Podobieństwo spiralne

Podobieństwo spiralne
−−→ −−→
W niniejszym artykule notacja ^XY Z oznaczać będzie kąt skierowany ^(Y X, Y Z) między wekto−−→ −−
→
rami Y X i Y Z. Zapis 4ABC ∼ 4XY Z będzie oznaczać, że trójkąty ABC i XY Z są podobne i tak
samo zorientowane, a odpowiadające sobie pary wierzchołków to: A i X, B i Y oraz C i Z. Zapis
ABCD ∼ XY ZT ma analogiczne znaczenie w odniesieniu do czworokątów.
Definicja 1. Przekształcenie płaszczyzny na siebie będące złożeniem jednokładności o środku
w punkcie X i skali k 6= 0 z obrotem o środku w punkcie X o kąt ϕ nazywamy podobieństwem
k,ϕ
spiralnym o środku w punkcie X, skali k i kącie ϕ. Będziemy oznaczać je SX
.
Nietrudno zauważyć, że nie ma znaczenia, czy najpierw wykonamy obrót, a potem jednokładność czy
najpierw jednokładność a potem obrót. Zauważmy
też, że z powyższej definicji wynika, że przekształcenie identycznościowe, dowolna jednokładność oraz
dowolny obrót są podobieństwami spiralnymi.
Obserwacja 2. Jeśli A 6= X i B 6= X, to istnieje dokładnie jedno podobieństwo spiralne f o środku X takie, że f (A) = B.
B0
k,ϕ
Obserwacja 3. Jeśli 4ABC ∼ 4AB 0 C 0 , to SA
(B) = B 0
0
BA
k,ϕ
i SA
(C) = C 0 , przy czym k =
oraz ϕ = ^BAB 0 .
BA
k,ϕ
k,ϕ
Z drugiej strony, jeśli B 0 = SA
(B) i C 0 = SA
(C), to trój0 0
kąty (być może zdegenerowane) ABC i AB C są podobne,
a ich skalą podobieństwa jest k.
C0
C
B
A
Obserwacja 4. Zachodzi tożsamość
k,ϕ
SX
=
−k,ϕ+π
SX
.
k,ϕ
SX
.
Twierdzenie 5. Niech f =
Niech A i C będą dowolnymi punktami różnymi od X i niech
B = f (A) oraz D = f (C). Wówczas istnieje podobieństwo spiralne h o środku X takie, że h(A) = C
oraz h(B) = D.
B
Dowód. Korzystając z obserwacji 4 możemy założyć, że k > 0.
BX
DX
C
Zauważmy, że ^AXB = ^CXD = ϕ oraz
=
= k. Za- D
AX
CX
tem ^AXC = ^AXB + ^BXC = ^CXD + ^BXC = ^BXD
CX
DX
l,ψ
l,ψ
(A) = C i SX
(B) = D, gdzie
oraz
=
. Stąd SX
A
AX
BX
CX
l,ψ
l =
i ψ = ^AXC. Zatem h = SX
spełnia tezę twierAX
X
dzenia.
Na ogół złożenie podobieństw spiralnych jest podobieństwem spiralnym. Jednakże w niektórych
przypadkach jest to przesunięcie o wektor.
k,ϕ
Twierdzenie 6. Niech kl = 1 i ϕ + ψ ≡2π 0 albo kl = −1 i ϕ + ψ ≡2π π. Oznaczmy f = SX
oraz
l,ψ
C
g = SY . Wówczas g ◦ f jest przesunięciem o wektor.
A
Dowód. Z obserwacji 4 wynika, że wystarczy ograniczyć się Y
E
do przypadku, gdy kl = 1 i ϕ + ψ ≡2π 0; co więcej, można założyć, że k, l > 0. Weźmy dowolne dwa różne punkty
A i B. Niech f (A) = C, f (B) = D, g(f (A)) = g(C) = E
B
oraz g(f (B)) = g(D) = F .
F
X
D
−−→
−−→ −−→
Długość wektora EF wynosi l · CD = kl · AB = AB, a kąt między wektorami EF i AB wy−−→ −−→
−−→ −−→
−−→ −−→
−−→
−−→
nosi ^(AB, EF ) = ^(AB, CD) + ^(CD, EF ) = ϕ + ψ ≡2π 0. To oznacza, że AB = EF . Stąd
−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→
AE = AB + BE = EF + BE = BF . To oznacza, że wektor łączący punkty A i g(f (A)) nie zależy
od wyboru punktu A. Stąd g ◦ f jest przesunięciem właśnie o ten wektor.
k,ϕ
Lemat 7. Przypuśćmy, że k, l, ϕ i ψ nie spełniają założeń twierdzenia 6. Niech f = SX
i g = SYl,ψ .
Wówczas istnieją takie punkty Z i T , że f (Z) = T oraz g(T ) = Z.
Dowód. Jeśli punkty X i Y się pokrywają, to wystarczy
wziąć Z = T = X. Dalej załóżmy, że X 6= Y .
C
Obierzmy dowolny punkt A różny od punktów X i Y . Rozważmy punkty B = f (A) i C = g(A). Obierzmy punkt D
tak, aby 4BDA ∼ 4AY C. Określmy punkty Z i T tak,
aby AXBD ∼ ZXT Y . Wówczas 4XZT ∼ 4XAB, zatem skoro f (A) = B to f (Z) = T . Analogicznie, ponieważ
4Y T Z ∼ 4DBA ∼ 4Y AC, więc równość C = g(A) pociąga za sobą równość Z = g(T ).
B
Z
Y
D
X
A
T
Twierdzenie 8. Przyjmijmy założenia lematu 7. Wówczas g ◦ f jest pewnym podobieństwem
spiralnym o skali kl i kącie ϕ + ψ.
Dowód. Jeśli punkty X i Y się pokrywają, to teza jest oczywista. Dalej załóżmy, że X 6= Y .
Z obserwacji 4 wynika, że można założyć, że k, l > 0.
Na mocy lematu 7 istnieją takie punkty Z i T , że f (Z) = T C
oraz g(T ) = Z. Wykażemy, że g ◦ f = SZkl,ϕ+ψ .
B
A
Z
Rozważmy dowolny punkt A. Oznaczmy B = f (A) oraz
C = g(B). Ponieważ f (A) = B oraz f (Z) = T , więc istnieje
podobieństwo spiralne h o środku X takie, że h(A) = Z oraz
AZ
AX
h(B) = T . Stąd
=
= k. Analogicznie uzasadniaBT
XB
AZ
AZ T B
TB
= l. Stąd
=
·
= kl.
my, że
ZC
ZC
BT ZC
Y
X
T
Ponadto ^AZC = ^AZX + ^XZY + ^Y ZC = ^BT X + ^XZY + ^Y T B = ^XZY + ^Y T X =
^XZT +^T ZY +^Y T Z +^ZT X = ^XZT +^ZT X +^T ZY +^Y T Z = ^ZXT +^T Y Z = ϕ+ψ.
To oznacza, że SZkl,ϕ+ψ (A) = C = g(f (A)). Ostatnia równość zachodzi dla dowolnego punktu A, więc
g ◦ f = SZkl,ϕ+ψ .
Zadanie 9. Niech A, B, C, D będą takimi punktami, że żadne trzy z nich nie są współliniowe.
Niech proste AC i BD przecinają się w punkcie P . Niech okręgi opisane na trójkątach ABP i CDP
przecinają się w punkcie X. Wykaż, że X jest środkiem podobieństwa spiralnego przekształcającego
A na C i B na D.
B
C
Rozwiązanie. Zauważmy, że ^XAB = ^XP D =
P
^XCD i ^ABX = ^AP X = ^CDX. Stąd
4XAB ∼ 4XCD. Na mocy obserwacji 3 otrzymujemy tezę.
X
A
D
Zadanie 10. Dany jest czworokąt ABCD. Proste AB i CD przecinają się w punkcie E, a proste
BC i DA przecinają się w punkcie F . Wykaż, że okręgi opisane na trójkątach ADE, ABF , BCE i
CDF mają punkt wspólny.
Wskazówka. Skorzystaj z zadania 9 i twierdzenia 5.
Zadanie 11. Na bokach trójkąta ABC budujemy podobne trójkąty równoramienne: AP B i CQA
na zewnątrz oraz BRC do wewnątrz, przy czym AP = P B, CQ = QA oraz BR = RC. Wykaż, że
punkty A, P, R, Q leżą na jednej prostej lub są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku.
AC
Wskazówka. Rozważ SAAQ
,^QAC
BR
oraz SBBC
,^CBR
. Skorzystaj z twierdzenia 6.
Zadanie 12. Niech punkt D leży na boku BC trójkąta ABC. Niech O1 i O2 będą środkami okręgów
opisanych na trójkątach ABD i ACD. Wykaż, że trójkąty ABC i AO1 O2 są podobne.
Wskazówka. Wykaż, że 4AO1 B ∼ AO2 C.
Zadanie 13. Niech punkty P , Q i R leżą na bokach BC, CA i AB trójkąta ABC odpowiednio.
Niech O1 , O2 i O3 będą środkami okręgów opisanych na trójkątach AQR, BRP i CP Q. Wykaż, że
4ABC ∼ 4O1 O2 O3 .
Wskazówka. Wykaż, że te okręgi przecinają się w jednym punkcie X, a następnie pokaż, że 4XO1 A ∼
4XO2 B ∼ 4XO3 C.
Zadanie 14. Dane są takie punkty A, B, C i D, że A , B i C leżą na jednej prostej, a punkt D poza
nią. Podaj konstrukcję środka podobieństwa spiralnego przekształcającego punkt A na punkt B oraz
punkt C na punkt D.
Wskazówka. Zmodyfikuj konstrukcję z zadania 9.
Zadanie 15. Dane są trzy niewspółliniowe punkty A, B i C. Podaj konstrukcję środka podobieństwa
spiralnego przeprowadzającego punkt A na punkt B i punkt B na punkt C.
Wskazówka. Zmodyfikuj konstrukcję z zadania 14.
Zadanie 16. Punkt K leży wewnątrz czworokąta wypukłego ABCD, przy czym spełnione są
równości ^KAD = ^KCB = α oraz ^CBK = ^ADK = β. Na bokach AB i CD zbudowano, po
zewnętrznej stronie czworokąta ABCD, trójkąty ABP i CDQ, przy czym ^P AB = ^QCD = α
oraz ^ABP = ^CDQ = β. Wykaż, że punkt K jest środkiem odcinka P Q.
Zadanie 17. Wewnątrz czworokąta wypukłego ABCD, niebędącego trapezem, leży taki punkt X,
że ^ADX = ^XCB, ^XAD = ^CBX i wszystkie te kąty są ostre, oraz taki punkt Y , że AY = BY
i CY = DY . Wykaż, że ^AY B = 2 · ^ADX.
Zadanie 18. Punkt M jest środkiem boku AB trójkąta ABC. Punkt D leży wewnątrz trójkąta
ABC i spełnia równości ^DAC = ^CBA oraz ^ACD = ^M CB. Udowodnij, że prosta DM jest
równoległa do prostej BC.
Zadanie 19. Niech 4ABC ∼ 4A0 B 0 C 0 . Punkty X, Y i Z leżą na odcinkach AA0 , BB 0 i CC 0
AX
BY
CZ
odpowiednio, przy czym
=
=
. Wykaż, że 4XY Z ∼ 4ABC.
XA0
Y B0
ZC 0
Zadanie 20. Przypuśćmy, że 4AB1 C1 ∼ 4AB2 C2 ∼ 4AB3 C3 . Wykaż, że jeśli punkty B1 , B2 i
B3 są współliniowe, to punkty C1 , C2 i C3 też są współliniowe.
Zadanie 21. Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg o. Punkt S leży wewnątrz okręgu o i spełnia
równości ^SAD = ^SCB oraz ^ADS = ^CBS. Prosta zawierająca dwusieczną kąta ASB przecina
okrąg o w punktach P i Q. Wykaż, że P S = QS.
Zadanie 22. Dany jest trójkąt ABC. Punkt D jest środkiem łuku BC (niezawierającego punktu A)
okręgu opisanego na trójkącie ABC. Punkt E jest rzutem punktu D na bok AC. Punkty M , N są
środkami boków AB, BC odpowiednio. Wykaż, że okrąg o średnicy DM przechodzi przez środek
odcinka N E.
Zadanie 23. Niech f będzie przesunięciem o pewien wektor i niech g będzie pewnym podobieństwem
spiralnym o kąt niebędący wielokrotnością kąta półpełnego. Wykaż, że przekształcenia f ◦g oraz g ◦f
są podobieństwami spiralnymi.
Zadanie 24. Dany jest czworokąt wypukły ABCD. Punkty P i Q są środkami przekątnych AC i
BD odpowiednio. Prosta P Q przecina boki AB i CD w punktach N i M odpowiednio. Wykaż, że
okręgi opisane na trójkątach N AP , N BQ, M QD i M P C mają punkt wspólny.
Zadanie 25. Dany jest trójkąt ABC. Na boku AB wybrano punkt L, na boku BC punkty M i M 0 ,
a na boku AC punkty N i N 0 . Okazało się, że ^N M L = ^N 0 M 0 L = ^BAC oraz ^LN M =
^LN 0 M 0 = ^CBA. Znajdź miarę kąta BCA.
Zadanie 26. Dany jest trójkąt ABC. Na zewnątrz tego trójkąta obieramy takie punkty M i N , że
M A = M C, N A = N B oraz ^AM C + ^BN A = π. Wykaż, że okrąg o średnicy M N przechodzi
przez środek odcinka BC.
Zadanie 27. Dany jest trójkąt ABC. Okrąg ω o średnicy BC przecina boki AC i AB w punktach
E i F odpowiednio. Prosta przechodząca przez punkt E przecina okrąg opisany na trójkącie AEF
w punkcie P oraz okrąg ω w punkcie Q. Wykaż, że środek odcinka P Q leży na okręgu dziewięciu
punktów trójkąta ABC.
Zadanie 28. Dany jest trójkąt ABC wpisany w okrąg ω oraz punkt P ∈ ω. Niech ϕ będzie dowolnym
kątem. Niech punkty X, Y i Z będą rzutami punktu P odpowiednio na proste BC, CA i AB pod
kątem ϕ, tzn. takimi punktami na tych prostych, że kąty ^(P X, BC), ^(P Y, CA) i ^(P Z, AB) są
równe ϕ. Wykaż, że punkty X, Y i Z leżą na jednej prostej.
Uwaga. W powyższym zadaniu zapis ^(p, q) oznacza kąt skierowany między prostymi, czyli kąt, o
jaki należy obrócić prostą p przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, by stała się ona równoległa do
prostej q.
Zadanie 29. Dany jest sześciokąt wypukły ABCDEF , w którym ^B + ^D + ^F = 2π oraz
AB CD EF
·
·
= 1. Wykaż, że ^EAF + ^DCE = ^DBF .
BC DE F A
opracował: Tomasz Cieśla