Zestaw zadań do domu

Zestaw do domu nr 9
1) Znaleźć wskazane pochodne cząstkowe następujących
funkcji:
∂p ∂p
x
2
,
a) p(u, v) := u ln v, u = y , v = 3x − 2y
,
∂x ∂y
b) z(x, y) := arctgxy, y = ex
2
∂z dz
,
∂x dx
,
2
c) z(u, v) := x y − y x, x = u cos v, y = u sin v
∂z ∂z
,
∂u ∂v
.
2) Znajdź pochodną kierunkową funkcji
z(x, y) := ln(x2 + y 2 )
w kierunku wektora o długości jeden, prostopadłego do poziomicy tej
funkcji w danym punkcie (x0 , y0 ).
3) Dana jest funkcja
u(x, y) := 5x2 y − 3xy 3 + y 4 .
Gdzie zeruje się gradient tej funkcji?
4) Znajdź płaszczyznę styczną do powierzchni zadanej równaniem
z := x2 + y 2
w punkcie (1, 2, 5).
5) Znajdź równanie prostej stycznej do krzywej zadanej parametrycznie
1
1
x = at, y = at2 , z = at3
2
3
w punkcie (6a, 18a, 72a).
6) Napisać równania płaszczyzn stycznych do elipsoidy
4x2 + 4y 2 + z 2 = 4,
równoległych do płaszczyzny
12x − 3y + 2z = 0.
7) Udowodnić, że płaszczyzna styczna do powierzchni danej równaniem
xyz = a3
1
2
w dowolnym jej punkcie (x, y, z) tworzy z płaszczyznami układu współrzędnych czworościan o stałej objętości. Jakiej?