Numeryczne obliczanie pochodnych funkcji jednej zmiennej.

Numeryczne obliczanie pochodnych funkcji jednej zmiennej.
1. Proszę:
Wyznaczyć pierwszą pochodną z funkcji przy pomocy aproksymacji:
a) 2-punktowej zgodnej z definicją pochodnej tzn. za pomocą „różnicy do przodu”
f ( x + h) − f ( x )
f’(x) =
h
f ( x + h) − f ( x − h )
b) 3-punktowej f’(x) =
2h
f ( x − 2 h) − 8 f ( x − h ) + 8 f ( x + h ) − f ( x + 2h )
c) 5-punktowej f’(x) =
12h
dla funkcji
(I) sin(x),
(II) |x|
dla x z przedziału (-10,10)
Narysować f’(x) dla (I) i (II) uzyskanych przy pomocy (c).
Zbadać dla funkcji (I) błąd metod w zależności od h przez porównanie wyniku uzyskanego z
procedury numerycznej z wynikiem analitycznym. h zmieniać w przedziale 10-8 - 100, wynik
narysować w skali półlogarytmicznej.
Proszę zbadać błąd wyznaczenia pochodnej f’(0+) dla funkcji (II).
2 Proszę wyznaczyć drugą pochodną z funkcji przy pomocy aproksymacji:
a) 3-punktowej :
f ( x − h) − 2 f ( x ) + f ( x − h)
h2
− f ( x − 2h) + 16 f ( x − h) − 30 f ( x) + 16 f ( x + h) − f ( x + 2h)
b) 5-punktowej f”(x) =
12h 2
dla funkcji
I) sin(x),
II) z funkcji Bessela J0(x)
dla x z przedziału (0,10)
Narysować f’(x) dla (I) i (II) uzyskanych przy pomocy (b).
Zbadać dla funkcji (I) błąd metod w zależności od h przez porównanie wyniku uzyskanego z
procedury numerycznej z wynikiem analitycznym. h zmieniać w przedziale 10-8 - 100, wynik
narysować w skali półlogarytmicznej.
f”(x) =