Ciągi

9 CIAGI
˛ LICZBOWE
1
9 Ciagi
˛ liczbowe
3. Wykaż, że ciag
˛ (bn ) dla n ∈ N+ jest ciagiem
˛
malejacym,
˛
jeśli
a) bn =
9.1 Definicja ciagu
˛
1. Ciag
˛ (an ) określony jest wzorem an =
n2 −1
n .
Oblicz a1 , a2 , a4 , a10 , an−1
2. Oblicz wyrazy a1 , a2 , a3 , a4 ciagu
˛ danego wzorem:
√
( )n
n
a) an = −4 b) an = 1 + n
c) an = 2 · − 13
n+3
n
b) bn = n · 2n−1
2−n
2n+1
bn = n +
c) yn = 1n + (−1)n .
(−1)n
n
a) an = 4n − n2
9. Dane sa˛ ciagi
˛ an =
a) (0; −1; 0.5; 1; −2; 0; 3; 2)
n−2
n
b) cn = 0.5n + 1
e) cn =
1
n
(−2)
n2
n
c) an =
n+3
n
.
i bn = 1 + n1 . Wyznacz ogólny wyraz ciagu:
˛
b) (an − bn )
d) ( abnn )
n+3
n+2
n+2
n
i bn =
3n−1
n .
(b) Zbadaj monotoniczność ciagów:
˛
an + bn , an − bn , an · bn , abnn
10. Dla jakich wartości parametru k ciag
˛ o wzorze ogólnym an =
kn
n+2
jest rosnacy?
˛
Ciag
˛ arytmetyczny
b) (32, 20, 8, −4, −16, −20)
√
√
√
√
d) (1 + 2, 1 + 8, 1 + 18, 1 + 32)
2. Czy ciagiem
˛
arytmetycznym jest ciag
˛ dany wzorem:
a) an = 3n + 5
b) bn = n2 + 1
c) vn =
1
n+2
4. Oblicz sześć poczatkowych
˛
wyrazów ciagu
˛ arytmetycznego (an ), jeśli:
1. Sprawdź który ciag
˛ jest rosnacy,
˛ a który malejacy:
˛
b) bn = −5n + 2
d) vn = − 12 · 5n−1
2. Wykaż, że ciag
˛ (an ) dla n ∈ N+ jest ciagiem
˛
rosnacym,
˛
jeśli:
b) an = 1 − ( 12 )n
a) (2, 6, 10, 14, 18, 22)
(
)
1
1
1
c) 12 , 41 , 16 , 18 , 10
, 12
, 14
3. Oblicz wyrazy: a2 , a3 , a8 , a12 , a22 ciagu
˛ arytmetycznego an , jeśli a1 = 8, a jego różnica
r = 5.
9.2 Monotoniczność ciagu
˛
n
2n+1
c) cn = 1 +
1. Sprawdź, który spośród danych ciagów
˛
jest ciagiem
˛
arytmetycznym:
9. Sporzadź
˛ wykres ciagu:
˛
a) an =
b) bn = n + (−1)n
(a) Zbadaj monotoniczność ciagów
˛
(an ) i (bn ).
8. Wyznacz ogólny wyraz ciagu,
˛
wiedzac,
˛ że każdy jego wyraz jest liczba˛ naturalna,˛ która
9.3
podzielona przez 5 daje reszt˛e 2.
a) an = (3n)− 1
n
c) cn = 23
1
n+1
8. Dana jest funkcja h(x) = 12 x + 5, x ∈ R. Wykaż, że ciag
˛ an , gdzie an = h(3n), n ∈ N+ ,
jest ciagiem
˛
rosnacym.
˛
7. Podaj ciag
˛ reszt z dzielenia przez 5 kolejnych liczb naturalnych mniejszych od 16.
a) (an + bn )
c) (an · bn )
+
4. Sprawdź monotoniczność ciagu:
˛
6. Przedstaw wzorem ogólnym ciag
˛ liczb naturalnych wi˛ekszych od 8.
10. Dane sa˛ ciagi
˛ an = 1 −
1
n
7. Dana jest funkcja f (x) = 4 − 2x, x ∈ R. Wykaż, że ciag
˛ an , gdzie an = f (n + 1), n ∈ N+ ,
jest ciagiem
˛
malejacym.
˛
5. Oblicz piaty
˛ wyraz każdego ciagu:
˛
{
{
u1 = 5
a1 = 1
a)
b)
un+1 = 2un
an+1 = 3an + 1
d) cn =
c) bn =
6. Dana jest funkcja g(x) = 2x + 1, x ∈ R. Wykaż, że ciag
˛ an , gdzie an = g(n), n ∈ N+ ,
jest ciagiem
˛
rosnacym.
˛
4. Zapisz w postaci (a1 , a2 , a3 , ..., an ) ciag
˛ dany wzorem:
a) an =
b) bn = 1 + ( 23 )n
5. Wykaż, że ciag
˛ an = n2 − 3n + 2 jest niemalejacy.
˛
3. Oblicz sześć poczatkowych
˛
wyrazów ciagu
˛ danego wzorem:
a) an =
n+2
2n+1
c) an =
n2
n+1
a) a1 = 5, a2 − a1 = 6
c) a6 = 0, a6 − a5 = − 21
b) a2 − a1 = −4, a3 = 4.5
d) a5 = 12, a6 = 9.
5. Oblicz wartości pozostałych wyrazów ciagu
˛ arytmetycznego:
a) (2, 7, a3 , a4 , a5 , a6 )
c) (a1 , a2 , 6, a4 , − 21 , a6 )
b) (a1 , −2, −8, a4 , a5 , a6 )
(a1 , 13 , a3 , a4 , a5 , 1)
9 CIAGI
˛ LICZBOWE
2
6. Znajdź ogólny wyraz ciagu
˛ arytmetycznego (an ), wiedzac,
˛ że:
a) a1 = 5, a2 = 8
b) a1 = −7, a5 = −5
c) a2 =
1
2 , a3
=
19. W sklepie muzycznym sprzedaż płyt CD wzrasta codziennie o 5 sztuk. W ciagu
˛ ilu dni
należy uzupełnić zapasy, aby płyty CD były w ciagłej
˛
sprzedaży, jeżeli w sklepie znajduje
si˛e 1000 sztuk płyt CD, a w pierwszym dniu sprzedano 12 sztuk.
1
4
7. Wyznacz ogólny wyraz ciagu
˛ arytmetycznego (an ), jeśli:
a) a3 = 7 i a2 + a6 = 19
√
c) a2 + a6 = 2 2 i a9 − a4 = 5
20. Uczeń przygotowujacy
˛ si˛e do sprawdzianu z matematyki rozwiazał
˛ w ciagu
˛ dnia 5 zadań,
ale zaplanował, że w każdym nast˛epnym dniu rozwia˛że o 2 zadania wi˛ecej niż w poprzednim. Po ilu dniach liczba wszystkich rozwiazanych
˛
zadań przekroczy 100?
b) a2 + a4 = 11 i a11 = 17
d) a1 + a3 = 2 i a2 · a4 = 2.
8. Wyznacz ogólny wyraz ciagu
˛ danego wzorem rekurencyjnym:
{
{
{
ν1 = − 12
a1 = 4
u1 = a
b)
a)
c)
an+1 = an + 6
un+1 = un + b
νn+1 = νn − 41
)
(
√
1
1
, 23 , √3+1
jest ciagiem
˛
arytmetycznym.
9. Sprawdź, czy ciag
˛ √3−1
10. Podaj liczb˛e wyrazów ciagu
˛ arytmetycznego (an ) o różnicy r:
a) a1 = −5, r = 3, an = 22
c) a1 = 52 , r = − 14 , an = 2
b) a1 = 12k + 1, r = 2k − 4, an = 12k − 3.
b) a3 = −2, a5 = 16, n = 4
d) a5 = 4a, a9 = 20a, n = 10.
a) (1, 3, 9, 27, 81, 243)
d) νn = 3n · 2n−1
b) an = 2n
e) cn = 2n
c) bn = n2
2. Wykaż, że ciag
˛ (an ) określony wzorem an = 23n+1 dla n ∈ N jest ciagiem
˛
geometrycznym.
d) a2 = 21 , a6 = 2
b) a2 = 4, a3 = 2
√
√
e) a3 = 3, a6 = 27 3
c) a4 = − 31 , a5 =
1
9
b) a2 = 6 i a3 − a1 = 16.
a) a2 = 12 i a1 + a3 = 30
13. Wyznacz ogólny wyraz ciagu
˛ arytmetycznego (an ), w którym a1 = 3, a suma 9 poczatkowych
˛
wyrazów wynosi 99.
14. Oblicz sum˛e 20 poczatkowych
˛
wyrazów ciagu
˛ (un ), w którym u1 =
a) a1 = 2, a2 = 10
4. Wyznacz ogólny wyraz ciagu
˛ geometrycznego (an ), w którym:
12. Rozwia˛ż równanie 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) = 144, n ∈ N+ .
1
2
i un+1 = un + 13 .
15. Oblicz sum˛e 30 poczatkowych
˛
wyrazów ciagu
˛ arytmetycznego, w którym wyraz pierwszy
jest równy 16, a jego różnica jest liczba˛ -8.
5. Napisz wzór na sum˛e n poczatkowych
˛
wyrazów ciagu
˛ geometrycznego (an ), w którym
a1 = 3, iloraz q = 5.
6. Oblicz sum˛e ośmiu poczatkowych
˛
wyrazów ciagu
˛ geometrycznego (an ), w którym:
a) a1 = 3, a3 = 12;
1
c) a3 = − 21 , a6 = − 16
.
b) a2 = 4, a3 = 2;
7. Oblicz sum˛e Sn pierwszych n wyrazów ciagu
˛ geometrycznego, jeżeli:
16. Oblicz wartość sumy:
a) 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 100;
1. Sprawdź, który spośród danych ciagów
˛
jest ciagiem
˛
geometrycznym:
3. Znajdź pi˛eć poczatkowych
˛
wyrazów ciagu
˛ geometrycznego (an ), jeśli:
11. Oblicz sum˛e Sn pierwszych n wyrazów ciagu
˛ arytmetycznego (an ), jeżeli:
a) a1 = 6, a15 = 62, n = 14
c) a4 = 5, a8 = 35, n = 8
9.4 Ciag
˛ geometryczny
b) 1 + 4 + 7 + 10 + ... + 100.
17. Kwadratowy obrus o boku długości 1,2 m ma być wykończony doszywana˛ tasiemka.˛ Długość obwodu każdego nast˛epnego rz˛edu tasiemki je o 20 cm wi˛eksza niż długość obwodu
poprzedniego rz˛edu. Oblicz korzystajac
˛ z własności ciagu,
˛
ile rz˛edów tasiemki trzeba
doszyć, aby bok obrusu z tasiemka˛ miał długość 1,5 m.
18. Właściciel hurtowni planował, że w ciagu
˛ pierwszego roku działalności b˛edzie co miesiac
˛
zwi˛ekszać kwot˛e na wynagrodzenie dla pracowników o t˛e sama˛ wartość. Oblicz kwoty,
jakie wypłacił właściciel hurtowi pracownikom w pierwszym i ósmym miesiacu
˛ działalności, wiedzac,
˛ że w drugim miesiacu
˛ wypłacił 102 100 zł, a w szóstym 106 100 zł.
a) a1 = −2, q = 4, n = 5
c) a1 = 12 , q = −1, n = 3
b) a1 = −3, q = 0.5, n = 4
d) a1 = 4, q = − 21 , n = 6.
8. Wyznacz a1 , q, Sn , ciagu
˛ geometrycznego, jeżeli:
a) a3 = 6, a5 = 2000, n = 4
c) a2 = −4, a4 = 21 , n = 3
b) a2 = −1, a7 = 8, n = 6
d) a4 = 2, a8 = 6, n = 10.
9. Wyznacz wyraz pierwszy a1 i iloraz q ciagu
˛ geometrycznego an , jeżeli:
{
{
a1 + a3 = 5
a2 + a3 = 12
a)
b)
a3 + a5 = 12
a3 + a4 = − 14
9 CIAGI
˛ LICZBOWE
3
10. Ciagi
˛ (an ), (bn ), (cn ) określone sa˛ wzorami ogólnymi. Zbadaj, który z tych ciagów
˛
jest
ciagiem
˛
arytmetycznym, który geometrycznym, wiedzac,
˛ że:
( 1 )n
an = 3n + 2, bn = n+1
.
n , cn = 3 · 2
2. Przez pi˛eć lat (na poczatku
˛
każdego roku) pan Nowak lokuje w banku po 3000 zł na
7% w skali roku (procent prosty). Jaka˛ sum˛e otrzyma po pi˛eciu latach? Uwzgl˛ednij 18procentowy podatek od dochodów kapitałowych. (Odp. 17 583zł)
11. Trzy poczatkowe
˛
wyrazy ciagu
˛ (1, x, y, 15) tworza˛ ciag
˛ geometryczny, a trzy końcowe —
ciag
˛ arytmetyczny. Wyznacz liczby x i y.
3. Pan Kozłowski złożył do banku 8000 zł, a po upływie pierwszego i każdego nast˛epnego roku
wpłacał po 1000 zł. Ile lat oszcz˛edzał pan Kozłowski, jeśli na koniec tego okresu na koncie
było wraz z odsetkami (przed opodatkowaniem) 26 290 zł. Przez cały czas oszcz˛edzania
oprocentowanie w banku wynosiło 4,5% (procent prosty). (Odp. 12 lat)
12. Trzy liczby sa˛ kolejnymi wyrazami ciagu
˛ arytmetycznego. Ich suma wynosi 18. Jeśli najwi˛eksza˛ z tych liczb zwi˛ekszymy o 8, a pozostałych nie zmienimy, uzyskamy trzy kolejne
wyrazy ciagu
˛ geometrycznego. Wyznacz te liczby.
13. Które wyrazy ciagu
˛ (an ) sa˛ dodatnie?
a) an = 4n2 − 3n − 1
b) an = 16n3 − n.
Zadania ze zbioru Wydawnictwa Pazdro
1. W skończonym ciagu
˛ geometrycznym dwa ostatnie wyrazy sa˛ równe odpowiednio an−1 =
25
26
oraz
a
=
.
˛ że suma wszystkich wyrazów tego ciagu
˛ wynosi 199 39
n
32
64 Wiedzac,
64 , wyznacz:
a) wyraz pierwszy;(a1 = 100) b) liczb˛e wyrazów tego ciagu.(n=9)
˛
2. W skończonym ciagu
˛ geometrycznym pierwszy wyraz jest równy (−3), a ostatni wynosi
(−1536). Wiedzac,
˛ że suma wszystkich wyrazów tego ciagu
˛ jest równa −3069, wyznacz:
a) iloraz tego ciagu;(q=2)
˛
b) liczb˛e wyrazów tego ciagu.(n=9)
˛
3. Przyznano kilka nagród, których wartość wynosiła 14760 zł. Pierwsza nagroda wyniosła
5000 zł, a każda nast˛epna była pewnym stałym ułamkiem poprzedniej. Oblicz ile było
nagród i jaka˛ wartość miała każda nagroda, jeśli ostatnia wynosiła 2560 zł.
4. Ciag
˛ geometryczny składa si˛e z pi˛eciu wyrazów, których suma wynosi 124. Iloraz sumy
wyrazów skrajnych przez wyraz środkowy równy jest 4, 25. Wyznacz ten ciag.
˛
5. Wyznacz rosnacy
˛ ciag
˛ geometryczny, wiedzac,
˛ że suma wyrazów skrajnych jest równa 34,
iloczyn tych wyrazów 64, a suma wszystkich wyrazów ciagu
˛ wynosi 62.
*6 Dany jest ciag
˛ geometryczny (an ) o parzystej liczbie wyrazów, w którym a1 ̸= 0 oraz
q ∈ R{−1, 0, 1}. Wykaż, że stosunek sumy wszystkich wyrazów tego ciagu
˛ do sumy
wyrazów o numerach parzystych wynosi 1+q
.
q
9.5 Lokaty pieni˛eżne i kredyty bankowe
1. Pan Nowak ulokował w banku kwot˛e 6000 zł na 7% w skali roku (procent prosty). Jaka˛
sum˛e otrzyma po pi˛eciu latach? Pomiń podatek od dochodów kapitałowych. (Odp. 8
100zł)
4. Pan Kowalczyk złożył do banku 25 000 zł na cztery lata na procent składany. Jaka˛ kwot˛e
b˛edzie miał na koncie po tym okresie, jeśli oprocentowanie w banku wynosi 10% w skali
roku, a odsetki kapitalizuje si˛e:
a) co roku (34 265zł, 36 602zł)
b) co sześć miesi˛ecy (34 478zł, 3693zł)
c) co trzy miesiace.
˛ (34 590zł, 37 113zł)
W każdym przypadku wykonaj obliczenia uwzgl˛edniajace
˛ 18-procentowy podatek od dochodów kapitałowych, jak i pomijajace
˛ ten podatek.
5. Kiedy otrzymamy wi˛eksza˛ kwot˛e: lokujac
˛ pieniadze
˛
na 4% przez 10 lat, czy lokujac
˛ je na
10% przez 4 lata? Zakładamy, że w każdym przypadku kapitalizacja nast˛epuje co rok. (4%
na 10 lat)
6. Pan Kowalski założył w banku lokat˛e w wysokości 10 000 zł na procent składany. Po
dwóch latach bank wypłacił mu 12 155,06 zł. Jakie było oprocentowanie tej lokaty w skali
roku, jeśli bank kapitalizował odsetki co sześć miesi˛ecy? Pomiń podatek od dochodów
kapitałowych. (10%)
7. Pan Nowak założył w banku lokat˛e w wysokości 10 000 zł na procent składany. Po dwóch
latach bank wypłacił mu 12 146,04 zł. Jakie było oprocentowanie tej lokaty w skali roku,
jeśli bank kapitalizował odsetki co trzy miesiace?
˛
Uwzgl˛ednij 18-procentowy podatek od
dochodów kapitałowych. (12%)
8. Ile pieni˛edzy należy przeznaczyć na lokat˛e (na procent składany) trwajac
˛ a:
˛
a) sześć miesi˛ecy (18852zł)
b) dziewi˛eć miesi˛ecy (18 303zł)
c) rok. (17 770zł)
aby po jej zakończeniu otrzymać 20 000 zł. Roczna stopa procentowa jest równa 12%, kapitalizacja odsetek odbywa si˛e co trzy miesiace.
˛ Pomiń podatek od dochodów kapitałowych.
9. W pewnym sklepie ze sprz˛etem RTV można kupić nowoczesny telewizor LCD, płacac
˛
cztery raty po 2000 zł (pierwsza rata po trzech miesiacach
˛
od daty zakupu, kolejne raty
co trzy miesiace).
˛
Pan Nowacki chciałby kupić ten telewizor w systemie ratalnym. Ma
na koncie 7700 zł. Czy jest to kwota wystarczajaca
˛ do zakupu telewizora, jeśli oprocentowanie w banku, w którym pan Nowacki ma konto, jest stałe i wynosi 8% w skali roku, a
kapitalizacja odsetek jest kwartalna?