1. Grupy i ciaªa

Zestaw zada« z Geometrii z algebr¡ liniow¡
dla kierunku Informatyka, rok akadem. 2015/2016
1. Grupy i ciaªa
Zad. 1. Wyja±ni¢ poj¦cia:
dziaªanie dwuargumentowe, dziaªanie ª¡czne, dziaªanie prze-
mienne, element neutralny (jedynka), póªgrupa, monoid.
Zad. 2. Który z poniz»szych zbiorów wraz ze wskazanym dziaªaniem jest grupa? Wskaza¢
element neutralny.
(a) zbiór wszystkich caªkowitych wielokrotno±ci danej liczby rzeczywistej
a z dzia-
ªaniem dodawania;
(b) zbiór dodatnich liczb wymiernych z dziaªaniem mnozenia;
(c) zbiór liczb wymiernych z dziaªaniem dodawania;
(d) zbiór liczb wymiernych z dziaªaniem odejmowania.
Zad. 3. Ile ró»nych dziaªa« mo»na okre±li¢ w dowolnym zbiorze zawieraj¡cym tylko jeden
element?
nZ = {nm : m ∈ Z} b¦dzie zbiorem liczb caªkowitych podzielnych przez
(nZ, +, 0) jest monoidem przemienym, a (nZ, ·) jest póªgrup¡ bez
jedynki (dla n > 1).
Zad. 4. Niech
n.
Pokaza¢, »e
Zad. 5. W dowolnym niepustym zbiorze rozpatrujemy dziaªanie
x ◦ y = x.
◦ zdeniowane nast¦puj¡co:
Sprawdzi¢, czy dziaªanie jest ª¡czne i przemienne.
Okre±li¢, kiedy to
dziaªanie ma element neutralny, a kiedy go nie ma.
Zad. 6. W zbiorze liczb wymiernych
Q
wprowadzamy dwa dziaªania
⊕
oraz
⊙
okre±lone w
nast¦uj¡cy sposób:
a ⊕ b = a + b + 1,
a, b ∈ Q,
zbiorze Q.
+
oraz
a ⊙ b = ab + a + b,
·
dla dowolnych licz
gdzie
oznaczaj¡ zwykªe dziaªania dodawania
oraz mno»enia w
Udowodni¢, »e dziaªania
⊕ i ⊙ s¡ ª¡czne, przemienne
⊙ jest rozdzielne wzgl¦dem
dziaªania ⊙.
oraz maj¡ elementy neutralne. Wykaza¢, »e dziaªanie
⊕,
ale dziaªanie
⊕
nie jest rozdzielne wzgl¦dem
Zad. 7. Wyja±ni¢ poj¦cia: element odwrotny, grupa, grupa abelowa.
Zad. 8. Zbada¢, czy zbiór liczb caªkowitych
Z
z dziaªaniem
⋄
zdeniowanym:
a ⋄ b = a + ab + b
jest grup¡.
Zn = {0, 1, ..., n − 1}. Na zbiorze Zn rozwa»amy dziaªanie + jako
modulo n. Pokaza¢, »e (Zn , +, 0) jest n-elementow¡ grup¡ abelow¡.
Zad. 9. Niech
Z∗n = Zn \{0}. Na zbiorze Z∗n rozwa»amy dziaªanie · jako
n. Pokaza¢, »e je±li n jest liczb¡ pierwsz¡, to (Z∗n , ·, 1) jest grup¡
Zad. 10. Niech
dodawanie
mno»enie modulo
abelow¡.
Zad. 11. Ile ró»nych dziaªa« ⋄ mo»na okre±li¢ na zbiorze
(a)
2-elementowym
X = {a, e},
(b)
3-elementowym
X = {a, b, e},
tak, aby
(X, ⋄, e)
byªo grup¡?
Zad. 12. Czy dziaªanie w grupie permutacji
(Sn , ◦, id)
jest przemienne?
Zad. 13. Czy istnieje grupa nieabelowa maj¡ca 2 lub 3 elementy?
Zad. 14. Niech
(G, ⋄, e)
b¦dzie grup¡ i
a, b ∈ G.
Pokaza¢, »e
(a ⋄ b)−1 = b−1 ⋄ a−1 .
Zad. 15. Wyja±ni¢ poj¦cie: ciaªo.
{0, 1, a, b}
Zad. 16. Pokaza¢, »e zbiór
z wyró»nionymi elementami 0 i 1 oraz z dziaªaniemi
okre±lonymi nast¦puj¡co:
+
0
1
0
0
1
1
1
0
a
b
a
b
b
a
a
a
b
b
b
a
·
0
1
a
0
0
0
0
0
1
0
1
b
0
1
0
1
0
a
b
a
b
a
b
1
a
0
b
1
tworzy ciaªo.
Zad. 17. Pokaza¢, »e zbiór
gdzie
√
√
Q( 2) zªo»ony ze wszystkich liczb rzeczywistych postaci a + b 2,
a, b ∈ Q, ze zwykªymi dziaªaniami dodawania i mno»enia oraz z wyró»nionymi
liczbami 0 i 1 jest ciaªem.
Zad. 18. Niech
(K, +, ·, 0, 1)
b¦dzie ciaªem, a
x, y, z
b¦d¡ jego dowolnymi elementami. Poka-
za¢:
(a)
(tzw. prawo skracania)
•
•
je±li
je±li
x + z = y + z , to x = y ,
x · z = y · z i z ̸= 0, to x = y ;
(b) x · 0 = 0;
(c) 0 ̸= 1;
(d) −(−x) = x.