cwiczeniafog_07_08

7. „Stare” kwanty.
Ćw. 7.1. Wyznacz progową (maksymalną) długość fali λ0 przy której jeszcze zajdzie efekt fotoelektryczny
w miedzi jeśli praca wyjścia wynosi 4.4 eV. Następnie wyznacz: a) liczbę elektronów emitowanych z folii
miedzianej o powierzchni 1m2 w ciągu 1 sekundy, b) energię absorbowaną przez powierzchnię folii w ciągu
1 sekundy, c) energię kinetyczną wybijanych fotoelektronów, jeśli oświetlimy folię wiązką o długości fali a)
λ = λ0 /2 i b) λ = 2 · λ oraz o natężeniu 3.0 · 10−9 W/m2 . Czy (i jeżeli tak - to jak) własności zjawiska
zmienią się jeśli folia będzie: a) uziemiona, b) nieuziemiona?
Odp.: λ0 = 2816nm
Ćw. 7.2. Wyznacz maksymalną zmianę długości fali przy rozproszeniu Comptona fotonów na protonach.
Odp.: ∆λ = m2he c
Ćw. 7.3. Długość fali żółtej linii emisyjnej sodu wynosi 589 nm. Jaką energię kinetyczną w eV musi
mieć elektron aby miał taką samą długość fali.
2
Odp.: E = 2mhe λ2
Ćw. 7.4. Wyznacz kąt φ między kierunkiem padania fotonu i kierunkiem odrzutu elektronu jako funkcję
λ i λ0 .
Odp.:
Ćw. 7.5. Oko ludzkie moze wyraźnie widzieć światło żółte, które dostarcza do siatkówki moc P = 1.7 ·
10−8 W . Ilu fotonom na sekundę odpowiada taka moc.
8. Równanie Schrödingera.
Ćw. 8.1. Wyznacz współczynnik odbicia i współczynnik transmisji związany z propagacją cząstki swobodnej w kierunku schodka potencjału o wysokości ∞, zaczynającego się przy x = 0.
Wskazówka do 8.1 i 8.4: Załóż że prąd prawdopodobieństwa dla fali płaskiej Aeikx dany jest wzorem
2~
~j = h̄ |A| k Współczynnik odbicia to stosunek prądu prawdopodobieństwa dla fali odbitej do prądu praw2m
dopodobieństwa fali padającej na barierę. Współczynnik transmisji to stosunek prądu prawdopodobieństwa
dla przechodzącej do prądu prawdopodobieństwa
fali padającej.
r
V0
Odp.: R = 1, T = 0, gdzie r = 1 −
E
Ćw. 8.2 Korzystając z twierdzenia Blocha wyznacz równanie charakterystyczne dla cząstki o energii
E w jednowymiarowym
potencjale o postaci ciągu delt Diraca o wysokości V0 i okresie przestrzennym a:
P∞
V (x) = V0 n=−∞ δ(x − na).
Wskazówka 1: http://nanohub.org/resources/4848/download/periodicpotentials.pdf
0 sin(ka)
+ cos(ka)
Odp.: cos(Ka) = 2mV
ka
h̄2
Ćw. 8.2a. Udowodnij twierdzenie Blocha: że funkcja falowa cząstki w potencjale periodycznym ma postać:
ψ(x) = u(x) exp iKx, gdzie u(x) jest funkcją okresową z okresem sieci: t.j. u(x + a) = u(x), zaś exp iKx
to dowolna fala płaska.
Wskazówka 1: http://www.cmmp.ucl.ac.uk/ ahh/teaching/3C25/Lecture18s.pdf
Wskazówka 2: Udowodnij że funkcja Blocha jest funkcją własną operatora translacji o d: D(x) = D(x+d)
Odp.: ψ(x) = u(x) exp iKx
Ćw. 8.3. Udowodnij że hamiltonian sztywnego planarnego rotatora kwantowego o momencie bezwład2
∂2
ności mr2 = const = I, który może swobodnie obracać się wokół osi z ma postać: H = − h̄2I ∂ϕ
2
Wskazówka: W hamiltonianie H cząstki swobodnej użyj postaci Laplasjanu we współrzędnych sferycznych, następnie załóż że funkcja falowa będzie niezależna od r i ϑ, przez co znikają pochodne po tych
zmiennych.
Laplasjan we
sferycznych:
h współrzędnych
i
h
i
∇2 =
1 ∂
r 2 ∂r
∂
r2 ∂r
+
2
Odp.: H = − h̄2I
∂
1
r 2 sin θ ∂θ
∂
sin θ ∂θ
+
∂2
1
.
r 2 sin2 θ ∂ϕ2
∂2
∂ϕ2
Ćw. 8.4. Wyznacz współczynnik odbicia i współczynnik transmisji związany z propagacją cząstki swobodnej w kierunku schodka potencjału o wysokości
r V0 , zaczynającego się przy x = 0.
(1 − r)2
V0
4r
Odp.: R =
,T =
, gdzie r = 1 −
(1 + r)2
(1 + r)2
E
Ćw. 8.5. Wyznacz zależnośc energii od liczby falowej k dla cząstki swobodnej. Wyznacz tę samą zależność
jeśli na cząstkę są nałożone periodyczne warunki brzegowe: ψ(x) = ψ(x + d), co odpowiada ograniczeniu
wartości wektora falowego do przedziału − πd , πd .
Wskazówka 1: http://www.pha.jhu.edu/ jeffwass/2ndYrSem/pics/Slide19.JPG
2
−1 2
2 2
)
k
, E(k) = h̄ (k+n2πd
, n = 0, ±1, ±2, . . .
Odp.: E(k) = h̄2m
2m