X - WMiI UMK

Odkrywanie
twierdzeń
geometrycznych
przy pomocy
komputera
KANGUR Online
Strona tytułowa
Andrzej Sendlewski
WMiI UMK
JJ J
I II
Poprzedni slaid
Koło Matematyczne
15 maja 2010
Pełny ekran
Zamknij plik
Koniec pokazu
DGS – programy komputerowe
• CINDERELLA ver. 1.4 ♥, ver. 2.0 (komercyjna)
• Circle & Ruler (R. Grothmann) ♥
• Car Metal (R. Grothmann, E. Hakenholtz) ♥
• CABRI Geometry II
KANGUR Online
Strona tytułowa
JJ J
I II
• CABRI Geometry 3D
Poprzedni slaid
• Geometry Expressions
Pełny ekran
Zamknij plik
Koniec pokazu
Cechy programów DGS
• dynamiczne konstrukcje
• wyznaczanie miejsc geometrycznych
KANGUR Online
• automatyczne animacje
Strona tytułowa
• eksport do apletów Javy obsługiwanych
przez przeglądarki internetowe
JJ J
I II
Poprzedni slaid
• interaktywne ćwiczenia
Pełny ekran
Zamknij plik
Koniec pokazu
Trójkąt i okrąg
Twierdzenie 1. Kąt wewnętrzny przy wierzchołku trójkąta jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy wierzchołek ten
leży na okręgu, którego średnicą jest przeciwległy temu
wierzchołkowi bok.
Wniosek 2. Na każdym prostokącie można opisać
okrąg. Jego środek jest punktem przecięcia przekątnych
tego prostokąta.
KANGUR Online
Strona tytułowa
JJ J
I II
Poprzedni slaid
Pełny ekran
Zamknij plik
Koniec pokazu
Okrąg 9-ciu punktów trójkąta
Twierdzenie 3. (Euler) Środki boków, spodki wysokości i środki odcinków łączących wierzchołki trójkąta
ABC z jego ortocentrum leżą na jednym okręgu.
Okrąg ten nazywamy okręgiem Eulera, albo
okręgiem 9-ciu punktów trójkąta.
KANGUR Online
Strona tytułowa
JJ J
I II
Poprzedni slaid
Pełny ekran
Zamknij plik
Koniec pokazu
Prosta Eulera trójkąta
Twierdzenie 4. Dla dowolnego trójkąta cztery następujące punkty:
• środek O okręgu opisanego na tym trójkącie,
• środek E okręgu Eulera tego trójkąta,
KANGUR Online
• ortocentrum H tego trójkąta,
Strona tytułowa
• środek ciężkości M tego trójkąta
leżą na jednej prostej.
−−→
−−→
−−→
Co więcej, prawdziwe są równości OH = 2· OE = 3· OM .
Prostą zawierającą punkty O, M , E i H nazywamy prostą Eulera trójkąta.
JJ J
I II
Poprzedni slaid
Pełny ekran
Zamknij plik
Koniec pokazu
Twierdzenie Menelausa
Twierdzenie 5. Niech ABC będzie dowolnym trójkątem.
a) (Menelaus)Jeżeli punkty A0 , B 0 , C 0 odpowiednio prostych BC, CA, AB są współliniowe (leżą na wspólnej
prostej), to
AC 0 BA0 CB 0
·
·
= 1.
C 0 B A0 C B 0 A
b) Odwrotnie, jeżeli punkty A0 , B 0 , C 0 odpowiednio prostych BC, CA, AB są takie,że:
0
0
KANGUR Online
Strona tytułowa
JJ J
I II
0
AC BA CB
·
·
= 1,
C 0 B A0 C B 0 A
• oraz dodatkowo proste AA0, BB 0, CC 0 nie są współpękowe,
•
to punkty te są współliniowe (leżą na wspólnej prostej).
Poprzedni slaid
Pełny ekran
Zamknij plik
Koniec pokazu
Proste Simsona względem
trójkąta
Twierdzenie 6. Rzuty prostokątne dowolnego punktu X
płaszczyzny, na proste zawierające boki trójkąta leżą na
jednej prostej wtedy i tylko wtedy, gdy punkt X leży na
okręgu opisanym na tym trójkącie.
KANGUR Online
Prostą tą nazywamy prostą Simsona punktu X
względem tego trójkąta.
Strona tytułowa
JJ J
I II
Prostą Simsona punktu X względem trójkata
Poprzedni slaid
ABC oznaczamy symbolem
Pełny ekran
sABC (X).
Zamknij plik
Koniec pokazu
Proste Simsona punktów
antypodycznych
Twierdzenie 7. Proste Simsona dwóch punktów antypodycznych okręgu opisanego na trójkącie są wzajemnie
prostopadłe.
Twierdzenie 8. Miejscem geometrycznym wszystkich
punktów przecięcia prostych Simsona punktów antypodycznych okręgu opisanego na trójkącie jest okrąg Eulera
tego trójkąta.
KANGUR Online
Strona tytułowa
JJ J
I II
Poprzedni slaid
Pełny ekran
Zamknij plik
Koniec pokazu
Proste Simsona dowolnych
dwóch punktów
Twierdzenie 9. Proste Simsona dwóch punktów X i Y
okręgu o środku O opisanego na trójkącie przecinają się
pod kątem równym połowie kąta środkowego ]XOY .
Twierdzenie 10. Miejscem geometrycznym wszystkich
punktów przecięcia prostych Simsona punktów X i Y
okręgu opisanego na trójkącie tworzących stały kąt środkowy jest krzywa zwana hipocykloidą.
KANGUR Online
Strona tytułowa
JJ J
I II
Poprzedni slaid
Pełny ekran
Zamknij plik
Koniec pokazu
Czy prostopadłość jest
istotna?
Twierdzenie 11. Rzuty dowolnego punktu X płaszczyzny pod ustalonym kątem α na proste zawierające boki
trójkąta leżą na jednej prostej wtedy i tylko wtedy, gdy
punkt X leży na okręgu opisanym na tym trójkącie.
KANGUR Online
Prostą tą nazywamy uogólnioną prostą Simsona
punktu X względem tego trójkąta.
Strona tytułowa
JJ J
I II
Uogólnioną prostą Simsona punktu X względem
trójkata ABC dla rzutów pod kątem α oznaczamy
symbolem
Poprzedni slaid
Pełny ekran
sα
ABC (X).
Zamknij plik
Koniec pokazu
Obwiednia rodziny wszystkich
prostych Simsona
Twierdzenie 12. Obwiednią rodziny prostych Simsona
wszystkich punktów X okręgu opisanego na trójkącie
(rzutowanych prostopadle na proste zawierające boki)
jest hipocykloida zwana deltoidem Steinera.
Inaczej, obwiednią rodziny prostych
{sABC (X); X ∈ o(O, R)}
jest deltoid Steinera.
KANGUR Online
Strona tytułowa
JJ J
I II
Poprzedni slaid
Pełny ekran
Zamknij plik
Koniec pokazu
Obwiednia rodziny wszystkich
uogólnionych prostych
Simsona
Twierdzenie 13. Obwiednią rodziny uogólnionych prostych Simsona wszystkich punktów X okręgu opisanego
na trójkącie, rzutowanych pod ustalonym katem α na
proste zawierające boki, jest hipocykloida będąca deltoidem.
KANGUR Online
Strona tytułowa
JJ J
I II
Inaczej, obwiednią rodziny prostych
Poprzedni slaid
{sαABC (X); X
∈ o(O, R)}
Pełny ekran
jest deltoid.
Zamknij plik
Koniec pokazu
Obwiednia rodziny
uogólnionych prostych
Simsona ustalonego punktu
Twierdzenie 14. Obwiednią rodziny uogólnionych prostych Simsona ustalonego punktu X okręgu opisanego na
trójkącie rzutowanego na proste zawierające boki pod kątami α, 0 < α < 2π, jest parabola.
Inaczej, obwiednią rodziny prostych
{sαABC (X); α ∈ [0, 2π)}
jest parabola.
KANGUR Online
Strona tytułowa
JJ J
I II
Poprzedni slaid
Pełny ekran
Zamknij plik
Koniec pokazu
Proste Simsona względem
czworokąta
Twierdzenie 15. Rzuty prostokątne dowolnego punktu
X okręgu opisanego na czworokącie ABCD, na proste
Simsona punktu X względem czterech trójkątów: ABC,
BCD, CDA, DAC leżą na jednej prostej.
KANGUR Online
Strona tytułowa
Prostą tą nazywamy prostą Simsona punktu X
JJ J
I II
względem czworokąta ABCD, oznaczenie
Poprzedni slaid
sABCD (X).
Pełny ekran
Zamknij plik
Koniec pokazu
Proste Simsona względem
czworokąta punktów
antypodycznych
KANGUR Online
Strona tytułowa
Twierdzenie 16. Proste Simsona względem czworokąta
dwóch punktów antypodycznych okręgu opisanego na tym
czworokącie są do siebie równoległe.
JJ J
I II
Poprzedni slaid
Pełny ekran
Zamknij plik
Koniec pokazu