Zbigniew Król

III KONFERENCJA
FILOZOFIA MATEMATYKI
Poznań, 17-18 października 2011
ABSTRAKTY
Jak projekt Mathesis Universalis (MU) odradza się
we współczesnym światopoglądzie informatycznym
Witold Marciszewski
I. Idea MU, mając za kolebkę myśl Pitagorasa i Platona, wchodzi w pierwszą młodość
u progu nauki nowożytnej (Kopernik, Galileusz, Kepler etc.) z jej świadomością, że księga
przyrody jest pisana językiem matematyki. Młodość bardziej dojrzałą osiąga w myśli
wielkich racjonalistów 17-go wieku. Dojrzałość zaś wieku męskiego przypada na nasze czasy.
Wiele przemawia za tym, żeby w obecnej fazie określać ją mianem ŚWIATOPOGLĄDU
INFORMATYCZNEGO.
Treścią odczytu jest argumentacja na rzecz tej tezy.
W wieku XVII rozkwit projektu MU bierze się z przyspieszenia rozwoju matematyki
samej w sobie, z jej sukcesów na polu fizyki i astronomii, jak i z rozbudzonego w czasie
Renesansu nurtu platońskiego. Także ze znużenia brakiem konkluzywności sporów
filozoficznych czy teologicznych. Remedium upatrywano w takim sprecyzowaniu języka oraz
metod argumentacji, jakiego wzorzec znajdowano w matematyce; stąd hasła: "more
geometrico", "calculemus", "calculus ratiocinator", "characteristica universalis". Był to więc
projekt pewnej unifikacji metodologicznej, a w wariancie jeszcze śmielszym także unifikacji
pojęciowej.
Głosicielem tej idei był Descartes (1596-1650), który nadał jej nośność w kręgach
intelektualnych oraz uczynił ważny krok w kierunku unifikacji matematyki - przez fuzję
geometrii z arytmetyką w stworzonej przezeń geometrii analitycznej. Dalej jednak nie
postąpił, a dziś wiemy, że blokadą był jego negatywny stosunek do logiki formalnej. Dalszy
bowiem bieg spraw pokazał, że rozwój w kierunku uniwersalizacji i uściślania języka
dokonuje się przez jego formalizację LOGICZNĄ, a następnie arytmetyzację, jakiej wymaga
maszynowe przetwarzanie wiedzy, na tę zaś podatny jest jedynie język sformalizowany.
Impuls w kierunku formalizacji logicznej dał Erhard Weigel (1625-1699), profesor
matematyki w Jenie, próbujący syntezy logiki z matematyką autor dzieła "Idea Matheseos
Universalis" (1669). Ideę tę podjął i nadał jej historyczny impet uczeń Weigla G.W.Leibniz
(1646-1716). Oddziałał on na naszą współczesność poprzez inspirowanych jego wizją
Gottloba Fregego i Georga Cantora.
ABSTRAKTY
III KONFERENCJA
FILOZOFIA MATEMATYKI
Poznań, 17-18 października 2011
II. Sposób realizacji MU przez Fregego dobrze oddaje tytuł jego dzieła, które dało
początek współczesnej logice, ale w tytule nie wymienia logiki lecz idee właściwe MU. Tytuł
ten (z numerami, którymi odróżniam poszczególne pojęcia) brzmi: "(1) Begriffsschrift, eine
(2) der arithmetischen nachgebildete Formelsprache (3) des reinen Denkens" (Jena 1879).
Człon 3 wskazuje na uniwersalny charakter języka, nie ograniczony do jakichś
poszczególnych dziedzin myśli, ograniczony jedynie wymogiem "czystości", tj. niezależności
od jakichś subiektywnych odczuć czy przedstawień; jest tu więc ostrze antypsychologiczne,
a nie zawężenie do języka jakiejś dziedziny Mamy tu zatem istotny rys MU.
Człon 2 wskazuje na wzięcie języka arytmetyki, podstawowej dyscypliny
matematycznej, za wzorzec języka uniwersalnego, w czym się realizuje także jeden
z postulatów MU.
Człon 1 dotyczy ideograficznego charakteru języka, co postulował dla MU Leibniz.
Pismo pojęciowe - według niego - to takie, w którym elementom czystej myśli są
bezpośrednio przyporządkowane symbole graficzne, bez pośrednictwa języka naturalnego
(jakie zachodzi w logice Arystotelesa).
Ponadto w języku idealnym MU należy wyraźnie wydzielić klasę pojęć pierwotnych,
a inne definiować za ich pomocą. Ten oczywisty dziś postulat nie był zrealizowany przez
Weigla czy Leibniza. Jego realizacja może nastąpić tylko w sformalizowanym systemie
aksjomatycznym, gdzie pierwotne są pojęcia występujące w aksjomatach. Pierwszym takim
systemem w dziejach nauki była logika Fregego (1879): arytmetykę i geometrię
zaksjomatyzowano kilkanaście lat później, a teorię mnogości jeszcze później dorzucając tym
kolejne realizacje cząstkowe do współczesnej MU.
Kolejne aksjomatyzacje teorii matematycznych są krokami milowymi w realizacji tego
modułu MU, którym jest Characteristica Universalis, podczas gdy zainicjowany przez
Fregego rachunek predykatów jest efektywnym odpowiednikiem drugiego modułu - calculus
ratiocinator. Wprawdzie jest to realizacja ograniczona do języka samej matematyki, ale
stanowi ona przyczółek do dalszej ekspansji projektu MU, która następuje w fazie
informatycznej. Okazało się w wyniku ewolucji zapoczątkowanej dziełem Fregego, że
wszystkie pojęcia matematyczne dają się definicyjnie sprowadzić do czterech pierwotnych,
charakteryzowanych aksjomatycznie: jeden funktor prawdziwościowy, jeden kwantyfikator,
symbol identyczności, symbol należenia do zbioru.
ABSTRAKTY
III KONFERENCJA
FILOZOFIA MATEMATYKI
Poznań, 17-18 października 2011
Co do teorii mnogości, jej stosunek do MU nie jest tak bezpośredni jak w przypadku
Fregego, który się inspirował tekstami Leibniza o MU. Jej twórcę Cantora łączyło
z Leibnizem przekonanie o realnym istnieniu zbiorów nieskończonych aktualnie, najpełniej
wyrażone przez Leibniza w "Monadologii", do czego Cantor nawiązywał. U Leibniza jednak
pojęcie zbioru nieskończonego jest osobną ideą, bez powiązania z projektem MU, podczas
gdy Cantorowska teoria nieskończoności ma decydujące znaczenie tak dla wewnętrznej
integracji matematyki, jak i dla jej ekspansji na inne obszary wiedzy, jedno i drugie w duchu
MU. Okazało się to w dziele Turinga, w którym odróżnienie dwóch nieskończoności,
przeliczalnej i kontinuum, pozwala wykreślić linię demarkacyjną między rozwiązywaniem
problemów w sposób mechaniczny i rozwiązywaniem w sposób nie mechaniczny. Wokół
rozważań na temat tego rozgraniczenia wraz z badaniami nad procedurą formalizacji, których
Frege był pionierem, a głównym kontynuatorem Hilbert, kształtuje się światopogląd
informatyczny, zwany dalej krótko INFORMATYZMEM.
III. Więź projektu MU z informatyzmem staje się dostrzegalna, gdy uwzględnić, że
MU w ujęciu Leibniza to śmiała perspektywa rachunkowego rozwiązywania przez
MASZYNĘ wszelkich problemów, a takie rozwiązywanie ("calculemus") miało być
uniwersalną metodą nauki. Myśl o tego rodzaju mechanizacji wyraża formuła "veritas
machinae ope impressa", techniczna zaś na nią szansa rysowała się Leibnizowi przez
ekstrapolację własnych doświadczeń z konstruowaniem arytmometru; świadczyły one, że
zakres możliwości obliczeniowych zwiększa się w miarę postępu techniki, na co Leibniz
stawiał w swej wizji cywilizacji. W jego projekcie MU mieściła się też rola binarnej notacji
arytmetycznej, której był wynalazcą, a mówiąc o Stwórcy jako matematyku dodawał, że
notacja ta wystarcza do wszelkich obliczeń przy stwarzaniu świata (co wyraża obecnie
maksyma Johna Wheelera "it from bit").
Taki rozmach uniwersalistyczny -- postęp wiedzy przez obliczenia, stwarzanie świata
przez obliczenia, a wszelkie obliczenia wykonalne dla maszyny - nadaje poglądowi Leibniza
dostateczną ogólność, żeby go nazwać światopoglądem (będącym u podstaw projektu MU).
Jego zaś treści odpowiada przydawka "obliczeniowy" czyli "informatyczny". Informatyzm
leibnizjański stanowi dogodny porównawczo punkt odniesienia dla jego współczesnego
odpowiednika. Pozwala to uchwycić co najmniej cztery rysy różnicujące, które cechują
informatyzm współczesny.
III KONFERENCJA
FILOZOFIA MATEMATYKI
Poznań, 17-18 października 2011
ABSTRAKTY
[1] Świadomość jeszcze większego zakresu zastosowań niż ten postulowany w MU.
Maszyny cyfrowe nie tylko są pomocne w rozwiązywaniu problemów naukowych lecz także
zastępują ludzi w czynnościach umysłowych wykonywanych w produkcji i w codziennym
życiu.
[2] Wiedza o tym, że sukces ten zawdzięcza się kodowaniu arytmetycznemu danych
i takiemuż kodowaniu instrukcji rozwiązywania problemów, czyli programów, oraz że taka
skala sukcesu bierze się z zalet kodu binarnego.
[3] Punkt szczególnie ważny światopoglądowo: w każdym stadium matematyki wbrew postulatom MU -- istnieją z konieczności problemy, które nie są rozwiązywalne dla
maszyny cyfrowej. Do tego zrozumienia doszło dzięki kodowaniu przez Turinga każdego
programu za pomocą pojedynczej liczby naturalnej, co wskazuje na przeliczalność zbioru
programów. A zarazem, użycie Cantorowskiego argumentu przekątniowego wykazuje
istnienie problemów obliczeniowych, do których rozwiązania nie nadaje się żaden
z nieskończonego przeliczalnie zbioru posiadanych programów.
[4] Punkt równie ważny światopoglądowo: ograniczenia nieuniknione w danym
stadium dadzą się pokonywać w wyniku przejścia do nowego stadium, w którym zwiększy się
odpowiednio bądź posiadany dotąd zbiór danych, np. aksjomatów arytmetyki, bądź zbiór
instrukcji, np. reguł inferencyjnych, których dostarczy logika rzędu wyższego niż ten
stosowany dotychczas (oba te rezultaty należą do Gödla).
Z
racji
punktu
[4]
ten
światopogląd
współczesny
można
określić
jako
INFORMATYZM DYNAMICZNY w odróżnieniu od statycznego, który cechował Leibniza
i innych racjonalistów tamtego czasu. Wierzyli oni, że przy właściwej metodzie
i odpowiednim nakładzie wysiłku uda się stworzyć naukę w postaci ostatecznej, która raz
utworzona służyć będzie ludzkości przez następne wieki. Informatyzm dynamiczny natomiast
świadom jest niewyczerpanej i jeszcze rosnącej - w miarę posuwania się ewolucji - złożoności
świata, którą umysł ludzki wciąż będzie doganiać, lecz nigdy nie dogoni w sposób ostateczny.