Szyfrowanie i zabawa z kalkulatorem

XXIV Konferencja Stowarzyszenia Nauczycieli Matematyki
Zakopane (Kościelisko), luty 2015
warsztaty: Matematyczne czasoumilacze
Szyfr
sposób utajniania (szyfrowania) znaczenia wiadomości.
Tajniki szyfrowania…
…i zabawa z kalkulatorem
Wiadomość, którą utajniamy - mianem tekstu jawny
Wersja zaszyfrowana - kryptogram
Metody ukrywania znaczenia tekstu polegają na na zastąpieniu go innym tekstem, z którego
trudno domyśleć się znaczenia tekstu oryginalnego.
Mateusz Weiss, Patrycja Sobczyńska, Anna Załęcka
Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego
15 lutego 2015
N
Szyfrowanie
Wiadomość
niezaszyfrowana
Wiadomość
zaszyfrowana
M
Czym jest szyfrowanie?
Wiadomość
niezaszyfrowana
Duże ryzyko
Zmniejszone ryzyko
Duże ryzyko
przechwycenia informacji
przechwycenia informacji
przechwycenia informacji
Nadawca
Adresat
Szyfrowanie
według danego klucza
Odszyfrowanie
według danego klucza
Zamiana tekstu jawnego na zaszyfrowaną
wiadomość. Odbywa się za pomocą klucza
Pismo obrazkowe
Starożytny Egipt
k
Rysunek: Hieroglify
Przykład 1
Współcześnie też posługujemy się pismem obrazkowym.
Jego znaki nazywamy piktogramami, symbolami...
Na przykład znak ⊥ oznacza ,,prostopadły" ;
Symbol k oznacza równoległy ;
Gdzie możemy znaleźć?
Przykład 1
Na przykład w opisach konstrukcji geometrycznych...
Co oznaczają poniższe symbole?
Zbiory liczbowe
I
Zatem mamy:
I
I
Q liczby wymierne
I
R liczby rzeczywiste
a 6⊥ c prosta a nie jest prostopadła do prostej c.
Co oznaczają poniższe symbole?
Ważne relacje
Przykład 1
Co oznaczają poniższe symbole?
Geometria
·
·
+, −, ·, (÷, : ) dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie
I
= równość
I
<, > nierówności (ostre, mocne)
I
6, > nierówności (nieostre, słabe)
≈, ∼
= równe w przybliżeniu
I
Z liczby całkowite
I
a ⊥ b prosta a jest prostopadła do prostej b.
Przykład 1
I
N liczby naturalne
I
I
I
I
I
k równoległość
⊥ prostopadłość
, 4 kwadrat, trójkąt
^, ], ∠ kąt
Co oznaczają poniższe symbole?
X
Szyfr Cezara
Pozostałe
I
I
∞ nieskończoność
n
k
symbol Newtona
I
(a, b), (a; b) przedział (obustronnie) otwarty o końcach a i b
I
[a, b], [a; b], ha, bi, ha; bi przedział (obustronnie) domknięty o końcach a i b
Rysunek: Gajusz Juliusz Cezar
X
Szyfr Cezara
każda litera tekstu niezaszyfrowanego zastępowana jest oddaloną od
niej o stałą liczbę pozycji w alfabecie inną literą przy czym kierunek
zamiany musi być zachowany
Przykład dla szyfru Cezara (przesunięcie o 3 znaki)
Klucz:
a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z
D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C
Szyfrowanie
tekst jawny
tekst zaszyfrowany
:
:
szyfr juliusza cezara
VCBIU MXOLXVCD FHCDUD
Przykład 2
Do utajnienia tekstu użyto następującego szyfru:
w szyfrowanym wyrazie literę A zamieniono na B, B na C, C na D ... ,Y na Z, Z na A.
Sprawdź czy prawdziwe jest stwierdzenie:
Przyjmując, że alfabet składa się z 26 liter
zapis matematyczny tych operacji wygląda następująco:
Szyfrowanie:
1. TAFTDJBO - jego pole powierzchni całkowitej opisuje wzór Pc =6×a2 Tak
C = E(p) = (p + n)mod26
2. LBU QSPRUZ - w prostokącie i rombie przekątne przecinają się pod … Nie
3. DAXPSPLBU - suma miar jego kątów wynosi 360◦ Tak
4. USBQFA - jest nim każdy równoległobok Nie
Klucz:
a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z
B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A
M
Szyfr Pitagorasa
Deszyfrowanie:
p = D(c) = (c − n)mod26
n - klucz (przesunięcie)
Przykład 3
Szyfr podstawieniowy
Przykładowy klucz:
P I T A G O R A S
1 2 3 4 5 6 7 8 9
W szyfrowanym tekście literę P zastępujemy cyfrą 1, literę I cyfrą 2 …
Litery, które nie występują w kluczu stosujemy bez zmian
Rysunek: Pitagoras
tekst zaszyfrowany
:
tekst jawny
tekst zaszyfrowany
tekst jawny
:
:
:
K 7 Y 1 3 6 L 6 5 2 4
8
M 4 3 E M 4 3 Y K 4
KRYPTOLOGIA A MATEMATYKA
1 7 Z E C 2 W 1 7 6 9 3 6 K Ą 3 N 4
PRZECIWPROSTOKĄTNA
Przykład 4
Szyfrując wiadomość, każdej literze z alfabetu przyporządkowujemy kolejną liczbę
dwucyfrową, jak przedstawiono poniżej:
A-10 Ą-11 B-12 C-13 Ć-14 D-15 E-16 Ę-17 F-18
G-19 H-20 I-21 J-22 K-23 L-24 Ł-25 M-26 N-27
Ń-28 O-29 Ó-30 P-31 R-32 S-33 Ś-34 T-35 U-36
V-37 W-38 X-39 Y-40 Z-41 Ź-42 Ż-43
X
Szyfr anagramowy
Np. słowo EUKLIDES po zaszyfrowaniu ma postać: 1636232421151633
Odszyfruj następujące zdanie: 2640342417 38211713 221633351626
MYŚLĘ, WIĘC JESTEM
Szyfrowanie inaczej...
Przykład 5
Z liter fikcyjnych nazw utwórz nazwy pojęć używanych w matematyce
1. ołok
koło
2. łaniedzia
działanie
3. gurafi
figura
4. umas
suma
5. balzic
liczba
6. cinodek
odcinek
7. tęgopa
potęga
8. różanic
różnica
9. midagra
diagram
Dialog z kalkulatorem
n
Wersja I
U: Cześć
K: 3, 867 : 5
U: Jakie zwierzę jest najmądrzejsze
K: 33 × (70150 − 992) : 29 + 1477
U: Jakie
√ zwierzę jest najbardziej chytre?
K: 267289
U: Czy jesteś mądry?
K: 0, 22 × 10, 1
U: Kto ci dał tę mądrość?
K: 29 − 5
U: Jaka miejscowość w Polsce najbardziej ci się podoba?
K: (3, 14 × 2, 5 − 0, 51) × 100
U: A we Francji?
K: (7777 − 7770 : 6) × 5, 5 + 2066
U: Co sądzisz o polskiej piosence?
K: 2 × 7 × 101
U: Nie rozumiem! Co sądzisz o polskiej piosence?
K: 5 × 7 × 11 × 13 × 101
U: Więc może ty zaśpiewasz na naszym koncercie?
K: 33 + 73 + 12
U: 11.No wiesz?! Cześć!
Wersja II
K: 134,134 ×
= 2682,68
U: A to Ty! Cześć! Podróżujesz?
K:
: 0,5 = 343
U: Lubisz podróże?
K: 1,01 :
= 0,404
U: Co zwiedzałeś ostatnio?
K: 58,72 : 0,08 =
U: A za granicą?
K: 0,750
U: Podobała Ci się Norwegia?
K: 60,606 : 150 =
U: Z kim podróżujesz?
K: 0,3525 :
= 0,5
U: Trzymaj się! Cześć!
K: 134 ×
= 46,9
Dialog z kalkulatorem - wersja II
Przykład 6
Po zadaniu pytania przeprowadź podane
obliczenia, odwróć kalkulator ,,do góry nogami"
i odczytaj odpowiedź
134,134 × 20 = 2682,68
Klucz:
Klucz:
cyfra
litera
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
O I Z E h S g L B G
cyfra
litera
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
O I Z E h S g L B G
Dialog z kalkulatorem - wersja II
Dialog z kalkulatorem
Lubisz podróże?
A to Ty! Cześć! Podróżujesz?
686 : 0,5 = 343
1,01 : 2,5 = 0,404
Klucz:
Klucz:
cyfra
litera
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
O I Z E h S g L B G
Dialog z kalkulatorem
cyfra
litera
Dialog z kalkulatorem
A za granicą?
Co zwiedzałeś ostatnio?
0,750
58,72 : 0,08 = 734
Klucz:
cyfra
litera
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
O I Z E h S g L B G
Klucz:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
O I Z E h S g L B G
cyfra
litera
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
O I Z E h S g L B G
Dialog z kalkulatorem
Dialog z kalkulatorem
Podobała Ci się Norwegia?
Z kim podróżujesz?
60,606 : 150 = 0,40404
0,3525 : 0,705 = 0,5
Klucz:
Klucz:
cyfra
litera
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
O I Z E h S g L B G
Dialog z kalkulatorem
Trzymaj się! Cześć!
134 ×
= 46,9
Klucz:
cyfra
litera
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
O I Z E h S g L B G
cyfra
litera
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
O I Z E h S g L B G
X
Układ współrzędnych
Przykład 7 - Układ współrzędnych
Przykład 7
Każdą literę alfabetu polskiego szyfrujemy posługując się układ
współrzędnych i punktami.
Punkty tradycyjnie oznaczamy dużymi literami alfabetu łacińskiego
np. A, B.
Na przykład litera a będzie przedstawiona jako para (0,0), litera d
to para (2,-3), zaś litera o – (0,0).
Litery ą, ę, ó, ć, ś, ź, które nie występują w powyższej
tabeli będą przedstawione tak samo jak odpowiednio litery: a, e,
o, c, s, z.
Na przykład wyraz ,,matematyka" będzie zaszyfrowany następująco:
(0,-4)(1,0)(5,2)(2,-4)(0,-4)(1,0)(0,-4)(-1,-4)(-2,-1)(1,0).
Przykład 7
M
Cechy podzielności
1. zaszyfruj wyraz ,,rozwiązanie",
2. jaki to wyraz:
(5,-2)(-3,-3)(5,-5)(-4,3)(1,0)(-4,3)(-5,-2)(2,-4)?
Przykład 8 - Szyfr Mak Kwaka
Klucz:
I
liczba podzielna przez 3 - weź A
I
liczba podzielna przez 4 - weź M
I
liczba podzielna przez 5 - weź T
I
liczba podzielna przez 7 - weź E
Dziękujemy za uwagę!
1. Rozszyfruj poniższe pytanie i udzieloną odpowiedź
2. zaszyfruj słowo META
Zaszyfrowane pytanie:
1325 1001 508 123 4085 ?
Zaszyfrowana odpowiedź:
16 2031 715 64 123 !
Temat?
Matma
Matematyka z plusem cz 1 klasa 5
LATEX theme: Wronki