Modelowanie procesów rozprzestrzeniania się epidemii chorób

PytlakHig
Probl
R i Epidemiol
wsp. Modelowanie
2013, 94(2):
procesów
163-165
rozprzestrzeniania się epidemii chorób przenoszonych drogą pokarmową
163
Modelowanie procesów rozprzestrzeniania się epidemii
chorób przenoszonych drogą pokarmową
Modelling processes of epidemics of food-borne diseases
Radosław Pytlak, Damian Suski, Tomasz Tarnawski
Instytut Automatyki i Robotyki, Politechnika Warszawska
Podczas epidemii chorób przenoszonych drogą pokarmową istotne znaczenie
ma określenie w jaki sposób epidemia będzie się rozwijać, gdyż rozmiar
epidemii określa zagrożenia dla bezpieczeństwa społeczności ludzkich.
Opis rozwoju epidemii może być podany w postaci modeli dynamicznych
budowanych w oparciu o metodykę Forrester’a. W pracy pokazano w jaki
sposób, korzystając z metodyki Forrester’a, można budować modele
rozprzestrzeniania się epidemii chorób przenoszonych drogą pokarmową.
Posługując się metodyką Forrester’a oraz korzystając z dostępnych aplikacji do
tworzenia modeli dynamicznych w oparciu o diagramy zależności przyczynowoskutkowych, zbudowano szereg modeli rozprzestrzeniania się epidemii. Wśród
modeli wyróżniono model bazowy, na podstawie którego można zbudować
modele epidemii chorób takich jak infekcje E. coli, cholera czy dur brzuszny.
W oparciu o model bazowy zbudowano również model uwzględniający
niejednorodność populacji, która uległa zarażeniu. Wynikiem prac są
modele dynamiczne przedstawione w postaci układu równań różniczkowoalgebraicznych. Całkowanie numeryczne modeli pozwala na podanie opisu
rozwoju epidemii w czasie dla przyjętego horyzontu prognozowania.
Pokazano, że metodyka Forrester’a oraz aplikacje wspomagające budowę
modeli na jej podstawie, w znacznym stopniu ułatwiają budowę modeli
rozprzestrzenia się epidemii chorób przenoszonych drogą pokarmową.
Modele te, po wykonaniu ich kalibracji w oparciu o obserwacje rozwijających
się epidemii, mogą być wykorzystane do określenia przebiegu epidemii
w czasie.
During the food-borne diseases epidemics it is crucial to predict their
development since their size defines the risks to which human populations
are exposed. The development of an epidemic can be described by dynamic
models formulated with the help of Forrester’s methodology. The aim of the
presented work is to show how models of food-borne diseases epidemics
can be built using the Forrester’s methodology. Using the Forrester’s
methodology and with the help of applications aimed at building dynamic
models on the basis of casual loop diagrams, several models of epidemics
were built. Among these models there is a base model from which the
models of E. coli infections, cholera or typhoid fever epidemics can be
derived. Moreover, the base model was used to build the model of the
epidemic in which non-homogeneous population is involved. The outcome
of our work are models of epidemics represented by a set of differentialalgebraic equations. Numerical integration of these equations enables us to
show how epidemics evolve in time for the assumed horizon of forecasting.
We show that the Forrester’s methodology, supported by applications
designed for building models on its basis, facilitates building models of
food-borne diseases epidemics. These models, after their calibration, can
be used to forecast the development of epidemics.
Key words: dynamic models of epidemics, Forrester’s methodology
Słowa kluczowe: modele dynamiczne epidemii, metodyka Forrester’a
© Probl Hig Epidemiol 2013, 94(2): 163-165
www.phie.pl
Nadesłano: 20.05.2013
Zakwalifikowano do druku: 09.06.2013
Wprowadzenie
W warunkach zagrożenia epidemią istotna
jest możliwość określenia jej rozmiaru. Potencjalna
wielkość epidemii warunkuje bowiem intensywność
działania służb sanitarnych, których czynności zmierzają do zmniejszenia jej zasięgu. Najczęściej do opisu
epidemii stosowane są modele typu SIR (SusceptiblesInfected-Recovered), które przedstawiają rozwój epidemii w postaci równań różniczkowych. W przypadku
epidemii powodowanych chorobami przenoszonymi
drogą pokarmową zastosowanie typowego modelu SIR
jest niewystarczające. Celem prezentowanych prac
Adres do korespondencji / Address for correspondence
prof. dr hab. inż. Radosław Pytlak
Politechnika Warszawska, Instytut Automatyki i Robotyki
02-525 Warszawa, ul. Św. Andrzeja Boboli 8
tel. +48 22 234-8470, e-mail: [email protected]
było opracowanie sposobu budowy modeli dla przypadku epidemii, których rozwój jest nie oparty jedynie
na mechanizmach, które występują w modelu SIR. Na
wstępie prac przyjęto założenie, że sposób ten powinien być z jednej strony intuicyjny, a z drugiej strony
powinien być wspierany przez istniejące aplikacje do
budowy oraz symulacji modeli dynamicznych w postaci równań różniczkowo-algebraicznych. Wybrano
metodykę Forrestera, która z powodzeniem stosowana
jest do budowy modeli dynamicznych procesów biznesowych [1]. Warto podkreślić, że istnieje szereg aplikacji takich jak Vensim, Powersim, czy Ithink, które
164
Probl Hig Epidemiol 2013, 94(2): 163-165
mogą być wykorzystane do budowy modeli zgodnie
z metodyką Forrestera.
Przykłady modeli procesów
Rycina 1 przedstawia model SIR epidemii otrzymany z wykorzystaniem metodyki Forrestera oraz
aplikacji Vensim. Na modelu tym umieszczone są
zmienne, które występują w modelu oraz związki pomiędzy nimi. Zmienne umieszczone w prostokątach
odpowiadają zmiennym stanu (będącym rozwiązaniamu równań różniczkowych), ‘przepływy’ do nich
wchodzące i z nich wychodzące tworzą opis równań
różniczkowych zwyczajnych. Model typu SIR zakłada,
że rozwój epidemii następuje w wyniku kontaktu osobnika zarażonego z osobnikami zdrowymi. Model ten
stanowi podstawę większości modeli rozwoju epidemii
prezentowanych w literaturze [2-8].
Rycina 2 pokazuje w jaki sposób podstawowy
model SIR może być rozszerzony o elementy, które
odzwierciedlają rozwój epidemii poprzez kontakt ze
skażoną żywnością. W modelu tym występują zmienne (Contaminated food, Consumed food, Destroyed
birth/death rate
population size
susceptible deaths
births
Contacts
between infected
and unaffected
rate of potential
infectious contacts
food), które odzwierciedlają fakt istnienia skażonej
żywności, która jest źródłem rozwoju epidemii. Tylko
spożycie tej żywności prowadzi do rozprzestrzeniania
się epidemii. Ponadto eliminacja skażonej żywności
przyczynia się do ograniczenia rozmiarów epidemii.
Model przedstawiony na rycinie 2 jest szczególnym przypadkiem modelu epidemii przedstawionego
na rycinie 3, który to model może być traktowany
jako model bazowy. W modelu tym odwołujemy się
do koncentracji patogenu, który może znajdować
się zarówno w skażonej żywności jak i też w wodzie.
Model ten może więc być stosowany do opisu epidemii
cholery.
Rycina 4 ilustruje, w jaki sposób zmodyfikowany model SIR (względnie model bazowy) może być
uszczegółowiany, w tym przypadku poprzez uwzględ-
<Recovered
Population>
Infected
Population
initial
infected
initial susceptible
total population
initial A
infectiousness
from contact
decay rate
Ryc. 3. Model bazowy rozwoju epidemii chorób przenoszonych drogą
pokarmową
contact rate:
people-people
Susceptible
Population
flow A
initial A
Infected
Population
initial A
infected
Recovery rate
infectiousness
from contact
food contact
Fraction of
population infected
Contacts:
infected-unaffected
Fraction of
population infected
Infections C
Susceptible
Popul A
flow A
Infections F
initial B
Infected
Popul A
initial A
infected
Recovery rate A
Infections C
Infections F
Susceptible
Popul B
food contact
flow B
Infected
Popul B
Recovery rate B
Consumption
friction
Consumed
food
population
size check
Fig. 3. Base model of the epidemic of a food-borne disease
Fig. 1. SIR model obtained by using Forrester’s methodology
Contacts:
infected-unaffected
<Susceptible
population>
Pathogen
growth concentration decay
Recovered
recoveries Population
rate of recoveries
Recovered
population
recovery rate
contribution rate
Ryc. 1. Model SIR otrzymany zgodnie z metodyką Forrestera
contact rate:
people-people
infections
contact rate
50% concentration
Fraction of
population infected
fraction infected
rate that people
from contact
contact other people
Susceptible
Population
infections
Susceptible
population
recovered
deaths
infected deaths
Infected
population recoveries
Contaminated
food
Rate of
consumption
Consumption
friction
Consumption time
nonfreshness
Destroyed
food
Total food
Consumed
food
Contaminated
food
Rate of
consumption
Consumption time
nonfreshness
Destroyed
food
Total food
Ryc. 2. Zmodyfikowany model SIR uwzględniający rozwój epidemii
powstałej poprzez spożycie skażonej żywności
Ryc. 4. Model rozprzestrzeniania się epidemii powstałej poprzez spożycie
skażonej żywności w przypadku niejednorodnej populacji
Fig. 2. Modified SIR model with the spread of a disease caused by
the consumption of contaminated food
Fig. 4. Model of the epidemic of a food-borne disease in the case of
a heterogeneous population
Pytlak R i wsp. Modelowanie procesów rozprzestrzeniania się epidemii chorób przenoszonych drogą pokarmową
nienie niejednorodności populacji, która ulega zarażeniu. W modelu tym zakładamy, ze populacja jest
podzielona na dwie populacje (A i B), dla których
rozwój epidemii może się różnić (na przykład populacja A odnosi się do osobników młodszych natomiast
populacja B do osobników starszych).
Przedstawione powyżej modele rozprzestrzeniania
się epidemii mogą być dalej uszczegóławiane, na przykład poprzez uwzględnienie w nich działania służb
sanitarnych. Dynamiczne modele działania służb
sanitarnych mogą być zbudowane w oparciu o modele
czynności sanitarnych przedstawionych w notacji
BPMN (Business Process Modeling ­ Notation) w taki
165
sposób jak to przedstawiono w pracach [9‑12].
Wniosek
Praca przedstawia efektywną metodę budowy
modeli epidemii rozprzestrzeniających się drogą pokarmową. Istotą tej metody jest odwoływanie się do
zależności przyczynowo-skutkowych występujących
pomiędzy parą zmiennych występujących w modelu.
Jeżeli potrafimy, na przykład na podstawie obserwacji
(danych historycznych), określić te zależności funkcyjne, to wówczas zbudowany przez nas model rozprzestrzenia się epidemii (uwzględniający działanie
Piśmiennictwo / References
1. Sterman JD. Business Dynamics. McGraw-Hill 2000.
2. Anderson RM, May RM (eds). Infectious Diseases of
Humans: Dynamics and Control. Oxford University Press,
Oxford 1991.
3. Bailey NTJ. The Mathematical Theory of Infectious Diseases.
Griffin, London 1975.
4. Kermack WO, McKendrick AG. Contributions to the
mathematical theory of epidemics. Proc R Soc Lond A 1927,
115: 700-721.
5. Kermack WO, McKendrick AG. Contributions to the
mathematical theory of epidemics. Proc R Soc Lond A 1932,
138: 55-83.
6. Kermack WO, McKendrick AG. Contributions to the
mathematical theory of epidemics. Proc R Soc Lond A 1933,
141: 94-122.
7. Murray JD. Mathematical biology. I. An introduction.
Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1993.
8. Murray JD. Mathematical biology. II. Spatial models.
Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 2001.
9. Nowicki T. The method for solving sanitary inspector’s logistic
problem. Chapter in monograph: Production Management
– Contemporary Approaches – Selected Aspects. PP, Poznań
2012.
10. Nowicki T. Efficiency estimation of organization described
by workflow model. [in:] Contemporary corporate
management. PP, Poznań 2009.
11. Waszkowski R, Chodowska A. Modele procesów
z wykorzystaniem ścieżek alternatywnych wykorzystywanych
w zależności od rezultatów działania podsystemów
wspomagania decyzji opartych na modelach dynamicznych
oraz symulacji komputerowej. [w:] Modelowanie i symulacja
procesów oraz określenie komputerowo wspomaganych
procedur w zakresie zarządzania ryzykiem bezpieczeństwa
żywności i żywienia. Bertrandt J, Lasocki K (red). BELStudio,
Warszawa 2012: 890-919.
12. Waszkowski R, Chodowska A. Architektura, konfiguracja
i parametryzacja środowiska informatycznego dla
modelowania i planowania w środowisku webowym
z dostępem przez Internet. [w:] Modelowanie i symulacja
procesów oraz określenie komputerowo wspomaganych
procedur w zakresie zarządzania ryzykiem bezpieczeństwa
żywności i żywienia. Bertrandt J, Lasocki K (red). BELStudio,
Warszawa 2012: 865-869.