PRAWDOPODOBIEŃSTWO CAŁKOWITE , TO : . W .

PRAWDOPODOBIEŃSTWO CAŁKOWITE , TO : . W .

P R A W D OP O D O B IE Ń STW O
JEŻELI ZDARZENIA
DLA KAŻDEGO ZDARZENIA
C A Ł K OW I TE
WYKLUCZAJĄ SIĘ PARAMI I MAJĄ PRAWDOPODOBIEOSTWA DODATNIE , TO
ZAWARTEGO W SUMIE ZDARZEO
:
POWYŻSZY WZÓR NAZYWAMY WZOREM NA PRAWDOPODOBIEOSTWO CAŁKOWITE I POZWALA NAM NA
OBLICZANIE PRAWDOPODOBIEOSTW WIELU ZDARZEO NIE TYLKO W DOŚWIADCZENIACH DWUETAPOW YCH. W
DOŚWIADCZENIACH O WIĘKSZEJ LICZBIE ETAPÓW STOSUJEMY TEN WZÓR WIELOKROTNIE. ZDARZENIA BI
NAZYWAMY CZĘSTO HIPOTEZAMI. TWIERDZENIE O PRAWDOP ODOBIEOSTWIE CAŁKOWITYM MOŻNA
ZILUSTROWAD ZA POMOC Ą TZW. DRZEWA STOCHASTYCZNEGO.
W Z Ó R N A P R A W D O P O D O B I E O S T W O C A Ł K O W I T E T O S U MA I L O C Z Y N Ó W P O W S Z Y S T K I C H D R O G A C H , K T Ó R E
K O O C Z Ą S I Ę W A. D R Z E W O S T O C H A S T Y C Z N E Z A C Z Y N A S I Ę P O C Z Ą T K I E M , W W Ę Z Ł A C H DR Z E W A U M I E S Z C Z A M Y
WYNIKI KOLEJNYCH ETAPÓW DOŚWIADCZENIA. WĘZŁY ŁĄCZYMY KRAWĘDZ IAMI . OBOK KAŻDEJ KRAWĘDZI
DOPISUJEMY PRAWDOPOD OBIEOSTWO OTRZYMANIA WYNIKU DANEGO ETAPU. SUMA PRAWDOPODOBIEOST W
P R Z Y P O R Z Ą D K O W A N Y C H K R A W Ę D Z I O M W Y C H O D Z Ą C Y M Z J E D N E G O W Ę Z Ł A J E S T R Ó W N A 1. D O W O L N Y C I Ą G
KRAWĘDZI ŁĄCZĄCY POCZĄ TEK DRZEWA Z JEDNYM Z KOOCOWYCH WĘZŁÓW NAZYWAMY GAŁĘZIĄ DRZE WA.
KAŻDEJ GAŁĘZI ODPOWIA DA JEDEN WYNIK DOŚWIADCZENIA WIELOETAPOW EGO. PRAWDOPODOBIEOSTWO
WYNIKU ODPOWIADAJĄCE GO DANEJ GAŁĘZI DRZE WA RÓWNA SIĘ ILOCZYNOWI PRAWDOPODOBIEOST W
PRZYPISANYCH KRAWĘDZIOM , Z KTÓRYCH JEST ZŁOŻONA GAŁĄŹ
D R Z E W ).
(JEST TO TZW . REGUŁA MNOŻENIA DLA
T W IE RD Z E N IE B A YE SA
T WIERDZENIE B AYESA ( OD NAZWISKA T HOMASA B AYESA ) TO TWIERDZENIE TEORII PRAWDOPODOBIE OSTWA ,
WIĄŻĄCE PRAWDOPODOBIEOSTWA W ARUNKOWE ZDARZEO
ORAZ
. N A PRZYKŁAD , JEŚLI A JEST ZDARZENIEM
" U PACJENTA WYSTĘPUJE WYSOKA GORĄCZKA ", A B JEST ZDARZENIEM " PACJENT MA GRYPĘ ", TWIERDZENIE B AYESA
POZWALA PRZELICZYD ZNANY ODSETEK GORĄCZK UJĄCYCH WŚRÓD CHORYC H NA GRYPĘ
GORĄCZKUJĄCYCH
I CHORYCH NA GRYPĘ
I ZNANE ODSETKI
W CAŁEJ POPULACJI , NA PRAWDOPODOBIEOSTW O , ŻE KTOŚ JEST
CHORY NA GRYPĘ , GDY WIEMY , ŻE MA WYSOKĄ GORĄCZKĘ
. T WIERDZENIE STANOWI P ODSTAWĘ
TEORETYCZNĄ SIECI BAYESOWSKICH , STOSOWANYCH W DATA MINING .
W Z Ó R B A YE SA
J EŻELI ZDARZENIA
KAŻDEGO ZDARZENIA
WYKLUCZAJĄ SIĘ PARAMI I MAJĄ PRAWDOPODOBIEOSTWA DODATNIE , TO DLA
:
ZAWARTEGO W SUMIE ZDARZEO
P OWYŻSZY WZÓR NAZYWAMY WZOREM B AYESA . T WIERDZENIE B AYESA STOSUJEMY GŁÓW NIE WTEDY , GDY ZNAMY
WYNIK DOŚWIADCZENIA I PYTAMY O JEGO PRZE BIEG .
D OW ÓD
SKORO
A
TO
WIĘC
Z A D A N IA
1. Ż ARÓWKI PEWNEJ MARKI SĄ PRODUKOWANE W DWU FABRYKACH X I Y. Ż ARÓWKI Z FABRYKI X DZIAŁAJĄ
DŁUŻEJ NIŻ 5000 GODZIN W 99% PROCENTACH PRZYPADKÓW , ŻARÓWKI Z FABRYKI Y TYLKO W 95%
PRZYPADKÓW . F ABRYKA X DOSTARCZA NA RYNEK 60% ŻARÓWEK TEJ MARKI . J AKIE JEST
PRAWDOPODOBIEOSTWO , ŻE ZAKUPIONA LOSOWO ŻARÓWKA BĘDZIE SPRAW NA DŁUŻEJ NIŻ 5000 GODZIN ?
2. P RZEZ PEWNĄ MIEJSCOWOŚD PRZEJEŻDŻA 4 RAZY WIĘCEJ SAMOCHODÓW OSOBOWYCH NIŻ CIĘ ŻAROWYCH .
W IADOMO , ŻE JEDEN NA 75 SAMOCHODÓW OSOBOWYCH I JEDEN NA 25 SAMOCHODÓW CIĘŻAROWYCH
TANKUJE PALIWO W TEJ MIEJSCOWOŚCI . O BLICZ PRAWDOPODOBIEOSTWO ZE PRZEJEŻDŻAJĄCY SAMOCHÓD
ZATANKUJE PALIWO .
3. W PIERWSZEJ URNIE SĄ 3 KULE BIAŁE I 2 CZARNE , A W DRUGIEJ SĄ 4 CZARNE I 1 BIAŁA . R ZUCAMY KOSTKĄ .
J EŻELI WYPADNĄ MNIEJ NIŻ 3 OCZKA , TO LOSUJEMY KULĘ Z P IERWSZEJ URNY , W PRZECIWNYM WYPADKU
LOSUJEMY KULĘ Z DRUGIEJ URNY . J AKIE JEST PRAWDOPODOBIEOSTWO WYLOSOWANIA KULI BIA ŁEJ ?
4. S TACJA METEOROLOGICZNA ZBIERA INFORMACJE DOTYCZĄCE SZANSY WYS TĄPIENIA DNIA DESZCZOWEGO .
W EDLE UZYSKANYCH DANY CH , JEŚLI DANEGO DNIA PADA , TO SZANSA , ŻE NASTĘPNY DZIEO TAKŻE BĘDZIE
DESZCZOWY WYNOSI 50%, JEŚLI ZAŚ DANY DZIEO JEST SŁONECZNY , TO KOLEJNY DZIEO JEST DESZCZOWY W
30% PRZYPADKÓW . S YNOPTYCY PRZEPOWIADA JĄ , NA 80%, NAJBLIŻSZY PONIEDZIA ŁEK JAKO DZIEO
DESZCZOWY . J AKIE JEST PRAWDOPODOBIEOSTWO , ŻE ŚRODA BĘDZIE DESZCZOWA ?
5. P EWNA FIRMA WIEDZĄC , ŻE 0,5% Z JEJ PRACOWNIKÓW TO NARKOMANI , POSTANOWIŁA PRZEPROW ADZID
TEST ANTY - NARKOTYKOWY . J AKIE JEST PRAWDOPODOBIEOSTWO PRAWIDŁOWEGO WYKRYCIA NARKOMANA ,
JEŻELI WIADOMO , ŻE TEST MA 99% SKUTECZNOŚCI ( W 1% PRZYPADKÓW TEST WYPA DA POZYTYWNIE U
OSOBY NIE ZAŻYWAJĄCEJ , A NEGATYWNIE U NARKOMANA )?
6. W URNACH O NUMERACH 1-9 ZNAJDUJĄ SIĘ 4 KULE BIAŁE I 6 CZARNYCH , NATOMIAST W URNIE NR 10 JEST
10 KUL BIAŁYCH I 10 CZARNYCH . Z LOSOWO WYBRANEJ URNY WYLOSOWANO 2 KULE I OKAZAŁY SIĘ BIAŁE .
J AKIE JEST PRAWDOPODOBIEOSTWO , ŻE ZOSTAŁY WYLOSOWANE Z 10 URNY .
7. W ZBIORZE 100 MONET JEDNA MA PO OBU STRONACH ORŁY , A POZOSTAŁE SĄ PRAWIDŁOWE . R ZUCONO 10KROTNIE JEDNĄ LOSOWO WYBRANĄ MONETĄ I OTRZYMANO 10 ORŁÓW . O BLICZYD PRAWDOPODOBIEOSTWO
TEGO , ŻE BYŁA TO MONETA Z DWOMA ORŁAMI .
8. T EST NA RZADKĄ CHOROBĘ , KTÓRĄ DOTKNIĘTA JEST ŚREDNIO JEDNA OSOBA NA 1000, DAJE TAK ZWANĄ
FAŁSZYWĄ POZYTYWNĄ ODPOWIEDŹ U 5% ZDROWYCH ( U CHOREGO ZAWSZE DAJE ODPOWIEDŹ
POZYTYWNĄ ). J AKA JEST SZANSA , ŻE OSOBA , U KTÓREJ TEST DAŁ ODPOWIEDŹ POZYTYWNĄ , JEST FAKTYCZNIE
CHORA ?
9. 5 MĘŻCZYZN NA 100 ORAZ 25 NA 1000 KOBIET JEST DALTONIS TAMI . L OSOWO WYBRANO OSOBĘ I OKAZAŁO
SIĘ , ŻE NIE ODRÓŻNIA ONA KOLORÓW . J AKIE JEST PRAWDOPODOBIEOSTWO , ŻE BYŁ TO MĘŻCZYZNA ? ( ILOŚD
KOBIET I MĘŻCZYZN JE ST RÓWNA )
10. P EWNE URZĄDZENIA SĄ S PROWADZANE OD 3 DOSTAWCÓW : A, B, C W ILOŚCIACH ODPOWIEDNIO : 50%,
20%, 30%. W ADLIWOŚD URZĄDZEO : A – 1%, B – 2%, C – 3%. W YBRANE URZĄDZENIE JE ST WADLIWE .
J AKIE JEST PRAWDOPODOBIEOSTWO , ŻE POCHODZI ONO OD DOSTAWCY A?
11. P RAWDOPODOBIEOSTWO WY BUCHU GAZU W KOPALNI WYNOSI 0,025. W KOPALNI JEST ZAINSTALOWANY
SYSTEM ALARMOWY , KTÓRY W SYTUACJI ZAGROŻENIA ZAWODZI W 12% PRZYPADKÓW . F AŁSZYWY ALARM
ZDARZA SIĘ W 15% PRZYPADKÓW . Z AŁÓŻMY , ŻE WŁĄCZA SIĘ ALARM . J AKIE JEST PRAWDOPODOBIEOSTWO ,
ŻE JEST ON FAŁSZYWY ?
12. W OKRĘGU WYBORCZYM BADANIE PREFERENCJI POLITYCZNYCH WYBRANYCH WYBORCÓW UJAWNIŁO , ŻE
70% POPIERA KANDYDATA A, ZAŚ 30% KANDYDATA B. J EDNAKŻE BADANIE TO , JEDNOCZEŚNIE WYKAZAŁ O ,
ŻE WŚRÓD TYCH , KTÓRZY POPIERAJĄ KANDYDATA A, 32% PÓJDZIE GŁOSOWAD , A WŚRÓD TYCH
POPIERAJĄCYCH KANDYDATA B, 90%. J AKIE JEST PRAWDOPODOBIEOSTWO , ŻE WYBRANA OSOBA ODDAJĄCA
GŁOS , ODDA GO NA KANDYDATA A?
13. W IEDZĄC , ŻE UŁAMEK
POPULACJI TO KOBIETY , WŚRÓD KTÓRYCH UŁAMEK
DALTONISTKI ORAZ WIE DZĄC , ŻE UŁAMEK
STANOWIĄ
CAŁEJ POPULACJI CIERPI NA DALTONIZM , OBLICZ JAKIE
JEST PRAWDOPODOBIEOSTWO , ŻE SPOŚRÓD LOSOWEGO DALTONISTY , WYLOSUJEMY KOBIETĘ .
14. W ŚRÓD WSZYSTKICH CIĄŻ , JEDNA NA 300 PROWADZI DO BLIŹNIĄT MONOZYGOTYCZNYCH ( JEDNOJAJOWE ),
KIEDY TO DZIECI SĄ T EJ SAMEJ PŁCI I SĄ P ODOBNE DO SIEBIE , JAK DWIE KROPLE WODY , NATOMIAST Z JEDNEJ
CIĄŻY NA 125 RODZĄ SIĘ BLIŹNIĘTA DIZYGOTYCZNE ( DWUJAJOWE ), KTÓRE MOGĄ BYD RÓŻNE J PŁCI I NICZYM
SIĘ NIE RÓŻNIĄ OD DZIECI URODZONYCH W DW ÓCH KOLEJNYCH CIĄŻAC H . E LVIS P RESLEY MIAŁ BRATA
BLIŹNIAKA , KTÓRY ZMARŁ PODCZAS PORODU . W YZNACZ PRAWDOPODOBIE OSTWO , ŻE P RESLEY BYŁ
BLIŹNIAKIEM MONOZYGOTYCZNYM
15. (P ARADOKS M ONTY H ALL ’ A ) G RACZ POPULARNEGO TELETURNIEJU STOI PRZED WYBOREM JEDNEJ Z TRZECH
BRAMEK . Z A JEDNĄ Z BRAMEK STOI NAGRODA – SAMOCHÓD , A ZA POZOSTAŁYMI DWOMA NIE MA NIC .
G RACZ WYBIERA JEDNĄ Z BRAMEK . N ASTĘPNIE PROWADZĄCY (Z YGMUNT H AJZER ) ODSŁANIA JEDNĄ Z
PUSTYCH BRAMEK ( INNĄ NIŻ TA WYBRANA PRZEZ GRACZA ) I DAJE GRACZOWI MOŻLIWOŚD ZMIANY SWOJEGO
WYBORU . C ZY GRACZ POWINIEN ZMIENID SWÓJ WYBÓR CZY NIE ?
16. (P ROBLEM TRZECH WIĘŹNI ÓW ) W CELI ZAMKNIĘTYCH JEST 3 WIĘŹNIÓW : A, B, C. J EDEN Z NICH MA BYD
STRACONY – DECYZJA JUŻ ZAPADŁA , ALE ŻADEN Z WIĘŹNIÓW NIE WIE , KTO MA ZOSTAD STRACONY . W
PEWNYM MOMENCIE PRZY CHODZI STRAŻNIK I WY PUSZCZA WIĘŹNIA B. C ZY PRAWDOPODOBIEOSTW O , ŻE
STRACĄ WIĘŹNIA A JEST TERAZ WIĘKSZE , MNIEJSZE , CZY TAKIE SAMO JAK NA POCZĄTKU ?
17. (P ARADOKS B ERTRAND ’ A ) N A OKRĘGU O PROMIENIU 1 SKONSTRUOWANO LOSOWO CIĘCIWĘ . J AKIE JEST
PRAWDOPODOBIEOSTWO , ŻE CIĘCIWA BĘDZIE DŁ UŻSZA , NIŻ BOK TRÓJKĄTA RÓW NOBOCZNEGO WPISANEGO
W TEN OKRĄG ?
18. (P ARADOKS PUDEŁKA B ERTRAND ’ A ) W TRZECH PUDEŁKACH ZNAJDUJĄ SIĘ PO DWIE MONETY . W
PIERWSZYM PUDEŁKU DWIE ZŁOTE , W DRUGIM DWIE SREBRNE , A W TRZECIM JEDNA ZŁ OTA , DRUGA
SREBRNA . W YBIERAMY LOSOWO PUDE ŁKO I WYCIĄGAMY Z NI EGO JEDNĄ MONETĘ , KTÓRA OKAZUJE SIĘ
ZŁOTA . J AKIE JEST PRAWDOPODOBIEOSTWO , ŻE DRUGA MONETA TEŻ JEST ZŁOTA ?