Sprawdzian

Algebra liniowa, WNE, 2016/2017
kolokwium 2.
2 grudnia 2016
Ogólne informacje
Za kolokwium można dostać maksymalnie 4 punkty, ale za każde zadanie można dostać maksymalnie 1, 2 punktu,
co oznacza, że jeśli ktoś zdobędzie w sumie powyżej 4 punktów jego ostateczny wynik z kolokwium wyniesie
równo 4 punkty.
Za każde zadanie można dostać następującą liczbę punktów:
• 0 – za mniej niż pół zadania,
• 0,4 – za co najmniej pół zadania
• 1 – za całe zadanie z drobnymi usterkami (np. błędami rachunkowymi)
• 1,2 – za całe zadanie
Nie wolno korzystać z urządzeń elektronicznych!
Zadanie 1.
Niech A = {(1, 0, 0, 2), (0, 1, −1, 0), (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, −1)}, B = {(2, 3), (1, 2)}, oraz niech φ : R4 → R2 , a także
ϕ, ψ : R2 → R3 będą zadane tak, iż:
• ϕ((x, y)) = (x + y, −2y, −2x + y),
1 0 −1 0
=
,
• M (φ)B
A
0 1 2 1


1 0
 0 0 .
• M (ψ)st
B =
1 2
Oblicz:
• współrzędne wektora φ(v) w bazie B, jeśli wektor v ma w bazie A współrzędne 2, 0, 1, 6,
• M (id)A
st ,
• M (ϕ)st
st ,
• M (ϕ − 2ψ)st
B,
• wzór przekształcenia (2ψ − ϕ) ◦ φ,
• przykład takiej bazy C, że:

M (ϕ)Cst
1
= 0
0
1

0
1 .
0
Zadanie 2.
Niech V będzie przestrzenią liniową, zaś ϕ : V → V przekształceniem liniowym oraz A, B pewnymi bazami
przestrzeni V . Wiadomo, że


1 0 1
A
M (ϕ)A =  2 1 0 
2 0 1
oraz macierz zmiany bazy z B na A to

1

0
M = M (id)A
=
B
0

0
1 .
1
0
1
−1
• Obliczyć:
– macierz M − 1,
B
A
– macierz M (ϕ)B
A . (Wskazówka: M (id)A = M (id)B
−1
).
• Załóżmy, że pewna macierz A spełnia warunek AT = A−1 .
– Co można powiedzieć o wyznaczniku macierzy A?
– Czy istnieje macierz spełniająca powyższy warunek i w dodatku taka, że A 6= AT ? Jeśli tak, podaj
przykład takiej macierzy.
Zadanie 3.
Korzystając z Tw. Cramera sprawdzić dla jakich t poniższy układ jest sprzeczny, a dla jakich oznaczony oraz
rozwiązać dla t = 2


tx1 + x3 = 2
x1 + x3 = −1


4x1 + x2 + 3x3 = 0.
Zadanie 4.
Niech:







M =






2
7
−2
1
6
0
0
0
0
3
−1
0
3
9
−3
0
6
0
2
6
−3
1
3
0
5
10
0
5
t
0
2015 2016 2017 2018 2019 2016
2015 2016 2017 2018 2019 −1
2015 2016 2017 2018 2019
1
2015 2016 2017 2018 2019
3
0
0
0
0
0
t−1
0
0
0
0
0
0
0
0
2017
0
1
t
0
0
0
0
0
2016
1
0
1







.






Dla jakich parametrów t ∈ R macierz M jest odwracalna? Oblicz det(3M −1 ·M −1 ·M −1 ), gdy t = 3 (wskazówka:
54 = 2 · 33 ).
2