okl mt 03-2007 pomocnicze.qxd

matematyka k.qxd
mate
2007-02-20
15:53
Page 44
matyka
emat artykułu dotyka, jak zawsze, matematyki, ale
– trochę z okazji bliskiej już matury – jest refleksyjny. Zaczęło się od tego, że znajomy filozof zaprosił
mnie do udziału w audycji Sowa Minerwy w 2 programie Polskiego Radia (soboty, godzina 23.05), proponując jako temat rozmowy: „Racjonalne czy rozumne?”.
Zdziwiłem się – czy to nie to samo, przecież rozum to
po łacinie ratio? „Nie”, powiedział filozof, a ja sobie
zdałem sprawę, że mówi prawdę: racjonalne to nie
dokładnie to samo, co rozumne. Zanurzmy się zatem
w filozofię. Nadeszła już wiosna, zbliża się matura –
trochę zadumy nie zaszkodzi.
Po pierwsze, między rozumem a intelektem istnieje pewna różnica. Rozróżnił te pojęcia Immanuel
Kant, jeden z najsłynniejszych filozofów (1724–1804).
Wielu z nas te pojęcia utożsamia. Tymczasem – mówi
Kant, jest to co innego. Rozum to zdolność myślenia.
Intelekt to zdolność poznania. Intelekt ujmuje, opracowuje, przetwarza, systematyzuje i klasyfikuje to, co
jest w zmysłach. Rozum stara się zrozumieć sens. Oto
przykład. Newton odkrył wzory matematyczne, bardzo
dobrze opisujące zachowanie się ciał w polu grawitacyjnym. Ale nie przyczyniło się to w najmniejszym
stopniu do zrozumienia, czym jest grawitacja, jej natu-
T
TEKST
TRUDNY
Rozumne
czy
44
Michał Szurek tak mówi o sobie: „Urodzony w 1946.
Ukończyłem UW w 1968 r. i od tego czasu tam pracuję na
Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki. Specjalność
naukowa: geometria algebraiczna. Ostatnio zajmowałem
się wiązkami wektorowymi. Co to jest wiązka wektorowa?
No, trzeba wektory mocno powiązać sznurkiem i już mamy
wiązkę.
Do „Młodego Technika” zaciągnął mnie siłą kolega fizyk,
Antoni Sym (przyznaję, powinien mieć z tego powodu tantiemy od moich honorariów autorskich). Napisałem kilka
artykułów, a potem zostałem i od 1978 roku co miesiąc
możecie Państwo czytać, co też myślę o matematyce.
Lubię góry i mimo nadwagi staram się chodzić. Uważam,
że najważniejsi są nauczyciele. Polityków, niezależnie od
opcji, jaką prezentują, trzymałbym w pilnie strzeżonym
miejscu, żeby nie mogli uciec. Karmił raz dziennie. Lubi
mnie jeden pies z Tulec, rasy beagle”.
racjonalne?
ry, przyczyny jej istnienia. Fizyków zresztą to nie
obchodzi. Dla przedstawicieli nauk ścisłych pytanie:
„Czym jest grawitacja”, nie jest wcale naukowe. Ciekawie, choć nieco zawile ujmuje to Hannah Arendt,
pisząc, że pytanie o znaczenie jest „pozbawione znaczenia” dla zdrowego rozsądku i rozumowania zdroworozsądkowego.
Być może dobrze oddaje różnicę między „rozumne” i „racjonalne” następująca anegdotka. Oto list
do biura matrymonialnego: „Drogie Biuro! Wasz komputer, kojarzący pary, działa znakomicie. Ja i moja
świeżo poślubiona żona, którą wybrał mi Wasz komputer, pasujemy do siebie jak ulał. Mamy te same
poglądy na życie, lubimy te same potrawy, tak samo
spędzać wolny czas, podobają nam się te same filmy
i myślimy tak samo, jak będziemy wychowywać nasze
dzieci. Lubimy się budzić o tej samej porze. Lubimy
takie same bułeczki na śniadanie z takim samym dżemem. Pasujemy do siebie na 100 procent.
Może na 99%. Bo nie lubimy tylko jednej rzeczy:
siebie nawzajem!”
Michał Szurek
Tyle anegdotka. Stanowiskiem racjonalnym
nazwałbym tu podejście: ulepszyć program. Natomiast podejście rozumowe polegało na przyznaniu się
do niewiedzy, do tego, że w sprawach męsko-damskich komputer jest jak łom u zegarmistrza.
W historii matematyki pierwszy konflikt między
racjonalnym i rozumnym zdarzył się w VI wieku przed
naszą erą. Pitagorejczycy byli przerażeni odkryciem
istnienia wielkości niewymiernych. Burzyło to ich misternie skonstruowany system filozoficzny i kosmologiczny. I oto wkrótce potem ruch pitagorejski rozdzielił się na dwie gałęzie: matematyków (którzy zaczęli
zgłębiać tajemnicę niewymierności) i tak nazwanych
później akuzmatyków, którym wystarczało samo kontemplowanie tajemnicy. Można powiedzieć, że zachowali się jak pan A.B., którego cytuje zmarły w styczniu tego roku Ryszard Kapuściński w swoich Lapidariach: (Lapidarium III, Czytelnik, 1997, str. 101):
„Czy musisz wszystko zrozumieć? Uszanuj
obecność tajemnicy. To, co niewiadome, nadaje rzeczom głębi”.
matematyka k.qxd
2007-02-20
15:53
Page 45
„ C z y m u s i s z w s z y s t k o z r o z u m i e ć ? U s z a n u j o b e c n o ś ć t a j e m n i c y.
To , c o n i e w i a d o m e , n a d a j e r z e c z o m g ł ę b i ” .
Ryszard Kapuściński
Starożytni uczyli, że każde poznanie musi być
poczwórne: intuicja przeciwstawia się percepcji,
uczucie intelektowi. Matematyk powie, że jest to grupa czwórkowa Kleina, a nie grupa cykliczna. Nie tłumacząc tych pojęć, zauważę, że w tej klasyfikacji rozum jest gdzieś w środku. Nie jest chłodnym intelektem ani gorącym uczuciem. Jest letni, w bardzo pozytywnym sensie słowa: kojarzy się raczej z chłodnym
wietrzykiem letniego, zamglonego poranka, a nie
z zimnym powiewem arktycznego powietrza ani z gorącą atmosferą karnawału w Rio de Janeiro.
Na małą chwilę wróćmy do matematyki. Liczby
wymierne to znane nam wszystkim ułamki: ½, ¾ itp.
W obcych językach nazywają się one liczbami racjonalnymi (rational), liczby niewymierne to irrational
numbers, czyli liczby irracjonalne. Ocena „wymierna”
jest to ocena na punkty, zaś ocena niewymierna to...
no właśnie, mamy nawet kłopoty ze sformułowaniem
kryteriów! W takim ujęciu „rozumowe” zbliża
się do „uczuciowego”.
Wyobraźmy sobie, że drużyna piłkarska przegrywa 0:3 na 5
minut przed końcem.
Podejście racjonalne
mówi: nie męczmy się
dalej, jest już po meczu,
nie damy rady. Podejściem rozumowym
(znowu „rozum” jest
dla mnie bliższy „uczuciu”) nazwę tu: gramy
do końca jak najlepiej,
jesteśmy po to, by grać,
a nie kombinować. Jeśli
czytają nas dzieci, to
wytłumaczę też problem na szpinaku. Pewna moja znajoma chciała narzucić swojemu
dziecku filozofię racjonalną i odezwała się do
swojego dziecka: „Jak
to nie lubisz szpinaku?
Przecież on jest zdrowy!!!” Dziecko było rozumne i odpowiedziało: „W innych warzywach też jest dużo żelaza, może nawet
więcej niż w tej obrzydliwie wyglądającej zielonej
papce, której po prostu nie lubię. Nie lubię i już”.
Szpinak jest ważny. Dotknijmy jednak i jeszcze
poważniejszych zagadnień. Jak poodejmujemy decyzje? Psychologowie wyodrębniają kilka rodzajów czynników myślowych, wśród których najbardziej zaawansowane to czynniki oceny: ocenianie spostrzeżeniowe, logiczne, doświadczalne itp. Nie chodzi tu tylko o umiejętność stawiania stopni naszym uczniom,
a o porządkowanie świata w naszym umyśle. Umiejętność oceny spostrzeżeniowej mają i zwierzęta.
Właściwa ocena stopnia zagrożenia jest często warunkiem przeżycia. Wartościowanie oparte na logicznej analizie i eksperymentach jest cechą ludzką. Czynimy to na co dzień, niekiedy nie zdając sobie z tego
wyraźnie sprawy. Gdy wypowiadamy kategoryczne
sądy na temat tego, co jest piękne, często staramy się
znaleźć jakieś racjonalne uzasadnienie własnej, subiektywnej oceny. Jeżeli należymy do grona osób podejmujących decyzje o znaczeniu społecznym, nasze
wartościowanie wpływa na wybór strategii gospodarczej, kierunki rozwoju badań naukowych itd. Jak
podejmujemy te decyzje? Rozumnie czy racjonalnie?
W matematyce finansowej istnieje dział zwany analizą techniczną: mamy tam dziesiątki, jeśli nie setki
wskaźników: patrzymy na liczby i prognozujemy, co
będzie. Ale nigdy nie obejmiemy całości zagadnienia,
zawsze będziemy podejmować decyzje
r o z u m o w o, a nie tylko racjonalnie.
W nieco innej sytuacji jest pilot samolotu. Widzi
dziesiątki wskaźników. Decyzje, jak lądować, podejmuje, kierując się intelektem. Nie zastanawia się nad
sensem lądowania. W tym sensie inteligencja wiąże
się nie z intelektem, a właśnie z rozumem. Polega ona
bowiem w dużej mierze na podejmowaniu decyzji na
podstawie niepełnych
danych. Bywa często
niesłusznie postrzegana jako wiedza
plus szybkość kojarzenia.
Omówmy następne różnice między
„racjonalnym” i „rozumnym”. Współpracowałem kiedyś
z amerykańską firmą,
chodziło o oprogramowanie kalkulatorów.
Na wszystkie trudności istniały procedury, jak je rozwiązywać. Wystarczyło
i należało się do nich
stosować. Ba, istniała
nawet procedura na
to, co robić, gdy na
pojawiający się problem nie ma procedury. Należało „zastosować procedurę do
najbliższego znanego
problemu”. To mieli
Amerykanie. To jest podejście racjonalne. Podejście
rozumowe, które ja lansowałem, jest: rzućmy w kąt
procedury i pomyślmy, jak rozwiązać problem.
W monarchii austro-węgierskiej istniał specjalny order dla oficera, który n i e wykonał rozkazu
i w ten sposób przyczynił się do uratowania sytuacji
na polu bitwy. Dostać ten order było bardzo trudno,
bo przedtem stawało się przed sądem polowym!
Mam nadciśnienie, przyjmuję regularnie stosowne leki. Racjonalnie zachowała się więc pewna
pani doktor, która po zmierzeniu mi ciśnienia (a było
wysokie) zaaplikowała dodatkowe środki na jego obniżenie. Mnie jednak „coś” nie dawało spokoju – nie
rozumiałem, dlaczego to ciśnienie tak skoczyło. Zacząłem myśleć, przypomniałem sobie różne fakty sprzed
kilku tygodni – i doszedłem do wniosku, że aparat pani doktor musi przekłamywać wyniki. Sprawdziliśmy –
tak było. Pani doktor zachowała się racjonalnie, a ja –
rozumowo.
45
matematyka k.qxd
mate
46
2007-02-20
15:53
Page 46
matyka
Jak wszyscy wiemy, od kilku lat obowiązuje nowa matura. Stworzono jednolite procedury oceniania.
Wszystko jest na punkty. Uczniowie są trenowani
w tym, jak mają formułować odpowiedzi. Są oceniani
za kolejne czynności. Jest to tak zwane ocenianie
czynnościowe, w odróżnieniu od tego, co było dawniej
– oceniania całościowego. Różnicę najlepiej oddaje
przykład. Prosimy ucznia szkoły stolarskiej, by zrobił
stół. Dajemy mu stosowną ilość czasu i oceniamy gotowy produkt: patrzymy, czy się nie kiwa, czy blat jest
równy, czy nam się podoba, próbujemy, czy jest mocny i tak dalej. Oceniamy całościowo – subiektywnie,
ale rozumowo. Oceniamy gotowy produkt – w przypadku matury jest to „produkt intelektualny”. Ocenianiem racjonalnym, czynnościowym, nazwałbym coś
takiego. Uczeń dostaje zadanie: „zbuduj stół”, a komisja egzaminacyjna stoi i patrzy, jak on to robi, i stawia punkty za kolejne czynności: jak hebluje blat, jak
wbija gwoździe, jak lakieruje, klei i tak dalej. Wreszcie, jakim tonem mówi: „Proszę bardzo, oto moja praca!”. Ocena jest sumą punktów za poszczególne czynności. To nazwałbym ocenianiem racjonalnym.
Mówimy o racjonalnym i rozumnym. W czasach,
w których żyjemy, mamy potrzebę racjonalizacji każdej decyzji, które podejmujemy. Może to zresztą cecha
naszej ludzkiej psychiki – że chcemy decyzje uzasadniać. Pytano zawsze alpinistów, dlaczego chodzą
w góry. Na pytanie, dlaczego wszedł na Everest, Edmund Hillary odpowiedział: „Bo Everest jest”. Ale to
nie jest dobra odpowiedź – narkotyki też są. Jan Długosz, taternik zmarły w 1962 roku, powiedział, że
wspina się, bo bardzo lubi herbatę. „Jak to?” – zapytał dziennikarz. „A wie pan, po nocy spędzonej na wisząco w ścianie, w zimnie i deszczu, to jak się rano
ugotuje herbatę, to ona jest cholernie dobra”. Odpowiedź należało zrozumieć mniej więcej tak: „ja nie
muszę racjonalizować swojej decyzji pójścia w góry,
bo rozum mi mówi, że tam muszę iść, ale skoro pan
szuka tych racjonalnych przesłanek, to bardzo proszę,
niech będzie ta z herbatą”.
Mówimy o racjonalnym i rozumnym. A co z nierozumnym i nieracjonalnym? Nauczyłem się, że w Lapidariach Ryszarda Kapuścińskiego znajdę bon mot
na wszystko. Zacząłem szukać słów pasujących do
naszego tematu. Bardzo szybko znalazłem. Pierwszy
to taki:
„To wszystko, co stanowi świat wyobraźni, ma
na człowieka największy wpływ. Ten, kto potrafi oddziałać na kształt tej wyobraźni, zdobywa nad nim
prawdziwą władzę”.
Zaś drugi tekst, pisany w stanie wojennym,
zachowuje wiele ze swojej aktualności.
„Starganie losu polskiego, co kilka lat nowy
etap, nowa scena, nowy układ. Żadnej ciągłości.
To, co przychodzi, nie wynika z tego, co było. Co było
wczoraj, dziś jest zwalczane albo straciło znaczenie,
już się nie liczy. Nic się nie sumuje, niczego nie można
zgromadzić, niczego uformować. Wszystko zaczynaj
od początku, od pierwszej cegły, od pierwszej bruzdy.
Co zbudowałeś – będzie porzucone, co wzeszło – uschnie. (…) Tylko irracjonalne jest trwałe – mity, legendy, złudzenia, tylko to jest osadzone”.
(Lapidaria, wyd. Czytelnik, Warszawa 1997).
Mimo wszystko, Czytelniku: działaj rozumnie.
Myślenie ma kolosalną przyszłość! Mini Rynek
Informacji na temat zasad zamieszczania
ogłoszeń w tej rubryce udziela
dział reklamy: tel. (022) 568 99 95
MUZEUM TECHNIKI
Pałac Kultury i Nauki
pl. Defilad 1, Warszawa
Godziny otwarcia:
Wt.-Pt.: 9.00-17.00
Sb.: 10.00-17.00
Nd.: 10.00-17.00
Pon.: nieczynne
www.muzeum-techniki.waw.pl
MUZEUM LOTNICTWA W KRAKOWIE
ul. Jana Pawła II 39, Kraków
Godziny otwarcia:
Poniedziałek 9:00 – 17:00
Od wtorku do piatku 9:00 – 17:00
W soboty i niedziele 10:00-16:00
www.muzeumlotnictwa.pl
MUZEUM KOLEJNICTWA W WARSZAWIE
ul. Towarowa 1 (dawny Dworzec Warszawa Główna), Warszawa
Czynne od wtorku do niedzieli
w godz. 10.30-15.30
www.pkp.pl/muzeum/
ARTYKUŁY MODELARSKIE
80-462 Gdańsk - Zaspa
ul. Żwirki i Wigury 2 (przy ETC)
tel. (0-58) 346-79-53 w. 25
Aparatury RC, akumulatory, kleje, silniki spalinowe i elektryczne,
akcesoria modelarskie, śmigła, kołpaki, folia do oklejania
ALKOMATY, MILITARIA, WIATRÓWKI
Wykrywacze metali. Repliki broni palnej asg w skali 1:1. Silne gazy obronne
również w obudowie pistoletowej typu RMG Sprint – bez zezwoleń!
Noże myśliwskie. Akcesoria dla pracowników ochrony. Artykuły modelarskie.
www.militarex.pl
Sklep Militarex ul. Bat. Chłopskich 96 w Szczecinie,
tel. 091/4613-465 lub 0603-336-200