Transmisja światła spolaryzowanego w

POLITECHNIKA WROCŁAWSKA
WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH
PROBLEMÓW TECHNIKI
Transmisja światła spolaryzowanego
w supersieciach optycznych Thue-Morse’a
z warstwami metamateriałów
Praca dyplomowa magisterska
Beata Staśkiewicz
Opiekun: Dr hab. inŜ. Włodzimierz Salejda, prof. nadzw. PWr
WROCŁAW 2009
1
PODZIĘKOWANIA
Chciałabym serdecznie podziękować mojemu promotorowi,
dr.hab.inŜ. Włodzimierzowi Salejdzie, prof. PWr, za cenne uwagi
merytoryczne oraz liczne materiały, niezbędne podczas realizacji tematu
pracy dyplomowej.
2
SPIS TREŚCI.............................................................................3
CEL PRACY……………………………………………………………………....6
Wykaz waŜniejszych skrótów i oznaczeń………………………………………....8
1.Wprowadzenie........…………………………………………………………..9
1.1 Charakterystyka struktur wielowarstwowych…………………….................9
2.Budowa, technologia, zastosowania wielowarstwowych układów
półprzewodnikowych…...................................................................................11
2.1 Budowa supersieci półprzewodnikowych…………………………..............11
2.2 Technologie wytwarzania supersieci półprzewodnikowych……………......13
2.21 Metoda wiązek molekularnych (molecular beam epitaxy – MBE)… ..13
2.22 Metoda MOCVD (Metal Organic Chemical Vapor Deposition osadzanie z par chemicznych związków organicznych)………… .......14
2.3 Właściwości supersieci półprzewodnikowych…………….............................15
2.4 Zastosowania supersieci półprzewodnikowych……………….......................16
2.41 Kryształy fotoniczne………………………………………………. ...17
2.42 Kropki kwantowe…………………………………………………… 21
2.43 Druty kwantowe…………………………………………………….....22
3.Wielowarstwowe
ośrodki
dielektryczne–
optyczne
supersieci
aperiodyczne (OSA)…………………………………………….........................23
3.1 Optyczna supersieć typu Thue-Morse’a ………………………………………...24
3.11 Uogólniona supersieć typu Thue-Morse’a (UST-M) – sieć binarna…..24
3.12 Niebinarna uogólniona supersieć typu Thue-Morse’a (UST-M)………27
3.2 Transmitancja światła w supersieciach typu Thue-Morse’a…………………….28
3.21
Materiały
warstw
tworzących
wielowarstwową
strukturę
dielektryczną……........................................................................................................28
3.22 Odbicie i załamanie fali elektromagnetycznej na granicy dwóch
ośrodków dielektrycznych…………………………………………………………...29
3.23
Model
wielowarstwowego
ośrodka
dielektrycznego–
formalizm
macierzowy..................................................................................................................32
3
3.24
Transmitancja
w formalizmie
śladów i
antyśladów macierzy
charakterystycznej Γ....................................................................................................34
3.25
Odwzorowania
dynamiczne
śladów
i
antyśladów
macierzy
charakterystycznych sieci Thue-Morse’a..................................................................35
3.3 Wyniki
obliczeń
numerycznych
dla
supersieci
prawoskrętnych……………………………. .......................................................36
3.4 Wielowarstwowy ośrodek z materiałem lewoskrętnym………………………..43
3.5 Wyniki
obliczeń
numerycznych
dla
supersieci
lewoskrętnych……………………………….......................................................44
4.
Dyskusja
wyników
obliczeń
numerycznych
i podsumowanie.....................................................................................................50
4.1 Wnioski oraz uwagi...............................................................................................50
4.2 Konkluzje końcowe...............................................................................................52
DODATEK A
1. Sekwencja Thue-Morse’a........................................................................................54
2. Zaskakujące własności sekwencji T-M...................................................................55
3. Geometryczna interpretacja sekwencji T-M...........................................................55
DODATEK B
1.Fraktale.....................................................................................................................57
2. Wymiar fraktalny – co to właściwie jest?................................................................59
3. Systemy funkcji iterowanych IFS (iterated function system)..................................60
DODATEK C
1.Wybrane wyniki obliczeń numerycznych dla niebinarnych supersieci
prawoskrętnych............................................................................................................63
2.Wybrane wyniki obliczeń numerycznych dla niebinarnych supersieci
lewoskrętnych..............................................................................................................64
DODATEK D
Supersieci THUE-MORSE’A – ich niezwykłe zbadane oraz odkryte
własności…………………………………………………………..........................67
1. Światło spolaryzowane w wielowarstwowych ośrodkach dielektrycznych
a technika dynamicznych odwzorowań śladów i antyśladów macierzy
przejścia…………………….......................................................................................69
2. Ciąg Thue-Morse’a — zastosowanie matematyki w fizyce a moŜe coś
więcej?.........................................................................................................................70
3. O wymiarze fraktalnym oraz analizie multifraktalnej słów kilka………………....72
3.1
Analiza
multifraktalna
a
widma
transmisyjne
układów
wielowarstwowych......................................................................................................73
4
DODATEK E
Metamateriały:
wybrane
zastosowania
i
metody
otrzymywania..........................................................................................................75
1 Ujemny współczynnik załamania ……...……………………………………….....75
2 Propagacja fali i jej załamanie w metamateriałach………………………………...76
3 Optyczna niewidzialność– czy to jest moŜliwe?......................................................78
E.31 Optyczna peleryna wykonana z metamateriału………………………...80
4 Metody otrzymywania metamateriałów dla zakresu optycznego – ostatnie postępy i
perspektywy.................................................................................................................85
E.41
Pierwszy
eksperymentalny
pokaz:
pojedyncza
warstwa
metamateriału..............................................................................................................88
E.42 Metody otrzymywania metamateriałów dwuwymiarowych...................89
E.43 Metody otrzymywania metamateriałów trójwymiarowych....................92
Podsumowanie............................................................................................................97
BIBLIOGRAFIA..................................................................................................98
5
CEL PRACY
W niniejszej pracy autorce przyświecały dwa cele. Pierwszy z nich jest ściśle
związany z przeprowadzeniem głębszych badań odnośnie propagacji światła w
wielowarstwowych strukturach dielektrycznych, skomponowanych na bazie
sekwencji Thue-Morse’a (T-M), zawierających warstwy metamateriałów.
Niezbędne do tego było stworzenie programu komputerowego, umoŜliwiającego
zbadanie właściwości światła propagującego się w analizowanych strukturach.
Problem ten jest o tyle nietrywialny, iŜ pozwala powiązać ze sobą rosnące
zainteresowanie badanymi strukturami, moŜliwościami ich zastosowań
i odkrywaniem nowych właściwości. Współczesna technologia pozwala otrzymać
wielowarstwowe ośrodki aperiodyczne (WOA) i w konsekwencji przyczynia się
do odkrycia interesujących właściwości transmisyjnych dla supersieci
aperiodycznych.
Z fizycznego punktu widzenia badany w tej pracy układ jest
aperiodycznym kwazijednowymiarowym kryształem fotonicznym [1,2].
Wielowarstwowe układy odgrywają istotną rolę w róŜnych dziedzinach takich
jak: optyka, elektronika, fotonika czy elektronika kwantowa, gdzie wykorzystuje
się urządzenia działające w oparciu o właściwości odbicia bądź transmisji fali
elektromagnetycznej m. in. zastosowania w laserach półprzewodnikowych [1,3].
Drugi cel ma natomiast wprowadzić czytelnika w arkany
dotychczasowych osiągnięć naukowych w dziedzinie badań nad wyŜej
wymienionymi strukturami. Szczegółowo omówiono to w dodatkach, gdzie
wnikliwie opisano zarówno niestandardowe metody badawcze, jak i rangę
danych odkryć, które prowadzą do licznych zastosowań w fizyce i technice.
W gestii autorki było poniekąd uczynienie z poniŜszej pracy przewodnika,
który ma za zadanie zapoznać Czytelnika z takimi pojęciami jak:
supersieć
optyczna,
sekwencja
Thue-Morse’a,
kwaziperiodyczność,
metamateriały czy fraktale.
BieŜące lata obfitują w liczne wdraŜanie nowych rozwiązań
technologicznych, a takŜe poznawaniem właściwości dielektrycznych ośrodków
wielowarstwowych. Fakt ten stanowi praprzyczynę wielu nowatorskich odkryć
materiałów oraz struktur. Wśród nich moŜna wymienić: kwazikryształy [4],
kryształy fotoniczne [2], światłowody fotoniczne [5] oraz metamateriały [6] –
kompozyty, charakteryzujące się ujemnym współczynnikiem załamania światła.
Pracę podzielono na pięć rozdziałów. Pierwszy stanowi krótką
charakterystykę struktur wielowarstwowych. Drugi zawiera opis dotychczasowej
wiedzy obejmującej budowę supersieci półprzewodnikowych, technologii ich
wytwarzania, właściwości oraz zastosowań wielowarstwowych struktur
aperiodycznych. Trzeci poświęcony jest
opisowi kwazijednowymiarowej
struktury typu Thue-Morse’a, będącej przedmiotem tej pracy. Zawarto w nim
między innymi opis modelu wielowarstwowego ośrodka dielektrycznego
(podrozdział 3.23), wzory na transmitancję w formalizmie śladów i antyśladów
macierzy charakterystycznych (podrozdział 3.24), dynamiczne odwzorowania
śladów i antyśladów macierzy charakterystycznych sieci Thue–Morse’a
(podrozdział 3.25), a takŜe wyniki obliczeń numerycznych dla supersieci prawo–
oraz lewoskrętnych (rozdziały 3.3; 3.5). Analiza otrzymanych wyników, wnioski
i konkluzje wynikające z wykonanych obliczeń numerycznych oraz
podsumowanie całej pracy stanowi treść rozdziału czwartego. W dodatkach
6
przedstawiono metody generowania łańcuchów typu T-M oraz ich interpretacje,
(dodatek A), scharakteryzowano pojęcia: fraktali, wymiaru fraktalnego, systemów
funkcji iterowanych (dodatek B), zamieszczono wybrane wyniki obliczeń
numerycznych dla niebinarnych supersieci prawo– i lewoskrętnych (dodatek C),
opisano dotychczasowe osiągnięcia naukowe w dziedzinie badań nad strukturami
typu Thue–Morse’a. Zawarto równieŜ informacje dotyczące analizy
multifraktalnej, która w pośredni sposób odnosi się do tematu poniŜszej pracy
(dodatek D). W dodatku E omówiono warstwy charakteryzujące się ujemnym
współczynnikiem załamania światła – tzw. warstwy lewoskrętne.
Scharakteryzowano
pojęcie metamateriału,
opisano
propagację fali
w metamateriałach, jej załamanie oraz jego konsekwencje. Poruszono równieŜ
temat optycznej niewidzialności i szczegółowo opisano konstrukcję peleryny
„niewidki” (E.41). Dodatek E kończy opis otrzymywania metamateriałów dla
zakresu optycznego, a w nim między innymi informacje o ostatnich postępach
i dalszych perspektywach wytwarzania metamateriałów jedno–, dwu–
i trójwymiarowych. Pracę zamyka spis literatury.
7
WYKAZ WAśNIEJSZYCH OZNACZEŃ ORAZ SKRÓTÓW
Skróty
FEM – fala elektromagnetyczna;
T-M – prosta supersieć typu Thue-Morse’a;
UST-M – uogólniona supersieć typu Thue-Morse’a;
ALMW – Array of Long Metallic Wires, tablica długich drutów metalicznych;
SRR – Split-Ring Resonators, rozszczepione rezonatory kołowe;
CSRR – Crossed Split-Ring Resonators, skrzyŜowane rozszczepione rezonatory
kołowe;
EBP – elektroniczna baza preprintów prowadzona i udostępniana bezpłatnie przez
Cornell University Library na stronie www.arXiv.org.
WOA — wielowarstwowe ośrodki aperiodyczne
OSA — optyczna supersieć aperiodyczna
Oznaczenia
E – wektor natęŜenia pola elektrycznego;
H – wektor natęŜenia pola magnetycznego;
D – wektor indukcji elektrycznej;
B – wektor indukcji magnetycznej;
k – wektor falowy;
ω – częstość fali elektromagnetycznej;
c – prędkość światła w próŜni;
d – grubość warstwy;
ε0 – przenikalność elektryczna próŜni;
µ 0 – przenikalność magnetyczna próŜni;
εr – względna przenikalność elektryczna ośrodka;
µ r – względna przenikalność magnetyczna ośrodka;
n – współczynnik załamania światła;
Γ – macierz charakterystyczna ośrodka;
P – macierz propagacji fali w warstwie dielektrycznej;
D – macierz transmisji fali na granicy ośrodków dielektrycznych;
τ – ślad macierzy 2 × 2;
σ – antyślad diagonalny macierzy 2 × 2;
ς – antysymetryczny antyślad niediagonalny macierzy 2 × 2;
η – symetryczny antyślad niediagonalny macierzy 2 × 2;
ts, tp – amplitudowe współczynniki transmisji FEM spolaryzowanej typu,
odpowiednio, s i p;
rs, rp – amplitudowe współczynniki odbicia FEM spolaryzowanej typu, odpowiednio,
s i p.
8
ROZDZIAŁ 1
If real quasicrystalline materials exist, as suggested by Shechtman,
they are sure to possess a wealth of remarkable
new structural and electronic properties?
— P.J. Steinhardt, The Physics of Quasicrystals (1987)
WPROWADZENIE
1.1 Krótka charakterystyka
charakterystyka struktur wielowarstwowych.
wielowarstwowych.
Współczesne umiejętne wykorzystanie podstawowej wiedzy na temat
właściwości fizycznych elektronów, przyczynia się do gwałtownego rozwoju
nowych dziedzin nauki i techniki, moŜna w tym kontekście wymienić np. fizykę
struktur niskowymiarowych (supersieci [7], druty [8] i kropki kwantowe [9],
półprzewodnikowe struktury ze studniami kwantowymi, punktowe kontakty
i wiele innych) czy fizykę ciała stałego [10]. Właściwości fizyczne oraz
moŜliwości aplikacyjne wyŜej wymienionych struktur w duŜym stopniu zaleŜą od
właściwości elektronów.
W strukturach wielowarstwowych (supersieciach), często odkrywa się
wiele nowych zjawisk. Jednym z ciekawszych jest tzw. zjawisko sprzęŜenia
antyferromagnetycznego w warstwach wielokrotnych, a jego odkrycie wywołało
prawdziwy boom badań podstawowych nad magnetycznymi supersieciami [11].
SprzęŜenie to powoduje występowanie efektu gigantycznego magnetooporu1
(giant magnetoresistance) [11].
Niezwykle istotną cechą charakteryzującą złoŜone układy fizyczne jest
symetria przestrzenna. Pozwala ona w wielu przypadkach znaleźć rozwiązania
równań opisujących dany układ, a których nie moŜna uzyskać w przypadku braku
symetrii. W takich układach mogą wystąpić takŜe inne zjawiska fizyczne,
nieistniejące w przypadku układów jednorodnych.
Wieloletnie rozwaŜania (na poziomie atomowym), dotyczące układu
elektronowego w kryształach (w układach idealnie symetrycznych pod względem
translacyjnym) przyczyniły się w połowie ubiegłego stulecia, do wprowadzenia
modelu pasmowego, opisującego stany energetyczne elektronów w krysztale.
Model ten przewidywał, przy spełnieniu pewnych warunków w kryształach,
występowanie przerwy energetycznej oraz istnienie energetycznych poziomów
elektronowych. Odkrycia te stały się zaczątkiem rozwoju nowej dziedziny nauki −
fizyki ciała stałego [10] oraz powstaniem mikroelektroniki, które przyczyniły się
do upowszechnienia tranzystorów i obwodów scalonych. Koniec poprzedniego
stulecia zaowocował rozwinięciem nowej dziedziny optoelektroniki: nanofotoniki
[12].
1
Nagroda Nobla z fizyki w 2007 roku dla Alberta Ferta z University of Paris-Sud i Petera
Grynberga z Jülich Research Centre.
9
Przy opisie propagacji fal elektromagnetycznych w strukturach
wielowarstwowych wykorzystano ich symetrię translacyjną, tj. periodyczność
z okresem kilku bądź kilkudziesięciu warstw atomowych. Obecnie w dziedzinie
nanofotoniki wykonuje się szerokie badania nad właściwościami tzw. „photonic
crystals”, tj. kompozytowych materiałów, które charakteryzuje w pełni fotoniczna
struktura fotoniczna zawierająca wielokrotne
przerwy fotoniczne [2].
Najbogatszą bibliografię na ten temat − zawierająca obecnie ponad 6000
publikacji − opracował John Dowling [13]. Nanofotonika pozwala równieŜ na
wytworzenie struktur oraz materiałów w nanoskali, róŜniących się parametrami
sieci, które nie występują w przyrodzie, a których właściwości moŜna w prosty
sposób kształtować [14].
Trwające badania nad strukturami wielowarstwowymi przyczyniły się do
opracowania nowych urządzeń takich jak: lasery o emisji powierzchniowej
z pionowym rezonatorem (lasery VCSEL), zwierciadeł Bragga i światłowodów
nanofotonicznych [12]. Urządzenia te wykorzystują przerwę fotoniczną, czyli
zakres energii, przy której fotony nie mogą się w danym ośrodku propagować.
Przerwę taką zaobserwowano eksperymentalnie w nanostrukturach warstwowych
[15, 16].
PowyŜsze przykłady stanowią niezbity dowód na to, iŜ podstawowa
wiedza iosiągnięcia technologii zmieniają cywilizacyjne oblicza społeczeństw,
a jaki będą miały w tym udział struktury aperiodyczne? Czas pokaŜe.
10
ROZDZIAŁ 2
“It’s a discovery of a material which breaks
the laws that were artificially constructed.
They were not laws of nature;
they were laws of the
human classificatory system.”Mackay.
Budowa, technologia, zastosowania
wielowarstwowych struktur półprzewodnikowych
2.1 Budowa supersieci półprzewodnikowych.
Rozdział ten stanowi zestawienie dotychczasowych dokonań związanych
z metodami wytwarzania wielowarstwowych układów półprzewodnikowych
zwanych dalej supersieciami, a takŜe w jasny i prosty sposób opisuje (w ujęciu
fizycznym) budowę tego typu struktur, nierozłącznie związaną z zastosowaniami
oraz właściwościami układów wielowarstwowych [19]. Warto przy tym
nadmienić, iŜ metody te dotyczą wytwarzania zarówno struktur periodycznych,
gdzie moŜna kontrolować porządek oraz sposób ułoŜenia warstw, jak
i nieperiodycznych, gdzie kolejność warstw jest zdeterminowana lub
przypadkowa [20].
Supersieci w najprostszy a zarazem w najbardziej dobitny sposób moŜna
zdefiniować jako monokryształy, składające się z dwóch lub kilku powtarzających
się okresowo lub nieokresowo, cienkich warstw półprzewodników o róŜnym
składzie chemicznym, z na przemian większą bądź mniejszą szerokością pasma
zabronionego, mających specyficzne właściwości elektronowe. Supersieć [7] jest
zatem tworem pośrednim między układem dwuwymiarowym (np. studnia
kwantowa) a litym półprzewodnikiem. Stany elektronowe nie są tu przestrzennie
zlokalizowane jak w studni, z drugiej strony występują typowe dla struktur
dwuwymiarowych obszary energii wzbronione dla elektronu [19].
Według autora pracy [7] najprostszą supersieć (tzw. sieć binarną)
otrzymuje się poprzez periodyczne powielanie układu dwóch warstw − studni i
bariery − w obydwu kierunkach osi Z (patrz rysunek 2.1). Powstaje wówczas
sztuczny kryształ, o długości komórki elementarnej wzdłuŜ osi Z równej
d = dw + db.
(2.1)
gdzie dw − oznacza grubość warstwy studni, natomiast db − grubość warstwy
bariery. MoŜliwe jest takŜe wytwarzanie bardziej skomplikowanych struktur przez
powielanie układu więcej niŜ dwóch warstw – mówi się wówczas o supersieciach
z bazą.
Wymiary geometryczne studni, tj. jej technologiczne wytworzone
głębokości studni potencjalnych oraz szerokości warstw, określają dozwolone
wartości energii nośników w niej uwięzionych. Dzięki sterowaniu tymi
parametrami (w przypadku technologii półprzewodnikowych) mamy moŜliwość
kontroli nie tylko grubości materiału tworzącego studnie, lecz równieŜ składu
materiału tworzącego bariery. Proces ten stanowi podstawę inŜynierii
11
mikroelektronicznej i materiałowej, gdzie poprzez regulację np. szerokości studni
kwantowych, a co za tym idzie efektywnej wymiarowości nośników, moŜemy
"dobierać" długość wyświecanej w akcie luminescencji fali w sposób poŜądany w
danym przyrządzie.
Rys.2.1 Budowa najprostszej
zaczerpnięto z pracy [7]).
supersieci
półprzewodnikowej
(rysunek
Wymiary geometryczne studni, tj. jej technologiczne wytworzone
głębokości studni potencjalnych oraz szerokości warstw, określają dozwolone
wartości energii nośników w niej uwięzionych. Dzięki sterowaniu tymi
parametrami (w przypadku technologii półprzewodnikowych) mamy moŜliwość
kontroli nie tylko grubości materiału tworzącego studnie, lecz równieŜ składu
materiału tworzącego bariery. Proces ten stanowi podstawę inŜynierii
mikroelektronicznej i materiałowej, gdzie poprzez regulację np. szerokości studni
kwantowych, a co za tym idzie efektywnej wymiarowości nośników, moŜemy
"dobierać" długość wyświecanej w akcie luminescencji fali w sposób poŜądany w
danym przyrządzie.
Za pomysłodawcę wielowarstwowych układów półprzewodnikowych uznaje się
profesora Leo Esaki’ego2 (fotografia obok),
japońskiego
fizyka,
odkrywcę
zjawiska
tunelowania elektronów w półprzewodnikach
(jako pierwszy zauwaŜył moŜliwość tunelowego
przepływu elektronów z pasma przewodnictwa do
pasma walencyjnego) [19].
Profesor Leo Esaki − 1958 (dioda tunelowa), 1969-70 (supersieci − konsekwencje m.in.:
dioda i tranzystor z rezonansem tunelowym), Nagroda Nobla w 1973 roku (współlaureaci:
Ivar Glaeveri i Brian D. Josephson).
2
12
2.2 Technologie
wytwarzania
supersieci
półprzewodnikowych
Supersieci czyli naprzemienne osadzanie bardzo cienkich warstw
epitaksjalnych materiałów o grubości od kilku do kilkunastu odległości
międzyatomowych i o ostrych granicach określonych z dokładnością do jednej
warstwy atomowej, otrzymuję się przy pomocy technologii MBE (ang. Molecular
Beam Eepitaxy) lub metodą osadzania par związków metaloorganicznych (ang.
Metal─Organic Vapor Deposition) [18, 20]. Na idei tej oparto konstrukcje
laserów półprzewodnikowych umoŜliwiających generacje promieniowania
zakresu widzialnego i bliskiej podczerwieni oraz konstrukcje fotodetektorów
pracujących w długofalowym zakresie widma podczerwieni. PoniŜej omówiono
metody wytwarzania tego typu struktur.
2.21 Metoda wiązek
wiązek molekularnych (M
(Molecular Beam Epitaxy – MBE)
Jej ideą jest wytworzenie jednorodnych wiązek atomowych lub molekuł,
których strumień moŜna precyzyjnie kontrolować. Metoda wiązek molekularnych
[20] daje nieporównywalnie większe moŜliwości sterowania parametrami procesu
osadzania niŜ wszelkie inne metody osadzania termicznego. Najpopularniejszymi
źródłami wiązek molekularnych są tzw. komórki efuzyjne oraz działa
elektronowe. Komórki efuzyjne składają się z ceramicznego cylindra w kształcie
menzurki, umieszczonego w elemencie grzejnym, którym najczęściej jest taśma
wolframowa rozgrzewana metodą oporową (rys. 2.2). Komórka efuzyjna jest
nagrzewana do temperatury, która pozwala otrzymać Ŝądane ciśnienia par atomów
(rzędu 10-3 tora). W dostępnych w eksperymentach zakresach temperatur proces
powstawania par zachodzi w zaleŜności od metalu, przez wyparowywanie lub
sublimację. Wiązka atomów jest formowana w obszarze gazu atomowego,
a wydłuŜony kształt komórki zwiększa jej jednorodność.
Rys.2.2 Schemat otrzymywania wiązek atomowych w komórce efuzyjnej [20].
13
Dla wielu metali temperatury dostępne w standardowych komórkach efuzyjnych
są niewystarczające dla otrzymania wymaganego ciśnienia par atomów. W tych
przypadkach konieczne jest uŜycie dział elektronowych [21] (schemat na rys. 2.3).
Działa elektronowe pozwalają na rozgrzanie materiału do bardzo wysokich
temperatur.
Rys.2.3 Schemat otrzymywania wiązek atomowych z wykorzystaniem działa
elektronowego [20].
2.22 Metoda MOCVD (Metal Organic Chemical Vapor Deposition
−osadzanie z par chemicznych związków metaloorganicznych)
MOVPE − czyli epitaksja z fazy gazowej z uŜyciem związków
metaloorganicznych, zwane równieŜ MOCVD (Metal Organic Chemical Vapor
Deposition − osadzanie z par chemicznych związków metaloorganicznych), to
technika polegająca na osadzaniu warstw ze związków metaloorganicznych (patrz
rysunek poniŜej) [22]. Osadzanie zachodzi przy ciśnieniu atmosferycznym lub
obniŜonym (LPMOVPE) do 70÷100 tora (w obu przypadkach w systemie rury
otwartej). Minimalne szybkości wzrostu warstw są rzędu kilku nm/min., zaś
najczęściej stosowane to 15÷25nm/min.
Gaz nośny (najczęściej wodór) przepływając przez saturator nasyca się parami
związku metaloorganicznego, których stęŜenie określone jest temperaturą
saturatora i przenosi te opary do reaktora. Tu dostarczane są takŜe domieszki.
Jednorodna mieszanina gazów ulega w wysokiej temperaturze pirolizie
(rozkładowi) i dochodzi do grzanego podłoŜa w postaci atomów lub cząsteczek
osadzanej substancji, które są wiązane na jego powierzchni.
Kinetyką wzrostu w technice MOVPE jest stosunkowo łatwo sterować, ze
względu na małą czułość zmian temperatury procesu (dopuszczalne wahania
±5K).
14
Rys.2.4. Schematyczne przedstawienie systemu MOVPE( na podstawie [22])
Technika MOVPE nie wymaga skomplikowanej aparatury, aby moŜna ją
było wykonać. Wymagany jest przede wszystkim szczelny reaktor i grzanie
indukcyjne lub radiacyjne (lampy halogenowe) grafitowej podstawy podłoŜa.
WaŜne zalety tej metody to przede wszystkim:
•
•
•
mała czułość na zmiany temperatury procesu;
łatwość sterowania składem osadzanej warstwy;
moŜliwość otrzymywania jednorodnych struktur
powierzchniach;
na
duŜych
Głównie te czynniki zadecydowały o tym, Ŝe w technologii MOVPE stosunkowo
prosto moŜna otrzymać wielowarstwowe heterostruktury o poŜądanych
parametrach, aŜ do wielokrotnych studni kwantowych włącznie.
2.3 Właściwości supersieci półprzewodnikowych
Właściwości supersieci róŜnią się od właściwości półprzewodników wchodzących
w jej skład [7]. W efekcie kwantowego efektu rozmiarowego – w wyniku
nakładania się funkcji falowych poszczególnych studni, moŜliwemu dzięki małej
grubości barier – w paśmie przewodnictwa i walencyjnym, powstają podpasma3.
Zmieniając szerokość warstw (poprzez zmianę szerokości przerw energetycznych
oraz grubości barier i studni) moŜna wpływać na połoŜenie i rozmiary podpasm,
regulować wielkość przerw wzbronionych oraz masy efektywne nośników.
3
W literaturze często spotyka się równieŜ termin minipasma lub subpasma. W supersieciach
periodycznych istnieje moŜliwość obliczenia energii minipasm kilkoma sposobami. MoŜna to uczynić
stosując metodę ciasnego wiązania bądź teŜ dokonać rachunku w sposób ścisły. Oba sposoby prowadzą
do uzyskania przybliŜonych wzorów na energię minipasm zaleŜną od liczb: q – numeruje stany
w obrębie minipasma i ma sens wektora falowego; j – numeruje kolejne minipasma [7].
15
Rys. 2.5 Podpasma dla pasma przewodnictwa [7].
Miedzy
podpasmami mogą zachodzić równieŜ aktywne przejścia
optyczne elektronów (rysunek poniŜej) [23].
Rys. 2.6 Schemat układu poziomów energetycznych w studni kwantowej [7].
Supersieci półprzewodnikowe − często trafnie określane jako sztuczne
kryształy [24] − odgrywają waŜną rolę we współczesnej technologii
półprzewodnikowej. A to za sprawą ściśle określonego rozkładu współczynnika
załamania n, przenikalności elektrycznej ε i magnetycznej µ, uzyskiwanym
poprzez ustalony porządek ułoŜenia poszczególnych warstw w strukturze
supersieci opisany za pomocą wzorów rekurencyjnych.
2.4 Zastosowania supersieci półprzewodnikowych
Wielowarstwowe struktury półprzewodnikowe w ostatnich latach znajdują
coraz liczniejsze zastosowania w róŜnych dziedzinach nauki czy techniki [1–3].
Jak juŜ wcześniej wspomniano we wprowadzeniu, w wyniku badań nad opisem
propagacji światła w tego typu strukturach, rozwinęła się nowa dziedzina
elektroniki: nanofotonika [12]. W jej obrębie rozpoczęto badania nad „photonic
crystals” − „kryształami fotonicznymi”4, czyli materiałami bliskimi koncepcyjnie
4
Koncepcja stworzenia kryształów fotonicznych powstała jednocześnie w 1987 w dwóch ośrodkach
badawczych na terenie USA. Pierwszy − w Bell Communications Research w New Jersey Eli
Yablonovitch pracował nad materiałami dla tranzystorów fotonicznych − sformułował pojęcie
16
supersieciom półprzewodnikowym i oznaczającymi strukturę regularnie
ułoŜonych warstw (odzwierciedlającą wewnętrzną budowę kryształu) wzdłuŜ
wybranego kierunku. Materiały te są tematem wielu ksiąŜek oraz artykułów
prasowych [25].
2.41 Kryształy fotoniczne
While pentagonal symmetry is frequent in the organic world, one does not find it
among the perfectly symmetrical creations
creations of inorganic nature, among the crystals.
Herman Weyl, Symmetry (1951)
Kryształy fotoniczne [2] to w rzeczywistości sztucznie uzyskane
trójwymiarowe materiały kompozytowe, w których periodycznie zmienia się
współczynnik załamania. Materiały takie wykazują istnienie tzw. fotonicznej
przerwy wzbronionej, co fizycznie oznacza, Ŝe fale elektromagnetyczne
o energiach z określonego zakresu, zwanego przerwą energetyczną, nie mogą się
w nich rozchodzić niezaleŜnie od kierunku propagacji. Przerwa fotoniczna
występuje dla fal o długościach zbliŜonych do długości okresu rozkładu
współczynnika załamania − w przypadku fal widzialnych oznacza to, Ŝe na jeden
okres rozkładu współczynnika załamania przypada liczba rzędu 1000 warstw
atomowych. Występowanie fotonicznej przerwy wzbronionej oraz budowa
materiałów fotonicznych (periodyczna zmiana własności optycznych) jest
analogiczne jak w przypadku półprzewodników, dla których stosuje się równanie
Schrödingera do wyznaczania pasmowej struktury elektronowej.
Rozmiary komórki elementarnej, a więc cegiełki z której zbudowane są
kryształy fotoniczne, są porównywalne z długością fali z zakresu przerwy
wzbronionej. Obecnie wytwarzane są struktury fotoniczne zbudowane
z elementów (cegiełek) o rozmiarach odpowiadającym długości fal
elektromagnetycznych z zakresu widzialnego (400 – 700 nm).
W kryształach fotonicznych (podobnie jak w półprzewodnikach) moŜna
w sposób kontrolowany wprowadzać określony rodzaj defektów, przez
co zmieniać ich właściwościi. Dzięki temu struktury fotoniczne znajdują szerokie
zastosowania, między innymi w produkcji światłowodów oraz mikrorezonatorów.
Okazuje się, iŜ Natura potrafi równieŜ sama wytwarzać struktury fotoniczne czego
przykładem jest chociaŜby opal − minerał posiadający naturalną strukturę
periodyczną.
fotonicznej przerwy wzbronionej (ang. photonic bandgap). W tym samym czasie − w Priceton
University
Sajeev John
pracował nad zwiększeniem wydajności laserów stosowanych
w telekomunikacji − odkrył podobne zjawisko przerwy fotonicznej. W 1991 roku Eli Yablonovith
uzyskał pierwszy kryształ fotoniczny. W 1997 roku opracowana została masowa metoda wytwarzania
kryształów (Shanhui Fan, John D. Joannopoulos) [2].
17
Rys.2.7 Bransoletka z minerałem opalu (fot.1), opal naturalny kryształ fotoniczny
występujący w przyrodzie [2].
Rys.2.8 Przykłady wyglądu kryształów fotonicznych (kolejno 1D, 2D i 3D) [2]
Kryształy fotoniczne w sposób teoretyczny moŜna przedstawić jako struktury
jedno-, dwu- i trzy-wymiarowe (patrz Rys. 2.8), ale równieŜ jako struktury
hybrydowe (kompozytowe). Kryształy fotoniczne nie są kryształami w sensie
szafiru czy diamentu. Mogą one być wytworzone z wielu materiałów, w których
jest moŜliwe powstanie struktury przestrzenie periodycznej lub w układzie z silną
modulacją współczynnika załamania światła. Wiele dzisiejszych firm od dawna
stosuje struktury periodyczne jako lustra, filtry interferencyjne czy teŜ lasery
duŜej mocy. Takie struktury znane są szerzej pod nazwą siatek Bragga [2], które
najprościej wytwarza się jako struktury wielowarstwowe.
Ze względu na budowę, kryształy fotoniczne dzieli się na jedno-, dwui trójwymiarowe (Rys. 2.8). Najprostsza struktura to struktura jednowymiarowa.
Jest to w istocie zwierciadło Bragga złoŜone z wielu warstw na przemian o duŜym
i małym współczynniku załamania światła. Zwierciadło Bragga działa jak zwykły
filtr przepustowy, pewne częstotliwości są odbijane, a inne przepuszczane. JeŜeli
zwiniemy zwierciadło Bragga w rurkę to otrzymamy strukturę dwuwymiarową.
18
Dwuwymiarowe kryształy fotoniczne (rysunek obok zaczerpnięto z [2]) są
interesujące ze względu na moŜliwości realizowania w nich odbicia Bragga oraz
ze względu
na duŜy kontrast współczynnika
załamania
światła
moŜliwy
do
uzyskania
w przestrzeni dwuwymiarowej. Pomimo tego,
Ŝe jednowymiarowe struktury periodyczne były
odkryte znacznie wcześniej, to upłynęło duŜo czasu
zanim zrozumiano, Ŝe zjawiska odbicia Bragga
w dwu lub trójwymiarowych strukturach mogą być
bardzo interesujące [2]. Dwuwymiarowe kryształy
fotoniczne bardzo dobrze nadają się do połączenia ich z istniejącymi
zintegrowanymi
układami
elektronicznymi.
Współczesna
technologia
wytwarzania obwodów elektronicznych
jest bardzo wysoko rozwinięta
i zasadniczo jest to technologia dwuwymiarowa. Następnym wyzwaniem dla
technologii jest zintegrowanie funkcji optycznych i elektrycznych na jednym
wspólnym chipie. Do realizowanych układów elektronicznych moŜna dołączyć
istniejącą juŜ technologię planarną. Kryształy fotoniczne dają moŜliwość
stworzenia zintegrowanych struktur, które są miniaturowe i które równocześnie
mają bardzo ciekawe własności optyczne. Wydaje się, Ŝe struktury fotoniczne
staną się bardzo waŜne o ile technologia optyczna znajdzie zastosowanie
w komputerach nowej generacji [2].
Większość propozycji urządzeń, w których miałyby znajdować się
kryształy fotoniczne, nie wykorzystuje wprost właściwości samych kryształów,
ale czerpie korzyści z moŜliwości wprowadzenia do kryształów fotonicznych
defektów strukturalnych. Jako rezultat takiego działania, światło o częstotliwości
znajdującej się w zakresie pasma optycznie zabronionego, moŜe propagować się
lokalnie w krysztale fotonicznym, a konkretnie − w miejscu wprowadzonego
defektu. NiemoŜliwa jest propagacja w miejscu otaczającym wprowadzony
defekt. Zostały juŜ opracowane technologie, które pozwalają na wytwarzanie
defektów umoŜliwiających prowadzenie światła wokół ostrych krawędzi oraz na
wytwarzanie filtrów typu „add-drop”5. Inną waŜną aplikacją jest wykorzystanie
tak zwanego efektu superpryzmatu (superprism effect). Blisko pasma optycznie
zabronionego, w obszarze gdzie światło nie moŜe się propagować, rozwiązanie
równań Maxwella sugeruje istnienie w tym obszarze fali stojącej. Częstotliwości
fali stojącej cechuje ogromna dyspersja [2]. Niewielka zmiana w częstotliwości
fal stojących moŜe powodować ogromną zmianę w prędkości grupowej, to jest
5
Nowa technologia oparta na "trójwymiarowych" kryształach fotonicznych, które pełnią rolę
filtra, pozwalającego dodawać kanały na drodze światłowodu oraz je odejmować (ang. add-drop
filter). Filtr pozwala optymalnie wykorzystać dostępne pasmo przez ograniczenie "zasięgu"
wybranego kanału jedynie do odcinka łączącego nadawcę z odbiorcą danych. Kanałów tych
moŜna dziś zmieścić w światłowodzie do 160, a dzięki opisywanej technice, efektywna pojemność
łącza jest zwielokrotniana. Podobne urządzenia nie są co prawda niczym nowym, jednak
dotychczas stosowane rozwiązania charakteryzowały się pewnymi ograniczeniami, np. dopiero
kryształ fotoniczny zapewnia stabilną, wysoką jakość sygnału. Obecnie naukowcy pracują nad
udoskonaleniem filtra optycznego. PoniewaŜ od jego rozmiaru zaleŜą obsługiwane długości fal
światła, konieczna jest miniaturyzacja kryształów do około 1,5 mikrometra. Jak twierdzą
badacze, osiągnięcie tego rozmiaru stanowi niemałe wyzwanie [5].
19
prędkości z jaką energia propaguje się poprzez kryształ. Jest moŜliwe
wykorzystanie tej właściwości, dla określenia róŜnicy pomiędzy prędkościami fal
świetlnych o róŜnych częstotliwościach. Efekt ten moŜe mieć duŜe praktyczne
znaczenie dla wielu waŜnych zastosowań, wliczając w to równieŜ
telekomunikację [2].
Kryształy fotoniczne dwuwymiarowe posiadają pewne właściwości, które
powinny charakteryzować równieŜ kryształy trójwymiarowe. Ciągle jednak
brakuje im bardzo waŜnej właściwości: kryształy dwuwymiarowe nie są w stanie
„zatrzymać” propagacji światła we wszystkich kierunkach przestrzeni (w trzech
wymiarach). Dla osiągnięcia tego celu potrzeba fotonicznych kryształów
trójwymiarowych. Głównym powodem stworzenia takiej struktury było
otrzymanie kryształów, które potrafiłyby kierować i hamować emisję
spontaniczną co jest niezwykle waŜne z teoretycznego i technologicznego punktu
widzenia. Pomimo wielu trudności technologicznych zdołano zaprojektować
struktury trójwymiarowe, które mogą być wyprodukowane za pomocą
standardowych technik dwuwymiarowej litografii. Techniki te zostały rozwinięte
dla przemysłu elektronicznego [2].
Realizacja struktur 3D (rysunek obok zaczerpnięto z [2])
odbywa się poprzez układanie „w stos” warstw, jedna na
drugiej. W celu wytworzenia struktury trójwymiarowej
uŜywa się narzędzi mikrometrycznych przez co osiąga
się duŜą kontrolę nad całym procesem [2]. Stwarza to
warunki do bardzo dokładnego i zaplanowanego
wprowadzenia do struktury kryształu lokalnych
defektów, a takŜe daje moŜliwość osadzenia kryształów fotonicznych na
podłoŜach o rozmiarach odpowiednich do współczesnego przemysłu
elektronicznego. Oczywiście poza licznymi zaletami kryształy fotoniczne mają
określone wady. Sam proces wytwarzania moŜe być drogi i czasochłonny oraz
mogą wystąpić pewne trudności przy wytwarzaniu kolejnych warstw na
powierzchni wcześniej otrzymanych. Ogranicza to grubość rzeczywistych
kryształów do zaledwie kilku warstw. Warstwy te mogą być wykorzystane do
zastosowań w bliskiej podczerwieni lub do długości fal z zakresu optycznego.
Ciągle otwartym pozostaje pytanie czy trójwymiarowe kryształy fotoniczne będą
w stanie sprostać przewidywanym wymaganiom. Na przykład czy umoŜliwią
całkowite zahamowanie emisji spontanicznej, co zakłada uŜycie tzw.
„nieskończenie” grubych kryształów [2].
Do jakościowego oraz ilościowego modelowania pola elektromagnetycznego
w kryształach fotonicznych stosuje się wiele metod obliczeniowych znanych
z innych dziedzin optyki czy elektrodynamiki. Wymienić tu moŜna: metodę fal
płaskich − PWM (ang. Plane wave method) [5], metodę róŜnic skończonych
w dziedzinie czasu FDTD (z ang. Finite Difference Time Domain) [5], polegającą
na numerycznym rozwiązywaniu równań Maxwella z zaleŜnością czasową dla
pola elektrycznego i pola magnetycznego, metodę momentów [5], wraz z jej
licznymi odmianami, a takŜe inne liczne metody półanalityczne i w pełni
analityczne [5]. Jak do tej pory, analityczne rozwiązanie równań Maxwella
zostało znalezione tylko w najprostszym, jednowymiarowym periodycznym
krysztale fotonicznym [5].
20
2.42 Kropki kwantowe
Innym równie fascynującym zastosowaniem supersieci półprzewodnikowych są kropki kwantowe6 [9,18]. To niewielki obszar przestrzeni
ograniczony w trzech wymiarach barierami potencjału, nazywany tak, gdy
wewnątrz spułapkowana jest cząstka o długości fali porównywalnej z rozmiarami
kropki. Oznacza to, Ŝe opis zachowania cząstki musi być przeprowadzony
z uŜyciem mechaniki kwantowej.
Przez długi czas kropki kwantowe były tworem teoretycznym. Wraz
z rozwojem technologii układania cienkich warstw (takich jak MOCVD, MBE –
jedna z nich omówiona w rozdziale 2) stało się moŜliwe kontrolowanie procesu
wzrostu kryształów, a takŜe moŜliwości techniczne tworzenia kropek
kwantowych. Do najwaŜniejszych metod wytwarzania kropek kwantowych
w laboratoriach moŜna zaliczyć:
•
•
•
kropki spontanicznie, powstające na granicy faz półprzewodników,
wzrastanych metodą MBE (tzw. self-assembled quantum dots, SAQD),
gdzie
geometryczne
nierówności
słuŜą
relaksacji
napięcia
spowodowanego róŜnicą stałych sieci (tzw. metoda StranskiegoKrastanowa) [9],
nanokryształy (ograniczenie ruchu elektronu przez granice kryształu) [9],
kropki powierzchniowe, w których w dwuwymiarowym gazie
elektronowym na granicy faz półprzewodnikowych ogranicza się ruch
poprzez lokalne zuboŜenie materiału za pomocą przyłoŜenia napięcia do
bramek metalicznych [9].
2.9 Obraz rzeczywistych kropek "naciętych" na dwuwymiarowej strukturze
(rysunek zaczerpnięty z [9]).
6
Całkowite zamroŜenie swobodnego ruchu elektronów przez zamknięcie ich w kwazizerowymiarowej
kropce kwantowej jako pierwszym powiodło się naukowcom z Texas Instrument Incorporated. W 1986
roku grupa Reeda opisała kwadratową kropkę kwantową o boku długości 250 nm, wytrawioną
litograficznie. Niedługo później pojawiły się kolejne prace opisujące wykonanie tego typu kropek
w innych ośrodkach. Średnice opisywanych kropek były juŜ znacznie mniejsze i wynosiły 30-45 nm
[9].
21
Kropki kwantowe znajdują liczne zastosowania w diagnostyce chorób lub
do opracowania nowych leków [9]. Jako pierwsze znalazły zastosowanie
w biologii i medycynie.
MoŜliwości zastosowań kropek kwantowych w medycynie są liczne (widmowe
kody paskowe, nanoznaczniki) [9]. W laboratoriach University of California
w Davis trwają badania nad moŜliwością śledzenia wędrówki wirusa
w organizmie za pomocą kropek kwantowych. Okazuje się bowiem,
iŜ oświetlanie kropki kwantowej promieniowaniem o określonej długości fali,
złoŜone z m.in. z atomów złota lub krzemu, powoduje wyraźne emitowanie
światła umoŜliwiającego prześledzenie połoŜenia (bądź trasy wędrówki) komórek
wirusa we wnętrzu Ŝywej tkanki [9].
2.43 Druty kwantowe
Na początku lat osiemdziesiątych, dalszy rozwój technologii, a zwłaszcza
bardzo precyzyjnych technik litograficznych, umoŜliwił związanie elektronów
w strukturze kwazijednowymiarowej, czyli tzw. drucie kwantowym [8].
Druty kwantowe7 [5, 8, 9] to jednowymiarowe struktury, w których ruch
elektronów jest ograniczony w kierunkach poprzecznych, i pozbawiony
ograniczeń w kierunku podłuŜnym. Ograniczeniem tym są najczęściej bardzo
niewielkie rozmiary poprzeczne drutu. Taka struktura charakteryzuje się tym, Ŝe
energie elektronów związane z ruchem poprzecznym są skwantowane, natomiast
ruch elektronów w kierunku podłuŜnym odbywa się tak jak w krysztale
masywnym (w szczególnym przypadku jest to ruch swobodnych nośników). To
z kolei powoduje, Ŝe opór przewodnika i jego przewodność są skwantowane
(formuła Landauera) [26].
Druty kwantowe wykonuje się w postaci miniaturowych pasków
wytrawionych w próbce zawierającej studnię kwantową. Ze względu
na ograniczone moŜliwości litografii ich wymiary poprzeczne (10-500 nm)
są zwykle wyraźnie większe niŜ grubość studni.
ROZDZIAŁ 3
Wielowarstwowe ośrodki dielektryczne –
optyczne supersieci aperiodyczne (OSA)
7
Badania układów o obniŜonej wymiarowości (tj. druty i kropki kwantowe), przyniosły szereg
nieoczekiwanych odkryć, które znalazły uznanie wyraŜone przez przyznanie najbardziej prestiŜowych
nagród: Nagroda Nobla dla Klausa von Klitzinga w 1986 roku za odkrycie całkowitego kwantowego
efektu Halla w kwazidwuwymiarowym gazie elektronowym w strukturach MOS (metal-tlenekpółprzewodnik) oraz Nagroda Nobla dla Horsta Störmera, Daniela Tsui i Roberta Laughlina w 1998
roku za odkrycie i wytłumaczenie teoretyczne ułamkowego kwantowego efektu Halla [5].
22
W rozdziale tym omówione zostaną wielowarstwowe ośrodki
dielektryczne, zwane supersieciami optycznymi [27], na przykładzie supersieci
aperiodycznej typu Thue–Morse’a, głównego obiektu zainteresowania i badań
tej pracy. RozwaŜania na ten temat rozpoczyna wyjaśnienie terminu supersieci
optycznych.
Supersieć to struktura, którą moŜna utworzyć poprzez naprzemienne
nałoŜenie co najmniej dwóch rodzajów warstw materiałów dielektrycznych
o zadanych grubościach. Często struktury takie określa się mianem
wielowarstwowych układów optycznych. Główną cechą tego typu ośrodków jest
ustalony porządek ułoŜenia poszczególnych warstw w strukturze supersieci,
co ściśle wiąŜe się z określonym rozkładem współczynnika załamania,
przenikalności elektrycznej oraz magnetycznej.
W pracy tej rozwaŜania dotyczyć będą struktur aperiodycznych tzn.
układów, w których elementami struktury są warstwy nakładane w sposób
nieperiodyczny i nieprzypadkowy, co jest fizycznie moŜliwe do zrealizowania
przy obecnych moŜliwościach technologicznych opisanych powyŜej.
Najprostszym przykładem supersieci optycznej jest sieć binarna
(dwuskładnikowa) zbudowana z jednorodnych nieprzewodzących warstw typu A
oraz B.
Do parametrów materiałowych, charakteryzujących dane warstwy, naleŜą:
• współczynniki załamania światła: nA, nB;
• grubości warstw: dA, dB ;
• przenikalności elektryczne: εA, εB;
• przenikalności magnetyczne: µ A, µ B.
Rozkład takich struktur, tj. uporządkowania przestrzennego, moŜna zdefiniować
posługując się regułą podstawiania − konkatenacji, która pozwala rekurencyjnie
stworzyć supersieć.
Szczegółowe zasady konstrukcji supersieci objętej tematem poniŜszej
pracy zamieszczono w kolejnym rozdziale.
23
3.1 Optyczna supersieć typu Thue-Morse’a
Przedstawimy teraz zasady konstrukcji binarnych supersieci prostych
i uogólnionych typu Thue-Morse’a.
3.11 Uogólniona supersieć typu ThueThue-Morse’a (UST
(UST-M) – sieć binarna
Uogólniona supersieć typu Thue-Morse’a (oznaczaną skrótem UST-M8)
określa następujący wzór rekurencyjny [28]
(3.1)
Przy konstrukcji supersieci tego typu niezbędna jest supersieć pomocnicza
(oznaczana skrótem pUST-M), o wzorze rekurencyjnym w postaci
(3.2)
gdzie odpowiednio S0 = A, S0 = B, L ≥ 0 − oznacza numer pokolenia; z kolei M, N
to liczby naturalne nazywane parametrami konkatencji, przy czym M oznacza
liczbę powtórzeń pokolenia L-tego UST-M, a N − liczbę powtórzeń pokolenia
L-tego pUST-M, odpowiednio dla obydwóch wzorów określających (L+1)
pokolenie supersieci.
Dla supersieci Thue-Morse’a z ustalonymi parametrami M oraz N
stosujemy oznaczenie ST-M (M,N). W przypadku, gdy parametry konkatenacji są
sobie równe i wynoszą M = N = 1, sieć nazywana jest wówczas prostą lub zwykłą
supersiecią Thue-Morse’a.
Przykład oraz schemat konstrukcji prostej supersieci Thue-Morse’a, równowaŜnej
powyŜszej regule podstawiania ma postać (rysunek zaczerpnięty z [29]):
A → AB , B → BA
8
Wykaz uŜywanych skrótów i oznaczeń znajduje się na stronie nr 8.
24
Warto przy tym dodać, iŜ wzór rekurencyjny nie definiuje mnoŜenia (jak
mogłoby się na pozór wydawać), tylko złoŜenie supersieci dwóch poprzednich
pokoleń, i został on zaczerpnięty z algebry łańcuchów aperiodycznych, gdzie
słuŜy do generowania ciągu znaków łańcucha [30–32].
Całkowita liczba elementów (L+1)-go pokolenia UST-M podlega prawu
potęgowemu i wynosi:
R L = (M + N)L
(3.3)
Z kolei całkowitą grubość warstw (L+1)-go pokolenia moŜna policzyć
posługując się wzorem
DL+1 = MD L + ND L
gdzie odpowiednio D0 = dA i D0 = dB , a takŜe D
L+1
,
(3.4)
= ND L + MDL
WaŜną cechą wyróŜniającą supersieć Thue-Morse’a (o równych
parametrach konkatenacji M = N) spośród innych sieci aperiodycznych
(Fibonacciego, Rudin–Shapiro, z podwojonym okresem szczegółowo
omówionych w pracy [24]) jest występowanie w łańcuchu pUST-M elementów
„przeciwnych” do elementów w UST-M. To znaczy, jeśli na określonej pozycji
w łańcuchu UST-M znajduje się element A, to na tej samej pozycji w łańcuchu
pUST-M znajduję się element B. Daną zaleŜność najprościej jest przedstawić
posługując się konkretną egzemplifikacją, np. dla trzeciego pokolenia ST-M (1,1)
otrzymujemy
S3 = ABBABAAB,
S3 = BAABABBA
Supersieć Thue- Morse’a posiada jeszcze jedną interesującą właściwość
odnoszącą się do aspektu jej budowy, a mianowicie liczbę sąsiadujących ze sobą
warstw typu B, jakie tworzą całkowitą warstwę o grubości DB i wynosi ona
DB = NdB , DB = 2NdB ,
przy czym N − parametr kontakenacji, natomiast dB – grubość poszczególnych
warstw typu B.
W tabelach poniŜej przedstawiono zasadę konstrukcji pięciu pierwszych
pokoleń UST-M (1,1) oraz czterech pierwszych pokoleń UST-M (2,1).
25
Tabela 3.1: Pięć pierwszych pokoleń uogólnionej supersieci typu Thue-Morse’a
ST-M(1, 1).
Numer
pokolenia
L
0
1
2
3
4
Wzór rekurencyjny UST-M
Wzór rekurencyjny pUST-M
SL =SL-1SL-1
A
AB
ABBA
ABBABAAB
ABBABAABBAABABBA
SL =SL-1SL-1
B
BA
BAAB
BAABABBA
BAABABBAABBABAAB
Tabela 3.2: Cztery pierwsze pokolenia uogólnionej supersieci typu Thue-Morse’a
ST-M(2, 1).
Numer
pokolenia
L
0
1
2
3
Numer
pokolenia
L
0
1
2
3
Wzór rekurencyjny UST-M
SL =S2L-1SL-1
A
AAB
AABAABBAA
AABAABBAAAABAABBAABAAAABAAB
Wzór rekurencyjny pUST-M
SL =SL-1S2L-1
B
BAA
BAAAABAAB
BAAAABAABAABAABBAAAABAABBAA
Więcej informacji odnośnie generowania łańcuchów typu T-M oraz ich
interpretacji zamieszczono w dodatku A1.
26
3.12 Niebinarna uogólniona supersieć typu Thue
Thue-Morse’a (UST
(UST-M)
Przedmiot badań stanowić mogą takŜe niebinarne supersieci wielowarstwowe
typu Thue-Morse’a, konstruowane według następujących reguł podstawiania [33]:
A→ AB, B → BC, C → CA (I), lub
A→ BCA, B→ CAB, C→ ABC (II)
co pozwala skonstruować supersieć (posługując się wzorami rekurencyjnymi (3.1)
oraz (3.2) w postaciach:
• zaczynając od elementu A: A → AB→ABBC→ABBCBCCA→… lub
• zaczynając od elementu A: A→ BCA → CABABCBCA →…
• zaczynając od elementu B: B → BC→BCCA→BCCACAAB→… lub
• zaczynając od elementu B: B → CAB → ABCBCACAB →…
• zaczynając od elementu C: C → CA → CAAB→CAABABBC→…lub
• zaczynając od elementu C: C → ABC → BCACABABC →…
W przypadku (I) całkowita ilość elementów wynosi 2L, w przypadku (II) 3L.
Uogólniając powyŜsze podstawienie na sieć składającą się z n elementów
otrzymuje się:
A1→A2A3…..AnA1,
A2→A3A4…..A1A2,
.
.
.
An→A1A2…..An-1An.
lub
A1→A1A2
A2→A2A3
.
.
.
An→AnA1
W tabeli poniŜej przedstawiono zasadę konstrukcji pięciu pierwszych pokoleń
UST-M (1,1) dla sieci niebinarnej.
Tabela 3.3: Pięć pierwszych pokoleń uogólnionej niebinarnej supersieci typu
Thue-Morse’a ST-M(1, 1).
Numer
pokolenia
L
0
1
2
3
4
Wzór rekurencyjny UST-M
Wzór rekurencyjny pUST-M
SL =SL-1SL-1
A
AB
ABBC
ABBCBCCA
ABBCBCCABCCACAAB
SL =SL-1SL-1
B
BC
BCCA
BCCACAAB
BCCACAABCAABABBC
27
3.2 Transmitancja światła w supersieciach typu ThueMorse’a
W ośrodku wielowarstwowym często korzysta się z formalizmu
macierzowego, pozwalającego wyznaczyć transmitancję. W przypadku supersieci
aperiodycznych, wykorzystuje się formalizm dynamicznych odwzorowań śladów
i antyśladów macierzy przejścia [26, 34-39].
RozwaŜania na temat propagacji światła w badanej sieci rozpoczynamy od
określenia rodzaju warstw tworzących daną strukturę, opisujemy zachowanie się
FEM na granicy ośrodków dielektrycznych, a następnie
za pracą [24]
przytaczamy dynamiczne odwzorowana śladów i antyśladów macierzy przejścia.
3.21 Materiały warstw tworzących wielowarstwową strukturę
dielektryczną
Propagację FEM w ośrodku jednorodnym i izotropowym opisują (łącznie
z równaniami materiałowymi dla ośrodka liniowego) równania Maxwella
w postaci
(3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
wraz z równaniami materiałowymi ośrodka liniowego
(3.9)
Poszczególne składowe występujące we wzorach oznaczają odpowiednio:
E(r,t) wektor natęŜenia pola elektrycznego, H(r,t) — wektor natęŜenia pola
magnetycznego, D(r,t) — wektor indukcji elektrycznej, B(r,t) — wektor indukcji
magnetycznej, ε0 — przenikalność elektryczna próŜni, εr — względna
przenikalność elektryczna ośrodka, µ0 — przenikalność magnetyczna próŜni, µr
— względna przenikalność magnetyczna ośrodka.
28
Równanie FEM w ośrodku jednorodnym otrzymujemy z równań Maxwella,
po standardowych przekształceniach w postaci
(3.10)
gdzie υ = c/n jest prędkością fali EM, zaleŜną od stałych materiałowych ośrodka,
n – współczynnik załamania światła, a c = 1/( ε0 µ0)1/2 , oznacza prędkość światła
rozchodzącego się w próŜni.
Ze wzoru
n2 = εr µr
(3.11)
wynikają dwie moŜliwe wartości współczynnika załamania światła
n = + (εr µr )1/2 n = – [(–εr) (–µr)]1/2 .
(3.12)
Ma to szczególne znaczenie ze względu na fakt rozpatrywania w poniŜszej pracy
warstw materiałów zarówno zwanych prawo- jak i lewoskrętnymi [40–45].
3.22 Odbicie i załamanie fali elektromagnetycznej na granicy dwóch
ośrodków dielektrycznych
Przy rozpatrywaniu propagacji światła w wielowarstwowych strukturach
aperiodycznych naleŜy na wstępie rozwaŜyć warunki, jakie spełnia spolaryzowana
fala elektromagnetyczna typu s lub p padająca na układ złoŜony z warstw
dielektrycznych.
Przykładowo niech na granicę układu dwóch izotropowych ośrodków,
odpowiednio o współczynnikach załamania n1, n2, pada płaska fala
elektromagnetyczna (FEM). Przyjmujemy następujące załoŜenia odnośnie
płaszczyzn układu:
• płaszczyzna yz — powierzchnia rozgraniczająca dane ośrodki,
• płaszczyzna xz — płaszczyzna padania FEM (rys. 3.12).
Rys. 3.12 Odbicie i załamanie fali elektromagnetycznej na granicy dwóch
ośrodków dielektrycznych (na podstawie 24).
29
Na granicy ośrodków linie pól załamują się zachowując przy tym ciągłość
składowych stycznych wektorów natęŜenia pola elektrycznego E
i magnetycznego H oraz składowych normalnych wektorów indukcji
magnetycznej B i elektrycznej D. W takim przypadku wektory falowe fali
padającej k1, odbitej k1’ i załamanej k2 leŜą w jednej płaszczyźnie zwanej
płaszczyzną padania i mają postać
(3.13)
Posługując się prawem odbicia otrzymujemy równość kątów padania θ1
i odbicia θ1’ : θ1 = θ1’. Poza tym spełnione jest prawo Snelliusa
n1sin θ1 = n2sin θ2 .
(3.14)
Przejdźmy teraz do omówienia rodzaju polaryzacji fali EM. Wiemy, Ŝe
w przypadku gdy wektor pola elektrycznego E = [0, Ey, 0] jest prostopadły
do płaszczyzny padania, mamy do czynienia z polaryzacją typu s, natomiast gdy
wektor pola magnetycznego H = [0, Hy, 0] jest prostopadły do płaszczyzny
padania, mamy do czynienia z polaryzacją typu p (rys.3.13).
Rys. 3.13 Polaryzacja fali EM: a) typu s; b) typu p (na podstawie [24]).
a)
b)
Relacje między natęŜeniami fali padającej E1(+) i odbitej E1(-) oraz padającej E1(+)
i załamanej E2(+) określają wzory Fresnela, pozwalające wyznaczyć amplitudowy
współczynnik odbicia r12 i transmisji t12.
30
Dla polaryzacji typu s przyjmują one postać
(3.15)
(3.16)
a dla polaryzacji typu p
(3.17)
(3.18)
Z pomocą wzorów (3.15)–(3.18) moŜemy wyznaczyć transmitancję oraz
reflektancję fali EM dla poszczególnych przypadków polaryzacji.
Polaryzacja typu p:
transmitancja
,
reflektancja
R p = rp2
.
(3.19)
Polaryzacja typu s:
transmitancja
,
reflektancja
R s = rs2
.
(3.20)
31
3.23 Model wielowarstwowego ośrodka dielektrycznego − formalizm
macierzowy
Celem niniejszej pracy jest wyznaczenie transmitancji światła propagującego się
w rozwaŜanym wielowarstwowym ośrodku dielektrycznym. Skupimy się zatem
na krótkim opisie budowy takiej struktury, w czym pomoŜe rysunek 3.14.
Rys. 3.14 Wielowarstwowy ośrodek dielektryczny umieszczony między
ośrodkami jednorodnymi odpowiednio o współczynnikach załamania nin oraz nout
(na podstawie [24]).
Zakładamy, Ŝe wielowarstwowy, niemagnetyczny (tzn. µj =1) ośrodek
dielektryczny (rys.3.14), składa się z J jednorodnych warstw rozłoŜonych wzdłuŜ
osi X, charakteryzowanych przez współczynniki załamania nj i grubości dj = xj –
xj-1. Kolejne ośrodki takiej struktury numeruje indeks j = 0, 1, 2, 3, …, J, J+1, przy
czym wskaźniki j =0 oraz j = J+1 oznaczają ośrodki zewnętrzne, indeksowane
odpowiednio jako „in” oraz „out”. Przyjmujemy ponadto, Ŝe na granicę ośrodków
nin i nout pada płaska fala EM o długości λ pod kątem θin. Przypadek ten
najwygodniej jest rozpatrywać posługując się formalizmem macierzowym.
Wtedy to relacje między amplitudami wektora natęŜenia pola elektrycznego fali:
padającej Ein(+), odbitej Ein(-) oraz przechodzącej Eout(+) określa macierz
charakterystyczna, oznaczana grecką literą gamma Γ (wówczas Eout(-) = 0):
(3.21)
macierz Γ to w rzeczywistości iloczyn wszystkich macierzy propagacji Pj
i transmisji Dj,j+1 poszczególnych warstw, opisujący przejście fali EM z ośrodka
„in” do ośrodka „out”:
32
(3.22)
Macierz propagacji Pj – występująca w macierzy Γ (niezaleŜna od typu
polaryzacji) ma postać diagonalną
(3.23)
Macierz transmisji Dj,j+1 (opisuje przejście FEM z ośrodka j – ego do (j+1)- go)
przyjmuje, niezaleŜnie od typu polaryzacji, postać
(3.24)
Z kolei wyrazy (fresnelowskie amplitudowe współczynniki odbicia rj,j+1
i transmisji tj,j+1) macierzy transmisji Dj,j+1, zaleŜą od typu polaryzacji światła:
„dla polaryzacji p”:
(3.25)
(3.26)
„dla polaryzacji s”:
(3.27)
.
(3.28)
33
Posługując się elementami macierzy charakterystycznej Γ moŜemy wyznaczyć
energetyczne współczynniki odbicia R (refektancję) i transmisji T (transmitancję):
.
(3.29)
W przypadku równości współczynników załamania warstw otaczających daną
strukturę tzn. nin = nout, macierz Γ jest macierzą unimodularną o wyznaczniku
równym 1, a wzór na transmitancję przybiera postać
(3.30)
3.24 Transmitancja w formalizmie śladów i antyśladów macierzy
charakterystycznej Γ
Jeśli załoŜymy unimodularność (tzn. det Γ = 1) macierzy charakterystycznej Γ,
wówczas transmitancję światła moŜemy wyznaczyć posługując się jej śladem τ
i antyśladem σ:
(3.31)
gdzie τΓ = Γ11 + Γ22 – ślad macierzy charakterystycznej, σΓ = Γ11 - Γ22 – antyślad
diagonalny macierzy charakterystycznej.
Ponadto wprowadza się równieŜ:
• antysymetryczny antyślad niediagonalny ςΓ = Γ21 – Γ12,
• symetryczny antyślad niediagonalny ηΓ = Γ21 + Γ12
(3.32)
Macierzą charakterystyczna niebinarnej, wielowarstwowej struktury
aperiodycznej jest macierz postaci
Γ = Din,AQDA,out
.
(3.33)
Macierz Q jest w tym przypadku unimodularną macierzą charakterystyczną,
opisującą propagację fali EM w wielowarstwowym ośrodku aperiodycznym.
34
Ze względu na fakt silnej zaleŜności transmitancji od ośrodków ją
otaczających rozwaŜa się następujące przypadki:
•
supersieć umieszczona w jednorodnym ośrodku typu A —
transmitancja wyraŜona w formalizmie śladów τQ i antyśladów σQ
macierzy charakterystycznej Q
(3.34)
•
supersieć umieszczona w dowolnym ośrodku jednorodnym — rozwaŜa
się przypadek gdy nin ≠ nout, wówczas wzór na transmitancje przyjmuje
postać:
gdzie
(3.35)
to macierz unimodularna o wyznaczniku det Γ = (nout cos θout)/ (nin cos θin). Ślady
i antyślady macierzy W przybierają postać:
(3.36)
(3.37)
3.25 Odwzorowania dynamiczne śladów i antyśladów macierzy
charakterystycznych sieci Thue-Morse’a
Macierze charakterystyczne sieci Thue-Morse’a tzn. UST-M oraz pUST-M dla
(L+1) — go pokolenia wynoszą odpowiednio:
35
Z kolei dynamiczne odwzorowania śladów i antyśladów [24] tych macierzy dla
(L+1) — go pokolenia dane są wzorami (L ≥ 2):
τL+1 = uM(τL)uN(τL) {-2uM+1(τL-1) + 2uM-1(τL-1) – u2N+1(τL-1) + u2N-1(τL-1)
– 2 +[uM+N+1(τL-1) +u-M+N+1(τL-1) – uM+N-1(τL-1) + uM-N+1(τL-1)] τL} –
uM+1(τL)uN-1(τL) – uM-1(τL) uN-1(τL),
(3.38)
τL+1 = τL+1
(3.39)
aL+1 = uM(τL)uN(τL){ u2N(τL-1) ãL-1+ u2M(τL-1) aL-1 + [uN+M(τL-1) - uN-M
(τL-1)] aL-1 τL} -uM(τL)uN-1(τL) aL - uM-1(τL)uN(τL) ãL
(3.40)
ãL-1 = uM(τL)uN+1(τL) aL + uM+1(τL)uN(τL) ãL - uM(τL)uN(τL){ uM(τL-1)τL-1
(3.41)
τL – u2M(τL-1) ] aL-1 + u2N(τL-1) ãL-1}
gdzie wyrazy aj {σj, ηj, ςj} oraz ã {σj, ηj, ςj}, uj(y) oznaczają uogólnione
wielomiany Czebyszewa9 [24].
3.3 Wyniki obliczeń numerycznych dla supersieci
prawoskrętnych
Podstawą algorytmu numerycznego pozwalającego wyznaczyć
transmitancje światła spolaryzowanego w supersieci Thue-Morse’a, było
wyznaczenie śladów i antyśladów macierzy charakterystycznej dla danego
pokolenia – przypadek supersieci binarnej oraz bezpośredniego mnoŜenia
macierzy propagacji i transmisji – przypadek supersieci niebinarnej, dla których
to ograniczeniem jest nieunimodularność macierzy charakterystycznych układu,
uniemoŜliwiająca zastosowanie metody dynamicznych odwzorowań.
Obliczenia numeryczne przeprowadzono tak, aby pozwalały określić zmiany
transmitancji w zaleŜności od parametrów modelu, którymi są:
1. długość fali światła λ dla zakresu widzialnego tzn. [300 nm – 700 nm].
2. kąta padania θ zmieniającego się w granicach [0, π/2).
3. rodzaju polaryzacji – s lub p.
4. liczby L określającej numer pokolenia supersieci.
5. róŜnych wartości parametrów konkatencji M, N.
6. współczynników załamania warstw w zakresie [1,0; 3,0].
7. bezwymiarowych (wybrano dl = dl /λ0; gdzie λ0 = 100nm, l = A, B) grubości
warstw w zakresie [250; 1000].
9
Zmodyfikowanymi wielomianami Czebyszewa nazywamy następujące funkcje zmiennej
zespolonej z:
um(z) = 0,
m = 0,
1,
m = 1,
m>1 , przy czym m – liczba całkowita oraz u -m(z) = -um(z)
zum-1(z) – um-2(z) ,
36
Wyniki obliczeń numerycznych transmitancji T przedstawiono w postaci map
szarości ze skalą dobraną w ten sposób, aby kolor biały odpowiadał transmitancji
równej jeden, a czarny równej zero (rysunek 3.15). Wszystkie wyniki
prezentowane w postaci map transmisji przeprowadzono dla rozdzielczości
600×600 pikseli.Współczynniki załamania ośrodków zewnętrznych dobierano
w ten sposób, aby nie wystąpiło zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia.
Rysunek 3.15 Skala szarości reprezentująca wartość transmitancji.
Mapy na rysunkach I–XII przedstawiają transmitancję T(λ, θ) światła dla
polaryzacji s (lewa kolumna) oraz p (prawa kolumna) jako funkcję długości fali
i kąta padania (wykresy dla sieci niebinarnych zamieszczono w dodatku C). Mapy
transmitancji dla polaryzacji typu „p” wykazują wyraŜnie widoczne maksima
transmitancji, odpowiadającej kątowi Brewstera dla θ ≈ 1 rad, niezaleŜnie od
długości fali padającej. Mapy na rysunkach I, VII reprezentują przypadki
umieszczenia supersieci w powietrzu oraz, gdy jeden ze współczynników
załamania warstw ją tworzących, posiada taką samą wartość jak współczynnik
załamania powietrza. Mapy z rysunków II–III, VIII–IX przedstawiają wpływ
grubości warstw, a z rysunków IV–V, X–XI wpływ liczby pokoleń oraz wartości
parametrów konkatencji na transmitancje. Z kolei na rysunkach VI, XII
zamieszczono przypadki, kiedy supersieć osadzona jest między dwoma ośrodkami
o znacznie róŜniących się współczynnikach załamania.
37
Rys. I Mapy transmisji T(λ, θ) dla binarnej ST-M(1, 1) o parametrach:
a) nA = 1,43; nB = 2,3, dA= dB = 350, nin = nout = 1,0; L = 4; b) nA = nin ; nB = 2,3,
dA= dB = 350, nin = nout = 1,0; L = 4;
polaryzacja s
a)
polaryzacja p
b)
38
Rys. II Mapy transmisji T(λ, θ) dla binarnej ST-M(1, 1) o parametrach:
a) nA = 1,43; nB = 2,3, dA=250; dB = 350, nin = nout = 1,23; L = 4; b) nA = 1,43 ;
nB = 2,3, dA= 350,dB = 250, nin = nout = 1,23; L = 4; c) nA = 1,43 ; nB = 2,3, dA= dB
= 350, nin = nout = 1,23; L = 4;
polaryzacja s
polaryzacja p
a)
b)
c)
39
Rys. III Mapy transmisji T(λ, θ) dla binarnej ST-M(1, 1) o parametrach:
nA = 1,43; nB = 2,3, dA=dB = 350, nin = nout = 1,23; a) L = 3; b) L = 6; c) L = 8;
polaryzacja s
polaryzacja p
a)
b)
c)
40
Rys. IV Mapy transmisji T(λ, θ) dla binarnej ST-M o parametrach nA = 1,43;
nB = 2,3, dA=dB = 350, nin = nout = 1,23; a) M= 1;N= 2; L = 3; b) L = 3;
M= 2; N= 1; c) M= 2; N= 2; L = 3;
polaryzacja s
a)
polaryzacja p
b)
c)
41
Rys. V Mapy transmisji T(λ, θ) dla binarnej ST-M o parametrach nA = 1,43;
nB = 2,3, dA=dB = 350, nin = nout = 1,23; a) M= 2; N= 1; L = 6; b) L = 4; M= 2;
N= 1;
polaryzacja s
a)
polaryzacja p
b)
Rys. VI Mapy transmisji T(λ, θ) dla binarnej ST-M (1, 1)o parametrach nA = 1,43;
nB = 2,3, dA=dB = 350, nin = 1,0; nout = 4,0; L = 4;
polaryzacja s
polaryzacja p
42
3.4
Wielowarstwowy
lewoskrętnym
ośrodek
z
materiałem
W niniejszej pracy rozwaŜania na temat propagacji światła
w wielowarstwowych ośrodkach dielektrycznych dotyczą takŜe supersieci
zbudowanych z materiałów prawo- jak i lewoskrętnych (właściwości materiałów
lewoskrętnych — metamateriałów, ich zastosowania i metody wytwarzania
opisane są szczegółowo w dodatku E).
RozwaŜmy zatem supersieć zbudowaną z materiałów prawo–
i lewoskrętnych. Przyjmijmy model, w którym warstwę prawoskrętną tworzy
warstwa typu A, a lewoskrętną warstwa typu B. Zadając pytanie: W jaki sposób
zachowa się fala EM na granicy ośrodka prawo- i lewoskrętnego? Odpowiedź
przedstawia rysunek 3.16.
Rys. 3.16 Zjawisko załamania światła na granicy ośrodka prawo- i lewoskrętnego;
gdzie vA(f), vB(f) – wektory prędkości fazowych, vA(g), vB(g) – wektory prędkości
grupowych, odpowiednich ośrodków( na podstawie [24]).
Z rysunku 3.16 widać, iŜ promień padając na granicę ośrodków załamuje się po
tej samej stronie normalnej, po której znajduje się promień padający. Postać
prawa załamania nie ulega zmianie (wzór (3.42)), ale nie jest spełniona w tym
przypadku tradycyjna zasada Fermata
nAsinθA = nBsin(–θB) = (– |nB| ) (– |sinθB| )
dla nB< 0
.
(3.42)
Fakt ten wymusza zmianę amplitudowych współczynników odbicia rj,j+1
i transmisji tj,j+1, występujących w macierzy charakterystycznej Q, opisującej
propagację fali EM w wielowarstwowym ośrodku aperiodycznym.
43
Wynoszą one odpowiednio – w zaleŜności od polaryzacji typu s oraz p:
(3.43)
(3.44)
PowyŜsza postać amplitudowych współczynników transmisji i odbicia nie
wpływa ani na własności macierzy charakterystycznej(zachowuje ona swoją
unimodularność), ani na zmianę wzoru transmitancji T dla supersieci (wzory
3.29, 3.30). Zmianie ulegną jedynie początkowe wartości śladów i antyśladów,
gdyŜ w amplitudowych współczynnikach odbicia i transmisji (3.44) i (3.43)
pojawią się przenikalności magnetyczne warstw A i B.
3.5 Wyniki obliczeń numerycznych dla supersieci
lewoskrętnych
Obliczenia numeryczne przeprowadzono (analogicznie jak to miało miejsce
w przypadku supersieci prawoskrętnych) tak, aby pozwalały określić zmiany
transmitancji w zaleŜności od parametrów modelu określonych w rozdziale 3.3.
którymi są:
Rysunki poniŜej przedstawiają mapy transmisji T(λ, θ) światła w zaleŜności od
polaryzacji s (lewa kolumna) oraz p (prawa kolumna) jako funkcję długości fali
i kąta padania.
44
Rys. VII Mapy transmisji T(λ, θ) dla binarnej ST-M (1, 1) o parametrach
a) nA = 1,43; nB = –2,3, dA=dB = 350, nin = nout = 1,0; L = 4; b) nA = nin ,
nB = –2,3, dA= dB = 350,nin = nout = 1,0, L = 4;
Polaryzacja s
polaryzacja p
a)
b)
45
Rys. VIII Mapy transmisji T(λ, θ) dla binarnej ST-M(1, 1) o parametrach:
a) nA = 1,43;nB = –2,3, dA= 250, dB = 350, nin = nout = 1,23; L = 4; b) nA = 1,43;
nB = –2,3, dA= 350, dB = 250, nin = nout = 1,23; L = 4; c) nA = 1,43, nB = –2,3,
dA= dB = 350, nin = nout =1,23; L = 4;
polaryzacja s
a)
polaryzacja p
b)
c)
46
Rys. IX Mapy transmisji T(λ, θ) dla binarnej ST-M(1, 1) o parametrach:
nA = 1,43; nB = –2,3, dA= dB = 350, nin = nout = 1,23; a) L = 3; b) L = 6; c) L = 8;
polaryzacja s
a)
polaryzacja p
b)
c)
47
Rys. X Mapy transmisji T(λ, θ) dla binarnej ST-M o parametrach nA = 1,43;
nB = –2,3, dA=dB = 350, nin = nout = 1,23; a) M= 1; N= 2; L = 3; b) L = 3; M= 2;
N= 1; c) M= 2; N= 2; L = 3;
polaryzacja s
a)
polaryzacja p
b)
c)
48
Rys. XI Mapy transmisji T(λ, θ) dla binarnej ST-M o parametrach nA = 1,43;
nB = –2,3, dA=dB = 350, nin = nout = 1,23; a) M= 2; N= 1; L = 6; b) L = 4; M= 2;
N= 1;
polaryzacja s
a)
polaryzacja p
b)
Rys. XII Mapy transmisji T(λ, θ) dla binarnej ST-M (1, 1)o parametrach
nA = 1,43; nB = –2,3, dA=dB = 350, nin = 1,0; nout = 4,0; L = 4;
polaryzacja s
polaryzacja p
49
Rozdział 4
Dyskusja wyników
i podsumowanie
obliczeń
numerycznych
4.1 Wnioski oraz uwagi
Na podstawie otrzymanych rezultatów obliczeń numerycznych moŜemy
sformułować następujące wnioski jakościowe oraz ilościowe:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Transmitancja światła spolaryzowanego w analizowanej supersieci
binarnej typu Thue-Morse’a silnie zaleŜy od przestrzennego rozkładu
warstw
Dzięki moŜliwości zmiany parametrów kontakenacji M i N moŜemy
stosunkowo łatwo modyfikować właściwości transmisyjne supersieci.
Widoczne na uzyskanych mapach wielokrotne pasma wysokiej transmisji
światła, składają się na fotoniczną strukturę jednowymiarowych
kryształów fotonicznych, którymi są badane w tej pracy supersieci
optyczne typu Thue-Morse’a.
Na zauwaŜalną modyfikację właściwości filtracyjnych supersieci wpływa
w znacznym stopniu zmiana współczynników załamania ośrodków
zewnętrznych (mapy I, VI, VII, XII).
Po osadzenie badanej struktury aperiodycznej między ośrodkami
o współczynnikach załamania spełniających zaleŜności nin = nA oraz nout >
3, moŜna zaobserwować nie tylko zmniejszenie się całkowitej
transmitancji, lecz takŜe zanik większości pasm transmisji. Pozostałe
pasma transmisyjne tworzą wtedy tzw. okna transmisyjne z „ostrymi”,
niemalŜe skokowymi charakterystykami brzegowymi (mapy XII, VI).
Wzrost parametrów konkatenacji powoduje: dla parametru M szybkie
zawęŜanie pasm transmisji (porównaj IVa i IVc, oraz Xa i Xc), a dla
parametru N wzrost liczby poszczególnych pasm transmisji (porównaj IVa
i IVb, oraz Xa i Xb).
Na zwiększenie liczby pasm transmisji i ich zwęŜanie się wpływ ma
równieŜ zmiana grubości poszczególnych warstw (mapy II, VIII).
Właściwości filtracyjne modyfikuje takŜe zamiana numeru pokolenia L
(mapy III, V, IX, XI).
Mapy transmisji wykazują teŜ maksima interferencyjne pochodzące
od pojedynczej warstwy typu B o grubości DB, a struktura widma
transmisyjnego ma charakter samopodobny (mapy IV, X).
Zastąpienie warstw typu B materiałami lewoskrętnymi (mapy VII–XII)
zmienia połoŜenie i przebieg maksimów transmitancji oraz uzyskanie tym
samym nowych, jakościowo właściwości filtracyjnych.
Obserwujemy istotną zmianę charakteru map transmisji supersieci
zbudowanych z warst materiałów prawoskrętnych oraz supersieci
zawierających warstwy materiałów lewo- i prawoskrętnych, co ilustrują
mapy zamieszczone w rozdziałach 3.3 oraz 3.5).
50
o Pasma wysokiej transmisji supersieci prawoskrętnych (jasne paski
na mapach transmisji z rozdziału 3.3) przy wzroście kąta padania
wykazują tendencje do przesuwania się do mniejszych wartości
długości fali elektromagnetycznej. Reprezentacją graficzną tego
wniosku jest poniŜszy rysunek, na którym szeroka biała krzywa
przedstawia w duŜym jakościowym uproszczeniu przebieg pasm
wysokiej transmisji jako funkcji dwóch zmiennych odłoŜonych
na osiach map.
o Pasma wysokiej transmisji supersieci lewo- i prawoskrętnych
(jasne paski na mapach transmisji Rys. VII-XII z rozdziału 3.5)
przy wzroście kąta padania wykazują podobny charakter
zilustrowany poprzednim rysunkiem. ZauwaŜalna jest jednak nowa
jakościowa tendencja polegająca na występowaniu szeregu pasm
wysokiej transmisji, które przy wzroście kąta padania przesuwają
się w stronę większych wartości długości fali elektromagnetycznej.
Ilustruje to jakościowo poniŜszy wykres. Jest to zapewne
konsekwencją
specyficznego
załamywania
się
fali
elektromagnetycznej na granicy warstw lewo- i prawoskrętnych.
51
4.2 Konkluzje końcowe
W pracy podjęto próbę zbadanie wpływu uporządkowania
kwazijednowymiarowej struktury, którą jest aperiodyczna supesieć optyczna
typu Thue-Morse’a na jedną z jej właściwości fizycznych: transmisję światła
spolaryzowanego.
Supersieć skonstruowano w postaci wielowarstwowego ośrodka
dielektrycznego, a wykorzystanie formalizmu macierzowego pozwoliło
wyznaczyć transmitancję za pomocą dynamicznych odwzorowań śladów
i antyśladów oraz uwzględnić wpływ ośrodków zewnętrznych na właściwości
transmisyjne badanej supersieci.
Przedstawiono wybrane wyniki obliczeń numerycznych dotyczących
właściwości transmisyjnych nieperiodycznych supersieci optycznych T-M oraz
scharakteryzowano
dotychczas
przeprowadzone
badania
odnośnie
analizowanych struktur (patrz dodatek D). Badania te nie tylko zadziwiają
i zaciekawiają, ale przede wszystkim przedstawiają nowe sposoby ich
realizacji. UŜycie narzędzi matematycznych jak: analiza multifraktalna, teoria
entropii, struktury algebraiczne (między innymi wykorzystywany wielokrotnie
rozbudowany formalizm macierzowy) etc. (dodatek D, dodatek B) to tylko
niektóre z nich. Co więcej okazuje się, iŜ zaawansowane narzędzia
matematyczne, pozwalają fizykom poznawać i charakteryzować ilościowo
właściwości specyficznych zjawisk fizycznych dla nieperiodycznych
supersieci.
Szczegółowej analizie poddano dwa typy supersieci aperiodycznej ThueMorse’a:
a) zbudowanej z materiałów prawoskrętnych, o dobrze znanej technologii
wytwarzania (patrz rozdział 2);
b) zbudowanych
z
materiałów lewoskrętnych
o
kosztownej
i czasochłonnej technologii wytwarzania (patrz dodatek E);
Istotnym osiągnięciem pracy, o charakterze uŜytkowym, jest opracowanie
środowiska obliczeniowego, zaprogramowanego na platformie Delphi, które
w prosty sposób pozwala na wyznaczenie i zbadanie transmisji światła
spolaryzowanego w optycznej supersieci aperiodycznej T-M. Program ThueMorseSuper.exe10, wykorzystuje do obliczeń formalizm macierzowy (metoda
bezpośredniego mnoŜenia macierzy) i odwzorowania dynamiczne śladów
i antyśladów (patrz rozdział 3). Pozwala on uŜytkownikowi wyznaczać
i dokonywać analizy transmitancji w zaleŜności od wybranych parametrów
modelu, którymi są: współczynniki załamania ośrodków zewnętrznych
i warstw tworzących strukturę, liczba warstw, rodzaj polaryzacji, wartości
parametry konkatencji, grubości warstw, długości FEM, kąty padania).
Wybrane mapy transmisji (Rys. I–XII) zawarte w pracy są efektem
posługiwania się ww. programem, którego wersja instalacyjna znajduje się na
dołączonym do pracy CD.
10
Za zgodą autora T. Naskręta na wykorzystanie i dokonanie niezbędnych zmian w programie
Supersieci.exe, którego pochodną stanowi program Thue–MorseSuper.exe.
52
Program Thue-MorseSuper.exe moŜe posłuŜyć jako uŜyteczne narzędzie
przy projektowaniu wielowarstwowych struktur, np. w inŜynierii optycznej
do projektowania filtrów optycznych, rezonatorów optycznych o zadanych
właściwościach, wykorzystując do tego nieperiodyczny i nieprzypadkowy
przestrzenny rozkład warstw. Tworzy to jakościowo nowy czynnik
modyfikujący właściwości transmisyjne struktur wielowarstwowych. Ponadto
pozwala na badanie transmisji światła spolaryzowanego w materiałach
lewoskrętnych– tzw. metamateriałach. Godnym uwagi jest równieŜ fakt
wykorzystania wielowarstwowych niebinarnych struktur dodatnich i ujemnych
do uzyskania całkiem nowych efektów niŜ te otrzymywane poprzez inne nowo
odkryte materiały, często o drogiej i czasochłonnej technologii wytwarzania,
i w większości przypadków dające niemalŜe jednakowe wyniki.
Aplikację moŜna równieŜ wykorzystać jako poŜyteczne narzędzie
dydaktyczne.
Praca moŜe zostać wykorzystana do celów naukowych i dydaktycznych
jako opracowanie zawierające wieloaspektowy i szczegółowy materiał
źródłowy. Powód to obszerny spis literatury zawierający nie tylko
najwaŜniejsze pozycje ksiąŜkowe, liczne publikacje naukowe, najnowsze
odkrycia, lecz takŜe adresy godne uwagi, ze względu na zawartość
merytoryczną, stron internetowych.
Praca jest wielopłaszczyznowym opracowaniem w języku polskim
omawiającym kwazijednowymiarowe wielowarstwowe struktury aperiodyczne
T-M. Przedstawia równieŜ najnowsze odkrycia z dziedziny wytwarzania
metamateriałów jedno– dwu– i trzywymiarowych, opisując nowe, często dość
nietypowe rozwiązania technologiczne.
53
DODATEK A
A.1 SEKWENCJA THUE-MORSE’A11
Is there a binary sequence that contains no overlap,
i.e., a sequence which
which contains no substrings
of the form awawa, where a is any binary letter
and w any word?
Na powyŜsze pytanie udzielił twierdzącej odpowiedzi Axcel Thue i stał się
tym samym współtwórcą sekwencji najlepiej znanej teraz jako SEKWENCJI THUEMORSE’A. WiąŜe się ona z wieloma róŜnymi gałęziami, odnaleźć ja moŜna
w geometrii róŜniczkowej, fizyce, a nawet w teorii liczb. Za pomocą tej reguły moŜna
tworzyć grafikę (przykład poniŜej), a takŜe komponować muzykę (przykładowe pliki
muzyczne znajdują się na dołączonej do niniejszej pracy płycie CD). NiŜej
zamieszczono róŜne sposoby konstrukcji rozwaŜanego ciągu.
Formalna definicja sekwencji T-M rozpięta na alfabecie binarnym {0, 1} ma
następującą postać:
( tj )j>=0 = 1, 0, 0 , 1, 0 , 1, 1, 0 , 0 , …
(1)
gdzie t0 = 1 , t2j = tj , t2j+1 = 0 dla wszystkich j>= 0 .
Obecnie stosuje się kilka równorzędnych definicji ciągu T-M. Nietrudno tym
samym zauwaŜyć, iŜ kolejne wyrazy moŜna tworzyć przy uŜyciu takiego oto
podstawienia:
1→ 1, 0
0 →0,1
W ten sposób otrzymujemy ciąg w postaci
1 → 1 , 0 → 1, 0, 0 , 1 → 1, 0 , 0 , 1, 0 , 1, 1, 0 → …
Innym sposobem przedstawienia ciągu T-M jest rozpoczynanie od elementu 0
i postępowanie wg takiej oto reguły: bierzemy powstały ciąg i dodajemy jego
uzupełnienie (tzn. 0 zastępujemy przez 1, a 1 przez 0). W wyniku tak
przeprowadzonej operacji otrzymamy:
0
01
0110
01101001
0110100110010110
….
11
Nad sekwencją tą jako pierwszy pracował P. Prouhet w 1859 roku, który zastosował ją
w teorii liczb. JednakŜe wyraźnie zaakcentował jej istnienie norweski matematyk, Axcel Thue
w 1906 roku, jako przykład aperiodycznego okresowego ciągu znaków. Pierwszą naukową
publikację Thue, obejmująca dany temat, zignorowano. Większą uwagę poświęcono dopiero
publikacji Marstona Morse’a w 1921, który uŜył owej sekwencji w geometrii róŜniczkowej
oraz dowiódł, iŜ trajektorie układów dynamicznych, które na przestrzeni fazowej mają ujemną
krzywiznę, mogą być scharakteryzowane jako dyskretne ciągi zer i jedynek. Fakt ten stanowił
oszałamiające odkrycie ówczesnych czasów [47].
Sekwencja ta była (i nadal jest) stosowana wielokrotnie i to nie zawsze przez profesjonalnych
matematyków. Przykład stanowi niejaki Max Euwe (mistrz szachownicy i nauczyciel
matematyki), który w 1929 roku zastosował daną formułę do gry w szachy [47].
54
Trzecia metoda jest ściśle związana ze sposobem konstrukcji słów binarnych (tutaj
liczb) ustawianych w rosnącej wartości:
0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, …
W ten sposób moŜemy przedstawić kaŜdą liczbę redukując jej cyfry modulo 2.
W redukowanej liczbie sumuje się jej cyfry, dotąd, póki nie przypomina w swym
zapisie liczby binarnej. Tak więc redukcją liczby 111 jest 3, której pozostałością
modulo 2 jest 1.
A.2. ZASKAKUJĄCE WŁASNOŚCI SEKWENCJI T-M
Ciąg T-M ma strukturę samopodobną, oznacza to tyle, iŜ kaŜda wartość
występująca w danym ciągu na parzystej pozycji stanowi swoje „przeciwieństwo”,
a mianowicie:
Ponadto ciąg ten nazwano „cube free”, gdyŜ nie musi zawierać bezpośrednio
podciągów 0,0,0, lub 1,1,1 [46]. W danej formule słowo jest zastąpione jakąś
charakterystyczną sekwencją zaczerpniętą z alfabetu (w danym przypadku są to cyfry
0 i 1).
„Cube free” ma zastosowanie do wszystkich słów, np. jeśli W =
1,0,1,1,0 (gdzie W oznacza dowolne słowo w ciągu T-M), wówczas mamy:
W, W, W lub równowaŜnie 1, 0, 1, 1, 0, 1 ,0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0.
Sekwencję T-M moŜemy uogólnić na redukcję wyrazów inną niŜ modulo 2.
Na przykład dla podstawy modulo 5 uogólnionym ciągiem T-M jest
0, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 0, 2, 3, 4, 0, 1, 3, 4, 0, 1, 2, 4, 0, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 0, …
JednakŜe kaŜda z metod konstrukcji opiera się głównie na redukcji wyrazów
modulo n, poniewaŜ podstawę równą 2 moŜemy zastąpić dowolną inną według
potrzeb i uznania.
A.3. GEOMETRYCZNA INTERPRETACJA SEKWENCJI T-M
Gdy liczbę zero (występującą jako element ciągu T-M) przedstawimy
w postaci czarnego kwadratu, natomiast liczbę jeden w postaci białego kwadratu,
wówczas ciąg T-M przyjmie graficzną postać (na podstawie [48])
Podstawiając kolejne wyrazy ciągu otrzymamy:
Dany sposób konstrukcji moŜemy przedłuŜyć do 2D, gdzie w kaŜdym kroku
dołączane są kolejne części ciągu ustawiane poziomo i pionowo [49]. PoniŜszy
rysunek przedstawia pierwsze cztery iteracje.
55
Rys. A1 Konstrukcja płaszczyzn T-M (na podstawie [48]).
Często płaszczyznę T-M utoŜsamia się z fraktalem [50] (nieskończone częściodcinki płaszczyzny mogą być regularnie dzielone i zestawiane razem tworzyć całą
płaszczyznę). Wbrew pojawiającej się w danej strukturze symetryczności
i regularności, nie jest ona jednak powtarzalna.
Geometryczną interpretację ciągu T-M moŜna wprowadzić w wyŜsze
wymiary, a takŜe tworzyć róŜne ciekawe wzory i grafiki [51] (rysunek
poniŜej).
Rys A.2 a) Sześcian T-M; b) „przeplatanka” T-M (na podstawie [48]).
56
DODATEK B
B.1. FRAKTALE
Twórca teorii fraktali Benoit Mandelbrot w swojej podstawowej ksiąŜce Fractal
Geometry of Nature [50] podaje wiele przykładów nieprzyjaznych reakcji wybitnych
matematyków, których draŜniły konstrukcje fraktalne. Matematycy znali wiele
konstrukcji trudnych do opisania, jednak prostych do wyobraŜenia i wytworzenia.
Tymczasem brakowało spójnej teorii opisującej wszystkie fraktale. B. Mandelbrot,
twierdził, Ŝe fraktalem jest wszystko, gdyŜ wszystko jest wystrzępione, fragmentami
do siebie podobne. Trudno jest określić fraktale stwierdzeniem: "fraktalem jest
wszystko". Jest ono zupełnie nieprecyzyjne. Mandelbrot w swej pracy Fractal
Geometry of Nature podaje trzy główne własności fraktali:
1. nie są określone wzorem matematycznym, tylko zaleŜnością rekurencyjną,
2. maja cechę samo podobieństwa,
3. są obiektami, których wymiar nie jest liczbą całkowitą.
Warto równieŜ przytoczyć definicję fraktala, zawartą w pracy prof. Kudrewicza
Fraktale i chaos [52]:
"Fraktalem na płaszczyźnie nazywamy
dowolny niepusty i zwarty podzbiór płaszczyzny X ".
Słowo fraktal pochodzi od łacińskiego fractus- 'złamany' i oznacza figurę
geometryczną o złoŜonej strukturze, nie będącą krzywą, powierzchnią, ani bryłą
w znaczeniu geometrii klasycznej, mającą wymiar ułamkowy. Przy opisywaniu
konstrukcji fraktali daje się zauwaŜyć, Ŝe są one takie same w kaŜdym swoim kawałku
i w kaŜdej skali. Tę cechę nazywa się często samopodobieństwem. B.Mandelbrot
do pełniejszego opisu teoretycznego fraktali musiał odpowiednio zmodyfikować
topologiczne pojęcie wymiaru, poniewaŜ klasyczne pojęcie wymiaru nie było zbyt
dokładne. Kilka lat po wydaniu ksiąŜki Mandelbrota powstała prosta i ciekawa teoria
fraktali stworzona głównie przez K.Falconera i M. Barnsleya [53,54]. Matematykom
nie wystarczyła znajomość prostych reguł tworzenia poszczególnych fraktali
i opisywanie ich za pomocą wymiarów, chcieli oni znać własności tych konstrukcji.
Bardzo szybko okazało się, Ŝe w sposób prosty i pełny moŜna matematycznie opisać
własności wszystkich znanych fraktali. Był to początek bardzo ciekawej teorii
geometrycznej. Najistotniejsze w tej teorii było spostrzeŜenie, Ŝe fraktale otrzymuje
się za pomocą wielokrotnego stosowania przekształceń afinicznych12 wyjściowego
12
Niech E1,E2 będą przestrzeniami afinicznymi oraz S(E1),S(E2) ich przestrzeniami stycznymi.
Odwzorowanie f: E1→ E2 nazywamy afinicznym, gdy istnieje taki punkt P0 naleŜący do E1,
Ŝe przekształcenie fˆ: S(E1)→ S(E2) określone wzorem
fˆ (P0X) = f(P0) f(X)jest
przekształceniem liniowym. Odzworowanie fˆ nazywamy częścią liniową odwzorowania
afinicznego f. Innymi słowy mówiąc: Przekształcenie afiniczne płaszczyzny lub przestrzeni
(pokrewieństwo, powinowactwo) to kaŜde róŜnowartościowe przekształcenie geometryczne,
które wszystkie proste zawarte w dziedzinie tego odwzorowania przekształca na proste.
Własności figur geometrycznych, które nie zmieniają się przy przekształceniach afinicznych
nazywa się niezmiennikami afinicznymi; przykładami niezmienników afinicznych mogą być
równoległość prostych i skośne połoŜenie prostych. Przekształcenie afiniczne płaszczyzny
zachowuje: stosunek długości odcinków równoległych, a przekształcenie afiniczne przestrzeni
57
obiektu. Przytoczymy tu pojęcie iteracji, które jest jednym z podstawowych w teorii
fraktali [55]; "Iteracja to ponowne, powtórne, kolejne zastosowanie przepisu
do poprzedniego wyniku, Iterowanie to ... powtarzanie, ponawianie."
Rys.B.1 Zbiór Mandelbrota (na podstawie [56])
Niezwykle trudno jest podsumować cały ogrom wiedzy dotyczącej FRAKTALI.
Bransley swoją metodą IFS (patrz dodatek B4) umoŜliwił przebadanie kaŜdego
skrawka fraktala. Zadziwiająca jest prostota wzoru i jego nieograniczone moŜliwości.
Mandelbrot jak sam twierdzi nie wynalazł nic nowego, a jedynie skojarzył wcześniej
odkryte prawa w jedną całość. Trudno odmówić sobie refleksji, Ŝe fraktale są piękne.
Niektórzy twierdzą, Ŝe wszystko jest fraktalem zaczynając od układu komórek
nerwowych, a kończąc na budowie wszechświata. Trudno zaprzeczyć tym
twierdzeniom podczas oglądania kolorowych fraktali na ekranie komputera (fraktalna
grafika komputerowa). Niesamowite jest wraŜenie, Ŝe gdzieś te kształty juŜ
widzieliśmy lub nie. MoŜe we śnie, moŜe na wycieczce w lesie, moŜe na dywanie
przywiezionym ze wschodnich krajów, moŜe ... .
Równie duŜe zasługi w rozwoju matematyki współczesnej jak ludzie wniosły
maszyny liczące. To komputery dały moŜliwość wykonania wielu tysięcy, milionów
iteracji w krótkim czasie i dały równieŜ nieznane dotąd matematykom moŜliwości
graficznego przedstawienia wyników. Z tego powodu teoria fraktali i bliska jej teoria
chaosu szybko rozwinęły się dzięki komputerom traktowanym jako narzędzie
do uprawiania matematyki. Wiele faktów odkrywa się stosując najpierw praktycznie
komputery, a potem poszukuje się dla nich teoretycznego uzasadnienia [58].
NaleŜy oczekiwać, Ŝe juŜ niedługo pojawią się kolejne nowe fascynujące
odkrycia w matematyce, a jak wiadomo matematyka nie Ŝyje tylko dla siebie [56].
- stosunek pól figur leŜących na płaszczyznach równoległych; równość wektorów, co pozwala
na uogólnienie powyŜszej definicji [57].
58
B.2. Wymiar fraktalny– co to właściwie jest?
Wymiar fraktalny (nazywany czasami wymiarem samopodobieństwa lub wymiarem
pudełkowym [47]) ma wiele definicji. KaŜda z nich opiera się jednak na własności
samopodobieństwa. Jest to coś w rodzaju klasycznego podobieństwa figur.
Aby zrozumieć pojęcie wymiaru fraktalnego rozpatrzmy w tym celu dwie figury
płaskie (osadzone w przestrzeni R2), podobne do siebie w skali k, o polach P1 i P2.
MoŜemy zapisać, Ŝe:
P1/P2 = k2
(B.21)
Uczyńmy to samo dla brył (osadzonych w przestrzeni R3), równieŜ podobnych w skali
k, o objętościach V1 i V2. Czyli
V1/V2 = k3
(B.22)
Określamy liczbę
d = log k (P1/P2) = log k k2 = 2
(B.23)
Liczbę d moŜemy wyznaczyć znając pola powierzchni figur podobnych. Nazwijmy ją
wymiarem podobieństwa dwóch figur płaskich, podobnych o polach powierzchni P1
i P2. Łatwo wykazać, Ŝe dla dowolnych takich figur, wymiar podobieństwa d będzie
zawsze równy dwa. NaleŜy zwrócić uwagę teraz na fakt, Ŝe figury te są osadzone
w przestrzeni 2D. Podobne czynności przeprowadźmy dla brył podobnych
(osadzonych w przestrzeni R3).
d = log k (V1/V2) = log k k3 = 3
(B.24)
Analogicznie liczbę d moŜemy wyznaczyć znając objętości brył podobnych.
Nazwijmy ją wymiarem podobieństwa dwóch brył podobnych o objętościach V1 i V2.
Łatwo wykazać, Ŝe dla dowolnych takich brył, wymiar podobieństwa d będzie równy
3. Znów naleŜy zwrócić uwagę na fakt, iŜ bryły te są osadzone w przestrzeni 3D.
Pojęcia zdefiniowane powyŜej moŜemy w prosty sposób rozszerzyć na przestrzeń n–
wymiarową. Daje nam to nowe, specyficzne określenie wymiaru, które jest zgodne
z intuicją...
Wymiar samopodobieństwa definiujemy jako logarytm przy podstawie równej skali
podobieństwa z liczby określającej "ile razy większa jest figura wyjściowa od figury
podobnej".
59
Dla przykładu podajmy zbiór Cantora.
Łatwo zauwaŜyć, Ŝe jest on podobny do swojej "połowy" w skali 3, ale długość tejŜe
"połówki" jest 2 razy mniejsza od wyjściowego zbioru (na zbiór C składają się dwie
takie części). Czyli
d = log 3 2 = 0,631....
(B.25)
będzie wymiarem fraktalnym zbioru Cantora.
Własności wymiaru samopodobieństwa dla fraktali obrazuje prosta zaleŜność. JeŜeli
w płaskiej figurze geometrycznej (np. kwadracie) dwukrotnie powiększymy boki − jej
powierzchnia wzrośnie czterokrotnie. Przeprowadzając takie operacje na fraktalu jego
powierzchnia zwiększy się mniej niŜ czterokrotnie. Wymiar fraktalny niesie w sobie
bardzo waŜną informację. Pokazuje w jakim stopniu fraktal wypełnia przestrzeń,
w której jest osadzony [57].
B.3. Systemy funkcji iterowanych ( IFS- iterated
function system)
Często w opisie fraktali pojawia się pojęcie systemów funkcji iterowanych (IFS–
iterated function system [47]). Co to takiego jest ? Warto w tym celu zapoznać się
z informacjami poniŜej.
Przekształcenie płaszczyzny F:R2 -->R2 nazywamy odwzorowaniem zwęŜającym jeśli
istnieje taka liczba c, Ŝe 0 < c < 1 oraz
||F(A) – F(B)|| < = c ||A – B||
(B.31)
dla dowolnych dwóch punktów A, B płaszczyzny R2. Przykładani takich przekształceń
są na przykład ściśnięcia płaszczyzny (jednokładności o współczynnikach mniejszych
od 1) złoŜone z dowolnymi obrotami i przesunięciami.
RozwaŜmy rodzinę F1, F2, ..., Fn takich odwzorowań i rozwaŜmy następujące
przekształcenie:
G(A) = F1(A) + F2(A) + ... + Fn(A)
(B.32)
60
określone dla ograniczonych i domkniętych podzbiorów płaszczyzny R2. Pokazać
moŜna, Ŝe istnieje dokładnie jeden z ograniczonych i domkniętych podzbiorów R2
taki, Ŝe F(A) = A. Nazywamy go obiektem fraktalnym generowanym przez rodzinę
funkcji {F1, F2, ..., Fn}.
Warto w tym miejscu wspomnieć, Ŝe istnienie i jednoznaczność takiego obiektu
wynika ze słynnego twierdzenia Banacha o punkcie stałym [46] (jednego
z największych matematyków polskich).
Obiekty takie jak np. paprotka Barnsleya powstaje z systemu czterech przekształceń
afinicznych płaszczyzny. Warto zwrócić uwagę na jedną ciekawą sprawę: otóŜ obiekt
o tak skomplikowanym kształcie jak - paprotka jest generowana przez układ zaledwie
czterech funkcji o bardzo prostych wzorach. Do zapisania tych funkcji wystarczą
zaledwie 24 liczby rzeczywiste. Obserwacja ta nasuwa pewien pomysł: fraktale mogą
słuŜyć do kompresji skomplikowanych obrazów. I rzeczywiście − pomysł ten jest
obecnie intensywnie badany [59]. Zostały juŜ opracowane skuteczne metody
kompresji obrazów oparte o techniki fraktalne. Wykorzystują one pewne twierdzenie
(tzw. twierdzenie o kolaŜu), które wykorzystuje się do przybliŜania dowolnego zbioru
za pomocą obiektu fraktalnego [60].
Na koniec jeszcze kilka przykładów występowania fraktali – czyli grafika fraktalna
w przyrodzie i wirtualnej rzeczywistości.
Rys. B.2 Fraktale w świecie rzeczywistym: a) chmura; b) obraz pochodzący
z teleskopu Hubble’a; c) dendryty manganowe na róŜance kalcytowej (występowanie:
Góra Rzepka, Chęciny, Góry Świętokrzyskie);d) piroluzyt w formie dendrytu (na
podstawie [57]).
a)
c)
b)
d)
61
Rys. B.3 Fraktale w świecie wirtualnym: a) fraktal w przestrzeni 3D; b) grafika
fraktalna; c) najbardziej znany obiekt fraktalny, otrzymany za pomocą systemów
funkcji iterowanych – paprotka Barnsleya. ( na podstawie [57]).
a)
b)
c)
62
DODATEK C
C.1.Wybrane wstępne wyniki obliczeń numerycznych
dla niebinarnych supersieci prawoskrętnych
Rys. C.1 Mapy transmisji T(λ, θ) dla niebinarnej ST-M(1, 1): a) trzy warstwy o
parametrach nA = 1,43, nB = 1,86, nC = 2,3, dA= dB = dC =300; b) cztery warstwy o
parametrach nA = 1,43, nB = 1,72, nC = 2,01, nD = 2,3, dA= dB = dC = dD =300; c) pięć
warstw o parametrach nA = 1,43, nB = 1,65, nC = 1,86, nD = 2,08, nE = 2,3, dA= dB = dC
= dD = dE =300; Parametr L = 4 oraz nin = nout = nA w kaŜdym przypadku.
polaryzacja s
polaryzacja p
a)
b)
c)
63
C.2.Wybrane wstępne wyniki obliczeń numerycznych
dla niebinarnych supersieci lewoskrętnych
Rys. C.2 Mapy transmisji T(λ, θ) dla niebinarnej ST-M(1, 1) dla trzech warstw o
parametrach: a) nA = 1,43, nB = -1,86, nC = –2,3; b) nA = 1,43, nB = 1,86, nC = –2,3;
Parametr L = 4, dA= dB = dC =300 oraz nin = nout = nA w kaŜdym przypadku.
polaryzacja s
polaryzacja p
a)
b)
64
Rys. C.3 Mapy transmisji T(λ, θ) dla niebinarnej ST-M(1, 1) z czterema warstwami o
parametrach: a) nA = 1,43, nB = –1,72, nC = –2,01, nD = –2,3; b) nA = 1,43, nB = 1,72,
nC = –2,01, nD = –2,3; c) nA = 1,43, nB = 1,72, nC = 2,01, nD = –2,3; Parametr L = 4,
dA= dB = dC =300 oraz nin = nout = nA w kaŜdym przypadku.
Polaryzacja s
polaryzacja p
a)
b)
c)
65
Rys. C.4 Mapy transmisji T(λ, θ) dla niebinarnej ST-M(1, 1) dla pięciu warstw o
parametrach a) nA = 1,43, nB = 1,65, nC = –1,86, nD = –2,08, nE = –2,3; b) nA = 1,43,
nB = 1,65, nC = 1,86, nD = –2,08, nE = –2,3; c) nA = 1,43, nB = –1,65, nC = –1,86,
nD = –2,08, nE = –2,3; Parametr L = 4, dA= dB = dC = dD = dE =300 oraz nin = nout = nA
w kaŜdym przypadku.
Polaryzacja s
polaryzacja p
a)
b)
c)
66
DODATEK D
Supersieci THUE-MORSE’A — ich niezwykłe odkryte
właściwości
Dodatek ten ma na celu zaakcentowanie dotychczasowych osiągnięć
w dziedzinie badań dotyczących optycznych supersieci aperiodycznych
skonstruowanych, według deterministycznej reguły podstawiania, w strukturę
odpowiadającą łańcuchowi Thue-Morse’a. JuŜ od przeszło dwudziestu lat bada się nie
tylko własności transmisyjne tego typu struktur, lecz takŜe wiele innych i nowych
właściwości.
W materiałach nieuporządkowanych fale świetlne doznają wielokrotnych
rozpraszeń i podlegają efektom interferencyjnym [61]. Wielokrotne rozpraszanie
światła w nieuporządkowanych ośrodkach dielektrycznych ma wiele podobieństw
do propagacji elektronów w półprzewodnikach [62].
Z drugiej strony periodyczne struktury dielektryczne
pod względem
właściwości propagowania się w nich fal elektromagnetycznych zachowują się jak
kryształy i wykazują zjawisko konstruktywnej interferencji w dobrze określonych
kierunkach rozchodzenia się. Jeśli w takich układach współczynnik załamania zmienia
się w przestrzeni i róŜnica (tzw. kontrast) jego wartości jest dostatecznie duŜy,
to wykazują one fotoniczną przerwę wzbronioną, czyli przedziały częstotliwości, przy
których światło nie moŜe propagować się.
Kwazikryształy to nieperiodyczne struktury generowane za pomocą prostych
deterministycznych reguł [63]. Wytworzone z materiałów dielektrycznych mają
interesujące właściwości optyczne. W szczególności matematyczne i fizyczne
właściwości jednowymiarowych stuktur tworzących samopodobną sekwencją,
generowane przez regułę podstawiania typu T-M ( A→AB, B→BA ) były ostatnio
rozpatrywane w literaturze [64]. Ciąg T-M jest kwazi–regularną strukturą posiadającą
własność Pisota [65].
Oznacza to, Ŝe największa wartość własna macierzy definiującej regułę
podstawiania jest rzeczywista, dodatnia i większa od jedności, co ma miejsce
wówczas, gdy inne wartości własne są mniejsze od jedności; dla ciąg T-M wartości
własne wynoszą λ1 = 2 i, λ2 = 0. Widmo Fouriera sekwencji T-M ma charakter czysto
osobliwego widma, co zostało nazwane jako kryterium Bombieriego–Taylora dla
struktury Pisot [66]. Dodajmy, za pracą [2], Ŝe widmo transformat Fouriera P(q) jest
sumą trzech składników, którymi są: 1) Składnik (część) czysto punktowa
odpowiadająca refleksom Bragga (złoŜona z δ pików Diraca); 2) Składnik (część)
ciągła widma, która jest funkcją róŜniczkowalną; 3) Składnik (część) osobliwa, która
ma charakter fraktala i nie jest ani zbiorem δ pików Diraca ani nie jest funkcją
róŜniczkowalną. Część osobliwa widma Fouriera charakteryzuje się szerokimi pikami
Bragga, które nie są izolowane i przy zwiększeniu rozdzielczości rozpadają się na
nowe piki, które przy następnym zwiększaniu rozdzielczości ponownie rozpadają się
na nowe piki itd. Tym samym osobliwe widmo Fouriera ma wewnętrzną bardzo
bogatą substrukturę, której szczegóły stają się widoczne przy zwiększaniu
rozdzielczości. Wykazują więc cechy samopodobieństwa, o których mówi B.
Mandelbrot definiując pojęcie fraktala. Z tego powodu jednowymiarowa sieć T-M
nie jest kwaziperiodyczną lecz aperiodyczną.
Z elektronicznego punktu widzenia bogactwo obserwowanych właściwości
dotyczących transmisji sygnałów elektrycznych w heterostrukturach T-M jest ściśle
związane z tym, Ŝe widmo energetyczne tych układów składa się z części ciągłej
i osobliwej. Pociąga to za sobą współistnienie elektronowych stanów
zdelokalizowanych (odpowiadających części ciągłej widma) i krytycznych
67
(związanych z osobliwym składnikiem widma). Jest to przyczyną szczególnego
charakteru
wyznaczanych
współczynnika
transmisji
elektronówj
w wielowarstwowych uładach typu T-M, gdzie obecne są dwa rodzaje przerw
energetycznych. Jedne odpowiadają tzw. normalnym, tj. Braggowskim typom przerw
występujących w strukturach periodycznych. Drugie z nich są skojarzone
z samopodobnymi charakterem
widma energetycznego, które przy wzroście
rozdzielczości w skali energii, rozpada się na węŜsze podpasma energetyczne, które
przy kolejnym zwiększeniu rozdzielczości energii rozpadaja się na jeszcze mniejsze
itd. [67]. W tym miejscu warto bliŜej i bardziej szczegółowo przedstawić opisane
wyŜej zjawisko pojawiania się coraz to większej liczby podpasm w miarę zwiększania
rozdzielczości w skali energetycznej. ZałóŜmy, Ŝe mamy przyrząd, za pomocą którego
moŜemy oddzielić od siebie poziomy elektronowe połoŜone nie bliŜej niŜ ∆1
(w przyjętych jednostkach energii). Dodajmy, Ŝe ∆1 jest miernikiem stopnia
rozdzielczości zastosowanego przyrządu. Pozwala to nam na przedziale energii <E1,
E2> znaleźć powiedzmy N1 podpasm energetycznych. ZauwaŜmy, Ŝe dwa poziomy
energetyczne zaliczamy do jednego i tego samego energii, o ile ich róŜnica energii jest
mniejsza od ∆1. ZałóŜmy teraz, Ŝe mamy do swojej dyspozycji przyrząd o większej
zdolności rozdzielczej ∆2 < ∆1 poziomów energetycznych. Zastosujmy ten przyrząd do
analizy jednego z N1 podpasm energetycznych naleŜących do <E1, E2>. Ze względu na
fraktalny (samopodobny) charakter widma energetycznego, przy dostatecznie małej
wartości ∆2 okaŜe się, Ŝe podpasmo to składa się N2 podpasm. ZałóŜmy, Ŝe mamy do
swojej dyspozycji przyrząd o jeszcze większej zdolności rozdzielczej ∆3 < ∆2
poziomów energetycznych. Zastosujmy ten przyrząd itd.
Optyczne właściwości 1D dielektrycznych struktur typu T-M były
rozpatrywane w wielu pracach [68]. Zbadano efekty związane z modulacją
współczynnika załamania oraz optycznej grubości warstw [68]. Teoria propagacji
światła w dielektrycznych supersieciach T-M była przedmiotem wielu prac [24,
69,70].
Efekty absorpcji światła w supersieciach aperiodycznych T-M wytworzonych
na bazie PbS/CdS zbadano w [71], gdzie zaobserwowano po raz pierwszy istnienie
samopodobnych elementów w widmie energetycznym takich układów. W pracy [72]
zmierzono rezonansową transmisję światła w sieci T-M zbudowanej na bazie
SiO2/TiO2.
Właściwości struktury pasmowej i wielokierunkowego odbicia (odbicia przy
dowolnym kącie padania)wielowarstwowych struktur T-M zbudowanych z warstw Si
oraz /SiO2, zbadano w publikacji [73].
Autorzy [74] wytworzyli silnie domieszkowane krzemem wielowarstwową
strukturę T-M złoŜoną z SiNx/SiO2 w celu zbadania zjawiska generowania i transmisji
światła.
W pracy [75], wyŜej wspomniane cechy dotyczące dwóch typów przerw
energetycznych zostały doświadczalnie potwierdzone. Autorzy [75] wyznaczyli
strukturę fotoniczną próbek T-M wytworzonych z Al0,6Ga0,4/As/GaAs i pokazali
istnienie dwóch przerw energetycznych: fraktalnych i tradycyjnych (typu Bragga).
W pracy [76] moŜna znaleźć dodatkowe informacje na temat właściwości
m.in. jednowymiarowych wielowarstwowych struktur dielektrycznych typu T-M.
68
D.1 Światło spolaryzowane w wielowarstwowych
ośrodkach dielektrycznych a technika dynamicznych
odwzorowań śladów i antyśladów macierzy przejścia
W tej pracy dyplomowej właściwości transmisji światła spolaryzowanego
w wielowarstwowych ośrodkach dielektrycznych były prowadzone przy uŜyciu
formalizmu macierzowego – dynamicznych odwzorowań śladów i antyśladów
macierzy przejścia [24].
To samo podejście zaproponowano w pracy [76], gdzie zbadano
właściwości elektronicznego widma energii trój-składnikowych uogólnionych
nieperiodycznych sieci T-M oraz Fibonacciego. Z badań tych wynika, iŜ widma
energii tego typu struktur (podobnie jak ich dwu- składnikowych odpowiedników),
mają charakter funkcji Cantora (rysunek D.1. poniŜej).
Rys. D.1 Struktura pasmowa trój- składnikowej sieci T-M dla róŜnych wartości I:
a) m = 2, n = p =1 ; b) m = p = 1, n = 2 ; c) m = n= 1, p = 2; gdzie m, n, p są
odpowiednio numerami pokolenia warstw A, B, C tworzących daną strukturę (na
podstawie [76]).
Brak translacyjnej niezmienniczości danych struktur uniemoŜliwia stosowanie do nich
twierdzenia Blocha. Z drugiej jednak strony struktury takie wykazują niemalŜe
perfekcyjne uporządkowanie (wynika to z zastosowanej przy ich tworzeniu zasady
konstrukcji oraz wykazywanego samopodobieństwa), co wiąŜe się z moŜliwością
wykorzystania metody macierzy przejścia, bazującej na samopodobieństwie sieci,
przez co pozwala nam na obliczenie ich fizycznych właściwości. Metoda ta stała się
jedną z waŜniejszych technik wykorzystywaną przez wielu autorów prac naukowych
[77].
69
Badaną w [76] trój-składnikową sieć T-M zbudowano z trzech typów atomów
A, B, C ułoŜonych w strukturę T-M według następującej reguły:
Al+1 = AlBl,
Bl+1 = BlCl, Cl+1 = ClAl
(D.1)
Analizę struktury pasmowej przeprowadzono w oparciu o jednowymiarowe
równanie Schrödingera:
ψn+1 + ψn-1 + Vn ψn = E ψn,
(D.2)
gdzie Vn oraz ψn oznaczają odpowiednio wartość energii i amplitudę
prawdopodobieństwa dla n-tego węzła. Ponadto Vn przybiera wartości VA, VB, VC
odpowiadające trzem składnikom nieperiodycznej sekwencji T-M.
W formie macierzowej powyŜsze równanie przybiera postać:
(D.3)
gdzie M(n) jest macierzą przejścia, a ψn są funkcjami falowymi
(D.4)
ponadto M(N) = M(N)M(N-1)…..M(1).
D.2 Ciąg THUE-MORSE’A ─ zastosowanie
matematyki w fizyce a moŜe coś więcej?
‘ Which nonperiodic sequences are more „disordered”?’– P. Tong
Temat ten nieco abstrahujący od zagadnienia ściśle związanego z transmisją
światła w sieciach aperiodycznych, przedstawia niezwykle ciekawą teorię odnośnie
stopnia uporządkowania struktur aperiodycznych. Czy odpowiedź na tak postawione
pytanie moŜe być zaskakująca?
Istnieją trzy moŜliwe sposoby odpowiedzi na powyŜsze pytanie. Pierwszy
opiera się głównie na odpowiednio zdefiniowanych miarach stopnia
nieuporządkowania lub uporządkowania takich układów. Drugi sposób to analiza
właściwości dyfrakcji promieniowania X (promieniowania rentgenowskiego) [78] na
tych strukturach, co zostało obszernie scharakteryzowano na wstępie Dodatku D za
pracą [79]. Trzeci to charakteryzacja za pomocą właściwości elektronicznych tej
struktury pasmowej i 1D modeli sieci nieperiodycznych [80].
70
Ze względu na to, iŜ powyŜsze podejścia skupiają uwagę na róŜnych
aspektach matematycznych i fizycznych układów wielowarstwowych, więc tym
samym dają inne odpowiedzi na postawione wyŜej pytanie. Z kolei moŜliwość
eksperymentalnego wytworzenia trójskładnikowej supersieci oraz badanie stopnia jej
nieuporządkowania, znacząco stymuluje zrozumienie powyŜszego zagadnienia.
W pracy [81] zaproponowano przeprowadzenie analizy stopnia
nieuporządkowania tego typu struktur za pomocą entropii Shannona [80] Tego typu
badania przeprowadzono w [82] dla trójskładnikowych łańcuchów Fibonacciego oraz
Thue-Morse’a i zastosowano entropie k–tego rzędu zdefiniowane następująco:
Hk = ∑ P(x1, …. xk) H(x| x1, …, xk),
(D.5)
gdzie H(x| x1, …, xk) oznacza entropię warunkową zdefiniowaną wzorem:
H(x| x1, …, xk) = − P(A| x1, …, xk) log3 P(A| x1, …, xk)
– P(B| x1, …, xk) log3 P(B| x1, …, xk)
– P(C| x1, …, xk) log3 P(C| x1, …, xk)
(D.6)
Szczegółowe wyniki obliczeń zawiera poniŜsza tabela.
Tabela D.1 Entropia pierwszego i drugiego rzędu dla róŜnych, trójskładnikowych 1D
sekwencji (na podstawie [82]).
Wyniki zamieszczone w tabeli D.1 pozwalają sformułować następujące
wnioski jakościowe:
• Trójskładnikowa sekwencja Fibonacciego (z m = n = 1)
charakteryzuje się większym stopniem uporządkowania niŜ jej
uogólniony trójskładnikowy odpowiednik oraz trójskładnikowa
sekwencja Thue-Morse’a. Takie same wyniki uzyskuje się dla
dwuskładnikowych ciągów [81]. Sekwencja T-M wykazuje strukturę
bardziej losową (mniej uporządkowaną) niŜ sekwencje Fibonacciego.
Dzieje się tak ze względu na występowanie niezerowych
prawdopodobieństw w wyraŜeniach dla entropii pierwszego
71
i drugiego rzędu. Prowadzi to do większego nieuporządkowania
w porównaniu z pozostałymi. Jest to niewątpliwie zasadnicza róŜnica
w stosunku do dwuskładnikowych struktur T-M, które wykazują
większy stopień nieuporządkowania, gdy n > 1 (nazywa się je
wówczas niekwaziperiodycznymi), a mniejszy, gdy n = 1
(nazywanych kwaziperiodycznymi).
•
Podobnie w przypadku nieperiodycznych dwuskładnikowych
sekwencji o parametrach m = 1, n = 2, wykazujących większe
nieuporządkowanie niŜ inne struktury Fibonacciego (po porównaniu
wartości entropii pierwszego rządu H1, gdzie sekwencje o n = 1
są bardziej uporządkowane niŜ dla n > 1). Sekwencje o parametrze
n = 2 posiadają wysokie wartości H1 , ale niskie H2, co prowadzi
do spostrzeŜenia, iŜ entropia pierwszego rzędu wskazuje dokładnie
na rodzaj uporządkowania w rozpatrywanej sekwencji.
D.3 O wymiarze fraktalnym
multifraktalnej słów kilka
oraz
analizie
Kiedy w początku lat 80-tych XX wieku wprowadzono pojęcie fraktala (patrz
dodatek B1), struktury te zaczęto charakteryzować często przy uŜyciu róŜnych
wielkość, nazywając je wymiarami fraktalnym [83]. Zastosowanie analizy mono- lub
mulifraktalnej okazało się być waŜnym narzędziem badań (w wielu przypadkach
imponująco zgodnym z danymi eksperymentalnymi) rzeczywistych układów [84].
Prace teoretyczne temu poświęcone wprowadziły do fizyki fazy skondensowanej
takie nowe pojęcia fizyczne jak stany krytyczne, energetyczne widma Cantora,
widma osobliwe, prawa skalowania, wymiary fraktalne, widma multifraktalne [34,77,
85].
Wspólną cechą układów tego typu jest fraktalność lub multifraktalność ich
widm energii (dotyczy to struktury pasmowej [86], widma drgań atomów [85],
spektrum wzbudzeń spinowych [86], fotonicznej struktury pasmowej [24,85], które
mają charakter funkcji Cantora.
Obiekty fraktalne lub multifraktalne charakteryzuje się uŜywając
uogólnionych wymiarów Dq oraz widm multifraktalnych. Formalizm ten jest
szczegółowo przedstawiony w [85].
W pracy [87] za pomocą algorytmu zaproponowanego w [88] zbadano
fraktalne i multifraktalne właściwości widma transmisyjnych kilku rodzajów
aperiodycznych struktur wielowarstwowych, w tym takŜe układów T-M.
Obiekty fraktalne lub multifraktalne moŜna zidentyfikować w wielu
przypadkach fizycznych obejmującym zarówno problemy „aggregation”
jak i zachowania dynamicznego systemu chaosu [89]. Zbiory multifraktalne
charakteryzuje się poprzez wprowadzenie uogólnionego wymiaru Dq i połączeniu
go z pojedynczym widmem f(α). W pełni opisane są albo za pomocą nieskończonej
liczby uogólnionych wymiarów Gq, albo pojedynczych widm f(α) [90]. Krzywą Dq
versus q definiuje wyraŜenie:
(D.7)
72
gdzie dla Dq=1 = D1 dane wyraŜenie przybiera postać:
(D.8)
z pi = ∫box dµ, µ – zachodzące prawdopodobieństwo pomiaru zbioru multifraktalnego,
z kolei i i = 1, 2, …, N’ ( N’ oznacza numer „pudełka”). Tak więc i jest indeksem
„pudełka” pokrywającym zbiór, o liniowym rozmiarze ε = 1/N’.
Wykładnik eksponenty α definiuje formuła
(D.9)
gdzie p(x) jest całkowitą miarą „pudełka” dµ ze środkiem w punkcie x. W takim
przypadku funkcję f(α) definiuje wzór:
(D.10)
dla ε→ 0. W równaniu tym N’ (α, ε) określa numer „pudełka” ε ze współczynnikiem
α zawartym w przedziale [α, α + ∆α].
Istnieje wiele numerycznych procedur umoŜliwiających obliczenie funkcji
f(α). Jeden z najefektywniejszych algorytmów wprowadzili Chabra i Jensen [88].
UmoŜliwia on wyznaczenie funkcji f(α) z poprawną numerycznie precyzją.
D.3.1 Analiza multifraktalna a widma transmisyjne
układów wielowarstwowych
M.S. Vasconcelos, E.L. Albuquerque oraz E. Nogueira Jr. [87] za pomoca
algorytmu Chabra i Jensena zbadali widma transmisyjne kilku rodzai
kwaziperiodycznych sekwencji, w tym takŜe sekwencji T-M, w bezpośredni sposób
powiązanej z tematem poniŜszej pracy. PoniŜej przytaczamy fragment streszczenia
pracy [87] dotyczący tego zagadnienia.
Rozpatrzmy wielowarstwową strukturę dielektryczna i umieśćmy
ją w układzie współrzędnych w ten sposób, aby oś Z była równoległa do kierunku
normalnego płaszczyzn warstw. System wielowarstwowy zawarty jest zatem
w obszarze 0 <z <L ( L to rozmiar struktury). Obszary z <0 oraz z >L rozpatruje się
jako wypełnione przezroczysta warstwą V (w szczególności próŜnią). W taki oto
sposób struktura multiwarstwowa tworzy kwaziperiodyczną matrycę Thue-Morse’a
lub inna podobną do niej sekwencję. KaŜdą warstwę dielektryczna charakteryzuje
współczynnik załamania nJ oraz grubość dJ ( J oznacza jedną z warstw typu A lub B).
73
Przezroczysta warstwa V, która otacza wielowarstwową strukturę, posiada indeks
załamania równy nV.
Aby wyznaczyć współczynnik transmisji światła (lub inaczej mówiąc
transmitancji), propagującego się przez wytworzony system multiwarstwowy, uŜywa
się macierzy przejścia. PowyŜszy przypadek rozpatrywano dla polaryzacji typu „s”
oraz częstości światła ω. Współczynniki transmitancji oraz reflektancji dane są przez
zaleŜności:
oraz
(D.11).
gdzie Mij ( i, j = 1, 2) oznaczają elementy macierzy przejścia M , która zespala
amplitudy fal zarówno w obszarze z < 0 jak i z > L. Szczegóły dotyczące elementów
występujących w macierzy przejścia M moŜna odnaleźć w wielu pozycjach
naukowych [88].
Wyniki jakie uzyskano przedstawiają wykresy poniŜej:
D.1 Wykres prezentujący: a) zaleŜność transmitancji T od częstości ω/ω0
kwaziperiodycznej struktury Thue-Morse’a; b) funkcję f(α) widma transmisji dla
trzech typów kwaziperiodycznych sekwencji: Thue-Morse’a, Fibonaccie’ego oraz z
podwójnym okresem (na podstawie [87]).
a)
b)
74
DODATEK E
Metamateriały,
otrzymywania
wybrane
zastosowania
i
metody
współpracy
łpracy
Tym co czyni je tak uŜytecznymi, jest moŜliwość wspó
z szerokim spektrum długości fali optycznej
przy minimalnej stracie energii –
prof. Xiang Zhang, Uniwersytet Kalifornijski w Berkeley
Dodatek ten ma na celu przedstawić podstawowe informacje odnoszące się do
terminów: materiał lewoskrętny, metamateriał. Pojęć tych jako pierwszy uŜył Victor
Veselago w 1967 r. i miał on odnosić się do materiały charakteryzujących się
ujemnym współczynnikiem załamania światła. Ciągły wzrost liczby publikacji
(głównie autorstwa Johna Pendry’ego), dotyczących tego tematu, spowodował nawet
wprowadzenie w kwietniu 2003 roku specjalnego wydania ‘Optical
Optical Express’.
Express
PodwyŜszone zainteresowanie tym problemem pod koniec lat 90-tych XX
w. zainicjowało otrzymanie za pomocą zaawansowanych technologii kompozytowej
warstwy wykazującej ujemny współczynnik załamania oraz przeprowadzeniem na niej
pierwszych eksperymentalnych badań. W dodatku tym postaramy się, streszczając
kilka wybranych prac naukowych, odpowiedzieć na pytanie czym są metamateriały
i dlaczego zagadnienia dotyczące metamateriałów i ujemnego załamania rodzą szereg
zaciętych sporów i dyskusji. Przedstawione zostaną takŜe najnowsze odkrycia z tej
dziedziny fizyki, w tym między innymi konstrukcja 2D i 3D materiałów
lewoskrętnych oraz ‘peleryny
peleryny niewidki’.
E.1 Ujemny współczynnik załamania warstw (za pracą [93])
Znak współczynnika załamania warstwy zaleŜy od fazy i prędkości grupowej
fali, które są równoległe lub antyrównoległe względem siebie w danej warstwie.
W pierwszym przypadku prędkość grupową jest traktowana jako dodatnia (zwroty
prędkości grupowej i fazowej są zgodne), w drugim natomiast jako ujemna (zwroty
prędkości grupowej i fazowej są przeciwne). W 1945 roku L. I. Mandel’shtam
zaznaczył, Ŝe warstwy przestrzennie periodyczne (np. sieci krystaliczne) stanowią
przykład warstwy, w której współczynnik załamania moŜe być ujemny wewnątrz
pewnego obszaru częstotliwości. Kompozytowe, przestrzennie periodyczne warstwy
lewoskrętne, które wytworzono pod koniec lat 90-tych [91,92], spowodowały nagły
wzrost zainteresowania danym problemem. Odznaczają się one ujemnym
współczynnikiem załamania dla zakresu mikrofalowego (częstotliwości rzędu 10
GHz).
Periodyczne układy falowodowe były dobrze znane w elektronice juŜ od
dłuŜszego czasu. Fale z ujemnym współczynnikiem załamania są więc dobrze znane
jako „fale wsteczne” lub teŜ jako „fale o ujemnej dyspersji”. Istnieje zatem zasadnicza
róŜnica między ‘starymi’ falowodowymi układami, a nowymi, nazywanymi
materiałami lewoskrętnymi. Podstawowa róŜnica polega na tym, Ŝe falowody są
układami jednowymiarowymi, a materiały lewoskrętne stanowią struktury
wielowymiarowe (dwu– lub trójwymiarowe). Odbicie fali w obszarze dwóch warstw
jest efektem wielowymiarowym i jest nieobecne w strukturach falowodowych.
75
Badanie wymiarowości struktur periodycznych rozpoczęło się juŜ dawno temu
[92], ale ich autorzy [91, 92, 93] nie cytują Ŝadnych wcześniejszych prac o tej
tematyce. Jest to moŜliwe, gdyŜ byli oni nieświadomi wielu artykułów wydawanych
w Związku Radzieckim oraz nie wiedzieli w jaki sposób podejść do całkiem nowego
problemu.
E.2 Propagacja fali i jej załamanie w metamateriałach
Rozpatrzmy płaską falę elektromagnetyczną (FEM) propagującą się
w warstwie ze skalarną przenikalnością magnetyczną µ oraz elektryczną ε. Jeśli ε>0,
µ>0, to wtedy pole elektryczne E, magnetyczne H oraz wektor falowy k tworzą
prawoskrętną formę tripletu wektorowego, jeśli natomiast ε<0, µ<0, to wówczas
mamy do czynienia z lewoskrętną formą tripletu wektorowego. Stanowi to główny
powód klasyfikacji materiałów na lewo- i prawoskrętne [40–45]. Intensywność energii
fali dana jest wektorem Poynting’a wzorem
(E.21)
który zawsze charakteryzuje formę prawoskrętnego tripletu wektorów E oraz
H. Teoretycznie, prędkości grupowe i fazowe są równoległe w materiałach
prawoskrętnych (z dodatnią częstością grupową) i antyrównoległe w materiałach
lewoskrętnych ( z ujemną częstością grupową).
Załamanie fali padającej na powierzchnię warstw materiałów prawoi lewoskrętnych przebiega w dość niezwykły sposób. W celu zdefiniowania tego
zjawiska rozpatrzymy propagację fali rozchodzącej się w ośrodku prawoskrętnym
(w próŜni) i padającej na graniczną płaszczyznę ośrodka lewoskrętnego. Prędkość
fazowa fali załamanej jest skierowana w kierunku granicy rozdzielającej dwa ośrodki,
natomiast prędkość grupowa ma wektor skierowany przeciwnie, tj. od granicy (patrz
rys. E.21). Oznacza to, Ŝe prędkości fazowe obu fal wzrastają przy granicy. Zjawisko
takie jest moŜliwe tylko wtedy, gdy kierunki propagacji obu fal (prędkości grupowe)
znajdują się po tej samej stronie normalnej do powierzchni (rysunek poniŜej). Innymi
słowy, współczynnik załamania n wynikający z prawa Snell’a
dla warstw
lewoskrętnych jest ujemny n= − (εµ)1/2.
Rys. E.21 Załamanie fali na granicy prawo- i lewoskrętnych (rysunek zaczerpnięty
z [93]).
76
Fakt występowania i załamania fal po tej samej stronie normalnej do powierzchni
umoŜliwia wytworzenie z materiałów lewoskrętnych dość niezwykłych elementów
optycznych. Przykładowo płytki płaskorównoległe, wytworzone z materiałów
lewoskrętnych, zachowują się tak jak soczewki skupiające (rysunek E.22).
Rys. E.22 Płytka płaskorównoległa wytworzona z materiału lewoskrętnego,
zachowuje się jak soczewka skupiająca (na podstawie [93]).
Soczewki takie mają niezwykłą cechę, a mianowicie stanowią bezogniskowe
płaszczyzny. Teoretycznie tworzą trójwymiarowy obraz obiektu, analogicznie
jak ma to miejsce w przypadku luster. JednakŜe w porównaniu z lustrami, pozwalają
na wytworzenie rzeczywistego obrazu obiektu, i ta właściwości otwiera nowe
moŜliwości trójwymiarowej fotografii. Oczywiście, takie płaskie soczewki mają jedną
główna wadę: tworzą obrazy obiektów, które muszą być umiejscowione dostatecznie
blisko powierzchni soczewki. Przykładowo dla obiektów umieszczonych blisko
soczewki wykonanej z idealnego materiału lewoskrętnego (ε = µ = −1), tylko
te punkty, których odległość od powierzchni soczewki nie przekroczy grubości całej
soczewki, posiadają rzeczywiste obrazy (rysunek poniŜej).
Rys.E.23 Trójwymiarowy obraz jaki wytwarza płytka płaskorównoległa zbudowana
z materiału lewoskrętnego (na podstawie [93]).
Nie jest tym samym przypadkowa moŜliwość uŜycia terminu „idealna warstwa
lewoskrętna” dla materiałów o ε = µ = − 1. W istocie takie warstwy mają pewne
dodatkowe, interesujące własności. Po pierwsze idealny materiał lewoskrętny posiada
zerowy współczynnik odbicia: czyli całkowita energia fali rozchodzącej się w takim
ośrodku jest przejmowana przez energię fali załamanej. Po drugie równoległe
płaszczyzny płyt idealnego materiału lewoskrętnego tworzą idealne obrazy, gdyŜ
pojawiająca się między obiektem a obrazem róznica faz wynosi zero. Fakt ten staje się
bardziej zrozumiały zwaŜywszy na to, iŜ dla propagującej się w takiej warstwie wiązki
światła z obiektu do obrazu, część drogi pokonywana jest w warstwie głównej,
natomiast pozostała część w idealnej warstwie lewoskrętnej. PoniewaŜ prędkości
fazowe w obu warstwach mają te same wartości, lecz są przeciwne skierowane,
opóźnienie fazy wzdłuŜ dwóch trajektorii ‘dokładnie’ kompensują się.
77
Na tym nie koniec wszystkich, intrygujących własności idealnych materiałów
lewoskrętnych. W 2000 roku Pendry opublikował pracę pt. „ Negative refraction makes
a perfect
perfect lens”
lens [94]. Słowo ‘idealna soczewka’ oznacza tutaj soczewkę, która
przekracza dyfrakcyjną zdolność rozdzielczą wynikającą z falowej natury światła.
E.3 Optyczna niewidzialność – czy to jest moŜliwe?
Najnowsze osiągnięcia w tej dziedzinie przedstawiła niedawno grupa
naukowa z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Berkeley. Stworzyli oni trójwymiarowe
materiały, które mają ujemny współczynnik załamania dla światła widzialnego
i bliskiej podczerwieni. Oznacza to, Ŝe materiał ugina światło w odwrotnym
do naturalnego kierunku13.
JuŜ wcześniej inne zespoły badawcze stworzyły metamateriały zapewniające
niewidzialność, jednak dopiero odkrycie z Berkeley pozwala na zastosowanie jej
w praktyce. Dotychczas bowiem metamateriały albo były dwuwymiarowymi
warstwami atomów, których właściwościami nie mogliśmy manipulować, albo teŜ,
w przypadku materiałów 3D, wykazywały one ujemny współczynnik odbicia tylko
w przypadku niewidzialnego dla oka promieniowania mikrofalowego.
Ludzkie oko widzi światło o długości fali od 400 do 700 nanometrów.
Tymczasem struktura metamateriału, by nadać mu ujemny współczynnik załamania,
musi być mniejsza niŜ długość fali. Nic więc dziwnego, Ŝe łatwiej było uzyskać
metamateriały uginające fale o długości od 1 milimetra do 30 centymetrów.
Grupa badawcza prof. Xiang Zhanga z Uniwersytetu Kalifornijskiego w
Berkeley stworzyła nowy metamateriał łącząc srebro z fluorkiem magnezu14.
Następnie ponacinali go tak, aby powstała matryca składająca się z miniaturowych
igiełek. ZauwaŜono zjawisko ujemnej refrakcji przy falach o długości 1500 nm (bliska
podczerwień).
Warstwy przewodzącego srebra i nieprzewodzącego fluorku magnezu działają
jak obwód. Naprzemienne ułoŜenie obok siebie takich obwodów powoduje,
Ŝe odpowiadają one na docierające do nich światło w kierunku przeciwnym do jego
pola magnetycznego. Ponadto metamateriał absorbuje minimalna ilość światła. Innymi
13
Odkrycie pozwoli na stworzenie lepszych technologii optycznych, układów scalonych dla wysoko
wydajnych komputerów oraz na uczynienie przedmiotów niewidzialnymi dla ludzkiego oka. Jako
potencjalne zastosowania wymienia się m.in.: wysokiej rozdzielczości mikroskopię optyczną, moŜliwość
budowy wydajnych, oszczędnych, mniejszych anten i innych urządzeń telekomunikacyjnych, litografię
bardzo wysokiej rozdzielczości, która moŜe przynieść dalszy rozwój elektroniki (jeszcze mniejsze układy
scalone), moŜliwość integracji układów elektronicznych z optycznymi, co zwiększy szybkość
przetwarzania danych w komputerach, moŜliwość zwiększenia gęstości upakowania danych na nośnikach
optycznych, budowę sensorów nowej generacji, konstrukcję optycznych manipulatorów nanocząstek.
Niedługo juŜ w urządzeniach codziennego uŜytku: telefonach komórkowych, komputerach,
samochodach, odtwarzaczach multimedialnych będzie moŜna znaleźć podzespoły wykonane z uŜyciem
tej technologii. Najnowsze pomysły to przezroczyste metale oraz ukrywanie przedmiotów przed
wzrokiem ludzkim [5].
14
W laboratorium prof. Xiang Zhanga z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Berkeley powstały materiały,
które mają ujemny współczynnik załamania. Okazuje się, Ŝe moŜna z nich utkać pelerynę niewidkę, która
będzie tak załamywała światło, Ŝe promienie nie wnikną do jej wnętrza, lecz opłyną ją gładko, jak woda
kamień w potoku. Ukryty pod peleryną obiekt nie odbije światła ani nie zostawi za sobą cienia - stanie się
więc niewidoczny dla wzroku. Sekret tkwi w strukturze materiałów "uszytych" w Kalifornii.
Przypominają one mikroskopowe Ŝaluzje, są złoŜone z periodycznej sieci jednakowych elementów −
drucików i rezonatorów, które są tysiąc razy cieńsze niŜ ludzki włos. W pracy [95a] opisano jeden z nich
− sieć o oczkach rozmiaru 860 nanometrów (tj. miliardowych części metra) zbudowaną z wielu cienkich
warstw srebra przetykanych warstwami fluorku magnezu. Inny z „cudownych” materiałów, opisuje ten
sam kalifornijski zespół w [95], zbudowany ze srebrnych drucików o średnicy 60 nm i w odstępach 110
nm, zatopionych w aluminium.
78
słowy, materiał składa się z silnie reagujących na światło nanoobwodów, które
jednocześnie nieomalŜe go nie pochłaniają [95, 95a].
Inny z metamateriałów został stworzony ze srebrnych nanowłókien, które
wzrastały na porowatym podłoŜu z tlenku glinu. Na nim zaobserwowano odwrotne
odbicie dla fali długości około 660 nm. Po raz pierwszy zauwaŜono go dla światła
widzialnego. Najwięcej korzyści dają metamateriały z ujemnym współczynnikiem
refrakcji (jak wspomniane na wstępie połączenie srebra z fluorkiem magnezu).To
mogą znaleźć zastosowanie w konstrukcji anten, czujników optycznych i peleryn
niewidek. Na zdjęciu poniŜej przedstawiono sieć o oczkach rozmiaru 860 nanometrów
zbudowaną z wielu warstw srebra przetykanych warstwami fluorku magnezu. Okryte
nią pojazdy byłyby niewidoczne dla promieniowania podczerwonego (na podstawie
[95]).
NaleŜy jednak stwierdzić, Ŝe potrzeba wieloletnich badań zanim powstaną
rzeczywiste „płaszcze–niewidki” (oba bowiem wyŜej krótko opisane metamateriały są
bardzo kruchymi metalami). PowaŜnym wyzwaniem będzie równieŜ opracowanie
metod masowej produkcji takich materiałów [95].
A jednak moŜliwe:
moŜliwe: konstrukcja ‘peleryny niewidki’
Jesteśmy bliŜej niewidzialności
Jak podaje agencja Associated Press (11.08.08), grupie naukowej z University of
California kierowanej przez profesora Xiang Zhang, udało się opracować materiały
mogące tak odbijać światło, Ŝe obiekt staje się niewidoczny.
Do tej pory moŜliwe było ukrywanie jedynie niewielkich, cienkich
przedmiotów. Dzięki wykorzystaniu odpowiednio spreparowanych metamateriałów
moŜliwym staje się załamanie światła wokół dowolnego obiektu np. człowieka. Jak
wynika z relacji dziennikarzy AP, cień równieŜ staje się niewidoczny. PoniewaŜ
odkrycie jest w części sponsorowane przez U.S. Army Research Office naleŜy spodziewać
się, Ŝe wynalazek w pierwszej kolejności trafi do amerykańskiej armii [95].
Naukowcy ze School of Electrical and Computer Engineering and Birck
Nanotechnology Center (Purdue University, West Lafayette, Indiana, USA)
przedstawili projekt [96] niemagnetycznej peleryny działającej dla częstotliwości
optycznych.
79
E.331 Optyczna peleryna wykonana z meta materiału
Sztucznie wytwarzane metamateriały z wewnętrzna strukturą (materiały
kompozytowe) umoŜliwiają spektakularne sposoby sterowanie FEM, i co za tym idzie
wytwarzanie urządzeń o nowych właściwościach funkcjonalnych, takich jak ‘peleryna
niewidka’. W pracach [96] zaproponowano niemagnetyczną konstrukcje peleryny
działającej efektywnie w obszarze widma widzialnego FEM.
PoniŜej przdstawiamy streszczenie pracy [97] gdzie zastosowano transformację
współrzędnych w niemagnetycznej pelerynie optycznej o cylindrycznym kształcie,
podobną do tej przedstawionej w [96], gdzie cylindryczny obszar r<b, został
przetransformowany w obszar koncentrycznej cylindrycznej powłoki a<r<b ( rys.
E.31).
Rys.E.31 Transformacja współrzędnych i budowa niemagnetycznej peleryny
optycznej. Graficzna ilustracja przekształcenia, które cylindryczny obszar r < b,
transformuje w koncentryczny cylindryczny zewnętrzny rdzeń a < r < b. Układ jest
jednorodny w kierunku osi OZ; r1 i r2 oznaczają zewnętrzny i wewnętrzny promień
cylindrycznej peleryny (na podstawie [97]).
Zaproponowana transformacja, w przedstawionym projekcie rdzenia peleryny [97],
wymaga uŜycia następujących wartości przenikalności dielektrycznych:
(E.31)
gdzie ε – oznacza przenikalność elektryczną, µ – przenikalność magnetyczną,
a wskaźniki r, θ, z to składowe: radialna, azymutalna oraz z–towa. W przypadku
polaryzacji TE (polaryzacja pola elektrycznego wzdłuŜ osi OZ), parametry µθ, µz, µr
w powyŜszym równaniu wchodzą do równań Maxwella. Własności dyspersji, a takŜe
trajektoria fali w rdzeniu peleryny pozostają niezmiennicze, a zakres wartości εiµz oraz
µiεz jest stały (wskaźnik i reprezentuje albo r, albo θ). Analogiczny cel osiągnięto
stosując róŜne rozmiary rozszczepionych rezonatorów kołowych (SSR-ów), które
wnoszą poŜądany gradient przenikalności w kierunku radialnym, na co wskazują
ostatnie eksperymenty dla zakresu mikrofalowego [96]. PrzybliŜenia tego rodzaju nie
moŜna zastosować w pelerynie optycznej. Ma to swoje uzasadnienie występowaniem
ograniczeń co do skali rozmiaru SSR-ów jak i ich zachowaniem na magnetyczną
odpowiedź w zakresie optycznym. Zastąpienie SSR-ów innymi magnetycznymi
strukturami takimi jak pary nanorurek czy nanopasków jest szalenie ambitnym
wyzwaniem, poniewaŜ magnetyzm oparty na rezonansie plazmowym takich struktur
wiąŜe się z wysoką stratą współczynnika przenikalności, co jest czynnikiem
szkodliwym, uniemoŜliwiającym działanie urządzeń typu peleryna niewidka.
80
W przeciwieństwie do opisanego powyŜej [96] projektu peleryny
dla zakresu mikrofalowego z polaryzacją TE, autorzy [97] rozpatrują polaryzację typu
TM – pole magnetyczne spolaryzowane wzdłuŜ osi OZ. W tym przypadku tylko µz,
εr, εθ muszą spełniać warunki równania (E.31), a relacje dyspersyjne wewnątrz
peleryny pozostają bez zmian dotąd, dopóki iloczyny µzεr oraz µzεθ maja wartości
określone równaniem (E.31). Warto odnotować, Ŝe w przypadku polaryzacji TM
istotna jest wyłącznie jedna współrzędna µ, co pozwala usunąć potrzebę rozwaŜania
optycznego magnetyzmu. W równaniu (E.31) po wymnoŜeniu εr, εθ przez µz,
wyznacza się następujące, zredukowane parametry peleryny:
(E.32)
W porównaniu do peleryny o idealnych własnościach przedstawionych
równaniem (E.31), redukcja parametrów w równaniu (E.32) zapewnia taką samą
drogę fali. Natomiast niekorzystnym efektem towarzyszącym tej redukcji jest
występowanie niezerowego odbicia. Ma to głównie związek z impedancją, jaką
wykazuje zewnętrzna powierzchnia peleryny. Optymalne parametry z równania (E.31)
prowadzą do wartości idealnie dopasowanej impedancji Z = (µz/ εθ )1/2 = 1 dla r = b.
Natomiast zredukowany zbiór tych parametrów z równania (E.32) prowadzi
do wartości impedancji na zewnętrznej granicy Z = 1 – Rab, gdzie Rab= a/b oznacza
stosunek promienia zewnętrznego do wewnętrznego struktury peleryny. Dlatego moc
fali odbitej dany wartościami parametrów zredukowanych moŜna oszacować jako
|(1− Z)/(1 + Z)|2 = [ Rab/(2 – Rab)]2 .
( E.33)
Niemagnetyczna natura układu opisana równaniem (E.32) eliminuje
najambitniejszą część projektu. Przenikalność azymutalna jest stała, o wartości
większej od 1, co jest osiągalne w konwencjonalnych dielektrykach. Kluczem dla
implementacji okazała się konstrukcja cylindrycznego szkieletu o przenikalności
radialnej εr, róŜnej od zera we wnętrzu peleryny (r = a) i sięgającej 1 na jej
zewnętrznej powierzchni (r = b). Wymaganą wartość εr zrealizowano posługując się
metalowymi drucikami, o rozmiarach w kierunku radialnym mniejszych od długości
fali, osadzając je w materiale dielektrycznym (patrz rysunek poniŜej).
Oznaczmy przez α wartość ilorazu długości drucików do ich promienia.
Przestrzenne rozmieszczenie drutów nie moŜe wykazywać periodyczności, ale moŜe
być losowe. Elektromagnetyczną odpowiedź takich drutów moŜna opisać stosując
współczynnik ekranowania κ, reprezentujący zasięg oddziaływań między polem a
drutem. Efektywna przenikalność εeff kompozytowego materiału zawierającego:
metalowe cząstki o przenikalności εm, współczynniku wypełnienia f i współczynniku
ekranowania κ, wraz ze składnikiem dielektrycznym o przenikalności εd
i współczynniku wypełnienia f – 1, jest dana wzorem zaczerpniętym z teorii ośrodków
efektywnych [97]
εeff = 1/2к { ε +(ε + 4κεmεd)1/2}
(E.34)
gdzie
ε = [(κ + 1)f – 1]εm + [κ –(κ + 1)f]εd .
(E.34a)
81
Rys. E.32. Wycinek cylindrycznej peleryny. Druciki ułoŜone prostopadle w stosunku
do zewnętrznej i wewnętrznej powierzchni peleryny. Przestrzenne rozmieszczenie
drutów nie moŜe wykazywać periodyczności, moŜe natomiast być losowe.
W przypadku dłuŜszej peleryny druciki wystarczy połamać na mniejsze paski,
o długościach w kierunku radialnym duŜo mniejszych od długość fali (na podstawie
[97]).
DuŜą zaletą wykorzystania metalowych drutów w konstrukcji kompozytowej
peleryny jest zachowywanie się przenikalności radialnej εr (zdefiniowaną równaniem
(E.33)), która przyjmuje dodatnie wartości, mniejszej od jedności, o nieznacznej
wartości części urojonej. Dla struktury z rysunku E.32 współczynnik wypełnienia
(występujący we wzorze (E.33)) dla wyznaczania wartości εr, jest dany wzorem
f(r) = fa * (a/r), gdzie fa oznacza współczynnik wypełnienia metalu wewnętrznej
powierzchni peleryny. Przenikalność azymutalna εθ wnętrza peleryny jest w gruncie
rzeczy taka sama jak dielektryka, poniewaŜ odpowiedź drucików na przyłoŜone
‘kątowe’ pole elektryczne Eθ, skierowane w kierunku normalnym do nich, jest
niewielka dla małych wartości współczynników wypełnienia metalu i moŜe być
pominięta.
Zredukowany zbiór parametrów peleryny z równania (E.42) wymaga gładkiej
zmiany wartości przenikalności radialnej od 0 do 1 przy zmianie promienia r od a do
b. Osiągnięcie optymalnej efektywnej przenikalności radialnej εeff,r jednoznacznie
opisuje funkcja z równania (E.42)
(E.35)
W praktycznych konstrukacjach, wartość współczynnika εeff,r moŜe nieco
odbiegać od optymalnej wartości we wnętrzu peleryny. NajwaŜniejszą jednak kwestią
są punkty zewnętrznej i wewnętrznej powierzchni peleryny, gdzie równanie (E.34)
powinno być spełnione dokładnie. Gwarantuje to poŜądaną trajektorię fali
elektromagnetycznej, gdy r = b oraz minimalną stratę energii, gdy r = a.
W celu określenia wszystkich niezbędnych do konstrukcji peleryny wartości
(rysunek E.32), wprowadzono dwie funkcje wypełnienia f0 ( λ, α ) oraz f1 ( λ, α ),
zdefiniowane następująco:
εeff,r (λ, f0 ( λ, α )) = 0
εeff,r (λ, f1 ( λ, α )) = 0
( E.36).
82
Kombinacja równań (E.34) oraz (E.35) dla zadanej długości fali λ prowadzi
z kolei do układu
f0 ( λ, α ) = fa
f1 ( λ, α ) = fa • a/b.
(E.37)
Stąd wyznacza się kształt współczynnika Rab
Rab = a/b = f1(λ, α )/f0(λ, α) .
( E.38)
UŜycie równania (E.37) oraz wyraŜenia dla εθ (występującego w równaniu (E.32))
pozwala wyznaczyć warunek ‘działania’ dla peleryny
.
( E.39)
W zastosowaniach praktycznych, często posługuje się długością tzw. fali
działania peleryny oznaczaną jako λop. Przy powyŜszych załoŜeniach proces
konstrukcji przebiega następująco. Po pierwsze naleŜy dokonać wyboru materiału na
metalowe druty, a takŜe otaczających je dielektryków. Po drugie obliczenie wartości f0
oraz f1 (z równania (E.33) uŜywając do tego metody elementów skończonych oraz
teorii efektywnego ośrodka) jako ilorazu α i λop. Oczekiwaną wartość stosunku α /λop
określa równanie (E.38). W ten sposób moŜna wyznaczyć (w oparciu o równania
(E.36) oraz (E.37)) geometryczne współczynniki peleryny, zawierające między
innymi Rab i fa .
Próbną wersję projektu stanowi peleryna wykorzystująca długość fali światła
λop = 632,8 nm (laser He-Ne). Równania (E.33), (E.35) i (E.38) określają poŜądaną
wartość stosunku α = 10.7, a współczynniki wypełnienia obu powierzchni wynoszą
odpowiednio fa = 0,125 oraz fb =0,039. Z równań (E.36) i (E.37) wyznaczamy
wartość współczynnika kształtu cylindrycznej peleryny Rab = 0,314. Parametry tego
projektu, tj. εr, εθ, µz, łącznie z parametrami wyznaczonymi równaniem (E.32),
przedstawia poniŜszy wykres.
Rys. E.33 Parametry materiałowe εr, εθ, µz, zaproponowanej peleryny dla długości fali
EM λop = 632,8 nm. Linie ciągłe reprezentują zredukowane parametry określonych
równaniem (E.32). Znaki w postaci rombów pokazują własności materiałowe
zaprojektowanych metalowych połączeń drutów tworzących pelerynę oraz parametry
uzyskane z równań (E.33) – (E.38) (na podstawie [97]).
MoŜna przy tym zauwaŜyć, Ŝe εθ, µz doskonale odpowiadają teoretycznym wymogom
w całej strukturze cylindrycznej peleryny, a przenikalność radialna εr odpowiada
dokładnie wartością wymaganym równaniem (E.32) na dwóch granicznych
powierzchniach peleryny i bardzo dobrze spełnia wymagania w jej wnętrzu.
83
W celu sprawdzenia, czy poŜądane rozkłady podatności moŜna osiągnąć
stosując srebrne nanodruty w kształcie mocno wydłuŜonych elipsoid obrotowych
osadzonych w krzemowej rurce, określono efektywną anizotropię przenikalności dla
komórki elementarnej o liniowych rozmiarach mniejszych lub porównywalnych
z uŜywaną długością fali.
Rys. E.34. Komórka podstawowa symulacji metodą elementów skończonych:
a) komórka podstawowa (cylindryczne sektory) srebrnych drutów, zastąpiona przez
komórki złoŜone z prostopadłościennych pryzmatów. b) Geometria 3D prostokątnej
komórki podstawowej. W symulacji wartości hc oraz Ic były ustalone, natomiast
zmieniano wartości wc proporcjonalnie do wartości promienia kaŜdej warstwy (na
podstawie [98]).
Analiza numeryczna przeprowadzona bardziej zaawansowaną metodą [97]
(wektorowa metoda elementów skończonych) pokazała, Ŝe obszary zmienności
wymagane dla zaleŜności εθ, i εr są dobrze wyznaczone metodą ośrodka efektywnego.
Ta analiza potwierdziła doskonałe dopasowanie zaleŜności εθ, εr wyznaczanych na
podstawie równania (E.32); ponadto:
a) wskazała na konieczność dodatkowego dostosowania ilorazu α oraz wartości
parametru określającego stosunek objętości nanodrutów do objętości kaŜdej
z warstw;
b) potwierdziła małą wartość urojonej przenikalności radialnej εr, której rząd
wynosił około 0,1 w całej objętości peleryny.
W celu zilustrowania działania proponowanej niemagnetycznej peleryny
optycznej przedstawionej na rys. E.33 dla długości fali λop = 632,8 nm wykonano
numeryczne symulacje, w których wyznaczano rozkłady (mapy) pól elektromagnetycznych. Obiektem, który ma być niewidoczny/ukryty pod peleryną, jest
metalowy cylinder o promieniu r = a. Wyniki symulacji (dla polaryzacji TM) w
postaci rozkładu pola magnetycznego wokół ukrytego obiektu oraz linii przepływu
mocy przedstawia rys. E.35. NaleŜy przy tym zaznaczyć, iŜ rozmiar peleryny jest
sześciokrotnie większy niŜ długość fali λop, natomiast obszar symulacji jest
dwudziestokrotnie większy od długości fali λop. Rys. E.35a przedstawia przebieg linii
pola dookoła metalowego cylindra umieszczonego wewnątrz zaprojektowanej
peleryny (wartości parametrów określone są na rys. E.33). Na rys. E.35a widoczny
jest przepływ frontów falowych dookoła ukrytego obszaru z niezwykle małymi
zaburzeniami. Natomiast na rys. E.35b linie te, bez peleryny, są dookoła obiektu w
istotny sposób zniekształcone i rzucają widoczny cień na obszar między cylindrem a
peleryną.
W proponowanym układzie peleryny niewidki dla wartości Rab = 0,314,
współczynnik odbicia wynosi ok.4%, przy zastosowaniu zredukowanych parametrów
określonych równaniem (E.32).
84
Rys. E.35 Wyniki symulacji map pola magnetycznego dla obiektu umieszczonego we
wnętrzu peleryny dla długość fali λop = 632,8 nm i polaryzacja typu TM.a) Obiekt
znajduje się we wnętrzu peleryny, której parametry określa równanie (E.32); H – pole
magnetyczne, E – pole elektryczne, k – wektor falowy; b) Obiekt umieszczony
w próŜni – bez peleryny. Koncentryczne okręgi reprezentują dwie powierzchnie
peleryny o promieniach r = a, r = b. Ukryty obiekt stanowi metalowy cylinder
o promieniu r = a (na podstawie [97]).
Niemagnetyczna natura przedstawionego w [97]
projektu nie wymaga
konstrukcji trójwymiarowych gradientowych metamateriałów magnetycznych
i teoretycznie wyznacza moŜliwość praktycznej realizacji urządzeń ( podobnych
do rozpatrywanej w pracy [97] peleryny) w zakresie częstotliwości optycznych.
Zaproponowany w [97] model moŜna uogólnić na inne peleryny niewidki
konstruowanych przy uŜyciu innych metali..
Warto w tym momencie nadmienić, Ŝe osiągnięta w pracy [97] niewidzialność
nie jest idealna, a to z powodu impedancji zastosowanych materiałów, co prowadzi
do nieuchronnych strat energii w strukturze metal–dielektryk. Ponadto peleryna
ta ukrywa obiekt tylko dla jednej długości fali.
Według najnowszych doniesień naukowych, w 2009 r. w [99,100]
zaprezentowano pierwszą strukturę, która umoŜliwia ukrycie obiektu w szerokim
zakresie częstotliwości.
E.4 Metody otrzymywania metamateriałów dla zakresu
optycznego – ostatnie postępy i perspektywy
Ten rozdział dodatku jest streszczniem wybranych fragmentów pracy [109]).
Sztucznie wytworzone materiały – metamateriały skupiają znaczną uwagę
ze względu na poszukiwania nowych metod sterowania światłem. Kiedy udało się
zaprojektować i wytworzyć metamateriał, to: a) wykazał on nieoczekiwane własności
elektromagnetyczne, których nie posiada Ŝaden istniejący w naturze materiał, b)
umoŜliwił on modyfikację optycznych właściwości metamateriału za pomocą zmiany
parametrów komórki jednostkowej lub „meta–atomu” poprzez zmianę wartości
przenikalności magnetycznej µ oraz przenikalności elektrycznej ε.
Ujemny współczynnik załamania, niezaobserwowany dotąd w Ŝadnym
materiale występującym w naturalnych warunkach, stanowi jeden z waŜniejszych
przykładów takich własności. Ujemny współczynnik załamania metamateriałów moŜe
prowadzić do wytworzenia nowych urządzeń począwszy od anten optycznych
o niezwykłych właściwościach, idealnych soczewek (supersoczewek, hipersoczewek
85
[101]), zdolnych wytworzyć obraz obiektów duŜo mniejszych od zastosowanej
długości fali, obwodów optycznych o niewielkich rozmiarach, a na specjalnych
pelerynach, które zakrywający sobą obiekt czynią niewidocznym, kończąc.
To oczywiście tylko niektóre z licznych zastosowań, jednakŜe waŜniejszym staje się
fakt wytwarzania tych materiałów, mogących funkcjonować dla częstotliwości
optycznych.
Pomimo, Ŝe wskazana przez Veselago kombinacja ε<0, µ<0 prowadzi do
ujemnego współczynnika załamania n<0, jego pomysł okazał się dość niewdzięczny
ze względu na nieistnienie tego typu materiałów dla zakresu widzialnego. Oczywiście,
w środowisku naturalnym moŜna odnaleźć materiały wykazujące ujemną wartość ε<0
(złoto, srebro bądź inne metale), jednakŜe juŜ w przypadku ujemnej µ<0 nie sposób
odnaleźć takich surowców dla zakresu widzialnego. Dzieje się tak, poniewaŜ
właściwości materiałów występujących w naturze są ograniczane przez ich komórki
elementarne, tzn. atomy lub molekuły. MoŜna oczywiście przezwycięŜyć to
ograniczenie uŜywając sztucznie wytworzonych metamateriałów, gdzie
zaprojektowane „meta-atomy” zachowują oba rodzaje przenikalności dla konkretnego
zasięgu częstotliwości. Ostatnie postępy w tej dziedzinie charakteryzuje praca [102].
Poszukiwanie ośrodka o ujemnym współczynniku załamania wywołało
prawdziwy boom, zainspirowany przez Johna Pendry’ego, który przewidział to
zjawisko i na jego podstawie oparł istnienie supersoczewki w 2000 roku. Obecnie
moŜna juŜ uzyskać ujemny współczynnik załamania dla zakresu widzialnego, przez
specyficznie zaprojektowany efektywny materiał kompozytowy.
Pierwszy krok w kierunku realizacji materiału o ujemnym współczynniku
załamania poczynił John Pendry wraz ze współpracownikami, który to zasugerował
posłuŜenie się rozszczepionymi rezonatorami kołowymi (SSR-ami) jako ‘metaatomami’, osiągającymi przenikalność magnetyczną róŜną od jedynki, który jest
pierwszym z wymogów osiągnięcia ujemnego współczynnika załamania.
Magnetyczne struktury tego typu sukcesywnie realizowano dla częstości
mikrofalowych [103], THz [104], bliskiej podczerwieni, 100 THz [105], 200 THz
[105]. Uzyskanie magnetycznej odpowiedzi dla zakresu widzialnego wymagało nieco
innego projektu. Były nim pary metalowych pasków, z powodzeniem wykorzystane
przez grupę badawczą Uniwesytetu Purdue, gdzie zademonstrowano najpierw
magnetyczną odpowiedź takiej struktury w podczerwonej części widma [106],
a następnie rozszerzono dany zakres do częstości optycznych [107].
Kombinacja elementów wykazujących ujemną przenikalność magnetyczną
oraz ujemną przenikalność elektryczną (np. proste metalowe druty ułoŜone
w strukturę sześciennej sieci), prowadzi do osiągnięcia ujemnego współczynnika
załamania. Takie proste metamateriały wykazywały go dla zasięgu mikrofalowego
[103].
Początkowy pomysł uzyskania ujemnego współczynnika dla krótszych
długości fali oparto na zastosowaniu rozszczepionych rezonatorów kołowych,
pomniejszając rozmiar komórki elementarnej. Główna idea opierała się na
wykazywanym przez SSR-y, odwrotnie proporcjonalnym do ich rozmiarów,
rezonansie magnetycznym. Wiadomym stał się juŜ fakt, iŜ uŜycie pojedynczych SSRów przedłuzy ich pracę jedynie do zakresu 200 THz [108]. Ponadto zmniejszanie
skali w przypadku pojedynczych SSR-ów w stronę wyŜszych częstotliwości, dla fali
krótszych niŜ 200 THz, powoduje silne odstępstwa metalu od właściwości
charakterystycznych dla idealnego przewodnika [108]. W idealnym metalu,
o nieskończonej gęstości nośników, występuje nieskończona częstotliwość plazmowa,
przy której zarówno gęstość nośników jak i energia kinetyczna równają się zeru,
nawet jeśli przez metalowe zwoje przepływa stały , prąd o skończonym natęŜeniu.
W rzeczywistości w metalu zarówno prędkość jak i energia kinetyczna osiągają
skończone wartości.
86
W przypadku małych SSR-ów, nieidealne zachowanie metalu prowadzi
do modyfikacji prawa skalowania, gdzie częstotliwość osiąga niemalŜe stałą wartość
i jest niezaleŜna od rozmiaru SSR–ów. To ograniczenie skalowania łączy się
z trudnościami w wytworzeniu SSR–ów z metalowych drutów w skali nanometrowej,
co doprowadziło do rozwoju alternatywnych projektów, odpowiednich zarówno
w THz jak i zakresie widma widzialnego.
Projekt odpowiedni dla zakresu widma widzialnego polega na zastosowaniu
pary rurek (zwanych „cut-wires”), bądź teŜ metalowych pasków, oddzielonych
przestrzenią dielektryczną. Takie struktury prowadzą do rezonansu magnetycznego z
µ<0 pochodzącego od antyrównoległych prądów przepływających przez paski. Z kolei
ujemny rezonans elektryczny ε<0, jest wynikiem wzbudzenia równoległych prądów
w paskach [109]. PoniewaŜ w normalnych warunkach niezwykle trudno jest uzyskać
jednocześnie ujemne wartości µ<0 oraz ε<0, stąd teŜ zaproponowany projekt, całkiem
róŜny od poprzednich, nazwano strukturą ‘sieci rybnej’ − „fishnet”. Ta struktura to
kombinacja połączeń magnetycznych prętów (dających µ<0) ze stałymi paskami
‘elektrycznymi’ (dającymi ε<0) w szerokim zakresie widma elektromagnetycznego.
Ujemny współczynnik załamania dla zakresu optycznego, pomyślnie
zademonstrowano juŜ przy uŜyciu pary drucików „cut-wires” lub struktury ‘sieci
rybnej’ („fishnet”) [109].
Wytworzenie metamateriałów dla zakresu optycznego powinno iść
w parze z niewielką okresowością (rzędu 300 nm i mniejszą) i małymi,
nanoskopowymi rozmiarami (rzędu 30 nm i mniej), co zapewnia uzyskanie poŜądanej
struktury. Produkcja metamateriałów stanowi niezwykle ambitny proces, wymagający
wysokiej precyzji wykonania oraz niskich kosztów produkcji. Dotychczasowe
rozmiary metamateriałów, dla zakresu widzialnego bądź podczerwieni, mogą osiągać
mniejsze wartości niŜ te uzyskane w procesie fotolitografii (z powodu ograniczeń
dyfrakcyjnych), stąd teŜ wynika potrzeba nanoprodukcji, gdzie rozwiązanie stanowi
długość fali rzędu 100 nm lub mniejsza. PoniewaŜ urządzenia wykorzystywane w
procesie nanolitografii wykazują pewne ograniczenia prądowe, trudno jest
wyprodukować metamateriał o meta–zasięgu, gdzie rozmiar komórki elementarnej
jest o wiele rzędów magnetycznych mniejszy niŜ zastosowana długość fali. Stąd teŜ
takie materiały opisuje się, przynajmniej
w przybliŜeniu, jako warstwy
charakteryzowane przez przenikalność magnetyczną oraz elektryczną (analogicznie do
kryształów fotonicznych, dla których okres sieci odpowiada długości fali).
Wybór materiału na metamateriał jest kluczowy w przypadku zakresu
optycznego, poniewaŜ ogólne straty określa
stratność składników materiału.
NajniŜsze straty dla zasięgu optycznego posiadają srebro oraz złoto. Współczynnik
załamania wyraŜa się za pomocą wzoru: n = n’ + in’’, gdzie część urojona
charakteryzuje straty światła. Wygodnym miernikiem jakości ujemnego załamania
(w zakresie optycznym) jest wartość parametru (FOM) definiowanego jako stosunek
części rzeczywistej współczynnika załamania do jego części urojonej: F = |n’| / n’’
[109]. Prócz odpowiedniego wyboru metalu na metamateriał, straty kompensuje
równieŜ wprowadzenie wzmacniaczy optycznych, czyli materiałów wykazujących
niskie straty ujemnego współczynnika załamania [110].
Zastosowanie nowych, optycznych własności metamateriałów, gdzie meta–
atomy zaprojektowano do sprawnego współdziałania z elektronicznymi
i magnetycznymi składnikami światła, umoŜliwi ich pracę dla wielu częstotliwości
fali. Wraz z nowymi właściwościami ujemnego załamania, wskazano obszary
wzajemnych oddziaływań w takich materiałach [111], oraz dąŜy się do wytworzenia
prawdziwej 3D warstwy o ujemnym współczynniku załamania dla zasięgu
optycznego.
PoniŜej zaprezentujemy, za [109], ostatnie postępy w produkcji metalowo–
dielektrycznych nanostruktur metamateriałów dla zakresu widzialnego, a takŜe
perspektywy alternatywnych technik wytwarzania, które być moŜe zostaną
zaadaptowane przez przyszłych wykonawców.
87
E.4
E.41 Pierwszy eksperymentalny pokaz – pojedyncza wars
warstwa
metamateriału
Pierwszy eksperymentalny, tj. realny pokaz ujemnego załamania dla zakresu
widzialnego zaprezentowano, w tym samym czasie, dla dwóch róŜnych geometrii
struktur metalowo–dielektrycznych. Były nimi pary metalowych prętów
oddzielonych warstwą dielektryczna [109] oraz system odwrotny, czyli pary
przestrzeni dielektrycznych ułoŜonych w strukturę metal—dielektryk—metal [109]
(rys. E.41).
W pierwszym przypadku, matrycę par równoległych, złotych prętów o grubości
50 nm oddzielonych 50 nm przestrzenią SiO2, wytworzono przy uŜyciu litografii
wiązek molekularnych (electron-beam lithography (EBL)). Połączone pręty,
stanowiące podstawę uzyskania ujemnego współczynnika załamania, wykazały go dla
długości FEM 1,5 µm i wyniósł on w przybliŜeniu n’≈ −0,3 [109]. W kolejnych
pracach naukowych (stosując litografię interferencyjną (IL) oraz źródła emitującego
fale o długości 355 nm), zdefiniowano 2D matryce ,dziurawych’ struktur
wielowarstwowych (dielektryczna warstwa Al2O3 o grubości 60 nm umieszczona
między dwiema warstwami złota Au o grubości 30 nm). Eksperyment ten wykazał
istnienie ujemnego współczynnika załamania dla długości fali ok. 2 µm i wynosił
on n’ ≈ −2 [109].
Rys. E.41 Pierwsze eksperymenty ze strukturą wykazującą ujemny współczynnik
załamania dla zakresu optycznego; a) schemat matrycy par złotych nanorurek
oddzielonych warstwą SiO2; b) obraz pola emisyjnego, pochodzący ze skaningowego
mikroskopu elektronowego, dla struktury (Au(50nm)–SiO2(50nm)–Au(50nm),
układanej stogowo), ujemny współczynnik załamania wykazano dla długości fali
stosowanej w telekomunikacji; c) schemat multiwarstwowej struktury, składającej się
z warstw dielektrycznych, oszadzanych między dwiema metalowymi foliami
perforowanymi, ze szklaną dziurą w swym wnętrzu; d) obraz pochodzący ze
skaningowego mikroskopu elektronowego struktury (Au(30nm)–Al2O3(60 nm)–
Au(30nm) − warstwy układane stogowo), wykazującej istnienie ujemnego
współczynnika załamania dla długości fali ok. 2 µm (na podstawie [109]).
88
E.42 Metody otrzymywania metamateriałów 2D
I STANDARDOWA METODA – litografia wiązek elektronowych
elektronowych
(electron–
(electron– beam litography ― (EBL)))
W metodzie tej wykorzystuje się wiązki elektronowe, które padają
na wybraną powierzchnię. Szerokość wiązek jest rzędu nanometrów, co pozwala
uznać tę metodą za technologię nanoskpową. EBL to seryjny proces, w którym wiązka
elektronowa skanuje powierzchnię próbki. Przez ostatnie dwa lata z powodzeniem
wytwarzano róŜne struktury (charakteryzujące się ujemnym współczynnikiem
załamania) przy zastosowaniu metody EBL, a róŜne zespoły badawcze z
powodzeniem przeprowadzały na nich eksperymentalne badania. Najlepszy wynik dla
ujemnego współczynnika załamania dla długości fali stosowanej w telekomunikacji,
osiągnęła grupa badawcza z Uniwersytetu w Karlsruhe we współpracy z grupą
z Uniwersytetu Stanu Iowa w 2006 roku [109] dla struktury „sieci rybnej-(fishnet)”
[110]. Tworzyła ją tablica prostopadłych, dielektrycznych mikroelementów
umieszczonych w równoległych metalowych foliach. Dla struktury „fishnet” − stała
sieci wynosząca 600 nm (w formie kanapkowej, tzn. Ag [45 nm]–MgF2 [30 nm]−Ag
[45 nm]) wykazano istnienie ujemnego współczynnika załamania n’ = −2 dla
λ ≈ 1, 45 µm.
Dalsze badania zaowocowały wykazaniem przez dwie grupy badawcze meta
materiału o ujemnym współczynniku załamania dla zakresu widzialnego: grupa
z Karlsruhe otrzymała ośrodek z n’ = – 0,6 dla λ ≈ 780 nm, a grupa z Purdue
University otrzymała ośrodek z n’ = − 0.9, n’ = −1.1 dla λ = 770 nm oraz λ ≈ 810 nm
[109]; patrz rys. I. Mimo, Ŝe metoda EBL jest powszechnie stosowana do nadruku
relatywnie małych powierzchni, ostatnio rozpoczęto produkować równieŜ długie
powierzchnie metamateriałów dielektrycznych [111]. W tym podejściu zastosowanie
warstw o zmiennej dyspersji znacznie zmniejsza błędy seryjnego procesu nadruku i
umoŜliwia tym samym produkcje dobrej jakości struktur.
Wytwarzanie materiałów o ujemnym współczynniku załamania
dla częstotliwości optycznych jest zadaniem bardzo ambitnym, gdyŜ wymaga
uzyskania próbek o niewielkiej periodyczności (bliskiej lub mniejszej od 300 nm) oraz
nanoskopowych rozmiarów (poniŜej kilku dziesiątek nm). Odkąd moŜliwym stała się
fabrykacja niewielkich fragmentów materiałów (rzędu 100 µm × 100 µm)
w umiarkowanie krótkim czasie i po rozsądnych kosztach, EBL nie stanowi juŜ
rozwiązania proponowanego przy produkcji metamateriałów o duŜej skali integracji
(poŜądanych w zastosowaniach).
Rys I Obraz pochodzący ze skaningowego mikroskopu elektronowego
przedstawiający „nano sieć rybną-fishnet” wytworzoną przy uŜyciu metody EBL;
a) ujemny współczynnik załamania uzyskany przez grupę z Karlsruhe (n’ = − 0.6 dla
λ≈ 780 nm, warstw Ag(40 nm)–MgF2 (17 nm)–Ag(40 nm) układanych w stos, stała
sieci 300 nm); b) grupę z Uniwersytetu Purdue’a (n’= − 0.9 dla λ ≈ 772 nm, warstw
Ag(33 nm)–Al2O3(38 nm)–Ag(33 nm) układanych w stos, stała sieci 300 nm) (na
podstawie [111]).
89
II Metoda FIB (focused-ion beam milling)
Metoda ta pozwala otrzymywać powierzchnie amorficzne w wyniku
wszczykiwania atomów galu na głębokość co najwyŜej kilku nanometrów, bądź
bombardowania wybranej powierzchni wiązką jonów. Bombardowanie stosowane jest
tu jako narzędzie mikro-obrabiające, gdyŜ modyfikuje albo obrabia materiały w skali
mikro lub nano. Ostatnio metody tej uŜyto do wyprodukowania magnetycznego
metamateriału opartego na SSR-ach [107]. Uzyskanie małych rozmiarów (rozmiary
przerw poniŜej 35 nm) w metodzie EBL wymagało starannego doboru parametrów
nadruku, wieloetapowego procesu obróbkowego, co w konsekwencji wiązało się
z wydłuŜeniem czasu procesu produkcyjnego. W porównaniu z techniką EBL przebieg
procesu nadruku w metodzie FIB jest o około 20 minut krótszy [107], a tak
przygotowana próbka jest juŜ gotowa do uŜycia i nie wymaga zastosowania
dodatkowych procesów obróbczych.
Metoda ta moŜe być preferowana w przypadku konieczności uzyskania
specyficznych kształtów metamateriałów (chociaŜby SSR-ów), ponadto w przypadku
zamiaru pozyskania materiału o ujemnym współczynniku załamania dla zakresu
widzialnego, SSR-y stanowią kombinację róŜnych struktur metalicznych, które
w konsekwencji pozwalają uzyskać ujemna przenikalność magnetyczną [112].
III Litografia interferencyjna
Litografia optyczna (LO) jest techniką produkcji od dawna uŜywaną
w przemyśle wytwarzającym układy scalone i mającą zastosowanie jako technika
immersyjna [113]. Jednym z rodzaju LO jest litografia interferencyjna, stanowiąca
potęŜną technikę w przypadku produkcji matryc (zastosowanie w nanotechnologii).
Tego typu technika wytwarzania opiera się na superpozycji dwóch lub więcej
koherentnych wiązek optycznych formujących próbkę fali stojącej. IL zapewnia niskie
koszty i zdolność produkcji masowej, a w połączeniu z innymi technikami
litograficznymi, moŜe znacznie powiększyć zakres zastosowań [113].
Od czasu, gdy produkcja materiałów o ujemnym współczynniku załamania
wymaga dostarczenia periodycznych bądź kwaziperiodycznych próbek, litografia
interferencyjna stanowi idealną kandydatkę do wytwarzania metamateriałów
o wydłuŜonej powierzchni. Ostatnio zastosowano technikę IL do wytworzenia 1D
struktur metalicznych [113], metamateriałów magnetycznych dla fal o długościach
5 µm oraz 1,2 µm [103], a takŜe wspomnianym powyŜej materiale o ujemnym
współczynniku załamania dla fali o długości 2 µm [109] rys. I.
Stosując tę technikę zademonstrowano wytworzenie 2D struktury [103],
charakteryzującej się jednorodnością na kaŜdej ze swych powierzchni [113].
Na przykład multiwarstwa o ujemnym współczynniku załamania, którą tworzą
eliptyczne pręty wykonane z Au (30 nm)–Al2O3(75 nm)–Au(30 nm), nakładane
stogowo, dała współczynnik załamania wynoszący n’ ≈ − 4 dla λ ≈ 1.8 nm (rys. II)
[111].
Wyniki wspomniane powyŜej pozwalają traktować IL jako najlepszą technikę
projektowania oraz produkcji 2D optycznych materiałów o ujemnym współczynniku
załamania oraz zwracają uwagę na ogromne korzyści płynące z jej zastosowania.
Technika ta charakteryzuje się niewielkimi rozmiarami wytwarzanych próbek,
nie wymaga drogiego sprzętu i moŜe zapewnić próbce powierzchnie osiągające
wymiary centymetrów kwadratowych. Zapewnia prostotę oraz wysoką jakość
otrzymywania pojedynczych warstw metamateriału, moŜe tym samym nakierować
przyszłe badania na (poczynając od układanych w stos warstw 2D) wytworzenie
struktury 3D.
90
Rys. II Obraz uzyskany ze skaningowego mikroskopu elektronowego przedstawiający
próbkę wykonaną za pomocą techniki litografii interferencyjnej; a) multiwarstwowa
struktura wykonana z pary prętów
(Au(30 nm)–Al2O3(75 nm)–Au(30 nm))
[powierzchnia całkowita wynosi 787 nm, rozmiary dziur 470 nm i 420 nm];
b) heksagonalna struktura 2D wykonana na szklanym podłoŜu z Au(20 nm)–MgF2(60
nm)–Au(20 nm); c) oraz d) struktura „sieci rybnej - fishnet” wykonana z Au(30 nm)–
Al2O3(60 nm)–Au(30 nm) [rozmiary – długość 528 nm, szerokość 339 nm] (na
podstawie [111]);
IV Litografia ‘NANOODCISKOWA’
Kolejnym
obiecującym
kierunkiem
wytwarzania
produkcyjnie
kompatybilnych, wysokiej jakości materiałów o ujemnym współczynniku załamania,
przy równocześnie niewielkich kosztach produkcji i nakładach czasu, oferuje
litografia ‘nanoodciskowa’ (NIL) [114]. NIL realizuje transfer próbek przez
mechaniczne zniekształcenia oparte na znakowaniu, rzadziej na reakcjach foto- lub
elektro- indukowania, na których opiera się większość obecnie wykonywanych metod
litograficznych. Tego typu rozwiązanie techniczne nie jest ograniczane długością fali
emitowanej przez źródło światła, a niewielkie parametry osiąga się stosując produkcję
znakowania. Ponadto NIL zapewnia wysoką przepustowość równoległych procesów,
przy uŜyciu standardowych procedur, połączonych z prostotą oraz niskimi kosztami.
Ostatnio wyprodukowano za pomocą metody NIL dwa rodzaje materiałów
wykazujących ujemny współczynnik załamania dla zakresu bliskich i średnich
podczerwieni. Pierwsza kompozycja składała się z uporządkowanych warstw
struktury „fishnet” tworzących tablice metal-dielektryk-metal, które dowiodły
istnienia ujemnej przenikalności elektrycznej i magnetycznej w takim samym zakresie
częstotliwości, i tym samym wykazały ujemny współczynnik załamania n’ ≈ −1,6 dla
λ ≈ 1,7 µm [111] (patrz rys. III).
91
Rys. III Obraz uzyskany ze skaningowego mikroskopu elektronowego
przedstawiający próbkę wykonaną za pomocą techniki a) NIL; b) próbki struktury
„fishnet” z Ag(25 nm)–SiOx(35 nm)–Ag(25 nm) (na podstawie [113]).
Dla zakresu średniej podczerwieni metamateriał tworzyły uporządkowane
tablice skrzyŜowanych, symetrycznych rezonatorów (w kształcie litery L o
minimalnym rozmiarze 45 nm), wykazujących ujemne przenikalności dla fal o
długości λ≈ 3,7 µm oraz λ≈ 5,25 µm. Był to jak dotąd najmniejszy rozmiar struktury w
zakresie 100 nm – 45 nm dla bliskiej i średniej podczerwieni. Wcześniej metodę NIL
z powodzeniem wykorzystywano przy produkcji planarnych, chiralnych
metamateriałów fotonicznych w celu ich badania oraz jako zastosowanie do nowych
efektów polaryzacyjnych [111].
Od niedawna moŜliwa jest prostsza metoda NIL wytwarzania 2D struktur
metalicznych [111]. Technika ta w głównej mierze opiera się na wtłaczaniu gorącego
metalu (np. Al) przy udziale związków chemicznych jak SiC [111]. W takim
podejściu metalową nanostrukturę moŜna uzyskać bezpośrednio przez nadruk na
metalowych substratach, bez konieczności wykonywania dodatkowych czynności
produkcyjnych, co niewątpliwie upraszcza proces produkcji oraz znacząco wpływa na
obniŜenie kosztów wytwarzania.
E.43 Metody otrzymywania metamateriałów 3D
I Otrzymywanie struktur wielowarstwowych
Teoretyczny projekt struktury wielowarstwowej wykazującej ujemny
współczynnik załamania, ulegał stopniowym modyfikacjom, i został zrealizowany
przez grupę badawczą w Karlsruhe [115] w postaci układu zawierającego trzy
warstwy (aktualnie siedem), Próbki ze srebra wykonano za pomocą litografii wiązek
molekularnych, dodając osadzanie warstw metalowych i dielektrycznych, a proces
produkcyjny przebiegał analogicznie jak miało to miejsce w przypadku wytwarzania
pojedynczej warstwy metamateriału [109] (rys. IV). Wyniki uzyskane tą metodą (n’ =
− 1, λ ≈ 1,4 µm) były bliskie oczekiwaniom teoretycznym.
92
Rys. IV a) Schemat (widok z boku) poszczególnych warstw metamateriału;
b) obraz N wytworzonych warstw, widziany w mikroskopie elektronowym (rozmiar
liniowy poszczególnych kostek to około 400 nm) (na podstawie [111]).
Realizacja powyŜszej struktury to pierwszy krok wykonany w kierunku wytworzenie
3D metamateriału fotonicznego, lecz uŜycie w tym przypadku metody EBL okazało
się być zawodne. Zasadniczy problem wynikał z faktu ograniczenia całkowitej
grubość struktury grubością próbkowanych e-wiązek. Całkowita osadzana grubość
warstw powinna normalnie wynosić co najmniej 15–20% grubości warstwy oporowej
(rys. V). Wartość ta zwykle nie przekracza 100 nm. Jak juŜ wcześniej wspomniano
(przy wytwarzaniu 2D metamateriałów metodą EBL), otrzymanie próbki, której
wysokośc jest większa od szerokość jest powaŜnym wyzwaniem technologicznym.
93
Ponadto ta metoda wytwarzania pozwala otrzymywać nieprostokątne ściany boczne
o kątach około 10˚ [109] (rys. V) względem normalnych do wszystkich boków
próbki.
Rys. V. Dwa moŜliwe sposoby wytworzenia wielowarstwy metalowo– dielektrycznej;
a) standardowe osadzanie [109] pozwala otrzymać końcowy trapezoidalny kształt
końcowej struktury o grubości nie większej niŜ 15-20% grubości warstwy
rezystywnej; b) zaproponowana wytrawiona struktura, zawierająca gruby stóg (grubą
stertę) warstw metalowo-dielektrycznych głęboko wytrawionych w celu otrzymania
3D płytki metamateriału (na podstawie [115]).
Grupa badawcza ze Stuttgartu [116] zasugerowała pomysł ominięcia problemu
związanego z uzyskiwaniem nieprostokątnych ścian bocznych oraz cienkich stosów
warstw materiałów o ujemnym współczynniku załamania. Według nich zrealizowanie
3D warstw takich materiałów dla zakresu optycznego, polegałoby na zastosowaniu
techniki warstwowej, podobnej do tej uŜytej podczas produkcji 3D kryształów
fotonicznych [116]. W przeprowadzonym eksperymencie wytworzono strukturę
czterowarstwowych, rozszczepionych rezonatorów kołowych (SSR-ów). Pojedynczą
warstwę SSR-a wyprodukowano przez naparowanie metalu, naświetlanie wiązkami
elektronowymi oraz wytrawianie metalu za pomocą wiązki jonów. PoniewaŜ
pojedynczych warstw SSR-ów nie moŜna seryjnie układać w warstwy, powierzchnie
warstw zawierających SSR-y spłaszczano, stosując procedurę planaryzacji
(chropowatość powierzchni kontrolowano z dokładnościa do 5 nm). Procedury
wytwarzania pojedynczych warstw, planaryzacji oraz bocznego ustawienia
późniejszych warstw, powtarzano kilkakrotnie, zyskując w ten sposób
czterowarstwową próbkę SSR-a [116] (rys. VI).
94
Rys. VI Obraz uzyskany ze skaningowego mikroskopu elektronowego
przedstawiający pole emisyjne czterowarstwowej struktury SSR-a; a) widok
normalny; b) widok powiększony, ukośny (na podstawie [111]).
Kolejnym sposobem uzyskania 3D wielowarstwowego materiału
o ujemnym współczynniku załamania, moŜe posłuŜyć proces oparty o głębokie
anizotropowe wytrawianie.
Wytwarza się najpierw płaszczyznę złoŜoną z przemiennych warstw metalu
i dielektryków o poŜądanej grubości, następnie wykonuje się głębokie wytrawianie
uŜywając maskę zawierającą stosowne kształty (wzory) próbki, która jest
otrzymywana stosownym procesem litograficznym. (rys. VI). Metoda ta wymaga
zastosowania trudnych materiałów i procesów wytwarzania, włączając w to staranny
dobór, masek odpornych na procesy wytrawiania oraz optymalizacji procesów
trawienia zarówno warstw metalu jak i warstw dielektrycznych.
II Technika fotopolimeryzacji dwu-fotonowej (TTP)
Techniki tej dość często uŜywano przez ostatnie kilka lat do wytwarzaniu 3D
próbek metamateriałów [117], poniewaŜ jest znacznie szybsza od standardowej,
polegającej na uŜyciu pojedynczej wiązki światła laserowego do obróbki matrycy
polimerowej i nadaje się do implementacji do produkcji układów o wysokim stopniu
integracji. Technika ta wykorzystuje nieliniowy wielofotonowy proces obróbki
do polimeryzacji materiału.
Zaproponowana metoda umoŜliwia równoczesny nadruk więcej niŜ 700
struktur polimerowych o jednakowych wymiarach geometrycznych. Metalizację
struktur osiągnięto za pomocą osadzania cienkich warstw zawierających małe
cząsteczki srebra (rys. VII).
Rys. VII Obraz uzyskany ze skaningowego mikroskopu elektronowego
przedstawiający strukturę otrzymana technologią TTP.
a) Wolnostojąca struktura zbudowana z elementarnych sześcianów, których objętości
wypełnia powietrze, połączonych w pary o wysokości ~ 4,6 µm;
b) Powleczona srebrem polimerowa struktura zbudowana z sześciennych kostek (patrz
powiększenie z rys. a) (o rozmiarze 2 µm) z mikroskopową spręŜyną na powierzchni
(wewnętrzna średnica spręŜyny wynosi około 700 nm) (na podstawie [111]).
95
Technologia TPP umoŜliwia wytwarzanie wielu odosobnionych, bardzo dobrze
przewodzących mikroobiektów i pozwala otrzymywać polimerowe mikrostruktury
pokryte metalem, albo liczne odosobnione, izolowane obiekty polimerowe
rozmieszczone na warstwach metalicznych [118]. Technika TTP oparta o nadruk
laserowy jest obecnie jedną z najbardziej obiecujących metod w przyszłym
wytwarzaniu 3D metamateriałów o duŜej powierzchni [117, 118].
III Otrzymywanie złoŜonych struktur 3D
Nanostruktury typu metal-dielektryk moŜna wytworzyć dzisiaj róŜnymi
technologiami. Znaczną uwagę skupiły na sobie ostatnio dwie metody: nadruki
za pomocą wiązek elektronowych (EBW) [119] oraz chemiczne osadzanie
zogniskowanych wiązek jonowych (FIB-CVD) [119]. Metody te pozwalają
otrzymywać 3D struktury, których nie moŜna uzyskać przy zastosowaniu
dotychczasowych tradycyjnych technik, jak metody optyczne i litograficzne.
Rys. VIII. a) obraz struktury multiwarstwej Ag-Au-Ag (uzyskany z mikroskopu sił
atomowych) przygotowanej w procesie stereolitografii wiązek elektronowych;
b) obraz (uzyskany ze skaningowego mikroskopu jonowego) struktury poprzecznego
obwodu wykonanego techniką VIB-CVD (przewodzące druty zawierają Ga oraz W)
(na podstawie [111]).
Opisane techniki nanoprodukcji oferują jedyne w swoim rodzaju metody
i procedury wytworzenia złoŜonych struktur 3D, jednakŜe ich stosowanie ograniczają
właściwości stosowanych materiałów oraz długi czas wytwarzania.
Ostatnio, dzięki zastosowaniu zmodyfikowanego procesu MEMS,
wyprodukowano w Sandia National Labs [120], trójwymiarowy, wolframowy kryształ
fotoniczny. Próbkę kryształu fotonicznego, którego szkielet tworzył dwutlenek
krzemu wypełniono warstawami wolframu o grubości 500 nm.
Produkcję mikrokomponentów moŜna wykonywać równieŜ przy zastosowaniu
techniki LIGA. Nazwa jest akronimem odsyłającym do głównych kroków procesu
produkcyjnego takich jak: głęboka litografia promieniowaniem X (deep X-ray
lithography − DXRL), galwanoplastyka (electroforming) oraz modelowanie
plastyczne (plastic moulding). Technologia ta stwarza moŜliwość masowej produkcji
mikrokomponenetów, po znacznie obniŜonych kosztach. W Sandia National Labs
uŜyto jej do produkcji 3D sieci fotonicznej [120].
Przegląd innych zaawansowanych metod technologicznych otrzymywania
mikrostrukturalnych trójwymiarowych metamateriałów znajduje się w pracy [111].
96
Podsumowanie
Wytwarzanie metamateriałów o ujemnym współczynniku załamania dla
zakresu optycznego to dziś ambitne i wymagające zadanie, co w głównej mierze
spowodowane jest wymogiem niewielkich geometrycznych rozmiarów ‘meta–
atomów’ rzędu
300 nm i mniejszych rozłoŜonych periodycznie w przestrzeni
z okresem rzędu 300 nm. Technologia EBL stanowi obecnie podstawową technikę
produkcji metamateriałów o niewielkich powierzchniach (~ 100µm × 100µm) [109].
Propozycją wytwarzania wysokiej jakości metamateriałów w nieco większej
skali (powierzchnie rzędu cm2) stanowi litografia interferencyjna IL [113]. Technika
ta juŜ w niedalekiej przyszłości moŜe zostać wykorzystana do produkcji 3D
metamateriałów, za pomocą układania 2D w stosy tworzące 3D strukturę. JednakŜe
nie poczyniono jeszcze Ŝadnego kroku w tym kierunku.
Kolejna obiecującą technikę wytwarzania wysokiej jakości metamateriałów
stanowi litografia ‘nanoodciskowa’ NIL, oferująca rozdzielczość rzędu nanometrów.
Idealnie nadaje się do równoległej produkcji metamateriałów, bez konieczności
wstępnego testowania struktur, jak ma to miejsce w przypadku techniki EBL.
Pierwszym krokiem w kierunku otrzymania 3D materiałów o ujemnym
współczynniku załamania było wytworzenie wielowarstwowej struktury [70, 71].
Choć złoŜone 3D nanostruktury mogą zostać wytworzone róŜnymi
technologiami (nadruk za pomocą wiązek elektronowych, czy teŜ FIB-CVD),
to pochłaniają one zbyt wiele czasu, stąd teŜ trudno je wykorzystać do produkcji
metamateriałów o większej skali integracji.
Obecnie jedną z najbardziej obiecujących technologii wytwarzania
trójwymiarowych metamateriałów o duŜej skali integracji jest fotopolimeryzacja dwufotonowa [118], której rozdzielczość jest rzędu 100 nm i która znakomicie nadaje się
do technologicznej obróbki 3D metamateriałów
Trójwymiarowe, wielowarstwowe struktury metaliczne i polimerowe moŜna
otrzymać za pomocą technologii litografii ‘nanoodciskowej’ (nanoimprint) [120].
Technika ta oferuje wysoką reproduktywność (w skali milimetrowej) i została
zastosowana do wytworzenia trójwymiarowych struktur, na których bazują urządzenia
wykorzystujące kryształy fotoniczne.
W celu realnego zastosowania metamateriałów wykazujących ujemny
współczynnik załamania, powinno być spełnionych kilka warunków: znaczna
redukcja strat (obniŜenie absorpcji energii fali elektromagnetycznej) oraz otrzymanie
izotropowych 3D struktur o duŜej skali integracji. Dzięki starannemu doborowi
materiałów (zamiast tradycyjnych metali — srebra i złota, zastosowanie kryształów
i metali o obniŜonej absorpcji), optymalizacji procesu obróbki (mała chropowatość,
wysoka jednorodność) moŜna znacznie ułatwić wytworzenia bezstratnych materiałów
o ujemnym współczynniku załamania dla zakresu częstotliwości optycznych. Inną
moŜliwością jest wkomponowanie w 3D wymiarową strukturę metamateriału ośrodka
aktywnego, który kompensowałby straty wynikające z absorpcji.
Pomimo, Ŝe nadal daleko nam do otrzymania rzeczywistych,
trójwymiarowych i izotropowych metamateriałów
dla zakresu częstotliwości
optycznych, to kilka metod technologicznych jest dziś bardzo obiecujących.
Do takich naleŜy zaliczyć: ‘nanoodciskową’ litografię, laserowy nadruk oraz
nowego
typu
technologie
wykorzystujące
zjawisko
przestrzennego
samoorganizowania się obiektów nanoskopowych.
Podsumowując rozwaŜania tego dodatku dotyczące wytwarzania nowych
metamateriałów, o wysokiej jakości wymagane jest: wybranie odpowiedniej metody
otrzymywania, dobór materiałów, oraz procesu optymalizacji wytwarzanych struktur,
uwzględnienie niskich kosztów produkcji.
97
BIBLIOGRAFIA
1. Yeh P. ”Electomagnetic propagation in layered media” J. Opt. Soc. Amer., 69,
742, 1979 Yariv A. and Yeh P., Propagation electromagnetic waves in periodical
media in: Optical Waves in Crystals, Wiley & Sons, New York, 1984; W. Steurer, D.
Sutter-Widmer, Photonic and phononic quasicrystals, J. Phys. D: Appl. Phys. nr 40
(2007), str.229–247;
2. J. D. Joannopoulos, R. D. Meade i J. N. Winn. Photonic Crystals. Molding the Flow
of Light. Princeton University Press, Singapore, 1 wydanie, 1995.;
K. Sakoda. Optical Properties of Photonic Crystals. Springer, 2001. ISBN 3-54041199-2.; S.G. Johnson i J. D. Joannopoulos. Photonic Crystals. The road from
Theory to Practice. Kluwer Academic Publishers, Boston, wydanie 1, 2002.; J. D.
Joannopoulos, R. D. Meade, J. N. Winn i S. G. Johnson. Photonic Crystals.Molding
the Flow of Light. Princeton University Press, 2 wydanie, 2008. ISBN 978-0-69112456-8.http://ab-initio.mit.edu/book/.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Kryszta%C5%82_fotoniczny
http://ab-initio.mit.edu/photons/tutorial/tutorial-small.gif:
http://www.krysztalyfotoniczne.yoyo.pl/wpis.html; Notomi M., Phys. Rev. B 62,
10969 (2000).
3. Yeh P., Yariv A. ”Optical surface waves in periodic layered media” Appl. Phys.
Lett., 32, 104, 1978
4.R. Lifshitz, Nanotechnology and quasicrystals: from self assembly to photonic
applications, Raymond and Beverly Sackler School of Physics & Astronomy Tel Aviv
University, 69978 Tel Aviv, Israel; dostępne teŜ na: arXiv: cond-mat/0810.5161v1
(28.10.2008)
5.http://kopalniawiedzy.pl/transmisja-swiatlowod-filtr-krysztal-add-drop-fotonika4366.html - autor Przemysław Kobel; http://www.wikipedia.org/wiki
6. G. P. Ortiz,B. E. Martınez-Zerega, B. S. Mendoza, W. L. Mochan, Effective
Dielectric Response of Metamaterials, dostępne na arXiv:0901.3549v1 [cond–
mat.mtrl–sci] 22.01.2009;
7. Maciej Kubisa “ Supersieci półprzewodnikowe” – rozdział 32 skryptu dostępnego
na stronie: rainbow.if.pwr.wroc.pl/~kubisa/skrypt/32.pdf
8. http://pl.wikipedia.org/wiki/Druty_kwantowe.
9. Quantum Dots, L.P. Kouwenhoven and C.M. Marcus, Physics World 11 p. 35-39
(1998); http://pl.wikipedia.org/wiki/Kropka_kwantowa
L.P. Kouwenhoven, D.G. Austing, S. Tarucha, Few-electron Quantum Dots, Reports
on Progress in Physics 64 (6), 701-736 (2001); http://www.fizyka.net.pl
10. Ch. Kittel, Wstęp do fizyki ciała stałego, Wydawnictwo Naukowe PWN,
Warszawa 1999; N. W. Ashcroft, N. D. Mermin, Fizyka ciała stałego, PWN,
Warszawa 1986.
11. Baibich M., Brote J., Fert A. Nguyen V. D., Petroff F., Etienne P., Greuzet G.,
Friederich A., Giant Magnetoresistance of Fe/Cr Magnetic Superlattices, Phys .
Rev Lett., 63, 664, 1989; A. Fert, Nobel Lecture: Origin, development, and future of
spintronics, RevModPhys, Vol. 80, October–December 2008; P. A. Grunberg, Nobel
Lecture: From spin waves to giant magnetoresistance and beyond, RevModPhys, Vol.
80, October–December 2008;
12. A. Yariv, P. Yeh, Photonics: Optical Electronics in Modern Communication, 6th
Edition, Oxford University Press, USA, 2006; Grundman M., Nano-optoelectronics,
Concepts, Physics and Devices, Springer-Verlag, Berlin 2002; Bugajski M.,
Nanofotonika, Postępy Fizyki, 55, 4, 2004
13. Dowling J. P., A comprehensive bibliography website on photonic crystals,
http://phys.lsu.edu/~jpdowling/pbgbib.html
98
14. L. Novotny, B. Hecht, Principles of Nano-Optics, Cambridge University Press,
Cambridge 2007; M. Born, E. Wolf, Principle of Optics, 7th Edition, Cambridge
University Press, Cambridge 1999.
15. Patrini M., Galli M., Belotti M., Andreani L.C., Guizzetti G., Pucker G., Lui A.,
and Bellutti L. “Optical response of one-dimensional (Si/SiO2)” J. Appl . Phys.,
92, 4, 1816, 2002
16. Ivan Hip “Interactive Visualization Package for 4D Lattice Field Theories”,
Proceedings of science, arXiv: 0710.0781v1 [hep –lat], 3 Oct. 2007
17. R. Tsu, Superlattice to Nanoelectronics, Elsevier, 2nd Edition, Amsterdam 2008
18. C. Weisbuch, B. Vinter „Quantum Semiconductors Structures”, Chapter
1,Academic Press, Boston, (1991); L. Jacak, P. Hawrylak, A. Wójs, „Quantum Dots”,
Springer –Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1998.
19. G.A. Sai – Halasz, „Physics of Semiconductors” 1978, red.B. L. H. Wilson, Inst.
Phys. Confer. Ser. 43, (1979);F. Srobar, Czech. J. Phys. 29A, 119 (1979); L. L.
Chang , L. Esaki, Surf. Sci. 98, 70 (1980); G. H. Kohler, Phys. Scr. 24, 431, (1980); L.
Esaki, R. Tsu, Superlattice and negative differantial conductivity in semiconductors,
IBM J. Res. Develop, 14, str. 61-5, 1970; praca dostepna na stronie
http://garfield.library.upenn.edu/classics1987/A1987H916900001.pdf
20. M. Aleksiejuk "Wytwarzanie i propagacja fal akustycznych o wysokich
częstotliwościach w nanowarstwach metalicznych”, Instytut Podstawowych
Problemów Techniki PAN, Warszawa 2007
21. Azaroff L., Elements of X-ray Crystalography, McGraw-Hill, New York 1968
22. M. Tłaczała, Epitaksja MOVPE w technologii heterostruktur związków AIIIBV,
Oficyna Wydawnicza P.Wr., 2002; Stringfellow G.B., Organometallic Vapor Phase
Epitaxy: Theory and Practice, Academic Press, Boston 1989, Stringfellow G.B.,
J.Cryst.Growth, 137, 1994, s.212;
www.wemif.pwr.wroc.pl/zpp/stary/laboratoria/mikroelektronika2/cw1epitaksjadoc
23. J. Misiewicz „Wybrane metody optycznych badań półprzewodników”, PWr 1996;
J. Misiewicz „Spektroskopia fotoodbiciowa struktur półprzewodnikowych”, PWr
1999; J. Misiewicz „Optyka struktur półprzewodnikowych”, PWr 2008
24. A. Klauzer - Kruszyna, „Propagacja światła spolaryzowanego w wybranych
supersieciach aperiodycznych”, praca doktorska przygotowana pod kierunkiem dr
hab. Włodzimierza Salejdy, prof. nadzw. PWr
25. K. Aydin, I. Bulu, E. Ozbay, New J. Phys. 8, 221(2006). P. Alitalo, S.
Maslovski,S. Tretyakov, Phys. Lett. A 357, 397 (2006).Y. Fang, Q. Zhou, Appl. Phys.
B 83, 587 (2006). E. Centeno, D. Cassagne and J.P. Albert, Phys. Rev. B 73, 235119
(2006).D. Felbacq, B. Guizal and F. Zolla, J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 2 L30 (2000). H.
Benisty, J.M. Lourtioz, A. Chelnokov, Proc. IEEE 94, 997 (2006).T. Matsumoto, K.S.
Eom, T. Baba, Opt. Lett. 31, 2786 (2006).J.B. Pendry, D. Schurig, D.R. Smith,
Science 312, 1780 (2006).
26. W. Salejda, The Landauer resistance of generalized Fibonacci lattices: the
dynamical maps approach. Proceedings of the VI-th Max Born Symposium on the
Nature of Crystalline States, Physica A 232 769–776 (1996); W. Salejda, P. Szyszuk,
The Landauer conductance of generalized Fibonacci superlattices. Numerical results,
Physica A 252 (1998) 547–562; W. Salejda, M. Kubisa, J. Misiewicz, K. Ryczko, M.
Tyc, The Landauer conductance of generalized Fibonacci semiconductor
superlattices, Acta Phys. Pol. A 94 514–518(1998); M. H. Tyc, W. Salejda, Negative
differential resistance in aperiodic semiconductor superlattices, Physica A 303, 493–
506 (2002).
27. A. Klauzer-Kruszyna, W. Salejda, M. H. Tyc, Polarized light transmission
through generalized Fibonacci multilayers. I. Dynamical maps approach, Optik 115,
257–266 (2004); A. Klauzer-Kruszyna, W. Salejda, M. H. Tyc, Polarized light
transmission through generalized Fibonacci multilayers. II. Numerical results, Optik
115, 267–276 (2004); A. Klauzer-Kruszyna, W. Salejda, M. H. Tyc, Transmitancja
99
światła spolaryzowanego w aperiodycznych supersieciach typu Fibonacciego, Instytut
Fizyki PWr, Raport Serii PRE-5/2003, Wrocław (2003).
28. J. M. Lick, Cantor spectra and scaling of gap widths in deterministic aperiodic
systems, Phys. Rev. B 39, 5834–5849 (1989); M. Kolar, F. Nori, Trace maps of
general substitutional sequences, Phys. Rev. B 42, 1062–1065 (1990); M. Kolar, M.
K. Ali, F. Nori, Generalized Thue-Morse chains and their physical properties, Phys.
Rev. B 43, 1034-1047 (1991).
29. E.L. Albuquerque, M.G. Cottam; “Theory of elementary excitations in
quasiperiodic structures”, Physics Reports 376 (2003) 225–337.
30. W. Salejda, Lattice dynamics of the binary aperiodic chains of atoms. I. Fractal
dimension of phonon spectra, Int. J. Mod. Phys. B 9 1429–1481 (1995).
31. G. Gumbs, M. K. Ali, Scaling and eigenstates for a class of one-dimensional
quasiperiodic lattices, J. Phys. A:Math.Gen. 21, L517–L521 (1988); G. Gumbs, M. K.
Ali, Electronic properties of the tight-binding Fibonacci Hamiltonian, J. Phys. A:
Math. Gen. 22, 951–970 (1989); G. Gumbs, M. K. Ali, Dynamical Maps, Cantor
Spectra, and Localization for Fibonacci and Related Quasiperiodic Lattices, Phys.
Rev. Lett. 60, 1081–1084 (1988).
32. J. M. Lick, Cantor spectra and scaling of gap widths in deterministic aperiodic
systems, Phys. Rev. B 39, 5834–5849 (1989);
33. B.L. Burrows, J.I. Millington „Recursive procedures for measuring disorder in
non-periodic sequences and lattices „, Physica A 295 (2001) 488–506).
34. M. Kohmoto, B. Sutherland, K. Iguci, “ Localization in Optics:
Quasiperiodic Media”, Phys. Rev. Lett. 58, 2436-2838 (1987)
35. K. Iguchi, Optical property of a quasi-periodic multilayer, Mat. Sc. En. B
15, L13–L17 (1992); M. Dulea, M. Severin, R. Riklund, Transmission of light
through deterministic aperiodic non-Fibonaccian multilayers, Phys. Rev. B 42,
3680–3689 (1990).
36. H. Miyazaki, M. Inoue, Optical properties of one-dimensional quasi-periodic
crystals. I, Optical reflectivity spectrum of a Fibonacci lattice, J. Phys. Soc. Japan 59,
2536–2548 (1990); M. Inoue, H. Miyazaki, Optical properties of one-dimensional
quasi-periodic crystals. II. Modified Fibonacci lattice with arbitrary initial conditions,
J. Phys. Soc. Japan 59, 2549–2562 (1990); M. Inoue, H. Miyazaki, Optical properties
of one-dimensional quasiperiodic crystals. III. Optical reflectivity spectrum and
structure of a generalized Fibonacci lattice, J. Phys. Soc. Japan 59, 2563–2577
(1990).
37. G. J. Jin, Z. D. Wang, A. Hu, S. S. Jiang, Scaling properties of coupled optical
interface modes in Fibonacci dielectric superlattices, J. Phys.: Cond.Matt. 8, 10285–
10292 (1996);X. Q. Huang, Y. Wang, C. D. Gong, Numerical Investigation of Light
Wave Localization in Optical Fibonacci Superlattices with Symmetric Internal
Structure, J. Phys.: Cond. Matt. 11, 7645–7651 (1999).
38. X. B. Yang, Y. Y. Liu, X. J. Fu, Transmission properties of light through the
Fibonacciclass multilayers, Phys. Rev. B 59, 4545–4548 (1999).
39. X. Wang, S. Pan, G. Yang, Antitrace maps and light transmission coefficients for
a generalized Fibonacci multilayers”, dostępne na arXiv: cond-mat/0106378 (2001)
40. V. G. Veselago, Elektrodinamika veshchestv s odnovremeno otricatelnymi
znacheniami ε i µ, Usp. Fiz. Nauk 92, 517–529 (1968).
41. D. R. Smith, W. J. Padilla, D. C. Vier, S. C. Nemat-Nasser, S. Schultz,
CompositeMedium with Negative Permeability and Permittivity, Phys. Rev.
Lett. 84, 4184–4187(2000).
42. E. Cubukcu, K. Aydin, E. Ozbay S. Foteinopoulou, C. M. Soukoulis,
Subwavelength Resolution in a Two-Dimensional Photonic-Crystal-Based Superlens,
Phys. Rev. Lett. 91, 207401 (2003); E. Cubukcu, K. Aydin, E. Ozbay, S.
Foteinopoulou, C. M. Soukoulis, Electromagnetic waves: Negative refraction by
photonic crystals, Nature 423, 604–605 (2003).
100
43. P. Markos, C. M. Soukoulis, Left-handed Materials, dostępne w EBP
arXiv:condmat/0212136, (2002).
44. A. L. Pokrovsky, A. L. Efros, Sign of refractive index and group velocity in lefthanded media, Solid St. Comm. 124, 283–287 (2002); Veselago V. G., Usp. Fiz. Nauk
92 517 (1967) [Sov. Phys. Usp. 10, 509 (1968).]
45. D. W. Ward, K. A. Nelson, K. J. Webb, On the origins of the negative index of
refraction,dostępne w EBP: arXiv:physics/0409083 (2004).
46. Larry J. Cummings, Combinatorics on Words: Progress and Perspectives, ed.,
Academic Press, 1983.
47. M. Schroeder, Fractals, Chaos, Power Laws: Minutes from an Infinite Paradis,
Wydawnictwo Freeman, 1991, str. 264–269.
48. R. E. Griswold “The Morse-Thue Sequence”, Department of Computer Science
The University of Arizona, Tucson, Arizona, © 2001 Ralph E. Griswold
49. M.J. Gazalé, Gnomon: From Pharaohs to Fractals, Princeton, 1999, str.223-224.
50. B.B Mandelbrot, The fractal geometry of nature, New York, W.H.Freeman.1993;
51 C. A. Pickover,Mazes for the Mind: Computers and the Unexpected, St. Martin’s
Press, 1992, str. 71-77; L. Kindermann, MusiNum — The Music in the Numbers:
http:/bfws7e.informatik.uni-erlangen.de/~kinderma/musinum.html;
N. Mucherino, Recursion: A Paradigm for Future Music?, http://www-ks.rus.unistuttgart.de:/people/ schulz/fmusic/recursion.html;
52. J. Kudrewicz, Fraktale i chaos, WNT, Warszawa 1993
53. P. Pierański, Fraktale, Od geometrii do sztuki, Wydanie 1, Instytut Fizyki
Molekularnej PAN, Ośrodek Wydawnictw Naukowych, Poznań 1992
54. M. F. Barnsley, Fractals everywhere, Boston, Academic Press Professional, 1993;
K.Falconer. Chichester : John Wiley and Sons, Fractal geometry :mathematical
foundations and applications, cop. 2003.
55. A. K. Kwaśniewski, Algorytmy i iteracje, 1996
56. http://www.eugeniuszm.scholaris.pl/
57. http://pl.wikipedia.org/wiki
58. M. Tempczyk, Geometria fraktali dzisiaj, Matematyka 6, 1996
59 Program komputerowy, Shareware, FFF (FANTASTIC-FRACTAL-FACTORY), ver
7/94
60. http://helios.et.put.poznan.pl/~mmatels/plik.html
61. P. Sheng, Introduction to Wave Scattering, Localization and Mesoscopic
Phenomena, Academic Press, New York, 1995.
62 A. Sparenberg, G.L.J.A. Rikken, B.A. van Tiggelen, Phys. Rev. Lett. 79 (1997)
757; D.S.Wiersma, M. Colocci, R. Righini, F. Aliev, Phys. Rev. B 64 (2001) 144208;
F. Scheffold, G. Maret, Phys. Rev. Lett. 81 (1988) 5800.
63. T. Fujiwara, T. Ogawa, Quasicrystals, Springer Verlang, Berlin, 1990.
64. A. Thue, Norske Vidensk. Selsk. Skr. I. Mat. -Nat. K17 (1) (1906);
A. Thue, Norske Vidensk. Selsk. Skr. I. Mat. -Nat. 11 (1912).
M. Morse, Trans. Am. Math. Soc. 22 (1921) 84;
M. Morse, Am. J. Math. 43 (1921) 35.
Z. Cheng, R. Savit, R. Merlin, Phys. Rev. B 37 (1988) 4375.
65. C. Pisot, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 7 (1938) 205.
66. E. Bombieri, J.E. Taylor, J. Physique Colloq 48 (1987) C3–C19.
67. C.S. Ryu, G.Y. Oh, M.H. Lee, Phys. Rev. B 48 (1993) 132.
68. N. Liu, Phys. Rev. B 55 (1997) 3542.
69. R. Pelster, V. Gasparian, G. Nimtz, Phys. Rev. B 55 (1997) 7645.
70. M.S. Vasconcelos, E.L. Albuquerque, Phys. Rev. B 59 (1999) 11128.S.F.
Musikhin, V.J. Il’in, O.V. Rabizo, L.G. Bakueva, T.V. Yudinstseva, Semiconductors
31 (1997) 46.
71. F. Qiu, R.W. Peng, X.Q. Huang, Y.M. Liu, M.Wang, A. Hu, S.S. Jiang, Europhys.
Lett. 63 (2003) 853.
101
72. L. Dal Negro, M. Stolfi, Y. Yi, J. Michel, X. Duan, L.C. Kimerling, J. Le Blanc, J.
Haavisto, Appl. Phys. Lett. 84 (2004) 5186.
73. L. Dal Negro, J.H. Yi, V. Nguyen, Y. Yi, J. Michel, L.C. Kimerling, Appl. Phys.
Lett. 86 (2005) 261905.
74. X. Jiang, Y. Zhang, S. Feng, K.C. Huang, Y. Yi, J.D. Joannopoulos, Appl. Phys.
Lett. 86 (2005) 201110.
75. M.E. Mora-Ramos, V. Agarwal, J.A. Soto-Urueta, Microelect. J. 36 (2005) 413.
76. J. B. Sokoloff, Phys. Rep. 126 (1985) 198.
77. P. Tong, “Measurement of disorder in three– component nonperiodic sequences”,
Phys. Lett. A 207 (1995) 159–164
78. R. Riklund et al. Int. J. Mod. Phys. B I (1987) 121;
M.G. Qin, H.R. Ma, C.H. Tsai, J. Phys. Condens. Matter 2 (1990) 1059;
Q. Niu, F. Nori, Phys.Rev. Lett. 57 (1986) 2057;
H. R. Ma, I. H. Tsai, J. Phys. C 21 (1988) 4311
79. P. Tong, Trace maps and electronic properties of a class of three– component
nonperiodic lattices, Phys. Lett. A 217, (1996) 141– 150; W. Steurer, Daniel SutterWidmer, Photonic and phononic crystals, J. Phys.. D: Appl.Phys. vol. 40, 2007, R229-R247
80. C.E Shannon, M. Weaver ‘The mathematical theory of
communication’,Univ. Of Illinois Press, Chicago, 1949
81. J. Tond, R. Merlin, Roy Clarke , K. M.Mohanty, J. D. Axe, Phys. Rev.
Lett. 57 (1986) 1157; Z. Cheng, R. Savti, R. Merlin, Phys. Rev. B 37 (1988)
4375; R. Merlin , J. Phys. (Paris) Colloq. 48 (1987) C5- 503; F. Axel, H.
Terauchi, Phys. Rev. Lett. 66(1991) 2223
82. B. L. Burrows , K. W. Sulston , J.Phys. A 24 (1991) 3797
83. L. de Arcangelis, S. Redner, A. Coniglio, Phys. Rev. B 31 (1985) 4725.
J.B. Drake, J.F. Weishampel, Forest Ecol. Manage. 128 (2000) 121; G.D. Tourassi,
E.D. Frederick, N.F. Vittitoe, C.E. Floyd, R.E. Coleman, Radiology 213 (1999) 572;
C. Paredes, F.J. Elorza, Comput. Geosci. 25 (1999) 1081.
84. M.S. Vasconcelos, E.L. Albuquerque, Phys. Rev. B 57 (1998) 2826; C.G. Bezerra,
E.L. Albuquerque, Physica A 245 (1997) 379; C.G. Bezerra, E.L. Albuquerque,
Physica A 255 (1998) 285.
85.W.Salejda, Dynamika sieci i przewodnictwo elektryczne kwazijednowymiarowych
struktur aperiodycznych, autoreferat habilitacyjny, plik habil_ps.zip dostępny pod
adresem http://www.if.pwr.wroc.pl/~wsalejda/ (zakładka „Spis publikacji”), rozdziały
dotyczące analizy multifraktalnej
86. T.C. Halsey, M.H. Jensen, L.P. Kadano, I. Procaccia, B.I. Shraiman, Phys. Rev. A
33 (1986) 1441.
87. T. Vicsek, Fractal Growth Phenomena, World Scientic, Singapore, 1989.
A.L. Olemskoi, A.Ya. Flat, Phys. Uspekhi 36 (1993) 1087.
88. M.S. Vasconcelos, E.L. Albuquerque, A.M. Mariz, J. Phys.: Condens. Matter 10
(1998) 5839.
89. G. Paladin, A. Vulpiani, Phys. Rep. 156 (1987) 148; J.L. McCauley, Phys. Rep.
189 (1990) 225;T.C. Halsey, M.H. Jensen, L.P. Kadano, I. Procaccia, B.I. Schraiman,
Phys. Rev. A 33 (1986) 1141; T.C. Halsey, P. Meakin, I. Procaccia, Phys. Rev. Lett.
56 (1986) 854.
90. A.B. Chhabra, R.V. Jensen, Phys. Rev. Lett. 62 (1989) 1327. A.B. Chhabra, C.
Meneveau, K.R. Srenivasan, Phys. Rev. A 40 (1989) 5284.
116. R. Merlin, K. Bajema, R. Clarke, F. Y. Juang, P. K. Bhattacharya, Phys. Rev.
Lett. 55 (1985) 1768
91. Pendry J. B., Holden A. J., Stewart W. J., and Youngs I., Phys. Rev. Lett. 76, 4773
(1996).
92. Pendry J. B., Holden A. J., Robbins D. J., and Stewart W. J., IEEE Trans.
Microwave Theory Tech. 47, 2075 (1999); Silin R. A. Neobychnye Zakony
102
Prelomleniya i Otrazheniya (Unusual Laws of Refraction and Reflection) (Moscow:
Fazis, 1999); Silin R. A., Chepurnykh I. P., Radiotekh. elektron 46, 1212 (2001); [J.
Comm. Techol. Electron. 46, 1121 (2001).] Silin R. A., Radiotekh. elektron 47, 186
(2002) [J. Comm. Techol. Electron. 47, 169 (2002).]
93. Smith D. R., Padilla W. J., Vier D. C., Nemat-Nasser S. C., Schultz S., Phys. Rev.
Lett. 84, 4184 (2000); R.A. Shelby, D.R. Smith, S. Schultz., Science 292, 77 (2001).
94. K. Yu. Bliokhand Yu. P. Bliokh “What are the left-handed media and what is
interesting about them?, arXiv: physics/0408135v2
95.
J.B.
Pendry,
Phys.
Rev.
Lett
85
3966
(2002);
http://xlab.me.berkeley.edu/publications.htm;http://www.mahalo.com/Xiang_Zhang;
N. Fang, H. Lee, Ch. Sun, X. Zhang, Sub–Diffraction-Limited Optical Imaging with a
Silver Superlens, Science nr 308, 22.04.2005; Z. Liu, H. Lee, Y. Xiong, Ch. Sun, X.
Zhang, Far-Field Optical Hyperlens Magnifying Sub-Diffraction-Limited Objects,
Science nr 315, 23.03.2007; J. Yao, Z. Liu, Y. Liu, Y. Wang, Ch. Sun, G. Bartal,
Optical Negative Refraction in Bulk Metamaterials of Nanowires, Science nr 321,
15.08.2008.
95a. Jason Valentine, Shuang Zhang, Thomas Zentgraf, Erick Ulin-Avila, Dentcho A.
Genov, Guy Bartal & Xiang Zhang, Three-dimensional optical metamaterial with
a negative refractive index, Nature 455, 376-379 (18 September 2008)
96. Fragment artykułu z ‘Gazety Wyborczej’ z dnia 12. 08.08 r. oraz strony
Sieć
Doskonałości
METAMORPHOSE:
http://www.metamorphose-eu.org
Zakład Optyki Informacyjnej UW: http://zoi.fuw.edu.pl; J.B.Pendry, D. Schurig, D.R.
Smith, Controlling electromagnetic fields. Science 312,1780–1782 (2006); U.
Leonhardt, Optical conformal mapping. Science 312, 1777–1780 (2006); U.
Leonhardt, Notes on conformal invisibility devices. New J. Phys. 8, 118 (2006); D.
Schurig, Metamaterial electromagnetic cloak at microwave frequencies. Science
314,977–980 (2006).
97. C. Wenshan, K.U. Chettiar, V. A. Kildishev, V.M. Shalaev, ‘Optical cloaking with
metamaterials’,
nature
photonics/VOL
1/
April
2007
www.nature.com/naturephotonics
98. S.A.Cummer, B.I. Popa., D. Schurig, D.R. Smith, J. Pendry, “ Full-wave
simulations of electromagnetic cloaking structures.”, Phys. Rev. E 74, 036621 (2006);
V.M. Shalaev “Nonlinear Optics of Random Media: Fractal Composites and MetalDielectric Films”, (Springer, Berlin, 2000).
99. Garcia de Abajo F. J., Gomez-Santos G., Blanco L. A., Borisov A. G., Shabanov
S. V., “Tunneling mechanism of light transmission through metallic films.”, Phys.
Rev. Lett. 95, 067403 (2005); U.K. Chettiar, “From low-loss to lossless optical
negative-index materials.” CLEO/QELS-06 Annual Meeting Proceedings, Long
Beach, California, May 21–26 (2006); T.A. Klar, A.V. Kildishev , Drachev V. P.,
Shalaev V. M.,” Negative-index metamaterials: Going optical.” IEEE J. Sel. Top.
Quant. Electron. 12, 1106–1115 (2006).
http://www.youtube.com/watch?v=Ja_fuZyHDuk&eurl=
http://www.cbc.ca/technology/story/2009/01/15/invisibility-cloak.html
100. A. C. Hamilton, J. Courtial, Metamaterials for light rays: ray optics without
wave-optical analog in the ray-optics limit, dostępne na arXiv:0809.4370v2
[physics.optics] 27.01.2009; K. Vynck, D. Felbacq, E. Centeno, A. I. Cabuz, D.
Cassagne, B. Guizal, All-Dielectric Rod-Type Metamaterials at Optical Frequencies,
dostępne na arXiv:0805.0251v2 [physics.optics] 05.02.2009;
101. Koray A., I. Bulu, E. Ozbay„Electromagnetic wave focusing from sources inside
a two-dimensional left-handed material superlens”, New Journal of Physics 8 (2006)
221
102. V.M. Shalaev, Optical negative-index metamaterials, Nat. Photon.1 (2007) 41;
C.M. Soukoulis, M. Kafesaki, E.N. Economou, Negative-index materials: new frontier
in optics, Adv. Mater. 18 (2006)1941.
103
103. R.A. Shelby, D.R. Smith, S. Schultz, Experimental verification of a negative
index of refraction, Science 292 (2001) 77.
104. T.J.Yen,W.J. Padilla, N. Fang, D.C.Vier, D.R. Smith, J.B. Pendry, D.N. Basov,
X. Zhang,Terahertz magnetic response from artificial materials, Science 303 (2004)
1494; S. Zhang, W. Fan, B.K. Minhas, A. Frauenglass, K.J. Malloy, S.R.J. Brueck,
Midinfrared resonant magnetic nanostructures exhibiting a negative permeability,
Phys. Rev. Lett. 94 (2005) 037402–37404.
N. Katsarakis, G. Konstantinidis, A. Kostopoulos, R.S. Penciu, T.F. Gundogdu, M.
Kafesaki, E.N. Economou, T. Koschny, C.M. Soukoulis, Magnetic response of splitring resonators in the far-infrared frequency regime, Opt. Lett. 30 (2005) 1348.
105. S. Linden, C. Enkrich, M. Wegener, J. Zhou, T. Koschny, C.M. Soukoulis,
Magnetic response of metamaterials at 100-THz, Science 306 (2004) 1351.
C. Enkrich, M.Wegener, S. Linden, S. Burger, L. Zschiedrich, F. Schmidt, J.F. Zhou,
T. Koschny, C.M. Soukoulis, Magnetic metamaterials at telecommunication and
visible frequencies, Phys. Rev. Lett. 95 (2005) 203901–203904.
106. H.K. Yuan, U.K. Chettiar,W. Cai, A.V. Kildishev, A. Boltasseva, V.P. Drachev,
V.M. Shalaev, A negative permeability material at red light, Opt. Express 15 (2007)
1076.
107. W. Cai, U.K. Chettiar, H.K. Yuan, V.C. De Silva, A.V. Kildishev, V.P. Drachev,
V.M. Shalaev, Metamagnetics with rainbow colors, Opt. Express 15 (2007) 3341.
108. C. Enkrich, F. Perez-Williard, D. Gerthsen, J. Zhou, T. Koschny, C.M.
Soukoulis, M. Wegener, S. Linden, Focused-ion-beam nanofabrication of nearinfrared magnetic metamaterials, Adv. Mater. 17 (2005) 2547; W.M. Klein, C.
Enkrich, M.Wegener, C.M. Soukoulis, S. Linden, Single-slit split-ring resonators at
optical frequencies: limits of size scaling, Opt. Lett. 31 (2006) 1259.
109. V.M. Shalaev, W. Cai, U.K. Chettiar, H.K. Yuan, A.K. Sarychev, V.P. Drachev,
A.V. Kildishev, Negative index of refraction in optical metamaterials, Opt. Lett. 30
(2006) 3356; S. Zhang,W. Fan, N.C. Panoiu, K.J. Malloy, R.M. Osgood, S.R.J.
Brueck, Experimental demonstration of near-infrared negativeindex metamaterials,
Phys. Rev. Lett. 95 (2005) 137404; G. Dolling, C. Enkrich, M. Wegener, C.M.
Soukoulis, S. Linden, Simultaneous negative phase and group velocity of light in a
metamaterial, Science 312 (2006) 892; G. Dolling, C. Enkrich, M. Wegener, C.M.
Soukoulis, S. Linden, Low-loss negative-index metamaterial at telecommunication
wavelengths, Opt. Lett. 31 (2006) 1800;G. Dolling, M. Wegener, C.M. Soukoulis, S.
Linden, Negative index metamaterial at 780 nm wavelength, Opt. Lett. 32 (2007) 53;
U.K. Chettiar, A.V. Kildishev, H.K. Yuan, W. Cai, S. Xiao, V.P. Drachev, V.M.
Shalaev, Dual-band negative index metamaterial: double negative at 813 nm and
single negative at 772 nm, Opt. Lett. 32 (2007) 1671; S. Zhang, W. Fan, K.J. Malloy,
S.R.J. Brueck, N.C. Panoiu, R.M. Osgood, Near-infrared double negative
metamaterials, Opt. Express 13 (2005) 4922.
110. T.A. Klar, A.V. Kildishev, V.P. Drachev, V.M. Shalaev, Negative index
metamaterials: going optical, IEEE J. Sel. Top. Quant. Electron. 12 (2006) 1106–
1115; A.K. Popov, V.M. Shalaev, Compensating losses in negative index
metamaterials by optical parametric amplification, Opt. Lett. 31 (2006) 2169–2171;
A.K. Popov, S.A. Myslivets, T.F. George, V.M. Shalaev, Four wave mixing, quantum
control and compensating losses in doped negative-index photonic metamaterials,
Opt. Lett. 32 (2007) 3044–3046.
111. A. Boltasseva , V. M. Shalaev, Fabrication of optical negative-index
metamaterials: Recent advances and outlook, Invited Review Metamaterials 2 (2008),
1–17
112. V.M. Shalaev, Optical negative-index metamaterials, Nat. Photon.1 (2007) 41.
113. S.R.J. Brueck, Optical and interferometric lithography— nanotechnology
enablers, Proc. IEEE 93 (2005) 1704. N. Feth, C. Enkrich, M.Wegener, S. Linden,
Large-area magnetic metamaterials via compact interference lithography, Opt.
Express 15 (2006) 501.
104
114. S.Y. Chou, P.R. Krauss, P.J. Renstrom, Nanoimprint lithography, J. Vac. Sci.
Technol. B 14 (1996) 4129.
115. G. Dolling, M. Wegener, S. Linden, Realization of a threefunctional- layer
negative-index photonic metamaterial, Opt. Lett. 32 (2007) 551.
116. N. Liu, H. Guo, L. Fu, S. Kaiser,H. Schweizer,H. Giessen, Three dimensional
photonic metamaterials at optical frequencies, Nat. Mater. 7 (2007) 31–37. S.
Subramania, S.Y. Lin, Fabrication of three-dimensional photonic crystal with
alignment based on electron beam lithography, Appl. Phys. Lett. 85 (2004) 5037.
117. K. Takada, H.-B. Sun, S. Kawata, Improved spatial resolution and surface
roughness in photopolymerization-based laser nanowriting, Appl. Phys. Lett. 86
(2005) 071122–71123. F. Formanek, N. Takeyasu, K. Tanaka, K. Chiyoda, T.
Ishihara, S. Kawata, Selective electroless plating to fabricate complex three
dimensional metallic micro/nanostructures, Appl. Phys. Lett. 88 (2006) 083110.
118. F. Formanek, N. Takeyasu, T. Tanaka, K. Chiyoda, A. Ishikawa, S. Kawata,
Three-dimensional fabrication of metallic nanostructures over large areas by twophoton polymerization, Opt. Express 14 (2006) 800.
Y. Chi, E. Lay, T.-Y. Chou, H.-Y. Song, A.J. Carty, Deposition of silver thin films
using the pyrazolate complex [Ag(3,5- (CF3)2C3HN2)] 3, Chem. Vapor Depos. 11
(2007) 206.
119. S. Griffith, M. Mondol, D.S. Kong, J.M. Jacobson, Nanostructure fabrication by
direct electron-beam writing of nanoparticles, J. Vac. Sci. Technol. B 20 (2002) 2768.
T. Morita, K. Nakamatsu, K. Kanda, Y. Haruyama, K. Kondo, T. Kaito, J. Fujita, T.
Ichihashi, M. Ishida, Y. Ochiai, T. Tajima, S. Matsui, Nanomechanical switch
fabrication by focused-ion-beam chemical vapor deposition, J.Vac. Sci.Technol.B22
(2004) 3137.
120. N. Kehagias, V. Reboud, G. Chansin, M. Zelsmann, C. Jeppesen, C. Schuster, M.
Kubenz, F. Reuther, G. Gruetzner, C.M. Sotomayor Torres, Reverse-contact UV
nanoimprint lithography for multilayered structure fabrication, Nanotechnology 18
(2007) 175303–175304.
105