję (jak w przypadku A4) Zatem dla sytuacji B (czerwony żołnierz na drugiej pozycji) mamy 10 możliwych ustawień żołnierzy (jak dla sytuacji A). sobotnich ziemniaków w czasie w którym pomagała Kazikowi ( t ). Układamy równanie W efekcie, Kazik i Lusia obrali całość sobotnich ziemniaków. Oznacza to, że suma części sobotnich ziemniaków: p K (część obrana przez Kazika) oraz p L (część obrana przez Lusię) daje całość sobotnich ziemniaków (czyli z ). Możemy to zapisać jak poniżej: pK + pL = z 18 91 Sytuacja B – czerwony żołnierz na drugiej pozycji Łatwo zauważymy, że gdy czerwony żołnierz znajduje się na drugiej pozycji, to również mamy dokładnie cztery sytuacje od B1 do B4 odpowiadające sytuacjom A1 do A4: A1 B1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Wystarczy podstawić obliczone powyżej (1) i (2) wartości p K oraz p L by otrzymać równanie: z ⋅ 11m 4 z ⋅ t + =d 51m 51m 11zm + 4 zt = z | ⋅51m 51m 11zm + 4 zt = 51zm 4 zt = 51zm − 11zm 4 zt = 40 zm |: z (mozemy dzielic przez z , gdyz z nie jest zerem jako calosc ziemniakow) 1 2 3 4 5 6 A2 1 2 3 4 5 6 B2 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 A3 O której godzinie Lusia przyszła z pomocą? 11m 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 A4 B4 2 3 4 5 6 1 Oprócz faktu, że czerwony żołnierz zajmuje pierwszą kolumnę w sytuacji A, zaś drugą kolumnę w sytuacji B to nic się nie zmienia. Dla przypadku 90 Otrzymujemy, że Lusia pomagała Kazikowi przez 10 minut. B3 1 1 4t = 40m |: 4 t = 10m t = 10m minuta 0 Kazik zaczyna obieranie minuta 1 Lusia przychodzi Kazikowi z pomocą minuta 11 Koniec pracy Lusi i Kazika 19 Ponieważ Kazik całość pracy Kazika to 11 minut, Lusia pomagała 10 minut, więc Lusia przyszła z pomocą Kazikowi po 1 minucie. Odpowiedź: Lusia przystąpiła do pracy po 1 minucie samotnego obierania ziemniaków przez Kazika. Zadanie nr 3 1 2 3 4 5 6 Sytuacja A – liczba ustawień żołnierzy Przypadki od A1 do A4 zawierają wszystkie możliwe ustawienia granatowych i zielonych żołnierzy gdy czerwony żołnierz ma pozycję numer 1. Zatem ilość ustawień żołnierzy dla przypadku A (pierwszy czerwony żołnierz) to suma możliwych ustawień żołnierzy od A1 do A4: 4 + 3 + 2 + 1 = 5 + 5 = 10 Treść zadania Trójka dzieci: Adrian, Basia i Cyprian bawiła się w grę o następujących zasadach: 1. Najpierw dziecko pisze na kartce dowolna liczbę 2. Kartki oddaje się do sędziego 3. Następnie sędzia losuje kolejność dzieci 4. Na tablicy, pierwsze wylosowane dziecko wypisuje wielokrotności liczby którą zapisało na kartce w zakresie od 1 do 200 5. Kolejne dzieci (według losowania) dopisują na tablicy wielokrotności liczb zapisanych przez siebie na kartce w przedziale od 1 do 200 według następujących zasad: a. Jeśli danej wielokrotności nie było na tablicy, to ta liczba jest dopisywana. 20 89 Drugi granatowy żołnierz wędrując wśród zielonych żołnierzy, zajmuje dwie pozycje: od piątej do szóstej. Zatem dla sytuacji A3 (pierwszy czerwony żołnierz, drugi zielony żołnierz, trzeci zielony żołnierz, czwarty granatowy żołnierz) mamy 2 różne ustawienia. Sytuacja A4 – najbardziej na lewo granatowy żołnierz na piątej pozycji Mamy pięć ustalonych pozycji: • pozycja numer 1 – czerwony żołnierz • pozycja numer 2 – musi być zielony żołnierz, gdyż założyliśmy, że granatowi żołnierze mają pozycję numer 5 lub większą. • pozycja numer 3 – musi być zielony żołnierz, gdyż założyliśmy, że granatowi żołnierze mają pozycję numer 5 lub większą. • pozycja numer 4 – musi być zielony żołnierz, gdyż założyliśmy, że granatowi żołnierze mają pozycję numer 5 lub większą. • pozycja numer 5 – pierwszy granatowy żołnierz zgodnie z założeniem Wówczas na pozycjach od piątej do szóstej mamy granatowych żołnierzy, czyli jedną możliwość ustawienia pozostałych dwóch granatowych żołnierzy: 88 b. Jeśli dana wielokrotność już jest na tablicy (powtarza się z wielokrotnością któregoś poprzedniego dziecka) to nie jest dopisywana. Wygrywa ta osoba która wypisze najwięcej liczb na tablicy. Na kartkach dzieci zapisały następujące liczby: Basia: 15 Adrian: 25 Cyprian: 10 Sędzia wylosował następującą kolejność wypisywania liczb na tablicy: 1. Adrian 2. Basia 3. Cyprian Które z dzieci wygrało grę? Jaka jest strategię powinno obrać dziecko by wygrać tę grę? Wytłumaczenie treści zadania Zrozumieć treść zadania! Zadanie posiada dość złożoną treść, za którą kryje się proste polecenie. Tym bardziej nam to uwypukla konieczność: 1. Znajomości treści zadania 2. Zrozumienia treści zadania 21 Wydaje się to oczywiste, ale jest to jeden z najczęstszych błędów na konkursach: 1. Uczniowie nie rozwiązują zadania bo go nie rozumieją. Często trzeba przeczytać zadanie kilkukrotnie by zrozumieć jego treść. 2. Uczniowie źle, niedbale, niedokładnie przeczytali treść zadania i rozwiązują inne zadanie niż jest na kartce. Za rozwiązanie innego zadania nie ma niestety punktów. Dlatego proponujemy zawsze sprawdzać, czy rozwiązanie zgadza się z treścią zadania – z tą treścią która jest na kartce! Nie można się zniechęcać jeśli po jednokrotnym przeczytaniu zadania nie rozumiemy jego treści! O co chodzi w zadaniu? Zgodnie z kolejnością jaką wylosował sędzia dzieci będą wypisywać na tablicy: 1. Adrian wpisuje dzielniki liczby 25 w zakresie od 1 do 200. 2. Basia dopisuje dzielniki liczby 15 w zakresie od 1 do 200. Jeśli dzielnik liczby 15 znajduje się już na tablicy (jest również dzielnikiem liczby 25) to Basia go nie dopisze. I tak na przykład: a. Basia dopisze liczbę 30 (dzieli się przez 15) 22 Drugi granatowy żołnierz znów wędruje wśród zielonych żołnierzy, ale tym razem zajmuje trzy pozycje: od czwartej do szóstej. Zatem dla sytuacji A2 (pierwszy czerwony żołnierz, drugi zielony żołnierz, trzeci granatowy żołnierz) mamy 3 różne ustawienia. Sytuacja A3 – najbardziej na lewo granatowy żołnierz na czwartej pozycji Mamy cztery ustalone pozycje: • pozycja numer 1 – czerwony żołnierz • pozycja numer 2 – musi być zielony żołnierz, gdyż założyliśmy, że granatowi żołnierze mają pozycję numer 4 lub większą. • pozycja numer 3 – musi być zielony żołnierz, gdyż założyliśmy, że granatowi żołnierze mają pozycję numer 4 lub większą. • pozycja numer 4 – pierwszy granatowy żołnierz zgodnie z założeniem Wówczas na pozycjach od piątej do szóstej mamy następujące 2 możliwości ustawienia pozostałych dwóch granatowych i jednego zielonego żołnierza: 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 87 Drugi granatowy żołnierz niejako wędruje wśród zielonych żołnierzy zajmując kolejno cztery pozycje: od trzeciej do szóstej. Zatem dla sytuacji A1 (pierwszy czerwony żołnierz, drugi granatowy żołnierz) mamy 4 różne ustawienia. Sytuacja A2 – najbardziej na lewo granatowy żołnierz na trzeciej pozycji Mamy trzy ustalone pozycje: • pozycja numer 1 – czerwony żołnierz • pozycja numer 2 – musi być zielony żołnierz, gdyż założyliśmy, że granatowi żołnierze mają pozycję numer 3 lub większą. • pozycja numer 3 – pierwszy granatowy żołnierz zgodnie z założeniem Wówczas na pozycjach od czwartej do szóstej mamy następujące 3 możliwości ustawienia pozostałych dwóch granatowych i dwóch zielonych żołnierzy: 1 86 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 b. Basia nie dopisze liczby 150 (dzieli się przez 15 i przez 25) 3. Cyprian dopisuje dzielniki liczby 10 w zakresie od 1 do 200. Jeśli dzielnik liczby 10 znajduje się już na tablicy (jest również dzielnikiem liczby 25 lub 15) to Cyprian go nie dopisze. I tak na przykład: a. Cyprian dopisze liczbę 40 (dzieli się przez 10) b. Cyprian nie dopisze liczby 60 (dzieli się przez 10 i przez 15) c. Cyprian nie dopisze liczby 100 (dzieli się przez 10 i przez 25) Naszym zadaniem jest obliczyć ilość liczb wypisanych przez każde dziecko i określić kto ich najwięcej napisał (kto jest zwycięzcą). Dodatkowo powinniśmy zastanowić się nad strategią, to znaczy jaką liczbę powinno wypisać na kartce dziecko by mieć największą szansę na zwycięstwo – wypisywanie jak największej ilości liczb. Sposób rozwiązania zadania Adrian wypisał wielokrotności liczby 25 w za kresie od 1 do 200, czyli wypisał 8 liczb. Basia miała dopisać wielokrotności liczby 15 w zakresie od 1 do 200. Jednak nie mogła dopisać wszystkich liczb. Basia nie dopisywała liczb które już są na tablicy wypisane wcześniej przez Adriana, czyli nie dopisywała liczb podzielnych przez 15 i 23 25. Liczby podzielne przez 15 i 25 to liczby podzielne przez 75 ponieważ NWW(15,25)=75, W zakresie od 1 do 200 jest 13 liczb podzielnych przez 15 2 liczby podzielnych przez 75 Zatem Basia dopisała 13-2 czyli 11 liczb. Cyprian miał dopisać wielokrotności liczby 10 w zakresie od 1 do 200. Tych liczb jest 20. Jednak Cyprian nie dopisywał liczb które już są na tablicy wypisane wcześniej przez Adriana i Basię, czyli nie dopisywał: • Liczb podzielnych przez 10 i 25 (wypisane wcześniej przez Adriana). Liczby podzielne przez 10 i 25 to wielokrotności 50 gdyż NWW(10,25) = 50. Są 4 takie liczby w zakresie 1-200. • Liczb podzielnych przez 10 i 15 (wypisane wcześniej przez Basię). Liczby podzielne przez 10 i 15 to wielokrotności 30 gdyż NWW(10,15) = 30. Jest 6 takich liczb w zakresie 1-200. Czyli Cyprian wypisał Liczby podzielne przez 10 minus Liczby podzielne przez 10 i 25 minus Liczby podzielne przez 10 i 15 plus 24 zostaje nam 5 pozycji (od drugiej do szóstej) gdzie możemy wstawić dwóch grantowych i trzech zielonych żołnierzy. Sytuacja A1 – najbardziej na lewo granatowy żołnierz na drugiej pozycji Mamy dwie ustalone pozycje: • pozycja numer 1 – czerwony żołnierz • pozycja numer 2 – granatowy żołnierz Wówczas na pozycjach od trzeciej do szóstej mamy następujące 4 możliwości ustawienia pozostałych dwóch granatowych i trzech zielonych żołnierzy: 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 85 Zadanie nr 8 Treść zadania Mateusz robi musztrę swoim 6 żołnierzykom ustawiając ich jeden za drugim. Na ile sposobów Mateusz może ustawić swoich żołnierzy, jeśli żołnierzy można rozróżnić tylko kolorami: • jeden żołnierz ma kolor czerwony • dwóch żołnierzy ma kolor granatowy • trzech żołnierzy ma kolor zielony Sposób rozwiązania zadania Zauważymy, że mamy sześć przypadków ustawienia czerwonego żołnierza. Dla każdego z tych przypadków będzie 10 możliwych równoważnych ustawień granatowych i zielonych żołnierzy. Zatem wszystkich ustawień żołnierzy otrzymamy 6 * 10 czyli 60. Szczegółowe rozwiązanie zadania Sytuacja A – czerwony żołnierz na pierwszej pozycji Gdy czerwony żołnierz okupuje pozycję numer 1 1 84 2 3 4 5 6 Liczby podzielne jednocześnie przez 10, 15 i 25 (gdyż te liczby odejmujemy dwukrotnie, raz jako niedopisane gdyż podzielne przez 15 i drugi raz jako niedopisane gdyż podzielne przez 25) Liczb podzielne jednocześnie przez 10, 15 i 25 to wielokrotności 150, gdyż NWW(10,15,25) = 150. Jest jedna taka liczba w zakresie 1-200. Otrzymujemy, zgodnie z powyższą zasadą, że Cyprian dopisał 20 – 4 – 6 + 1 = 11 liczb. Mamy, że poszczególne dzieci wypisały następując ilość liczb: Adrian 8 Basia 11 Cyprian 11 Zatem w turnieju zwyciężyli jednocześnie Basia i Cyprian. Optymalna strategia to zapisanie na karteczce jak najmniejszej liczby (czyli jedynki) gdyż ma ona najwięcej wielokrotności. Szczegółowe rozwiązanie zadania Ile liczb wypisał Adrian? Rozwiązanie „na piechotę” – wypisujemy wszystkie liczby Adrian miał wypisać na tablicy wielokrotności 25 w za kresie od 1 do 100, czyli wypisał 8 liczb jak pokazano poniżej: 25 50 75 1 2 3 100 125 150 175 200 4 5 6 7 8 25 Ile liczb wypisał Adrian – obliczamy zamiast pisać Żeby policzyć ile jest liczb będących wielokrotnością 25 w za kresie od 1 do 200 nie musimy ich wszystkich wypisywać na kartce tak jak zrobiliśmy to powyżej. Wystarczy pogłówkować. Przyda nam się to w trudniejszych zadaniach gdy nie da się wypisać wszystkich liczb o danej własności. Dlatego poniżej pokazuję jak obliczyć bez wypisywania ile liczb wypisał Adrian. Zauważmy, że wielokrotności 25 powtarzają się co 25: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 W ten sposób otrzymujemy odpowiedź: Duży prostokąt z zaznaczonymi długościami boków własnych i długościami boków wszystkich jego kwadratów: 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 9 9 9 9 9 9 12 9 9 9 9 12 9 42 9 1 9 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 2 71 72 73 74 75 3 96 97 98 99 100 4 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 5 6 6 66 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 24 6 3 3 33 3 3 3 6 6 6 24 24 6 9 9 9 24 9 18 25 liczb 26 27 6 3 9 12 12 21 6 9 9 18 25 liczb 63 64 65 66 67 68 69 70 21 21 18 18 18 18 25 liczb 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 80 91 92 93 94 95 25 liczb 25 liczb 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 6 21 18 57 18 25 liczb 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 7 25 liczb 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 180 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 8 25 liczb Wystarczy więc, że podzielimy 200 przez 25 by obliczyć ile jest wielokrotności liczby 25 w zakresie od 1 do 200: 200 : 25 = 8 Otrzymujemy, że jest 8 wielokrotności 25 w zakresie od 1 do 200. Patrząc na powyższy rysunek wszystko się zgadza. Otrzymujemy niejako 8 odcinków liczbowych: Odcinek nr 1: od 1 do 25 26 83 Odcinek nr 2: Odcinek nr 3: Odcinek nr 4: Odcinek nr 5: Odcinek nr 6: Odcinek nr 5: Odcinek nr 6: Długości boków prostokąta Teraz możemy obliczyć długości boków prostokąta. 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 9 9 9 9 9 9 12 9 9 9 9 12 9 42 9 9 6 6 6 6 6 66 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 24 6 3 3 3 33 3 3 3 9 12 12 21 6 9 9 3 3 3 6 24 24 6 9 9 9 9 24 18 21 21 18 21 18 18 18 18 57 Długość zielonego boku: 21 + 18 + 18 = 39 + 18 = 57 Długość czerwonego boku: 21 + 9 + 9 + 3 = 30 + 12 = 42 18 18 od 26 do 50 od 51 do 75 od 76 do 100 od 101 do 125 od 126 do 150 od 151 do 175 od 176 do 200 Podsumowując Chcąc obliczyć ile liczb wypisał Adrian (wielokrotności 25 w zakresie od 1 do 200) wystarczy 200 podzielić przez 25. Otrzymujemy, że Adrian wypisał 8 liczb. Ile liczb dopisała Basia? Basia tylko dopisuje Zauważmy, że Basia na tablicy nie wypisuje wszystkich dzielników liczby 15 w zakresie od 1 do 200. Basia na tablicy dopisuje dzielniki liczby 15 w zakresie od 1 do 200, których nie ma jeszcze na tablicy. Liczby Basi – rozwiązanie „na piechotę” Poniżej zielonym kolorem zaznaczono wielokrotności liczby 15 które Basia dopisała na tablicy, zaś na czerwono te wielokrotności liczby 15 których Basia nie dopisała gdyż już były na tablicy: 15 30 45 60 1 2 3 4 75 90 105 5 6 120 135 150 165 180 195 210 7 82 8 9 10 11 27 1. Liczb 75 i 150 Basia dopisała pomimo, że są wielokrotnością 15, gdyż wypisał je Adrian. 2. Liczby 210 Basia nie dopisała gdyż jest poza zakresem 1 – 200. Widzimy, że liczb podzielnych przez 15 w zakresie od 1 do 200 jest 13. Jednak Basia dopisała tylko 11 liczb, gdyż dwie liczby (konkretnie 75 i 150) były już wypisane przez Adriana. Trzeba obliczyć Nie damy rady w każdym tego typu zadaniu napisać wszystkich liczb dopisanych przez dziecko. Dlatego musimy umieć obliczyć ile liczb dopisała na tablicy Basia bez pisania ich wszystkich jak zrobiłem to powyżej. Poniżej pokazuję jak policzyć ilość liczb dopisanych przez Basię. Liczby podzielne przez 15 w zakresie 1-200 Ilość liczb podzielnych przez 15 w zakresie od 1 do 200 obliczamy dzieląc 200 przez 15: 200 : 15 = 13 reszty 5 Etap V Na poniższym rysunku długość lewego boku czerwonego kwadratu wynosi 18, gdyż jest różnicą boku o długości 21 i boku o długości 3. Długość lewego boku zielonego kwadratu wynosi również 18, gdyż kwadrat ten jest przystający do czerwonego kwadratu – mają jeden bok wspólny. 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 9 9 9 9 9 9 12 9 9 9 9 9 12 9 6 9 9 9 6 6 3 3 3 33 3 3 3 9 6 6 6 12 12 21 24 6 66 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 24 24 6 9 9 9 9 24 18 21 21 21 18 18 18 18 18 18 18 Których dzielników liczby 15 Basia nie dopisała? Czyli otrzymujemy, że liczb podzielnych przez 15 w zakresie od 1 do 200 jest 13. Wiemy, że Basia ich wszystkich nie dopisała na tablicy. Nie dopisała tych liczb, które oprócz tego, że dzielą się przez 15 (Basia miała je dopisać), to dzielą się przez 25 (były już na tablicy zapisane przez Adriana). 28 81 Etap IV Na poniższym rysunku długość górnego boku czerwonego kwadratu wynosi 21, gdyż jest sumą boków o długościach 9 i 12: 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 9 9 9 9 9 9 9 12 6 6 6 6 12 21 24 6 3 3 3 33 3 3 3 9 12 9 6 9 9 12 9 9 9 6 9 9 66 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 24 24 6 9 9 9 9 24 Liczby podzielne jednocześnie przez 15 i 25 Jakie to liczby które dzielą się przez 15 i 25? Najmniejszą liczbę która dzieli się jednocześnie przez 15 i 25 pozwoli nam znaleźć Najmniejszą Wspólna Wielokrotność (NWW). Szczegółowe wytłumaczenie czym jest Najmniejsza Wspólna Wielokrotność znajdziesz na stronie: http://www.cauchy.pl/teoria/algebra/nww/ Przykłady obliczania NWW z rozwiązaniami znajdziesz na stronie: http://www.cauchy.pl/podstawowa/nww_nwd/ Poniżej zakładam, że umiesz posługiwać się NWW. Szukamy NWW liczb 15 i 25 Rozkład na czynniki pierwsze liczb 15 i 25: 15 3 5 5 1 Oznaczamy długości czerwonego kwadratu: 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 9 9 9 9 9 9 12 9 9 9 9 12 9 9 6 6 6 21 21 24 6 6 6 12 boków 3 3 3 33 3 3 3 9 12 21 6 9 9 9 wszystkich 66 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 24 24 6 9 9 9 9 24 25 5 5 5 1 Otrzymujemy, że: 15 = 3 * 5 25 = 5 * 5 Teraz możemy znaleźć NWW liczb 15 i 25. 15 3 5 5 1 25 5 5 5 1 Czynniki zielone (3 i 5) występują jednokrotnie między liczbami 15 i 25 więc bierzemy te czynniki do NWW. 21 80 29 Czynnik czerwony (5) występują w rozkładzie na czynniki pierwsze zarówno 15 jak 25 – bierzemy go tylko raz: NWW(12,15) = 3 * 5 * 5 = 3 * 25 = 75 Liczby podzielne przez 75 – tych liczb Basia nie dopisywała Otrzymujemy, że Basia nie dopisywała liczb podzielnych przez 75 i ich wielokrotności. Co prawda liczby podzielne 75 również dzielą się przez 15 (czyli powinny być dopisane przez Basię), ale dzielą się również przez 25 czyli znajdują się już na tablicy gdyż wypisał je Adrian. Ile jest liczb podzielnych przez 75 w zakresie 1200? Ilość liczb podzielnych przez 75 w zakresie od 1 do 200 obliczamy dzieląc 200 na 75: 200 : 75 = 2 reszty 50 Czyli są dwie liczby podzielne przez 15 których Basia nie dopisała. Ile liczb dopisała Basia? Chcąc zatem obliczyć ile liczb w zakresie od 1 do 200 dopisała Basia musimy: Od wszystkich liczb podzielnych przez 15 (te które powinna dopisać Basia) Tych liczb jest ich 13 odjąć Liczby podzielne przez 75 (podzielne przez 15 ale też przez 25 i już znajdujące się tablicy wypisane przez Adriana) Są 2 takie liczby 30 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 9 9 9 9 6 6 6 6 12 9 9 66 6 3 3 3 3 3 333 3 24 6 6 3 3 3 33 3 3 3 9 9 9 9 6 9 9 9 6 24 24 6 9 9 9 3 3 3 24 9 Oznaczamy długości wszystkich czerwonego i zielonego kwadratu: 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 12 9 9 6 9 12 24 6 6 3 3 3 33 3 3 3 9 6 6 6 12 12 9 6 boków 66 6 3 3 3 3 3 333 3 3 3 3 6 24 24 6 9 9 9 9 24 79 Oznaczamy długości wszystkich boków czerwonego, fioletowego, zielonego i niebieskiego kwadratu: 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 9 9 9 6 6 66 6 3 3 3 3 3 333 3 24 6 6 3 3 3 33 3 3 3 9 6 9 9 6 9 6 9 9 9 9 9 3 3 3 6 24 24 6 9 9 9 9 24 Etap III Na poniższym rysunku: 1. Długość prawego boku czerwonego kwadratu wynosi 9, gdyż kwadrat ten jest przystający do różowego kwadratu (obydwa kwadraty mają jeden bok wspólny) 2. Długość prawego boku zielonego kwadratu wynosi 12, gdyż jest sumą boków o długościach 6, 3 i 3 Otrzymujemy, że Basia dopisała 13 – 2 czyli 11 liczb. Ile liczb dopisał Cyprian? Adrian również tylko dopisuje Cyprian również tylko dopisuje liczby – są to dzielniki liczby 10 w zakresie od 1 do 200. Jeśli liczba jest podzielna przez 10, ale znajduje się już na tablicy to Cyprian jej nie dopisuje. Liczby Cypriana – rozwiązanie „na piechotę” Poniżej w zakresie 1-200: 1. fioletowym kolorem zaznaczono wielokrotności liczby 10 które Cyprian dopisał na tablicy 2. na czerwono wielokrotności liczby 10 których Cyprian nie dopisał gdyż były wypisane przez Adriana (są również wielokrotnościami 25) 3. na zielono wielokrotności liczby 10 których Cyprian nie dopisał gdyż były wypisane przez Basię (są również wielokrotnościami 25) 10 20 1 2 30 40 50 60 3 70 80 4 5 90 100 150 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 6 7 8 9 10 11 Otrzymujemy, że Cyprian dopisał 11 liczb. Trzeba obliczyć 78 31 Podobnie jak poprzednio poniżej pokażę jak obliczyć ilość liczb dopisanych przez Cypriana bez ich wypisywania. Jak to zrobimy? Od liczb podzielnych przez 10 (powinien je dopisać Cyprian) odejmiemy liczby podzielne 10 i 25 (wypisał je Adrian) i liczby podzielne przez 10 i 15 (wypisała je Basia) i dodamy liczby podzielne przez 10, 15 i 25 (były odjęte dwukrotnie). Liczby podzielne przez 10 w zakresie 1-200 Ilość liczb podzielnych przez 10 w zakresie od 1 do 100 obliczamy dzieląc 200 przez 10: 200 : 10 = 20 Czyli gdyby nie Adrian i Basia to Cyprian dopisałby 20 liczb. Etap II Na poniższym rysunku: 1. Długość prawego boku czerwonego kwadratu wynosi 9, gdyż jest sumą boków o długościach 6 i 3 2. Długość lewego boku fioletowego kwadratu wynosi 24, gdyż jest sumą boków o długościach 6, 3, 6 i 9 3. Długość boku ciemnozielonego kwadratu wynosi 6 gdyż kwadrat ten jest przystający do jasnozielonego kwadratu o boku 6 (obydwa kwadraty mają jeden bok wspólny) 4. Długość boku niebieskiego kwadratu wynosi 9 gdyż kwadrat ten jest przystający do jasnoniebieskiego kwadratu o boku 9 (obydwa kwadraty mają jeden bok wspólny) 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 ----------------------Jakich liczb nie dopisał Cyprian gdyż były na tablicy wypisane przez Adriana? Część liczb Cyprian nie dopisał gdyż były już na tablicy wypisane przez Adriana. Są to liczby podzielne przez 10 (powinien wypisać je Cyprian) i jednocześnie podzielne przez 25 (były już na tablicy wypisane przez Adriana). Na powyższym rysunku zaznaczone są czerwonym kolorem. Są to cztery liczby: 50, 100, 150 i 200. 9 9 6 9 9 6 6 3 3 3 33 3 3 3 9 9 6 6 6 6 6 24 6 3 3 3 3 3 333 3 3 3 3 9 9 9 9 NWW liczb 10 i 25 My ilość liczb podzielnych przez 10 i 25 obliczymy korzystając z Najmniejszej Wspólnej Wielokrotności (NWW). 32 77 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 6 9 3 3 3 33 3 3 3 10 2 5 5 1 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Zauważmy, że najmniejsza liczba podzielna jednocześnie przez 10 i 25 to NWW liczb 10 i 25. Znajdujemy NWW(10,25): Rozkładamy na czynniki pierwsze liczby 10 i 25: 9 10 = 2 * 5 25 = 5 * 5 NWW(10,25) znajdujemy wykreślając mające swoje odpowiedniki czynniki między liczbami 10 i 25: 10 2 2 5 1 Oznaczamy długości wszystkich boków zielonego, niebieskiego, fioletowego i czerwonego kwadratu: 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 6 6 9 9 6 6 3 3 3 33 3 3 3 9 6 9 6 76 9 9 9 9 25 5 5 5 1 Czynnik 5 zaznaczony na czerwono powtarza się między liczbami 10 i 25 dlatego jeden z nich wykreślamy. Nieskreślone czynniki bierzemy do obliczenia NWW: NWW(10,25) = 2 * 5 * 5 = 10 * 5 = 50 6 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 25 5 5 5 1 Liczby podzielne przez 10 i 25 Otrzymujemy, że najmniejszą liczbą podzielną jednocześnie przez 10 i 25 jest 50. Zatem Cyprian nie dopisał liczb podzielnych przez 50 (przy ręcznym rozwiązaniu zaznaczyłem je na czerwono). Co prawda liczby podzielne przez 50 dzielą się przez 10 (Cyprian powinien takie liczby dopisać), ale dzielą się również przez 25 (były na tablicy wypisane przez Adriana). 33 W zakresie 1-200 liczb podzielnych przez 50 jest 4 gdyż 200 : 50 = 4. Ile liczb nie dopisał Cyprian gdyż były na tablicy wypisane przez Adriana? Otrzymujemy, że spośród dwudziestu liczb jakie Cyprian powinien dopisać (gdyż dzielą się przez 10 w przedziale 1-200) Adrian na pewno nie dopisał czterech podzielnych przez 50, gdyż dodatkowo dzielą się przez 25 i były już na tablicy wypisane przez Adriana. ----------------------Jakich liczb nie dopisał Cyprian gdyż były na tablicy wypisane przez Basię? Również część liczb Cyprian nie dopisał gdyż były już na tablicy wypisane przez Basię. Są to liczby podzielne przez 10 (powinien wypisać je Cyprian) i jednocześnie podzielne przez 15 (były już na tablicy wypisane przez Basię). Na powyższym rysunku zaznaczone są czerwonym kolorem. Jest to sześć liczb: 30, 60, 90, 120, 150 i 180. NWW liczb 10 i 15 My ilość liczb podzielnych przez 10 i 15 obliczymy korzystając z Najmniejszej Wspólnej Wielokrotności (NWW). Zauważmy, że najmniejsza liczba podzielna jednocześnie przez 10 i 15 to NWW liczb 10 i 15. Znajdujemy NWW(10,15). Rozkładamy na czynniki pierwsze liczby 10 i 15: 34 Rozumując analogicznie otrzymujemy, że wszystkie poniższe różowe kwadraciki są przystające i maja długości boków równe 3: 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Etap I Zwróćmy uwagę, że na poniższym rysunku: 1. Długość górnego boku niebieskiego kwadratu wynosi 9, gdyż jest równa trzem długościom boku kwadracika o boku 3. 2. Długość dolnego boku zielonego kwadratu wynosi 6, gdyż jest równa dwóm długościom boku kwadracika o boku 3. 3. Długość górnego boku fioletowego kwadratu wynosi 6, gdyż jest równa dwóm długościom boku kwadracika o boku 3. 4. Długość lewego boku czerwonego kwadratu wynosi 9, gdyż jest równa trzem długościom boku kwadracika o boku 3. 75 3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Podobnie poniżej żółty kwadracik jest przystający do różowego z uwagi na wspólny ciemnoczerwony bok – te kwadraciki również mają równe długości boków: 3 3 3 33 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 10 2 5 5 1 15 3 5 5 1 10 = 2 * 5 15 = 3 * 5 NWW(10,15) znajdujemy wykreślając czynniki, które mają swoje odpowiedniki między liczbami 10 i 15: 10 2 15 3 2 5 5 5 1 1 Czynnik 5 zaznaczony na czerwono powtarza się między liczbami 10 i 25 dlatego jeden z nich wykreślamy. Nieskreślone czynniki bierzemy do obliczenia NWW: NWW(10,25) = 2 * 3 * 5 = 6 * 5 = 30 Liczby podzielne przez 10 i 15 Otrzymujemy, że najmniejszą liczbą podzielną jednocześnie przez 10 i 15 jest 30. Zatem Cyprian nie dopisał liczb podzielnych przez 30 (przy ręcznym rozwiązaniu zaznaczyłem je na zielono). Co prawda liczby podzielne przez 30 dzielą się przez 10 (Cyprian powinien takie liczby dopisać), ale dzielą się również przez 15 (były na tablicy wypisane przez Basię). W zakresie 1-200 liczb podzielnych przez 30 jest 6 gdyż: 200 : 30 = 6 reszty 20. Ile liczb nie dopisał Cyprian gdyż były na tablicy wypisane przez Basię? 74 35 Otrzymujemy, że spośród dwudziestu liczb jakie Cyprian powinien dopisać (gdyż dzielą się przez 10 w przedziale 1-200) Adrian na pewno nie dopisał sześciu podzielnych przez 30, gdyż dodatkowo dzielą się przez 15 i były już na tablicy wypisane przez Basię. 3 3 3 3 3 3 ----------------------Co dalej? Wydaje się, że teraz wystarczy dla przedziału 1200, od wszystkich liczb podzielnych przez 10 (jest ich 20 i miał je dopisać Cyprian) odjąć liczby podzielne przez 50 (jest ich 4, są podzielne przez 10 ale zostały wcześniej wypisane przez Adriana) oraz także odjąć liczby podzielne przez 30 (jest ich 6, są podzielne przez 10 ale zostały wcześniej wypisane przez Basię) i będziemy mieli liczby które dopisał rzeczywiście Cyprian. Czyli wydaje się, że Cyprian dopisał 20 – 4 – 6 = 20 – 10 = 10 (1) liczb. 3 3 3 3 3 3 Kwadraty przystające do jednostkowych kwadratów W naszym w zadaniu wszystkie figury na rysunku są kwadratami. Ponieważ różowy i żółty kwadracik poniżej mając wspólny ciemnoczerwony bok więc są to kwadraty przystające czyli mają wszystkie boki o długości 3: 150 liczymy podwójnie 36 73 2. zależności między bokami należącymi do różnych kwadratów obliczmy boki wszystkich kwadratów i prostokątów. Szczegółowe rozwiązanie zadania Długości boków różowego kwadratu Ponieważ pole różowego kwadratu wynosi 9 9 więc bok tego kwadratu ma długość 3: 3 3 gdyż pole kwadratu otrzymujemy, że 3 * 3 = 9. to bok * bok, czyli Zatem wszystkie różowe kwadraty które są dane w zadaniu mają boki o długościach 3: 72 Jednak jest to nieprawidłowe rozumowanie. Przekonuje nas o tym rysunek na którym widzimy, że Cyprian dopisał w rzeczywistości 11 liczb. Gdzie jest błąd? Otóż w powyższym rozumowaniu, liczbę 150 liczymy dwukrotnie jako znajdującą się już na tablicy. Policzyliśmy ją wśród czterech liczb które były już na rysunku wypisane przez Adriana (150 podzielna przez 50) jak i wśród sześciu liczb wypisanych przez Basię (150 podzielna przez 30). Czyli w działaniu (1) liczby podzielne jednocześnie przez 10, 15 i 25 (podzielne przez 150) odjęliśmy dwukrotnie, jako niedopisane przez Cypriana. Dlatego musimy poprawić działanie (1) dodając ilość liczb podzielnych przez 150. Wówczas liczby podzielne przez 150 będą odejmowane jednokrotnie.. Jak zrobić to porządnie? Ponieważ chcemy umieć rozwiązywać podobne zadania dla dużych liczb, gdzie wypisywanie wszystkiego nie jest już możliwe, więc nie możemy się opierać na rysunku gdzie widać, że 150 występuje w zakresie 1-200 dokładnie raz. Musimy wszystko policzyć „rachunkowo”. Zatem musimy policzyć NWW(10,15,25)=150 jako najmniejszą liczbę podzielną jednocześnie przez 10, 15, 25. Wielokrotności 150 w zakresie 1-200 to liczby które odejmujemy dwukrotnie od ilości liczb które Adrian powinien wypisać (raz jako liczby będące na tablicy wypisane przez Adriana, raz jako 37 liczby będące na tablicy wypisane przez Basię). Dlatego ilość wielokrotności 150 w zakresie 1-200 musimy dodatkowo dodać do działania (1) by zniwelować podwójne odejmowanie wielokrotności 150. NWW liczb 10, 15, 25 Ilość liczb podzielnych przez 10, 15, 25 obliczymy korzystając z Najmniejszej Wspólnej Wielokrotności (NWW). Zauważmy, że najmniejsza liczba podzielna jednocześnie przez 10, 15 oraz 25 to NWW liczb 10, 15 oraz 25. Znajdujemy NWW(10,15,25): Rozkładamy na czynniki pierwsze liczby 10, 15, 25: 10 2 5 5 1 15 3 5 5 1 25 5 5 5 1 Zadanie nr 7 Treść zadania Wiedząc, że wszystkie figury składające się na duży prostokąt są kwadratami, oraz, że pole różowego kwadracika wynosi 9, oblicz długości boków każdego kwadratu jak również długości boków dużego prostokąta. 9 9 9 10 = 2 * 5 15 = 3 * 5 25 = 5 * 5 NWW(10,15,25) znajdujemy wykreślając mające swoje odpowiedniki czynniki między liczbami 10, 15 i 25: 10 2 2 5 1 15 3 5 5 1 25 5 5 5 1 Czynnik 5 zaznaczony na czerwono powtarza się między wszystkimi liczbami (10, 15, 25) dlatego liczymy go jednokrotnie a pozostałe występowania 38 Sposób rozwiązania zadania Najpierw obliczymy, ż długość boku różowego kwadracika to 3. Następnie korzystając z 1. przystawania kwadratów (wszystkie elementy poza dużym prostokątem są kwadratami) 71 11 wierszy w pionie Pole dużego niebieskiego kwadratu Zatem wszystkich kwadracików będzie: 11 kwadracików w wierszu * 11 wierszy w pionie = 121 kwadracików w niebieskim kwadracie 11 kwadratów w wierszu Odpowiedź: Duży niebieski kwadrat składa się ze 121 kwadracików. 70 wykreślamy. Nieskreślone czynniki bierzemy do obliczenia NWW: NWW(10,15,25) = 2 * 5 * 3 * 5 = 10 * 15 = 150 Liczby podzielne przez 10, 15 i 25 Otrzymujemy, że najmniejszą liczbą podzielną jednocześnie przez 10, 15 i 25 jest 150. Jest jedna liczba podzielna przez 150 w zakresie 1200 gdyż: 200 : 150 = 1 reszty 50. Poprawne rozumowanie Poprawne rozumowanie powinno być następujące: od wszystkich liczb podzielnych przez 10 (jest ich 20 i miał je dopisać Cyprian) odejmujemy liczby podzielne przez 50 (jest ich 4, są podzielne przez 10 ale zostały wcześniej wypisane przez Adriana jako również podzielne przez 25) oraz także odejmujemy liczby podzielne przez 30 (jest ich 6, są podzielne przez 10 ale zostały wcześniej wypisane przez Basię jako również podzielne przez 15) dodajemy liczby podzielne przez 150 (jest jedna taka liczba), gdyż odjęliśmy je powyżej dwukrotnie jako • wypisane wcześniej przez Adriana (dzielą się przez 10 i 25) 39 • wypisane wcześniej przez Basię (dzielą się przez 10 i 15) i mamy liczby które dopisał rzeczywiście Cyprian. Czyli Cyprian dopisał: 20 – 4 – 6 + 1 = 20 – 10 + 1 = 10 + 1 = 11 liczb. Kto wygrał? Otrzymujemy, że: Adrian wypisał 8 liczb. Basia dopisała 11 liczb. Cyprian dopisał 11 liczb. Czyli zwyciężyli w grze jednocześnie Basia i Cyprian. Jak jest strategia wygrywająca? Zadanie wymaga od nas by wypisywać jak najwięcej liczb. Najwięcej liczb będziemy wypisywać gdy wybierzemy liczbę która ma najwięcej wielokrotności. Najwięcej wielokrotności w dowolnym przedziale ma liczba 1. Dlatego chcąc wygrać dziecko powinno napisać na kartce liczbę 1 i oddać ją sędziemu. Oczywiście będzie kłopot, jeśli wszyscy wypiszą na karteczkach liczbę 1. Wówczas tylko pierwsze dziecko wypisze na tablicy swoje wielokrotności (wszystkie liczby w danym przedziale), zaś reszta dzieci już nic nie napisze. Ale ten sam los może spotkać kolejne dzieci gdy wypiszą jakąkolwiek inną liczbę na karteczce. Jeśli pierwsze dziecko wypisze wielokrotności 1 to 40 Bok dużego niebieskiego kwadratu Teraz wiemy, z ilu kwadracików składa się bok dużego niebieskiego kwadratu – wystarczy policzyć, że jest ich 11: 11 Ponieważ kwadrat ma wszystkie boki równe, więc każdy bok niebieskiego kwadratu jest zbudowany z 11 kwadracików: 11 11 69 Kwadrat w lewym dolnym rogu Zauważamy, że bok ciemnoczerwonego kwadratu poniżej składa się z 6 kwadracików: kolejne dzieci również nic nie wypiszą. Dlatego dziecko chcąc wygrać zawody powinno wypisać na karteczce 1 i mieć nadzieję, że będzie pierwsze lub inne dzieci nie wypiszą na karteczce jedynki. Dlatego gra nie ma raczej praktycznego sensu. Do powyższego rozumowania dzieci dochodzą całkiem szybko. 6 Czyli wszystkie boki ciemnoczerwonego kwadratu zbudowanego są z 6 kwadracików i możemy ciemnoczerwony kwadrat wypełnić kwadracikami: 6 6 68 41 Zadanie nr 4 Treść zadania 1. Nauczyciel wypisał na tablicy zielona kredą liczby podzielne przez 6 w zakresie 10 000. 2. Następnie dopisał dodatkowo czerwonym kolorem liczby podzielne przez 10 w zakresie 10 000 pisząc tylko te liczby których nie ma jeszcze na tablicy. 3. Na koniec, granatową kredą dopisał liczby podzielne przez 8 w zakresie 10 000. Również i w tym przypadku nie wypisywał liczb jeśli były już na tablicy. Ile liczb każdego koloru wypisał nauczyciel? Sposób rozwiązania zadania Zatem są przystające i składają się z tej samej liczby kwadracików: Zielonych liczb jako podzielnych przez 6 w zakresie od 1 do 10 000 nauczyciel wypisał 1 666. Normalnie czerwonych liczb podzielnych przez 10 w zakresie od 1 do 10 000 jest 1 000. Jednak z tego 1 000 nauczyciel nie wypisał 333 liczb podzielnych przez 10 gdyż dzielą się również przez 6 i już znajdując się na tablicy wypisane zieloną kredą. Zatem czerwonych liczb nauczyciel dopisał 1 000 – 333 = 667. Mając pustą tablicę grantowych liczb podzielnych przez 8 w zakresie od 1 do 10 000 jest 1 250. Jednak • 416 liczb dzieli się przez 8 i 6 w zakresie od 1 do 10 000 42 67 Podobnie rozumując otrzymujemy, że ciemnoczerwony kwadrat na dole ma boki długości dwóch kwadracików, gdyż górny bok jest zbudowany z kwadracików. Zatem ten cały kwadrat jest wypełniony jest czterema kwadracikami: • 250 liczb dzieli się przez 8 i 10 w zakresie od 1 do 10 000 • 83 liczby dzielą się przez 8, 6 i 10 w zakresie od 1 do 10 000 Dlatego, spośród 1 250 liczb podzielnych przez 8 nauczyciel nie wypisał 416 + 250 – 83 = 666 – 83 = 583 liczb. Zatem nauczyciel wypisał 1 250 – 583 = 667 granatowe liczby. Szczegółowe rozwiązanie zadania 2 2 2 2 Ciemnoczerwone kwadraty poniżej mają wspólny zielony bok: 66 Ile zielonych liczb wypisał nauczyciel? Zielone liczby to takie które są z zakresu od 1 do 10 000 i dodatkowo są podzielne przez 6. Zauważmy, że: 10 000 : 6 = 1 666 reszty 4 Zatem zielonych liczb (podzielnych przez 6 z zakresu od 1 do 10 000) jest 1 666. Ile czerwonych liczb dopisał nauczyciel? Czerwone liczby to liczby podzielne przez 10 z zakresu od 1 do 10 000. Zauważmy, że: 10 000 : 10 = 1 000 Zatem liczb podzielnych przez 10 z zakresu od 1 do 10 000 jest 1 000. Zauważmy, że w treści zadania występuje zwrot: dopisał liczby podzielne przez 10 nie zaś: wypisał liczby podzielne przez 10 43 Dlatego nauczyciel nie wypisał wszystkich tysiąca liczb podzielnych przez 10 z zakresu od 1 do 10 000. Cześć z liczb podzielnych przez 10 liczb była już wypisana, gdyż oprócz tego, że dzieli się przez 10 to dzieli się przez 6 i była na tablicy wypisana kolorem zielonym. Liczby które dzielą się jednocześnie przez 6 i 10 to NWW (6,10) – Najmniejsza Wspólna Wielokrotność liczb 6 i 10. NWW(6,10) = 30. Zatem nauczyciel nie dopisał czerwonym kolorem następujących liczb podzielnych przez 10: 30, 60, 90,.. gdyż te liczby były już zapisane na tablicy kolorem zielonym jako podzielne przez 6.. Obliczamy, że: 10 000 : 30 = 333 reszty 10. Otrzymujemy, że liczb podzielnych przez 30 z zakresu od 1 do 10 000 jest 333. Podsumujmy: 1. Nauczyciel powinien dopisać 1 000 liczb podzielnych 10 w zakresie od 1 do 10 000. 2. Spośród tych 1 000 liczb 33 nie zostały dopisane gdyż już były na tablicy jako podzielne przez 6 Otrzymujemy, że nauczyciel dopisał 1 000 – 333 = 667 liczb podzielnych przez 10 w zakresi od 1 do 10 000. Ile granatowych liczb dopisał nauczyciel? Granatowe liczby to takie które są z zakresu od 1 do 10 000 i dodatkowo są podzielne przez 8. Ponieważ: 44 2 2 2 2 Możemy więc ciemnoczerwony kwadrat wypełnić kwadracikami: 65 2. Przystawaniem (kwadraty mające jeden bok tej samej długości są przystające) 3. Istniejącymi na rysunku zależnościami Jest to żmudna metoda ale jedyna prawidłowa. Kwadraty o boku 2 Zauważmy, że dolny bok ciemnoczerwonego kwadratu poniżej (z treści zadania wynika, że wszystkie figury są kwadratami) składa się dwóch kwadracików: 2 Zatem wszystkie boki ciemnoczerwonego kwadratu składają się z 2 kwadracików: 64 10 000 : 8 = 1 250 Zatem liczb podzielnych przez 8 z zakresu od 1 do 10 000 jest 1 250. Ponownie musimy zwrócić uwagę, że nauczyciel dopisywał a nie wypisywał liczby podzielne przez 8. Dlatego nauczyciel nie wypisał wszystkich 1 250 liczb podzielnych przez 8 z zakresu od 1 do 10 000. Cześć z liczb podzielnych przez 8 liczb była już wypisana, gdyż oprócz tego, że dzieli się przez 8 to dzieli się przez 6 lub przez 10 i była na tablica wypisana kolorem zielonym lub czerwonym. Liczby które dzielą się jednocześnie przez 6 i 8 to NWW (6,8) – Najmniejsza Wspólna Wielokrotność liczb 6 i 8. NWW(6,8) = 24. Zatem nauczyciel nie dopisał następujących liczb: 24, 48, 72,.. gdyż te liczby były już zapisane na tablicy kolorem zielonym jako podzielne przez 6.. Obliczamy, że: 10 000 : 24 = 416 reszty 16 Otrzymujemy, że liczb podzielnych przez 24 z zakresu od 1 do 10 000 jest 416. Liczby które dzielą się jednocześnie przez 8 i 10 to NWW (8,10) – Najmniejsza Wspólna Wielokrotność liczb 8 i 10. NWW(8,10) = 40. Zatem nauczyciel nie dopisał następujących liczb: 40, 80, 120,.. 45 gdyż te liczby były już zapisane na tablicy kolorem czerwonym jako podzielne przez 10.. Obliczamy, że: 10 000 : 40 = 250 Otrzymujemy, że liczb podzielnych przez 40 z zakresu od 1 do 10 000 jest 250. Podsumujmy: 1. Nauczyciel powinien dopisać 1 250 liczb podzielnych 8 2. Spośród tych 1 250 liczb a. 416 znajduje się na tablicy jako podzielne przez 6 b. 250 znajduje się na tablicy jako podzielne przez 10 Wynika z tego, że spośród liczb podzielnych przez 8 na tablicy już znajduje się już: 416 + 250 = 666 liczb podzielnych przez 6 i 10. Jednak nie jest to prawda. Zauważmy, że spośród liczb podzielnych przez 8, liczby podzielne zarówno przez 6 jak i przez 10 liczyliśmy dwukrotnie. Dlatego musimy znaleźć NWW(6,8,10) i od 660 odjąć liczby które dzielą się jednocześnie przez 6, 8 i 10. Te liczby występują w 660 dwukrotnie. NWW(6,8,10) = 120 Oznacza to, że liczby: 120, 240, 480,… 46 1 Niestety, nie możemy w ten sposób „zgadywać” liczby kwadracików w pustych miejscach. Takie rozwiązanie „na oko” jest niedopuszczalne. Podobnie tyczy się boków innych kwadratów. Nie możemy ręcznie dorysowywać kwadracików by obliczyć z ilu kwadracików zbudowany jest bok większego kwadratu. Za każdym razem musimy obliczyć z ilu kwadracików składa się bok większego kwadratu. Tak jak zrobimy to w dalszej części rozwiązania zadania. Jak w takim razie rozwiązać zadanie? By stwierdzić z ilu kwadracików składa się na jakiś analizowany większy kwadrat, możemy (wręcz musimy) posługiwać się: 1. Własnościami kwadratu (wszystkie boki kwadratu mają tą samą długość) 63 Czy możemy zgadywać? Na pierwszy rzut oka chciałoby się napisać, że poniższy ciemnoczerwony kwadrat ma bok złożony z czterech kwadracików: 4 gdyż optycznie („na oko”) widzimy, że poniżej jest miejsce tylko na jeden kwadracik zaznaczony ciemnoczerwonym kolorem: uwzględniliśmy dwukrotnie: są na tablicy jako podzielne przez 6 jak również, że są na tablicy gdyż są podzielne jest 10. Obliczamy, że: 10 000 : 120 = 83 reszty 40 Otrzymujemy, że liczb podzielnych przez 120 z zakresu od 1 do 10 000 jest 83. Czyli zanim nauczyciel zaczął wypisywać granatowe liczby podzielne przez 8, na tablicy było już 666 – 83 = 583 liczb które są podzielne przez 8. Podsumujmy ponownie: 1. Nauczyciel powinien dopisać 1 250 liczb podzielnych 8 2. Spośród tych 1 250 liczb 583 nie będzie dopisane gdyż już są na tablicy jako podzielne przez 6 lub podzielne przez 10 (lub przez 6 i 10 jednocześnie). Otrzymujemy, że nauczyciel dopisał 1 250 – 583 = 667 granatowych liczb podzielnych przez 8. Odpowiedź: Nauczyciel wypisał: 1 666 zielonych liczb 667 czerwonych liczb 667 granatowe liczby 62 47 Zadanie nr 5 Treść zadania Rozumując analogicznie otrzymujemy, że wszystkie poniższe różowe kwadraciki są przystające czyli mają równie pola: Składając 3 jednakowe małe prostopadłościany możemy uzyskać sześcian o polu powierzchni 864 cm2. Jakie pole powierzchni uzyskamy składając 3 małe prostopadłościany w jeden duży prostopadłościan nie będący sześcianem? Sposób rozwiązania zadania 1. Najpierw określimy sobie jakie proporcje musi mieć pojedynczy mały prostopadłościan by spełniał warunki zadania. Wymiary pojedynczego małego prostopadłościanu to: x, 3x, 3x. 2. Wiedząc, że pole powierzchni sześcianu zbudowanego z 3 małych prostopadłościanów wynosi 864 cm2, obliczymy, że x = 4 cm. 3. Ponieważ duży prostopadłościan zbudowany z 3 małych prostopadłościanów ma wymiary x, 3x, 9x, więc obliczymy, że pole powierzchni dużego prostopadłościanu wynosi 1248 cm2. Szczegółowe rozwiązanie zadania Zrozumieć treść zadania! Żeby rozwiązać zadanie trzeba zrozumieć jego treść. W naszym przypadku oznacza to, że 48 61 powinniśmy zastanowić się jakie wymiary musi mieć mały prostopadłościan by: 1. przy jednym sposobie złożenia dał nam sześcian 2. przy innym sposobie złożenia dał duży prostopadłościan nie będący sześcianem Po chwili rysowania i małego „kombinowania” okazuje się, że mały prostopadłościan musi mieć wymiary jak poniżej: Podobnie poniżej czerwone kwadraciki są przystające do różowego z uwagi na wspólne ciemnoczerwone boki – również mają równe pola: 3x 3x x Prostopadłościan ten ma dwie krawędzie identycznej długości (zaznaczone kolorem czerwonym o długości 3x), zaś ostatnia krawędź jest trzykrotnie krótsza od dwóch pozostałych (zaznaczona kolorem zielonym o długości x). 60 49 Czy powyższy mały prostopadłościan spełnia warunki zadania? Powyższy mały prostopadłościan o wymiarach x, 3x, 3x można złożyć wzdłuż jednej z 3 krawędzi. Otrzymujemy w ten sposób 3 różne sytuacje pokazane poniżej. Przypadek 1: Składamy mały prostopadłościan wzdłuż pierwszej krawędzi Sposób rozwiązania zadania Powielając małe kwadraciki wśród większych kwadratów, obliczymy, że lewy bok dużego niebieskiego kwadratu składa się z 11 różowych kwadracików. Zatem każdy bok dużego, niebieskiego kwadratu składa się z 11 kwadracików. Czyli liczba różowych kwadracików w niebieskim kwadracie to: 11 kwadracików w wierszu * 11 wierszy w pionie czyli 121 różowych kwadracików. Szczegółowe rozwiązanie zadania Kwadraty przystające do jednostkowych kwadratów W naszym w zadaniu wszystkie figury na rysunku są kwadratami. Ponieważ różowy i czerwony kwadracik poniżej mając wspólny ciemnoczerwony bok więc są to kwadraty przystające czyli mają równe pola. 3x 9x 3x 3x 3x x 50 59 Przypadek 2: Składamy mały prostopadłościan wzdłuż drugiej krawędzi a a W matematyce zamiast „takie same”, mówimy, że kwadraty są przystające. Czyli powyższe kwadraty są przystające. Powyższe kwadraty są przystające, gdyż – jak zaznaczono kolorem ciemnoczerwonym – mają jeden bok tej samej długości a. Kwadraty przystające (potocznie takie same) mają równe długości boków, przekątnych no i oczywiście równe miary kątów, gdyż wszystkie kąty w kwadracie są proste. Kwadraty przystające mają również równe pola. Poniżej tym samym kolorem zaznaczono odpowiadające sobie elementy w dwóch przystających kwadratach. a a 3x 3x 3x 9x 3x x Przypadek 3: Składamy mały prostopadłościan wzdłuż trzeciej krawędzi 3x 3x x x x 3x 58 51 Wszystko się zgadza z treścią zadania Zauważmy, że 1. Przypadek 1 i Przypadek 2 dają nam ten sam prostopadłościan o wymiarach x, 3x, 9x tylko inaczej ułożony. Jest to duży prostopadłościan nie będący sześcianem określony w warunkach zadania 2. Przypadek 3 daje nam sześcian o boku 3x. Jest to sześcian określony w warunkach zadania. Tak więc mały prostopadłościan o wymiarach x, 3x, 3x jest właśnie tym prostopadłościanem o którym mówi treść zadania: Zadanie nr 6 Treść zadania Z ilu najmniejszych kwadracików (dwa z nich zaznaczono na różowo) składa się duży kwadrat o niebieskim obwodzie? Zrozumienie treści zadania Teraz rozwiązanie zadania będzie banalne. Zobaczmy jak ważne jest zrozumienie treści zadania. Obliczamy x korzystając z pola powierzchni sześcianu Obliczymy w zależności od x pole powierzchni sześcianu utworzonego z 3 małych prostopadłościanów. Następnie porównamy uzyskaną wielkość z polem powierzchni sześcianu danym w zadaniu, czyli liczbą 864 cm2. W ten sposób obliczymy x. 52 Teoria – przystawanie kwadratów Jeśli dwa kwadraty mają choć jeden bok tej samej długości to możemy powiedzieć, że są „takie same”, tak jak poniższe kwadraty: 57 Pole powierzchni dużego prostopadłościanu Duży prostopadłościan ma trzy rodzaje ścian: A. Żółte ściany o wymiarach 9x na 3x Pole powierzchni ( P1 ) jednej takiej ściany to: P1 = 9 x ⋅ 3 x = 27 x 2 Takie ściany są dwie. B. Różowe ściany o wymiarach 9x na x Pole powierzchni ( P2 ) jednej takiej ściany 2 to: P2 = 9 x ⋅ x = 9 x Takie ściany są dwie. C. Błękitne ściany o wymiarach 3x na x Pole powierzchni ( P3 ) jednej takiej ściany to: P3 = 3 x ⋅ x = 3 x 2 Takie ściany są dwie. Teraz już łatwo obliczyć pole powierzchni ( Pd ) dużego prostopadłościanu: Pd = 2 ⋅ P1 + 2 ⋅ P2 + 2 ⋅ P3 = 2 ⋅ 27 x 2 + 2 ⋅ 9 x 2 + 2 ⋅ 3 x 2 = = 54 x 2 + 18 x 2 + 6 x 2 = 72 x 2 + 6 x 2 = 78 x 2 Ponieważ x = 4cm więc otrzymujemy: Pd = 78 x 2 = 78 ⋅ (4cm) 2 = 78 ⋅16cm 2 = 1248cm 2 Sześcian zbudowany z 3 prostopadłościanów wygląda następująco. małych 3x 3x x x x 3x Pole powierzchni pojedynczej ściany ( Ps ) wynosi: Ps = 3 x ⋅ 3 x = 9 x 2 Pole powierzchni całego sześcianu ( Pp ) to 6 powierzchni jednej ściany: Pp = Ps = 6 ⋅ 9 x 2 = 54 x 2 Z treści zadania wiemy, że pole powierzchni tego sześcianu wynosi 864 cm2. Prowadzi nas to do równości Odpowiedź: Pole powierzchni dużego prostopadłościanu wynosi 1248 cm2. 56 53 Pp = 54 x 2 = 864cm 2 54 x 2 = 864cm 2 |: 54 864 2 cm 54 432 2 = cm 27 48 = cm 2 3 x2 = x2 x2 3x x 2 = 16cm 2 Są dwie liczby: 4 oraz -4, które podniesione do kwadratu dają 16. Ponieważ x to długość odcinka więc musi być dodatnia. Otrzymujemy, że: 3x 3x 9x 3x x = 4cm x Obliczamy pole powierzchni dużego prostopadłościanu Ponieważ duży prostopadłościan dla przypadku 1 i przypadku 2 jest taki sam (tylko „leży” na innym boku) więc nie ma znaczenia który z nich wybierzemy do obliczenia pola powierzchni. Niech będzie to poniższy prostopadłościan: 54 Liczmy na literkach (w zależności x) Możemy od razu podstawić x = 4cm i policzyć pole powierzchni dużego prostopadłościanu, gdyż otrzymamy krawędzie o długościach 4cm, 12 cm oraz 36 cm. Jednak bardziej elegancko jest policzyć ogólnie pole powierzchni dużego prostopadłościanu w zależności od x. Pozwoli nam to również poćwiczyć działania algebraiczne, które są bardzo potrzebne w zadaniach konkursowych jak również w życiu codziennym. I co najważniejsze – zmniejszają prawdopodobieństwo popełnienia błędu w zadaniach. 55
