3.8. Kot i szpulka nici

3.8.Kotiszpulkanici
Kot wyciąga niü ze szpulki. Zakáadamy, Īe szpulka toczy siĊ, a nie Ğlizga. Z jakim
przyspieszeniem siĊ ona toczy?
PromieĔ zewnĊtrzny szpulki wynosi R, a promieĔ czĊĞci wewnĊtrznej, na której jest nawiniĊta
niü, wynosi r. Wspóáczynnik tarcia szpulki o podáogĊ wynosi ȝ, masa szpulki wynosi m, a kot
ciągnie z siáą F. ZaáóĪ, Īe masa szpulki jest rozáoĪona równomiernie w walcu o promieniu R.
Dane:
R – promieĔ zewnĊtrzny szpulki,
r – promieĔ, na jakim dziaáa siáa F,
ȝs – wspóáczynnik tarcia (statycznego),
a – przyspieszenie Ğrodka masy szpulki,
m – masa szpulki.
PodpowiedĨ 1: Zrób rysunek wedáug danych z treĞci zadania.
F
R
NarysowaliĞmy zwrot siáy tarcia T na prawo, ale jeszcze nie
wiemy, czy w tym kierunku ona dziaáa.
r
T
Warunek pomocniczy. ZaáoĪyliĞmy, Īe szpulka siĊ toczy, a nie sunie (nie Ğlizga po podáodze).
JeĪeli szpulka siĊ nie Ğlizga, kaĪdorazowy punkt oparcia szpulki o podáogĊ pozostaje
w spoczynku. Mamy dwa sposoby na rozwiązanie zadania.
Sposób I. RozwaĪamy, Īe szpulka obraca siĊ wokóá nie poruszającej siĊ osi, czyli wokóá
punktu oparcia.
F
r’
Wybranie punktu obrotu, jak na rysunku obok, znacznie upraszcza
rozwiązanie: promieĔ dziaáania siáy tarcia dla tak wybranego
punktu obrotu wynosi zero.
Siáa tarcia jest siáą tarcia statycznego – i podobnie jak
w przypadku klocka na równi, „dostosowuje siĊ” ona
do dziaáającej siáy F aĪ do najwiĊkszej dopuszczalnej wartoĞci
T” ȝmg, gdzie g jest przyspieszeniem ziemskim.
PodpowiedĨ 2: RozwaĪ momenty siá.
Moment siáy tarcia wynosi zero (jej promieĔ dziaáania wynosi zero). WartoĞü momentu siáy F
wynosi
M = F r’, gdzie r’= R + r.
(1)
Przyspieszenie szpulki wyliczymy z II prawa Newtona dla ruchu obrotowego bryáy sztywnej.
Przyspieszenie kątowe İ wiąĪe siĊ z przyspieszeniem liniowym punktów na obwodzie
za pomocą wzoru podobnego do związku miĊdzy prĊdkoĞcią liniową v a prĊdkoĞcią kątową Ȧ
(czyli v = ȦR).
98
JeĪeli szpulka siĊ nie Ğlizga, przyspieszenie liniowe a Ğrodka masy szpulki jest równe
przyspieszeniu liniowemu punktów na obwodzie. Mamy wiĊc a = İR.
(2)
II prawo Newtona dla ruchu obrotowego ma postaü
M = I İ,
gdzie M jest momentem przyáoĪonej siáy a I – momentem bezwáadnoĞci szpulki.
(3)
Moment bezwáadnoĞci szpulki wokóá osi obrotu pokrywającej siĊ z jej Ğrodkiem wynosi
I1 = ½ mR2.
(4)
Wybrana przez nas oĞ obrotu jest jednak inna: zgodnie z twierdzeniem Steinera, moment
bezwáadnoĞci wokóá tej osi wynosi
I = I1+ mR2.
(5)
UwzglĊdniając wszystkie powyĪsze zaleĪnoĞci, moĪemy zapisaü równanie (3) jako
F R r 3
a
mR 2 ,
2
R
(6)
skąd otrzymujemy
a
2 (R r) F
.
3
R
m
(7)
Siáa tarcia T musi przyjąü taką wartoĞü, aby byáo speánione II prawo Newtona w postaci
™ F = ma.
(8)
Suma siá w równaniu (8), przy zaáoĪonym kierunku siáy T jak na rysunku wynosi (F + T);
zastąpiwszy przyspieszenie a wyraĪeniem z równania (7), otrzymujemy
F T
2 Rr
.
F
R
3
(9)
(10)
Siáa tarcia, aby szpulka toczyáa siĊ a nie sunĊáa, wyraĪa siĊ wiĊc wzorem
T
F
2r R
3R
Siáa tarcia T zmienia znak w zaleĪnoĞci od znaku wyraĪenia (2r-R). Jest ona dodatnia (czyli
skierowana na prawo) dla r > R/2 (czyli jak na naszym pierwszym rysunku). Dla r = R/2
(czyli jeĞli szpulka jest w poáowie odwiniĊta), siáa tarcia nie jest potrzebna dla zapewnienia
toczenia szpulki, T = 0.
Dla - R < r < R/2 siáa tarcia jest ujemna, czyli skierowana na lewo. Dotyczy to
w szczególnoĞci wartoĞci r < 0, czyli przypadku, jak pokazany na rysunku poniĪej.
r
R
F
T
99
Sposób II (prostszy). RozwiąĪemy to samo zadanie biorąc za punkt obrotu Ğrodek szpulki.
W ukáadzie Ğrodka masy moment bezwáadnoĞci szpulki
wyraĪa siĊ wzorem (4). Przez a oznaczamy przyspieszenie
Ğrodka masy, a przez İ przyspieszenie kątowe szpulki.
Związkiem miĊdzy tymi wielkoĞciami jest nadal,
jak poprzednio, równanie (2).
F
aCM
R
ɸR
Do opisu ruchu skorzystamy z II zasady Newtona
dla ruchu Ğrodka masy i dla ruchu obrotowego.
T
F T
Równanie dla siá ma postaü:
ma, (11)
zgodnie z rysunkiem zakáadamy przyspieszenie i siáy za dodatnie, jeĞli dziaáają w prawo.
Równanie dla momentów siá ma postaü
Fr TR I1H ,
(12)
siáy T i F wywoáują przeciwne momenty siá.
Wyznaczając T z równania (11) i podstawiając do równania (12), otrzymujemy
1
a
mR 2 ,
2
R
Fr ( ma F ) R
a stąd a
i z równania (11)
T
Fr FR
2F r R
3m R
1 mR mR
2
F
2( r R )
F
3R
F
(13)
2r R
,
3R
(14)
(15)
czyli wyniki jak poprzednio.
Komentarz I: Dla r = R/2, czyli z równania (15) w warunkach braku siáy tarcia, T = 0,
przyspieszenie Ğrodka masy wynosi a = F/m. Dla r = R przyspieszenie Ğrodka ciĊĪkoĞci
szpulki wynosi a = 4/3 (F/m), czyli wiĊcej, niĪ gdyby przyspieszaáa szpulka (a’ = F/m),
zaczepiona za Ğrodek i w warunkach braku tarcia (czyli swobodnego Ğlizgania siĊ szpulki). Dzieje siĊ tak, poniewaĪ dla r > R/2 siáa tarcia dziaáa w tym samym kierunku co siáa
pociągająca. Przyzwyczajeni jesteĞmy, Īe siáa tarcia przeciwstawia siĊ ruchowi – w tym
przypadku siáa tarcia „wspomaga” siáĊ pociągającą. Stąd przyspieszenie jest wiĊksze niĪ
w przypadku braku tarcia. Jak wygląda wiĊc prawo zachowania energii?
Komentarz II: JeĪeli rozwaĪylibyĞmy tĊ sytuacjĊ z punktu widzenia prawa zachowania
energii, to nie ma zysku energii „z niczego”. ZaáóĪmy dla r = R, Īe szpulka startuje ze stanu
spoczynku. Po czasie t uzyskuje ona prĊdkoĞü
˜ൌ
ସி
ଷ௠
‫ݐ‬Ǥ
(16)
Energia kinetyczna, zgodnie z twierdzeniem Königa, skáada siĊ z energii kinetycznej ruchu
translacyjnego Ğrodka masy i energii ruchu obrotowego wokóá Ğrodka masy
‫ܧ‬ൌ
௠௩ మ
ଶ
൅
ூఠమ
ଶ
ൌ
௠௩ మ
ଶ
൅
భ
௠௥ మ
మ
ଶ
ଷ
ସ
PrzesuniĊcie Ğrodka masy wyniosáo w tym czasie
100
ଷ
߱ଶ ൌ ݉‫ ݒ‬ଶ ൌ ݉ ቀ
ସ
ଵ଺ி మ ଶ
‫ ݐ‬ቁ
ଽ௠మ
ൌ
ସி మ ௧ మ
ଷ௠
Ǥ
(17)
ଵ
‫ ݏ‬ൌ ܽ‫ ݐ‬ଶ ൌ
ଶ
ଵ ସி௧ మ
ଶ ଷ௠
ale przesuniĊcie ciągnącego sznurka dwa razy wiĊcej.
ൌ
ଶி௧ మ
ଷ௠
ǡ
(18)
Praca wykonana przez ciągnącego sznurek kota wyniosáa wiĊc
W
2 Fs
4F 2 2
t ,
3m
(19)
czyli tyle, ile przyrost energii kinetycznej szpulki w tym samym czasie. Innymi sáowy, siáa
tarcia, mimo Īe „wspomaga” toczenie siĊ, nie wykonuje pracy – przesuniĊcie punktu oparcia
(czyli tam gdzie jest zaczepiony wektor siáy tarcia, zob. rys. 2) wynosi zero. Komentarz III: RozwaĪmy dokáadniej wartoĞü siáy tarcia T, wzór (10). Dla danego r roĞnie
ona liniowo wraz z siáą F, od ujemnej wartoĞci T = –F dla r = –R do wartoĞci dodatniej
T = F/3 dla r = R, jak to ilustrujemy na wykresie poniĪej.
W podobny sposób, liniowo ze zmianą r/R
roĞnie przyspieszenie, od wartoĞci zerowej
dla r = –R do wartoĞci a = 4/3(F/m) dla
r = +R.
Komentarz IV: Siáa tarcia jest statyczna, to znaczy jej wartoĞü nie moĪe przekroczyü T =ȝsmg,
ale na siáĊ F nie nakáadaliĞmy dotąd Īadnych ograniczeĔ. Innymi sáowy, aby ruch miaá
charakter toczenia siĊ, dla okreĞlonej masy szpulki m siáa F nie moĪe przekraczaü wartoĞci
3R
(20)
P s mg Fmax .
Fd
2r R
Maksymalna siáa, która nie powoduje jeszcze poĞlizgu, zmienia siĊ od wartoĞci Fmax= ȝsmg
dla r = –R do Fmax= 3ȝsmg dla r = R.
Uwaga dla amatorów sportowej jazdy
Ruch koáa samochodowego przypomina toczenie siĊ szpulki, ale punkt przyáoĪenia siáy F jest
inny: to nie sznurek pociąga szpulką, ale opona samochodu „odpycha” drogĊ w punkcie
podparcia. Aby koáo nie wpadáo w poĞlizg, to maksymalna siáa trakcyjna nie moĪe
przekroczyü siáy tarcia statycznego Fmax= ȝsmg, a maksymalne moĪliwe przyspieszenie (osi
koáa, czyli i caáego samochodu) wynosi amax= ȝsg.
NiezaleĪnie od siáy (stycznej) przyáoĪonej do kóá (a zaleĪnie od stanu opon) przyspieszenie
jest odpowiednio mniejsze od g. Co najwyĪej, opony „przypalą siĊ” a samochód i tak nie
osiągnie wiĊkszego przyspieszenia niĪ g! No chyba Īe uĪyjemy napĊdu odrzutowego.
zob. teĪ P. Mazzoldi, A. Saggion, C.Voci, Problemi di fisica generale, Padova, zad. 6.55.
101