Piotr WACH* WIELOFAZOWE UZWOJENIA NIESYMETRYCZNE – A

Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych
Politechniki Wrocławskiej
Nr 48
Studia i Materiały
Nr 20
Nr 48
2000
uzwojenia wielofazowe, uzwojenia niesymetryczne,
metody projektowania uzwojeń, uzwojenia ułamkowe
Piotr WACH*
WIELOFAZOWE UZWOJENIA NIESYMETRYCZNE
– A CAŁKIEM DOBRE
Przedstawiono metodę projektowania niesymetrycznych uzwojeń ułamkowych maszyn prądu
przemiennego. Możliwości projektowania zarówno uzwojeń całkowitych, jak i symetrycznych
uzwojeń ułamkowych w przypadkach, gdy liczba par biegunów jest podzielna przez liczbę faz, są
bardzo ograniczone. Dotyczy to głównie uzwojeń trójfazowych o p = 3, 6, 9, ... parach biegunów,
a także uzwojeń dwufazowych, gdy p = 2, 4, 8, ... . W tych przypadkach da się jednak znaleźć wiele
uzwojeń ułamkowych niesymetrycznych, których właściwości są zaskakująco dobre. Dotyczy to
zarówno współczynników uzwojenia, jak i współczynników rozproszenia szczelinowego, które nie
odbiegają wyraźnie niekorzystnie od wartości takich współczynników dla uzwojeń całkowitych
o zbliżonej
liczbie q.
1. ALGORYTMICZNA METODA PROJEKTOWANIA
NIESYMETRYCZNYCH UZWOJEŃ UŁAMKOWYCH
Metoda ta stanowi poszerzenie prezentowanej wcześniej [7–9] metody projektowania
symetrycznych uzwojeń ułamkowych przez rezygnację z jednego z warunków symetrii,
w wyniku czego uzwojenia mają dla harmonicznej podstawowej przepływu niewielką
asymetrię amplitudową i fazową. Dla harmonicznych pasożytniczych, zarówno niższych,
jak i wyższych, asymetrie te są znaczne.
Podstawą projektowania uzwojeń ułamkowych jest ułamek charakterystyczny
v=
Qc
u
=
2m p h
gdzie: p
– liczba par biegunów,
Qc , Qs – odpowiednio liczba zezwojów i żłobków,
m
– liczba pasm fazowych.
_____________
* Wydział Elektrotechniki i Automatyki, Politechnika Opolska.
(1)
8
Skrócony ułamek niewłaściwy wyrażony przez liczby u i h charakteryzuje nawias,
który stanowi najmniejszy powtarzalny fragment uzwojenia.
(s k ) = (a1 , a 2 , K
K , a h )k ; k = 1,2, K , w
a1 + a 2 + K + a h = u; w =
Qc
u
(2)
w-nawiasów tworzy układ konstrukcyjny całego uzwojenia. Przypisanie grup zezwojów
poszczególnym pasmom pokazuje schemat (4).
Zaprojektowanie takich uzwojeń jest zawsze możliwe, jeśli są spełnione dwa warunki
symetrii:
1. w = m j
j – liczba naturalna
2. GCD(h, m) = 1
(3)
(4)
W uzwojeniach, dla których p jest podzielna przez liczbę pasm m, drugi z warunków
(3) nie może być spełniony i nie istnieją ułamkowe uzwojenia symetryczne dla tych
przypadków. Można jednak zaprojektować uzwojenia ułamkowe niesymetryczne o całkiem
dobrych właściwościach, łącząc ze sobą po kilka nawiasów (2) i odpowiednio mieszając ich
elementy, tak aby każde pasmo miało jednakową liczbę zezwojów.
Problem zostanie wyjaśniony szczegółowo dla uzwojeń trójfazowych, jako najczęściej
stosowanego rodzaju uzwojeń, ale metoda odnosi się do wszystkich przypadków p = k m.
Dla uzwojeń o 3 pasmach fazowych i liczbie par biegunów p = 3, 6, 9, 12, ... mianownik
ułamka charakterystycznego h = 3, 6, 9, K , przy czym dla większości przypadków h = 3 .
Wtedy mogą wystąpić tylko trzy rodzaje nawiasów:
α = ( x, y, y ); β = ( y, x, y ); γ = ( y, y, x)
(5)
gdzie: y = x ± 1 , tak aby x + 2 y = u.
Liczba powtórzeń fragmentów uzwojenia wynosi:
t=
w 2p
=
m
h
i w omawianym przypadku przyjmuje wartości t = 2, 4, 8, ... Podstawowy przypadek to
t = 2, ponieważ dla większych t uzwojenie może zostać zwielokrotnione.
Dla t = 2 możliwy jest szereg kombinacji nawiasów (5), przy czym liczba tych
kombinacji jest ograniczona cyklicznością całego uzwojenia. Niektóre z tych kombinacji
nawiasów, tworzące cały schemat uzwojenia, przedstawiono poniżej:
9
a ) : (αβγαβγ ) ;
b) : (ααββγγ ) ;
c) : (ααβγγβ ) ;
M
m) : (αβαγβγ )
n) : (αγαββγ )
M
(6)
M
Dalsza analiza wykazuje, że dla h = 6 uzwojenia ułamkowe niesymetryczne muszą
być zbudowane z takich samych nawiasów (6) uzupełnionych dodatkowo o nawiasy:
δ = ( x, x, x) lub ε = ( y, y, y )
(7)
które występują na przemian z nawiasami typu (6). Wynika to stąd, że możliwe są jedynie
ułamki o wartościach liczbowych:
ν =c+
7
6
5
lub ν = c + ,
6
gdzie c = 0,1,2,...
Zaprojektowane tą metodą uzwojenia są poddane obliczeniom sprawdzającym, które
mają pomóc w ocenie jakości przepływu wytwarzanego przez dane uzwojenie. Stosuje się
do tego algorytmiczną metodę obliczeń przepływów harmonicznych [6, 7]. Obliczane są
następujące parametry uzwojeń:
2
 pk wρ 
σ d = ∑  p  − 1 – współczynnik rozproszenia różnicowego,
(8)
ρ  ρk w 
σ att – współczynnik rozproszenia różnicowego z uwzględnieniem tłumienia
[2, 3, 5, 6],
k di – współczynniki grupy uzwojeń dla poszczególnych uzwojeń i kolejnych
harmonicznych przepływu,
%
%
θ 1 ,θ 2 ,θ 0% – składowe symetryczne przepływu wyrażone względem przepływu
pasma fazowego o największej wartości.
ρ
2. PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ PROJEKTOWYCH
Uzwojenie dwuwarstwowe: Qs = 48 p = 3
Dla uzwojenia dwuwarstwowego Qc = Q s , stąd
v=
Qc
48 8 u
=
= =
2m p 18 3 h
t=
w 2p
=
=2
m h
i uzwojenie jest zbudowane z nawiasów: α = ( 2,3,3); β = (3,2,3); γ = (3,3,2).
Przebadano wszystkie 16 kombinacji przestawień nawiasów (5). Współczynniki
uzwojeń dla harmonicznej podstawowej były zawsze takie same. Natomiast najmniejszy
współczynnik rozproszenia różnicowego otrzymuje się dla kombinacji nawiasów m) lub n),
dlatego przyjęto:
10
(9)
Obliczenia wykonano dla skrótu 7/8, a podstawowe wyniki analizy są zawarte w tabeli 1,
dla uzwojeń o wartości ułamka charakterystycznego ν = 8 / 3 .
Uzwojenie dwuwarstwowe: Qs = 42 p = 6.
Dla tego uzwojenia
Q
42 7 u
v= c =
= = ,
2m p 36 6 h
2p
stąd h = 6; u = 7; t =
= 2.
h
Dla h = 6 pojedynczy nawias zestawia się z pary: 1 nawias z grupy (5) i następny
z grupy (7), co łącznie daje liczbę h = 6. Dla u = 7 otrzymuje się
α = ( 2,1,1); β = (1,2,1); γ = (1,1,2); ε = (1,1,1)
(10)
Podobnie jak w poprzednim przypadku, dla różnych regularnych kombinacji
nawiasów (10), główne współczynniki uzwojeń są takie same. Natomiast mają one wpływ
na współczynniki rozproszenia szczelinowego. Najlepszy wynik daje tu kombinacja
(11)
Obliczenia dla tego uzwojenia wykonano dla skrótu 3/3,5, a sumaryczny wynik
analizy jest pokazany w tabeli 1 dla ν = 7 / 6 .
3. CHARAKTERYSTYKA NIESYMETRYCZNYCH UZWOJEŃ
TRÓJ- I DWUFAZOWYCH
Charakterystykę przedstawiono na podstawie obliczeń współczynników (8). Ponadto
możliwe są dalsze zestawienia, na przykład widm przepływów harmonicznych dla
poszczególnych rozwiązań, ale ich prezentacja zajmuje sporo miejsca i dlatego pomimo że
obliczenia obejmują pełny zestaw wielkości zarówno dla poszczególnych składowych pola
przepływu jak wielkości zbiorczych, w tabelach prezentujących wyniki ograniczono się do
podstawowych wielkości.
W tabeli 1 przedstawiono charakterystykę niesymetrycznych uzwojeń ułamkowych dla
ułamków z mianownikiem h = 3,6 dla najlepszych wersji uzwojenia, to znaczy m) lub n),
dla h = 3 . Dla porównania zamieszczono także wartości charakteryzujące uzwojenia
11
całkowite dla q = 1,2,3 . Obliczenia przeprowadzono, co jest istotne dla współczynników
rozproszenia, w zakresie liczby harmonicznych ρ = 1...600 .
Tabela 1. Charakterystyka trójfazowych niesymetrycznych uzwojeń ułamkowych
Ułamek
kdp1
θ1 %
θ2%
θ0 %
99,2
2,7
3,4
98,9
1,3
3,3
99,7
0,8
1,4
99,6
0,5
1,2
99,9
0,4
0,7
99,7
0,8
1,4
99,8
0,3
0,6
99,9
0,2
0,4
q=1
0,944
0,924
0,953
0,924
0,952
0,943
0,954
0,944
0,953
0,949
0,952
0,943
0,954
0,949
0,954
0,951
1,000
100
0
0
q=2
0,966
100
0
0
q=3
0,956
100
0
0
ν
kdp2
4/3
5/3
7/3
8/3
10/3
7/6
11/6
13/6
σd %
σ att %
Przykłady
projektowe
Skrót
9,40
6,61
6,57
4,15
2,91
2,12
2,20
1,61
1,42
1,04
12,09
8,27
4,89
3,29
3,57
2,38
9,61
7,61
2,34
2,33
1,10
1,10
24/3; 48/6; 72/8
3/4
30/3; 60/6; 40/4
4/5
42/3; 84/6
6/7
48/3; 64/4; 80/5
7/8
20/1; 40/2; 60/3;
8/10
42/6
3/3,5
66/6
5/5,5
78/6
6/6,5
18/3; 36/6
–
36/3
–
54/3
–
Tabela 2. Charakterystyka dwufazowych niesymetrycznych uzwojeń ułamkowych
Ułamek
k dp1 = kdp2
θ1 %
θ2%
3/2
0,882
99,7
7,2
7/4
0,897
99,9
1,3
15/8
0,900
100,
0,3
9/4
0,898
100,
0,8
5/2
0,893
99,9
2,5
7/2
0,897
100
1,3
15/4
0,900
100
0,3
9/2
0,898
100
0,8
15/2
0,900
100
0,3
ν
σd %
σ att %
12,5
9,7
14,2
9,6
12,9
8.3
9,2
6.2
5,1
4,5
3,0
2,5
3,4
2,3
2,3
1,8
1,0
0,7
Przykłady projektowe
Skrót
%
6/1; 12/2; 18/3
24/4; 36/6; 48/8
14/2; 42/6; 64/8
100
85,7
30/4; 60/8
80,0
18/2; 36/4; 54/6
72/8; 90/10
10/1; 30/3; 60/6
88,9
80,0
14/1; 42/3; 64/4
85,7
30/2; 60/4; 90/6
80,0
18/1; 36/2; 54/3
72/4; 90/5
30/1; 60/2; 90/3
88,9
80,0
12
Analogiczne badania zostały przeprowadzone dla uzwojeń dwufazowych dla
p = 2, 4, 8, a podstawowe wyniki zawiera tabela 2.
4. PODSUMOWANIE
Zestawione w tabelach 1 i 2 rezultaty charakteryzujące ułamkowe uzwojenia
niesymetryczne potwierdzają, że mogą być one stosowane dla p = km, gdy trudno jest
skonstruować uzwojenie symetryczne ze względu na ograniczoną liczbę żłobków, dla
których uzwojenia są całkowite.
Uzwojenia te z pewnością nie są gorsze od uzwojeń ułamkowych symetrycznych, o ile
tylko przyjmie się optymalną wersję projektową, a ta jest łatwa do ustalenia przy
zastosowaniu przedstawionej metody algorytmicznej.
LITERATURA
[1] DĄBROWSKI M., Projektowanie maszyn elektrycznych prądu przemiennego, Warszawa, WNT, 1988.
[2] DUBICKI B., Trójfazowe uzwojenia ułamkowo-żłobkowe jednowarstwowe, Archiwum Elektrotechniki,
Warszawa, z. 2, 1978.
[3] DUBICKI B., Trójfazowe uzwojenia ułamkowo-żłobkowe dwuwarstwowe,. Archiwum Elektrotechniki,
Warszawa, z. 3, 1978.
[4] HICKIEWICZ J., ŁUKANISZYN M., SZMANIEC S., WACH P., On reducing the vibrations and noise
level of induction motors with integral and fractional slot windings, Archiv für El. 73 , (163–171),
Springer Verlag 1990.
[5] LIWSCHITZ M.M., Differential leakage with respect to the fundamental wave and to the harmonics.
Trans. Americ. Inst. Electr. Eng., Vol. 63 (1139–1149), 1944.
[6] LIWSCHITZ M.M., Differential leakage of a fractional-slot winding. Trans. Americ. Inst. Electr. Eng.
Vol. 65, (314–320), 1946.
[7] WACH P., Multi-phase systems of fractional-slot windings of AC electrical machines, Archives of Electrical Engineering, Vol. XLVI. No 4, s. 471–486, Warszawa 1997.
[8] WACH P., Uzwojenia ułamkowe maszyn elektrycznych prądu, Warszawa–Wrocław, PWN, 1997.
[9] WACH P., Algorithmic method of design and analysis of fractional-slot windings of AC machines, Electrical Engineering 81 (1998), s. 163–170, Springer Verlag 1998.
[10] ZAWILAK J., Projektowanie uzwojeń trójfazowych maszyn prądu przemiennego metodą symetryzacji,
Prace Nauk. Pol. Wrocławskiej, Zesz. Inst. Układów Elektromaszynowych, nr 13 , Wrocław 1979.
[11] ZEMBRZUSKI J., Atlas uzwojeń silników indukcyjnych. Warszawa, WNT, 1985.
POLYPHASE ASYMMETRIC WINDINGS PROVE QUALITY
On the contrary to the intuitive notion the asymmetric fractional-slot windings, if only well designed,
are quite practical and their quality could be surprisingly good. The need for their application is obvious for
the 3-phase windings with p = 3,6 pole pairs and 2-phase windings with p = 2, 4, 8. For the above cases
the possibilities of construction of the integral-slot windings are much limited. The paper presents
an algorithmic method of design and analysis of such windings, whose quality in respect to major MMF
factors is quite comparable with the integral-slot windings – also regarding the differential leakage factor.