Ruch r(t) → x(t), y(t), z(t) Prawa Newtona Siła i praca Typowe siły

Ruch r(t) � x(t), y(t), z(t)
• Kinematyka:
r(t) ==> v(t) ==> a(t) ==> F
v(vx, vy, vz), vx = dx/dt, ...
a(ax, ay, az), ax = d(vx) /dt, ...
F=m·a • Dynamika:
F ==> a(t) ==> v(t) ==> r(t) UWAGA na stałe całkowania gdy odgadujemy rozwi�zanie
Prawa Newtona
Układy nieinercjalne, czyli gdy I „zasada” dynamiki nie jest spełniona �
�
Wówczas zast�pujemy znane F = m a
�
�
� � � � �
� �
dω �
przez F = m[ a + a winda +
× r + 2ω × v + ω × ( ω × r )]
dt
przykłady układów nieinercjalnych:
•Ziemia, curling na biegunie
•kierunek wiatrów wzgl�dem linii ł�cz�cej wy� z ni�em
•siła Coriolisa vs siła do�rodkowa � inna zale�no�� od v
�
�
� �
(analogia z sił� Lorentza: F = qE + qv × B )
Typowe siły –
siła spr��ysta
Siła i praca
B �
�
Ogólny wzór na prac� W = � F ⋅ ds
A
� B � � �
i tylko dla stałej siły upraszcza si� do: W = F ⋅ � ds = F ⋅ s
A
(wykluczaj�c np. siły tarcia)
Fx = −
∂V ( x , y , z )
∂x
dla np. V=3xy+2y2z+1 � F(-3y, -3x-4yz, -2y2)
wówczas siła i energia potencjalne s� równowa�ne, oraz praca
W(A�B) = V(B)-V(A) a)nie zale�y od wyboru drogi
b)V zawiera dowoln� stał� addytywn�
(siła spr��ysta)
(siła grawitacji) V = 1/2 kx2 <==> F = -kx
V = -�/r <==> F = �/r2
Dynamika - siły spr��yste
Formalna definicja sił spr��ystych (elastycznych)
(prawo)x ~ -F, (zapis) F = -k·x, k>0wynik:
x(t) = Asin(�t+�), �2 = k/m
Przykład: spr��yna
• do�wiadczenie statyczne: wyznacz k z wykresu x=f(F)
• teoria: dla ci��arka o masie m wylicz T=2�/�
• do�wiadczenie dynamiczne: sprawd� okres T z teori�
– stała całkowania A: wybierz amplitud�
– stała całkowania �: wybierz faz�, na przykład �=0 to wł�czenie stopera w chwili gdy ci��arek mija poło�enie x=0
Uwaga: wektory wytłuszczono
Nazwa i znaczenie: siła spr��ysta, F ~ -x, F = -kx, (k=const)
Energia potencjalna: V(r) = kx2/2 + const
Rozwi�zanie r(t): x(t) = Asin(�t+�), gdzie �2 = k/m
Tor: Realizacja: spr��yna, dla małych wychyle�
wahadło, dla małych wychyle�
tunel w Ziemi, korek na wodzie, U-rurka
Uwagi: dla małych wychyle� F(x) = a + bx + cx2 + ...
Dynamika - siły spr��yste
Typowe siły spr��yste
spr��yna, o ile wychylenie x małe, spr��yna niewa�ka, ...
1
T = 2π ⋅ m / k → T = 2π ⋅ (m + ms ) / k
3
wahadło matematyczne, o ile wychylenie � jest małe, ni�
niewa�ka i nierozci�gliwa, a masa punktowa
T = 2π ⋅ l / g
Uwaga: T=const(�,m)
Dynamika - siły spr��yste
Dynamika - siły spr��yste
wahadło fizyczne: wychylenie � małe, ciało sztywne
J
J0
d
T = 2 π ⋅ J / mgd , J = J 0 + md 2
moment bezwładno�ci wzgl�dem osi obrotu
(w tablicach in�ynierskich, dla typowych geometrii)
moment bezwładno�ci wzgl�dem osi przechodz�cej
przez �rodek masy •
odległo�� mi�dzy obu osiami
J
•
J0
– J0= 0 to punkt materialny ==> wahadło matematyczne
– J0= (1/2)mr2 to koło (nie okr�g) o osi prostopadłej
– J0= (1/4)mr2 to koło o osi w płaszczy�nie koła
Typowe siły spr��yste
•tunel w Ziemi, np. bez tarcia,...
T = 2 π ⋅ R / g = 84[min .]
•Korek na wodzie, ...
•U-rurka, ...