Teoria gier semestr letni 2007/2008 VI lista zadań

Teoria gier
semestr letni 2007/2008
VI lista zadań
1. Dla ceny krawędzi α > 2 znajdź równowagę w Local Connection Game, w wyniku której nie powstaje gwiazda. Następnie oszacuj, ile co
najmniej razy koszt grania tej równowagi jest większy od kosztu rozwiązania optymalnego.
Wskazówka: Skorzystaj z tego, że żeby w sieci z α > 2 nie opłacało
się dodać krawędzi, łączącej v z u, odległość między nimi musi być nie
większa od 3.
2. Rozważ modyfikację Local Connection Game, w której dla każdej możliwej krawędzi w grafie podana z góry jest waga (długość), jaką będzie
ona miała, jeśli zostanie stworzona (oczywiście te długości będą wykorzystywane przy liczeniu odległości między graczami). Zakładamy, że te
długości są zawsze takie, że dodanie krawędzi bezpośrednio pomiędzy
dwoma wierzchołkami zminiejsza odległość między nimi.
(a) Pokaż, że w takiej modyfikacji będzie istnieć α1 , takie że dla α <
α1 równowagą będzie dowolny układ strategii, tworzący graf pełny.
(b) Pokaż (znajdź przykład), że dla dowolnego α będzie istnieć taka
gra powyższego rodzaju, że żaden układ strategii tworzący gwiazdę nie będzie równowagą w tej grze.
3. Rozważ następujący przykład Global Connection Game (gracz i chce
przesyłać pakiety z si do t):
t
1
1
1
k
1 3
2
...
1+ε
s1
s2
s3
sk
0
0
0
0
Pokaż, że w tym przykładzie Price of Stability jest prawie równe (dla ε
dążącego do zera dąży do) Hk (czyli że ograniczenie Price of Stability
podane na wykładzie nie może być poprawione).
4. Rozważ modyfikację Global Connection Game, w której koszt korzystania przez pojedynczego gracza z krawędzi e nie jest równy kcee , tylko
le (ke ) dla pewnej nieujemnej niemalejącej funkcji (tu gracze chcą minimalizować opóźnienia powstałe w tworzonej przez nich sieci). Znajdź
funkcję potencjału dla takiej gry. Ogranicz (jak na wykładzie) Price of
Stability dla tej gry, korzystając z tej funkcji potencjału.