plik pdf - Krzysztof Piontek

Zmienność implikowana instrumentów finansowych - wprowadzenie
Krzysztof Piontek
Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń
Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu
Zmienność implikowana instrumentów finansowych
- wprowadzenie
Wstęp
Ostatnia
dekada
zaowocowała
dynamicznym
rozwojem
teorii
i praktyki rynków finansowych. Wśród wielu rodzajów ryzyka występującego
na rynkach finansowych szczególną uwagę zwrócono na ryzyko rynkowe
(związane ze zmianami cen instrumentów finansowych) oraz ryzyko kredytowe
(związane z możliwością niewywiązania się jednej ze stron z kontraktu).
Jedną z grup pomiaru ryzyka rynkowego miary stanowią miary zmienności cen
instrumentów finansowych (volatility measures).
Celem pracy jest przedstawienie podstawowych pojęć związanych ze zmiennością
implikowaną (implied volatility), która stanowi rynkowe oszacowanie zmienności
instrumentu bazowego wyznaczane na podstawie kwotowań opcji wystawionych
na ten instrument. Zaprezentowane zostały techniki wyznaczania zmienności
implikowanej na podstawie kwotowań pojedynczych opcji, jak i łącznego parametru
zmienności wyznaczanego na podstawie klas opcji.
Przedstawione zagadnienia mogą zostać wykorzystane w zarządzaniu:
-
ryzykiem kursu walutowego (exchange rate risk);
-
ryzykiem cen akcji (stock price risk);
-
ryzykiem cen towarów (commodity price risk).
Z opracowania wyłączone zostało ryzyko stopy procentowej (interest rate
risk), co związane jest z odmiennymi narzędziami stosowanymi
w analizie zmienności oraz struktury stóp procentowych (obiektem badania jest
wówczas cała krzywa dochodowości papierów dłużnych).
1
Krzysztof Piontek
1. Zmienność instrumentów finansowych
Zmienność instrumentów finansowych jest pojęciem zyskującym coraz
bardziej na znaczeniu. Ogólnie można powiedzieć, że zmienność jest miarą
niepewności co do przyszłych zmian ceny instrumentu finansowego [7]. Jeśli
wzrasta zmienność, rośnie prawdopodobieństwo, że dany instrument finansowy
znacznie zmieni swoją cenę w przyszłości. Z punktu widzenie posiadacza
takiego instrumentu to może być zarówno korzystna, jak i niekorzystna zmiana.
W literaturze definiuje się następujące rodzaje zmienności [12]:
•
zmienność przyszłą (future volatility); stanowiącą nieznaną wartość
przyszłej zmienności,
•
zmienność historyczną (historical , realized volatility), wyznaczaną na
podstawie przeszłych notowań instrumentu bazowego,
•
zmienność implikowaną (implied volatility); wyznaczaną na podstawie cen
opcji wystawionych na instrument bazowy.
Czasami wyróżnia się również:
•
prognozę zmienności (forecast volatility); związaną z prognozami instytucji
finansowych, przy czym techniki prognozy nie są bliżej zdefiniowane,
•
zmienność sezonową (seasonal volatility); związaną z sezonowym
zachowaniem rynków towarowych (przede wszystkim rynków towarów
rolnych).
Zainteresowanie
zmiennością
przejawia
się
zarówno
na
płaszczyźnie
teoretycznej, gdyż bardzo silnie rozwijają się modele teoretyczne umożliwiające
zarządzanie ryzykiem [8] oraz z przyczyn praktycznych [9], gdyż prawidłowe
oszacowanie (przyszłego) parametru zmienności
umożliwia zmniejszenie
ryzyka inwestycji lub osiągnięcie większych dochodów.
Znaczenie zmienności w teorii finansów jest fundamentalne. Wystarczy
wspomnieć o modelach równowagi rynków kapitałowych, klasycznej teorii
portfela zaproponowanej przez Markowitza, modelach wyceny opcji, czy bardzo
ostatnio zalecanej koncepcji pomiaru ryzyka metodą Value at Risk (VaR).
2
Zmienność implikowana instrumentów finansowych - wprowadzenie
Jednak z punktu widzenia podejmowania decyzji inwestycyjnych
najważniejszą rolę odgrywają prognozy zmienności. Inwestor zainteresowany
jest oszacowaniem przyszłego poziomu zmienności. Teoria i praktyka
wypracowały różne metody prognozowania zmienności - od metod bardzo
prostych
wykorzystujących
zmienności,
po
modele
koncepcję
procesów
stochastycznej
o
zmienności
stałym
parametrze
oraz
zmienności
implikowanej.
2. Zmienność implikowana dla pojedynczej opcji
Zgodnie z modelem Blacka-Scholesa [1] wartość europejskiej opcji
kupna na akcję spółki nie wypłacającej dywidendy dana jest wzorem:
c = SN (d1 ) − Ee − rT N (d 2 ) ,
(1)
gdzie:
d1 =
2
S  σ
ln  +  r +
2
E 

T


σ T
d2 =
σ2
S 
ln  +  r −
2
E 

T


σ T
c – wartość europejskiej opcji kupna,
S – cena instrumentu bazowego,
E – cena wykonania opcji,
r – stopa wolna od ryzyka,
T – długość okresu do terminu wygaśnięcia opcji, wyrażona w latach,
σ – odchylenie standardowe stopy zwrotu instrumentu bazowego,
N(d) – wartość dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego dla
argumentu równego d.
Jeżeli założy się, że rynek instrumentów pochodnych jest rynkiem
efektywnym, czyli w cenie opcji znajdują odzwierciedlenie wszelkie informacje
mogące mieć wpływ na cenę tej opcji oraz, że modele teoretyczne prawidłowo
3
Krzysztof Piontek
wyceniają instrument pochodny, możliwe staje się wyznaczenie rynkowego
oszacowania zmienności instrumentu bazowego w okresie pozostającym do
wygaśnięcia opcji.
Ponieważ nie jest możliwe (dla modelu Blacka-Scholesa) analityczne
przedstawienie parametru zmienności, jako funkcji pozostałych parametrów
modelu, σ=f(c,S,E,T,r), wyznaczenia zmienności dokonuje się metodami
numerycznymi, przy założeniu, że pozostałe parametry modelu są znane, a cena
opcji na rynku jest ceną sprawiedliwą. Najczęściej stosuje się w tym celu
rekurencyjny algorytm Newtona-Raphsona:
σ i +1 = σ i −
c(σ i ) − c m
,
∂c
∂σ i
(2)
gdzie:
σi - zmienność implikowana uzyskana w i-tym kroku algorytmu,
cm - rynkowa cena opcji,
c(σi) - cena wyznaczona z modelu Blacka-Scholesa dla zmienności σi,
∂c
- parametr vega.
∂σ i
Procedurę powtarza się aż do uzyskania warunku:
c m − c(σ i +1 ) ≤ ε ,
(3)
gdzie ε to założony poziom dokładności.
Wartość startową algorytmu, zapewniającą zbieżność procedury zaproponowali
Manaster i Koehler [11].
1
 S
22
σ =  ln + rT 
T
 E
(4)
Aby skorzystać z algorytmu Newtona-Raphsona niezbędna jest znajomość
cząstkowej
pochodnej
ceny
opcji
względem
parametru
zmienności
(współczynnika vega). W wielu przypadkach (np. dla niektórych opcji
4
Zmienność implikowana instrumentów finansowych - wprowadzenie
egzotycznych, opcji amerykańskich) współczynnik vega nie jest znany w postaci
analitycznej. Parametr zmienności implikowanej wyznacza się wówczas
wykorzystując metodę rekurencyjnej interpolacji liniowej (The Bisection
Method) [6]:
σ i +1 = σ L + (c m − c L )
σ H −σ L
,
cH − cL
(5)
cL<cm<cH oraz σL<σi<σH
gdzie:
cL - cena opcji wynikająca ze zmienności σL,
cH - cena opcji wynikająca ze zmienności σH,
cm - rynkowa cena opcji związana z poszukiwaną wartością σi.
W kolejnym kroku algorytmu, o ile nie jest spełniony warunek (3), dokonywane
jest odpowiednie podstawienie:
 σ L = σ i +1 ; c(σ i +1 ) < c m

σ H = σ i +1 ; c(σ i +1 ) > c m
(6)
Zaproponowane zostały również metody nie wykorzystujące rozwiązań
rekurencyjnych. Brenner i Subrahmanyam [3] przedstawili w 1988 roku wzór na
zmienność implikowaną wyznaczaną na podstawie ceny europejskiej opcji
kupna, gdy cena akcji równa jest zdyskontowanej cenie wykonania opcji.
σ≈
c m 2π
(7)
S T
Corrado i Miller [5] przedstawili w 1996 roku wzór na przybliżoną wartość
zmienności implikowanej dla opcji niekoniecznie będącej forward at-themoney1.
σ≈
1
(
2π
T S + Ee − rT
)

S − Ee − rT
+
c m −
2

Opcja jest at-the-money-forward, gdy spełniona jest zależność
5
S = Xe − rT .
Krzysztof Piontek

S − Ee − rT
+  cm −
2


2
(

S − Ee
 −

π

)
− rT 2
1

 2 
 
 
 

(8)
3. Łączna zmienność implikowana dla klasy opcji
Bardzo często zdarza się, że na rynkach notowanych jest więcej niż
jedna opcja wystawiona na dany instrument (notowane są opcje o różnych
terminach wygaśnięcia i różnych cenach wykonania). Możliwe jest wówczas
otrzymanie różniących się wartości zmienności implikowanej będących
oszacowaniem tej samej przyszłej zmienności. Związane jest to z obciążeniami
modeli teoretycznych, ewentualnym brakiem płynnością rynku, błędnym
oszacowaniem pozostałych danych w modelu teoretycznym, istnieniem spreadu
bid-ask itd. Nie wszystkie opcje są również tak samo wrażliwe na zmiany
odchylenia standardowego stóp zwrotu instrumentu bazowego. Niezbędne stało
się podjęcie próby połączenia informacji niesionej przez poszczególne wartości
zmienności
implikowanej
w
jeden
łączny
parametr
zmienności
!
implikowanej ( σ ).
Często procedurę wyznaczania złożonego parametru zmienności implikowanej
poprzedza odrzucenie z analizowanego określonego podzbioru opcji o
określonych wielkościach premii opcyjnych lub czasu do wygaśnięcia [13].
Dalsza
część
procedury
wyznaczania
łącznego
parametru
zmienności
implikowanej obejmuje wyznaczenie odpowiednio ważonej średniej dla
zmienności implikowanych otrzymanych dla opcji pochodzących z tej samej
klasy. W zależności od autora za klasę opcji uważa się:
•
wszystkie opcje wystawione na ten sam instrument bazowy [10],
•
wszystkie dostępne do analizy opcje wystawione na ten sam instrument
bazowy oraz o tym samym terminie wygaśnięcia [2].
Zakłada się, że dla każdego instrumentu bazowego k oraz momentu czasowego t,
istnieje prawdziwa wartość zmienności σκ, która idealnie opisuje oczekiwaną
6
Zmienność implikowana instrumentów finansowych - wprowadzenie
przyszłą zmienność. Liczbę opcji w danej klasie dla danych k i t oznacza się jako
Nkt, a σikt
to zmienności implikowane dla poszczególnych opcji w klasie
(i=1, ..., Nkt).
Zaproponowane przez różnych autorów estymatory łącznej zmienności
σ̂ kt , kładą odmienny nacisk na wartości zmienności
implikowanej
implikowanych otrzymanych dla opcji o różnych wrażliwościach na zmiany
odchylenia standardowego. Najbardziej wrażliwe są opcje at-the-money o
stosunkowo długim okresie do wygaśnięcia.
•
R. Schmalensee i R. Trippi [13] zaproponowali, aby wszystkie
zmienności implikowane traktować tak samo i ich łączny estymator ma postać
średniej ważonej jednakowymi wagami
σˆ kt =
1
N kt
N kt
∑σ
ikt
.
(9)
i =1
Wagi proporcjonalne do współczynnika vega poszczególnych opcji
zostały zaproponowane przez H. Latané i J. Rendlemana [10] oraz
S. Beckersa [2].
Z wzoru Blacka-Scholesa można pokazać, że współczynnik vega posiada
maksimum (opcje są najbardziej wrażliwe na zmianę współczynnika
zmienności), gdy spełniona jest zależność:
S = Xe
 σ2
−T  r +

2





.
(10)
W przybliżeniu odpowiada to pojęciu opcji at-the-money-forward.
•
Latane i Rendleman zaproponowali następujący wzór do wyznaczania
estymatora łącznego:
 N kt 2 2
∑ σ kjt wkjt
 j =1
(
σˆ kt =



)
0.5
(11)
N kt
∑ wkjt
j =1
7
Krzysztof Piontek
gdzie:
wkjt – pochodna cząstkowa ceny opcji j na instrument k w momencie t
względem odchylenia standardowego wyznaczona z modelu
teoretycznego.
Powyższa "średnia ważona" nie jest prawdziwą średnią ważoną, ponieważ suma
wag jest mniejsza niż 1. Z tego względu estymator ten jest obciążony i zaniża
wartość zmienności implikowanej. Co więcej obciążenie zwiększa się wraz ze
wzrostem wielkości próby nawet, gdy wszystkie zaobserwowane zmienności
implikowane dla pojedynczych opcji są takie same.
Niemniej wagi takie uznano za lepsze niż jednostkowe, gdyż przyznają
mniejszą wagę wartościom mogącym okazać się błędnymi oszacowaniami.
•
Beckers zaproponował procedurę wyznaczania łącznej zmienności
implikowanej, którą koncentruje się przede wszystkim na zmiennościach
implikowanych na podstawie opcji forward-at-the-money. Wartość łącznej
zmienności uzyskuje się poprzez minimalizację funkcji:
∑ (w [c
N kt
i
f (σˆ kt ) =
mi
− ci (σˆ kt )]2
i =1
)
(12)
N kt
∑w
i
i =1
Procedura ta minimalizuje ważoną sumę kwadratów odchyleń cen rynkowych
oraz cen wynikających z modelu teoretycznego przy założonym poziomie
zmienności. Wagi w tej procedurze są proporcjonalne do kwadratów wag
z procedury Latane i Randlemana, co powoduje, że większy nacisk kładzie się
na opcje o większej wrażliwości na zmiany odchylenia standardowego.
•
D. Chiras i S. Manaster [4] zaproponowali średnią ważoną względem
współczynnika elastyczności ceny opcji i odchylenia standardowego:
8
Zmienność implikowana instrumentów finansowych - wprowadzenie
σˆ kt =
∂c jkt σ

N kt
∑ σ
j =1

ktj
∂σ
jkt
c jkt
 ∂c jkt σ jkt


j =1  ∂σ j c jkt
N kt
∑
jkt




(13)




gdzie:
∂c jkt σ jkt
∂σ jkt c jkt
-elastyczność ceny względem odchylenia standardowego;
informuje ile procent zmieni się wartość opcji, jeżeli zmienność
zmieni się o jeden procent swej wartości.
Zaproponowane powyżej metody wyznaczania łącznej zmienności
implikowanej, uwzględniają z różną wagą zmienności implikowane otrzymane
dla opcji o różnej wrażliwości na zmiany odchylenia standardowego stóp
zwrotu.
Podsumowanie
W dobie szybkich komputerów, gdy nie ma trudności z zastosowaniem
metod numerycznych, a coraz więcej inwestorów dysponuje profesjonalnymi
pakietami wspomagającymi obliczenia finansowe, w wyznaczaniu zmienności
implikowanej pojedynczej opcji stosuje się zazwyczaj metodę NewtonaRaphsona. Tracą na znaczeniu wzory przybliżone zaproponowane przez
Brennera i Subrahmanyama oraz Corrado i Millera.
Więcej trudności sprawia prawidłowe oszacowanie zmienności łącznej.
Ze względu na wspomniane powyżej wady, nie stosuje się praktycznie technik
zaproponowanych przez Schmalensee i Trippi'ego oraz Latané i Rendlemana.
Najczęściej wykorzystuje się techniki zaproponowane przez Beckersa oraz
Chirasa i Manastera, choć brak jednoznacznej odpowiedzi, która z nich jest
lepsza.
9
Krzysztof Piontek
LITERATURA
1. Black F., Scholes M. (1973). The pricing of Options and Corporate Liabilities.
Journal of Political Economy, nr 81, s. 637-654.
2. Beckers S. (1981). Standard deviations impied in option prices as predictors of
future stock price variability. Journal of Banking and Finance 5. North-Holland
Publishing Company. s. 363-381.
3. Brenner M., Subrahmanyam M. (1988). A Simple Solution to Compute The
Implied Standard Deviation. Financial Anaysts Journal, s. 80-83.
4. Chirac D., Manaster S. (1978). The information content of option prices and a
test of market efficiency. Journal of Financial Economics 6. North-Holland
Publishing Company. s. 213-234.
5. Corrado C., Miller T. (1996). A Note on a Simple, Accurate Formula to
Compute Implied Standard Deviations. Journal of Banking and Finance, 20, s.
593-603.
6. Haug E. (1989). The Comlete Guide to Option Pricing Formulas. McGrawHill, s. 170-171.
7. Hull J. (1997). Futures, options, and other derivatives. Prentive-Hall, New
York.
1. Jajuga K. (1998). Ogólna koncepcja zarządzania ryzykiem finansowym.
Materiały z XXXIV Konferencji Statystyków, Ekonometryków, Matematyków
Polski Poludniowej. Katowice.
9. Jajuga K. (1998). Zmienność – prognozowanie i zastosowanie w zarządzaniu
ryzykiem. Materiały z konferencji Prognozowanie w zarządzaniu firmą. PN nr
808. Wrocław.
10. Latane H., Rendleman R. (1976). Standard deviations of stock price ratios
implied in option prices. The Journal of Finance. Vol. XXXI No. 2. s.369-381.
11. Manaster S., Koehler G. (1982). The Calculation of Implied Variances from the
Black-Sacholes Model, Journal of Finance, 37(1), s. 227-230.
10
Zmienność implikowana instrumentów finansowych - wprowadzenie
12. Natenberg S. (1994). Option Volatility & Pricing, Probus Publishing Company,
Chicago.
13. Schmalensee R., Trippi R. (1978). Common stock volatility expectations
implied by option premia. The Journal of Finance. Vol. XXXIII No. 1. s. 129147.
11