pushover analysis and nonlinear joints in reinforced concrete

Leszek CHODOR
Rafaá PODSTAWKA
ANALIZA PUSHOVER ORAZ PRZEGUBY I ZAàOMY
NIELINIOWE W KONSTRUKCJACH ĩELBETOWYCH
1. WPROWADZENIE
W praktyce projektowania konstrukcji Īelbetowych waĪne są inĪynierskie metody analizy nieliniowych konstrukcji Īelbetowych, w których odchodzi siĊ od statycznej analizy
sprĊĪystej (liniowej), ale teĪ nie wchodzi w metody teoretycznie Ğcisáe, implementowane
w programach naukowych, np. w programie ABAQUS (Abaqus Inc (2004) [1]). Taką inĪynierską metodą, uwzglĊdniającą w sposób makroskopowy (integralny) efekty nieliniowe
konstrukcji Īelbetowych jest analiza zniszczenia konstrukcji, ostatnio znana czĊĞciej pod
nazwą analizy pushover. Metoda ta jest podstawową metodą badania konstrukcji pracujących w rejonach sejsmicznych Federal Emergency Management Agency (2000) [2], Martino i in. (2000) [3]. W warunkach sejsmicznych nie moĪna pominąü nieliniowego charakteru nie tylko obciąĪeĔ, ale równieĪ konstrukcji przejawiającej záoĪone, silnie nieliniowe zachowania ze wzglĊdu na nieliniowoĞci kompozytowego materiaáu jak i systemu konstrukcyjnego, sprzĊĪonego z programem obciąĪeĔ.
Metoda pushover zostaáa zaproponowana przez Vidic i in. (1994) [4] oraz Tso i Moghadama (1998) [5]. PodejĞcie pushover jest rozwijane przez wielu badaczy, szczególnie
w Ameryce (USA, Kanada) oraz Japonii i doczekaáo siĊ wielu implementacji komputerowych. RównieĪ polsko-francuski program ROBOT (RoboBAT (2006) [6]), zakupiony
obecnie przez Autodesk, zawiera procedurĊ analizy pushover, a w tym skrypt do definicji
przegubu nieliniowego.
W niniejszej pracy pokaĪemy, Īe metoda pushover moĪe byü stosowana z powodzeniem
w prostszych warunkach, usuwając niespójnoĞü tradycyjnych metod analizy konstrukcji
Īelbetowych, w których siáy przekrojowe wyznacza siĊ w procedurach idealnie liniowych,
zaĞ wymiarowanie zbrojenia przeprowadza siĊ w nieliniowym stanie granicznym przekroju.
Taka „uáomna” (formalnie niepoprawna procedura), mogáa byü akceptowana w okresie,
w którym powszechnie nie dysponowano programami z opcją obliczeĔ nieliniowych. Obecnie w praktyce inĪynierskiej za podstawowa metodĊ wymiarowania Īelbetu naleĪy uwaĪaü
nieliniową, iteracyjną technikĊ obliczeĔ statycznych, sprzĊĪoną z wymiarowaniem zbrojonych przekrojów w stanie granicznym. Uproszczenia stosowane w metodzie pushover
dr inĪ. Leszek Chodor, mgr inĪ. Rafaá Podstawka – Biuro Projektów Budownictwa Chodor-Projekt
sp. z o.o., Kielce
216
Leszek Chodor, Rafaá Podstawka
zmierzają w kierunku integralnego ujĊcia zjawisk nieliniowych konstrukcji z fundamentalnym zaáoĪeniem stosowania nieliniowych, iteracyjnych metod rozwiązywania i optymalizacji konstrukcji. DziĊki zamodelowaniu przegubu nieliniowego z uwzglĊdnieniem kompletu zjawisk fizycznych bez wchodzenia w ich szczegóáową fizykalnoĞü, metoda jest uniwersalna, a jednoczeĞnie intuicyjna i nie wymaga zaawansowanych podstaw teoretycznych,
dziĊki czemu moĪe byü szybko przyswojona przez praktyków inĪynierów. W ujĊciu sejsmicznym jednym z podstawowych problemów jest wyznaczanie zastĊpczych statycznych
siá dziaáających na konstrukcjĊ w ramach monotonicznie rosnącego programu obciąĪeĔ
bĊdących siáami zastĊpczymi w stosunku do siá bezwáadnoĞci od trzĊsienia gruntu. Tym
zagadnieniem nie bĊdziemy siĊ zajmowaü, natomiast rozwaĪymy problem integralnego
definiowania przegubów nieliniowych w elementach prĊtowych oraz linii przegubów (linii
zaáomów w páytach i elementach powáokowych), a takĪe praktycznego ujĊcia miejsc krytycznych (przegubów) w algorytmach komputerowych, poprzez utoĪsamienie tych miejsc
z punktami caákowania procedur numerycznych, a takĪe uwzglĊdnienia istotnych w konstrukcjach Īelbetowych odksztaáceĔ i zarysowaĔ poprzecznych.
Na przykáadzie potwierdzimy, Īe przy stosowaniu metod analizy fizycznie nieliniowej
moĪna dopuĞciü lokalne „niedowymiarowania” przekrojów pod warunkiem, Īe inne miejsca konstrukcji są w stanie przejąü „zwolnione” siáy. Nie moĪna wiĊc twierdziü, Īe tylko
rozkáad zbrojenia zgodny ze sprĊĪystym polem siá jest sáuszny, a kaĪdy inny jest niedopuszczalny. SpostrzeĪenie to wynikające z klasycznego twierdzenia teorii noĞnoĞci granicznej o polach statycznie dopuszczalnych [7] naleĪy zmodyfikowaü poprzez kontrolĊ
dopuszczalnych zarysowaĔ oraz ugiĊü konstrukcji Īelbetowych.
2. MODEL KONSTRUKCJI Z KRYTYCZNYMI PRZEGUBAMI NIELINIOWYMI
2.1. Mechanizm zniszczenia przegubu (lub zaáomu) krytycznego
w konstrukcjach Īelbetowych
Opis przegubów krytycznych (nieliniowych, plastycznych) jest jednym z waĪniejszych
zagadnieĔ analizy pushover. Na rysunku 1 pokazano proces powstawania przegubu krytycznego w warunkach mimoĞrodowego Ğciskania prĊtów Īelbetowych, który byá obszernie
badany przez Bayrak i Sheikh (2000) [8].
Rys. 1. Przegub krytyczny wywoáany mimoĞrodowym Ğciskaniem wg Bayrak O., Sheikh S.A. (2000) [8]
Podczas zwiĊkszającego siĊ poziomu obciąĪeĔ, punkty lub linie krytyczne konstrukcji
ulegają stopniowemu niszczeniu. W rezultacie konstrukcja zmienia swoją sztywnoĞü.
Zgodnie z propozycją ATC-40 (1996) [9], w statycznej, nieliniowej analizie pushover,
ĞcieĪkĊ równowagi (przemieszczenie – mnoĪnik siá zewnĊtrznych) opisuje siĊ typową relacją, pokazana na rysunku 2. PiĊü punktów nazwanych A,B,C,D i E związane jest z pojawianiem siĊ kolejnych przegubów krytycznych, a trzy punkty nazwane IO, LS i CP opisują
Analiza pushover oraz przeguby i zaáomy nieliniowe w konstrukcjach Īelbetowych
217
akceptowalne kryteria dla konstrukcji kolejno: IO (Immediate Occupance) – doraĨne uĪytkowanie, LS (Live Safety) – bezpieczeĔstwo eksploatacji i CP (Collapse Prevention) – mechanizm zniszczenia.
Rys. 2. Typowa relacja obciąĪenie – odksztaácenie w analizie pushover
2.2. Model przegubu nieliniowego stosowany w analizie pushover
Tworzenie siĊ przegubów krytycznych jest stopniowe. ZaleĪnoĞü miĊdzy zastĊpczą siáą
przekrojową, a przemieszczeniem zastĊpczym w przestrzeni interakcji moĪe byü inna dla
kaĪdego punktu krytycznego. Zalecamy, aby te związki konstytutywne wyznaczaü metodami numerycznymi niĪszego poziomu i weryfikowaü na drodze doĞwiadczalnej.
Związek konstytutywny miĊdzy siáą uogólnioną P, a przemieszczeniem uogólnionym u,
zapiszmy za pomocą formuáy
f ( P,u ) 0
(1)
gdzie f jest w ogólnoĞci nieliniową funkcją uwikáaną, opisaną powierzchnią regresji wyznaczoną na drodze badaĔ numerycznych lub doĞwiadczalnych, opisywaną czĊsto funkcją
dwu- lub wieloliniową lub w celu unikniĊcia osobliwoĞci funkcją sklejaną trzeciego stopnia. W przypadku wiĊkszej liczby skáadowych siá przekrojowych (np. N – siáa osiowa, M –
moment zginający) zwykle wyznacza siĊ siáĊ zastĊpczą np. speániającą równanie interakcji.
2.3. Model MES uwzglĊdniający Ğcinanie i nieliniowoĞü materiaáową
PoniewaĪ w analizie pushover konstrukcji Īelbetowych duĪe znaczenie odgrywają obciąĪenia i przemieszczenia poprzeczne, wiĊc w modelu elementu naleĪy uwzglĊdniü odksztaácenia styczne. Dlatego stosuje siĊ element Timoshenki, w którym przekrój páaski
przed odksztaáceniem pozostaje páaski, lecz nie pozostaje prostopadáy do osi prĊta [12].
Odksztaácenia w dowolnym punkcie P(y,z) przekroju poprzecznego elementu Timoshenki, poddanego mimoĞrodowemu Ğciskaniu moĪemy zapisaü wzorem:
H x (x, y, z) HC (x) ykz (x) zky (x) ,
J xy(x, y, z) J y (x) ,
J xz (x, y, z) J z (x)
(2)
Uogólnione odksztaácenia w punkcie odniesienia przekroju poprzecznego C(0,0) (Ğrodek ciĊĪkoĞci przekroju przed zarysowaniem) wynoszą (podano tylko funkcje od x):
HC ua,x ,
kz Tz,x ,
k y T y,x ,
J y Tz w,x ,
J z T y v,x
(3)
gdzie wprowadzono oznaczenie wf wx f x . Uogólnione odksztaácenia (3) zaleĪą od przemieszczeĔ dowolnego punktu. W niniejszej pracy wykorzystamy 3-wĊzáowy element izoparametryczny [12].
218
Leszek Chodor, Rafaá Podstawka
ªu º
« »
«v»
u(x) « w »d q
« »
«Tz »
«T »
¬ y¼
>u
1
v1 w1 Tz1 T y1 u2 v2 w2 T z2 T y2 u3 v3 w3 Tz3 T y3
@
T
(4)
Funkcje ksztaátu dla poszczególnych przemieszczeĔ uogólnionych mają postaü:
ª>Nu @º
»
«
« >Nv @ »
«>Nw @»
»
«
«>Nșz @»
«N »
¬ șy ¼
> @
gdzie:
ªN1 0 0 0 0 N2
«
« 0 N1 0 N4 0 0
«0 0 N 0 N 0
1
4
«
« 0 0 0 N1 0 0
«
¬ 0 0 0 0 N1 0
N1(ȟ) (1/ 2)ȟ(1 ȟ) ,
0
0 N3
0
0
0
0 0 N5
0 0
N3
0
N6
0 0
0
N5 0
0
N3
0
0 0 N2
0 0
0
0
N3
0 0
N2 0
0
0
0
0 0
0
0º
»
0»
N6 » ,
»
0»
»
N3 ¼
N2 (ȟ) (1 ȟ)(1 ȟ) , N3(ȟ) (1/ 2)ȟ(1 ȟ)
L
N4 (ȟ)
[3(1 ȟ 2 ) 2ȟ(1 ȟ 2 )],
24
L
L
N5(ȟ)
[4ȟ(1 ȟ 2)] ,
N 6 (ȟ )
[ 3 (1 ȟ 2 ) 2 ȟ (1 ȟ 2 )]
24
24
gdzie [ 2x / L .
(5)
(6)
(7)
Zastosujemy caákowanie numeryczne za pomocą schematu 5-cio wĊzáowego caákowania Gaussa-Lobatto (Chrisfield (1986) [11]). Takie rozmieszczenie punktów caákowania
numerycznego (na koĔcach i w Ğrodku elementu – rys. 3) odpowiada sprawczym miejscom
zachowania fizycznie nieliniowego.
Rys. 3. TrójwĊzáowy element prĊta z przekrojami wielopunktowymi (elementami FE) z 5 punktami
caákowania
Analiza pushover oraz przeguby i zaáomy nieliniowe w konstrukcjach Īelbetowych
219
Prawo konstytutywne opisujące zaleĪnoĞü pomiĊdzy odksztaáceniem E a naprĊĪeniem S
obliczone na podstawie wektorów przemieszczeĔ wĊzáowych q moĪna napisaü w postaci [12]:
İ
ªH x ([ , y, z )º
« J ([ ) » ı
»
« y
«¬ J z ([ ) »¼
b( y, z )
ªV x ([ , y, z )º
« W ([ ) », İ
y
»
«
«¬ W z ([ ) »¼
b( y, z ) ˜ B([ ) ˜ q, ı
ª1 y z 0 0º
0««0 0 0 1 0»», B([ )
«¬0 0 0 0 1»¼
Dİ, D
ªE 0 0 º
«0 G 0» ,
»
«
«¬ 0 0 G »¼
ª N w, [
º
«
»
N v ,[
«
»
« NT ,[
» ˜q
«
»
« NT N v ,[ »
« N N
»
w, [ ¼
¬ T
(8)
(9)
W tym przypadku, macierz Jakobiego przeksztaácenia ze wspóárzĊdnych naturalnych [ do
wspóárzĊdnych kartezjaĔskich x jest liczbą, Rakowski (2006) [12]:
J
x,[
L / 2, J 1
2 / L, J
L / 2.
(10)
W celu ograniczenia liczby stopni swobody i zachowania zalet metody pushover, coraz
wiĊcej autorów (Martinelli (2008) [10]), stosuje dyskretyzacjĊ wielopunktową, w której
przekrój poprzeczny jest analizowany jako zbiór wáókien, z których kaĪde podlega prawu
konstytutywnemu rozciągania/Ğciskania osiowego i w ogólnoĞci ma inny materiaá i inne
poáoĪenie w przekroju.
Zastosowanie analogii kratownicy Mörscha (1907) pozwala na uwzglĊdnienie w sposób
przystĊpny (Martinelli (2008) [10]) dla zastosowaĔ numerycznych zmniejszenia sztywnoĞci
przekroju wywoáanych rysami poprzecznymi. Kratownica Mörscha powstaje przez przyjĊcie,
Īe jej sáupkiem zastĊpczym jest beton pomiĊdzy dwoma rysami ukoĞnymi, a dwoma krzyĪulcami jest beton przylegáy i równolegáy do jednej z tych rys oraz prostopadáy do drugiej rysy.
Macierz sztywnoĞci zarysowanego przekroju Ks wyprowadzimy z ogólnej zaleĪnoĞci
(Rakowski (2006) [12]):
Ks
³B
T
( y, z ) ˜ D ˜ b( y, z )dA
(11)
A
Po podstawieniu do (11) wczeĞniejszych wyraĪeĔ, skorzystaniu z analogii Mörscha i wykonaniu przypisanych caákowaĔ, otrzymujemy wyraĪenia na skáadowe macierzy sztywnoĞci:
k11
ks,i kc, j kcc, kD x4 ;
k14
(ks,i yi kc, j y j kcc, k ykD x4 );
k15
ks,i zi kc, j z j kcc, k zkD x4 ;
k22
GAcc GM AcM kcc, kD x2D y2 ;
k23
kcc, kD x2D yD z ;
k24
(kcc, k ykD x3D y );
k12
k25
kcc, kD x3D y ;
k13
kcc, kD x3D z ;
kcc,k zkD x3D y ;
k33 GAcc GM AcM kcc,kD x2D z2 ; k34
k44
ks,i yi2 kc, j y 2j kcc,k yk2D x4 ;
k55
ks,i zi2 kc, j z 2j kcc, k zk2D x4 );
k45
(kcc,k ykD x3D z ); k35
(12)
kcc, k zkD x3D z ;
ks,i yi zi kc, j y j z j kcc, k yk zkD x4 );
220
Leszek Chodor, Rafaá Podstawka
gdzie: D i – kosinus kierunkowy prĊta, we wspóárzĊdnych elementu i = x,y,z; GAcc – sztywnoĞü poprzeczna odpowiadająca Ğciskaniu betonu, GM AcM GM ( Ac Acc ) odpowiada dziaáaniu kratownicy zastĊpczej; ks ,i Es ,i As ,i – sztywnoĞü i-tego prĊta stalowego; kc , j
kcc, k
Ec , j Ac , j – sztywnoĞü j-tego rozciąganego wáókna betonowego FE,
Ecc, k Acc, k – sztywnoĞü k-tego Ğciskanego wáókna betonowego, gdzie dla
wáókna stali, betonu rozciąganego i betonu Ğciskanego oznaczono odpowiednio indeksami i, j, k.
3. PRZYKàAD
Przedstawiony w pracy algorytm zaimplementowano w procedurze programu SCILAB
(MATLAB) i zastosowano do analizy ramy pokazanej na rysunku 4, wykonanej z betonu
C30/37 i zbrojonej wkáadkami ze stali B500. Rozwiązanie przykáadu pomocniczego (wspornik Īelbetowy obciąĪony siáą skupioną na koĔcu) w programie ABAQUS pozwoliáo oszacowaü charakterystykĊ przegubów plastycznych w postaci trójliniowej, pokazanej na rysunku 5.
Rys. 4. Rama z przykáadu 3
Rys. 5. Charakterystyka przekroju krytycznego ramy
Zakres analizy ramy ustalono w obszarze od obciąĪenia ciĊĪarem wáasnym do obliczeniowego obciąĪenia normowego równomiernie rozáoĪonego na kaĪdym ryglu i wynoszącego qmax = 66 kN/m, a ujmującego ciĊĪar posadzek, Ğcian dziaáowych i obciąĪenie uĪytkowe
pomieszczeĔ mieszkalnych. Przeprowadzono iteracyjną analizĊ, gdzie w poĞrednim kroku
stwierdzono wyczerpanie noĞnoĞci normowej przekrojów krytycznych oznaczonych za-
Analiza pushover oraz przeguby i zaáomy nieliniowe w konstrukcjach Īelbetowych
221
czernionymi kóákami na rysunku 4. Na rysunku 6 pokazano stan koĔcowy rygla R2 ramy,
ocenianego jego zarysowaniem. Zarysowania przekrojów krytycznych rygla R2 są mniejsze
od granicznego, dopuszczonego normą agr = 0,3 mm przy jednoczesnym przekroczeniu
noĞnoĞci normowej przekrojów podporowych. Z analizy zachowania przykáadowej konstrukcji Īelbetowej, wynika, Īe jej noĞnoĞü jest limitowana rozwartoĞcią rys, a nie przekroczeniem normowej noĞnoĞci granicznej przekroju.
Rys. 6. Stan zarysowania rygla R2 pod peánym obciąĪeniem
4. WNIOSKI
Do projektowania i szacowania noĞnoĞci konstrukcji Īelbetowych przydatna jest statyczna odmiana metody pushover, stosowana wraz z definicją nieliniowych, integralnych
przegubów (w prĊtach) lub zaáomów nieliniowych (w páytach i powáokach). Charakterystyka przegubu moĪe byü wyznaczona w pomocniczym zadaniu na drodze eksperymentalnej
lub symulacji numerycznej. W nieliniowej przyrostowej metodzie obliczeĔ statycznych
z jednoczesnym wymiarowaniem (zbrojeniem) przekrojów naleĪy kontrolowaü zarysowania oraz ugiĊcia konstrukcji w stanie zarysowanym na kaĪdym kroku przyrostu obciąĪenia.
W algorytmach numerycznych moĪna stosowaü dyskretyzacjĊ wielopunktową przekrojów
oraz analogiĊ kratownicy Mörscha dla elementu Timoshenki, na przykáad w sposób pokazany w pracy. Zastosowanie analizy nieliniowej zarówno do wyznaczania siá przekrojowych jak i do wymiarowania przekrojów pozwala zlikwidowaü niespójnoĞci powszechnie
stosowanych w praktyce inĪynierskiej metod projektowania konstrukcji Īelbetowych,
w których siáy przekrojowe wyznacza siĊ w ustroju liniowo-sprĊĪystym, a zbrojenie dobiera w stanie granicznym przekroju.
Literatura
[1] Abaqus Inc (2004), ABAQUS, version 6.5, Documentation
[2] Federal Emergency Management Agency, Document FEMA-356. Pre-standard and Commentary for Seismic Rehabilitation of Buildings, Washington DC, 2000
[3] Martino R., Spacone E., Kingsley G.: Nonlinear Pushover Analyses of RC Frames, ASCE
Structures Congress, Philadelphia, PA, May 2000
222
Leszek Chodor, Rafaá Podstawka
[4] Vidic T., Fajfar P., Fishimger M.: Consistent inelastic design spectra: Strength and displacement, Earthquake Engng. and Struct. Dyn., 23(4), 1994, pp. 507-521
[5] Tso W.K., Moghadam A.S.: Pushover procedure for seismic analysis of building, Progress
in Structural Engineering and Materials, 1(3), 1998, pp. 337-334
[6] RoboBat: ROBOT Millenium wersja 20.1- PodrĊcznik uĪytkowania, Kraków-ParyĪ 2006
[7] Neal B.G.: The plastic methods of structural analysis, Chapmann&Hall Ltd, NY 1956
[8] Bayrak O., Sheikh S.A.: Response prediction by plastic analysis technique, Proceedings of
Department of Civil Engineering, University of Toronto, 2000
[9] ATC: Evaluation and Retrofit of Concrete Building, Applied Technology Council, Report
ATC-40, 1996
[10] Martinelli L.: Modeling shear-flexure interaction in reinforced concrete elements subjected
cyclic lateral loading, ACI Structural Journal, V, 105, No November-December 2008
[11] Chrisfield M.A.: Finite elements and solutions procedures in structural analysis, Linear
Analysis, V.2, Pineridge Press, Sweansea 1986, p. 272
[12] Rakowski G.: Metoda elementów skoĔczonych. Wybrane problemy, Oficyna Wydawnicza
Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2006
PUSHOVER ANALYSIS AND NONLINEAR JOINTS
IN REINFORCED CONCRETE STRUCTURES
This study presents that static version of pushover analysis, used together with definition of
nonlinear, integral articulated joints, is useful in calculation and estimation of bearing capacity of
reinforced concrete structures. In nonlinear incremental method of static calculations with dimensioning
(reinforcement) of sections scratching and deflection of structure in scratching state must be controlled,
in each moment of increasing loads. In numerical algorithms fiber element of sections and analogy of
Mörsch truss for Timoshenko element could be used, for example in way presented in this study. Using
nonlinear analysis in static calculations and dimensioning eliminates incoherences of traditional,
engineering methods of reinforcement concrete calculations, where forces are calculated in linear
model, and reinforcements are designed in nonlinear critical state of section.