Ciekawe własności liczb 37, 41, 45, 100 i 4001

Opracowanie: dr Joanna Kandzia
Ciekawe własności liczb 37, 41, 45, 100 i 4001
Zadanie 1.
Wypisujemy ciąg liczb(arytmetyczny), którego pierwszy wyraz i różnica równe są 3:
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27.
Mnożymy liczby tego ciągu przez 37:
111, 222, 333, 444, 555,…, 999
Dodajmy cyfry występujące w każdym wyrazie.
1 + 1 + 1 = 3,
2 + 2 + 2 = 6,
…,
9 + 9 + 9 = 27
Suma tych cyfr równa się każdorazowej mnożonej.
Zadanie 2.
Bierzemy dowolną liczbę trzycyfrową, np. 238. Dopisujemy do niej dopełnienie do 999
(999 – 238 = 761). Otrzymana liczba zawsze jest podzielna przez 37, iloraz z dzielenia jest
podzielny przez 27, drugi iloraz jest zawsze większy o 1 od liczby obranej na początku.
238761 : 37 = 6453
6453 : 27 = 239
239 – 238 = 1
Można wybrać dowolne trzy liczby (np. 228, 732, 157) i sprawdzić powyższe własności.
Zadanie 3.
Liczba 37 pomnożona przez sumę cyfr, daje sumę trzecich potęg tych liczb:
37 · ( 3+ 7) = 33 + 73
Liczba 37 powiększona o iloczyn jej cyfr, daje sumę kwadratów obu cyfr:
37 + 3 · 7 = 32 + 72
Iloczyn liczby 37 i obu jej cyfr daje:
37 · 3 · 7 = 777
Zadanie 4.
Najciekawsza własność liczby 37! Niektóre jej wielokrotności przy cyklicznym
przestawianiu cyfr nie tracą własności podzielności przez 37.
Sz. Jeleński, Lilavati. Rozrywki matematyczne, Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, Warszawa 1956,
s. 141-144.
1
Opracowanie: dr Joanna Kandzia
259 = 37 · 7
592 = 37 · 16
925 = 37 · 25
Własność można sprawdzić na innych liczbach, np., 296, 185, 148,…
Zadanie 5.
Przestawiając cyklicznie cyfry liczby 17589 można sprawdzić czy liczba 41 ma podobne
właściwości jak liczba 37.
17589 = 41 · 429
…………………
Zadanie 6.
Liczbę 45 można rozłożyć na czterech liczby w następujący sposób:
45 = 8 + 12 + 5 + 20.
Jeżeli na tych czterech liczbach wykonamy działania z liczbą 2 to otrzymamy następujące
wyniki:
8 + 2 = 10
12 - 2 = 10
5 · 2 = 10
20 : 2 = 10
Okazuje się, że taką własność ma każda liczba postaci:
c = a(b + 1)2, gdzie a i b są dowolnymi liczbami naturalnymi
(1)
czyli c = c1 + c2 + c3 + c4, żeby można było ułożyć cztery działania:
c1 + a = ab
c2 - a = ab
c3 · a = ab
c4 : a = ab
45
𝑎
= (b + 1)2 czyli a = 5, b = 2.
Zadanie 7.
Podać wszystkie możliwe rozkłady liczby 100. Dla każdego rozkładu wykonać wszystkie
cztery działania.
Korzystamy ze wzoru (1).
Opracowanie: dr Joanna Kandzia
Dla jakich liczb zachodzi równość?
100 = a(b + 1)2, czyli
a. 100 = 12 + 20 + 4 + 64
100
𝑎
= (b + 1)2.
kombinacje z 4
jeżeli a = 4 to ile musi wynosić (b + 1)2 = 52 czyli (4 + 1)2 zatem b = 4
12 + 4 = 16
20 - 4 = 16
4 · 4 = 16
64 : 2 = 16
b. 100 = 24 + 26 + 25 + 25 kombinacje z 1
jeżeli a = 1 to ile musi wynosić (b + 1)2,
24 + 1 = 25
26 - 1 = 25
25 · 1 = 25
25 : 1 = 25
c. 100 = 0 + 18 + 1 + 81
kombinacje z 9
jeżeli a = 25 to ile musi wynosić (b + 1)2?
0+9=9
18 - 9 = 9
1·9=9
81 : 9 = 9
Zadanie 8.
Podać wszystkie możliwe rozkłady liczby 400. Dla każdego rozkładu wykonać wszystkie
cztery działania.
Liczba 400 daje 5 rozkładów z: 9, 4, 3, 19 i 1.
Kombinacja z 9 daje następujące rozkłady:
400 = 27 + 45 + 4 + 324;
kombinacje z 9
400 = 60 + 68 + 16 + 256
kombinacje z 9
400 = 72 + 78 + 25 + 225
kombinacje z 9
400 = 0 + 38 + 1 + 361
kombinacje z 9
400 = 99 + 101 + 100 + 100 kombinacje z 9
Dalszą zabawę z liczbą 400 oraz innymi liczbami (zadania: 2, 4, 5) pozostawiam
czytelnikowi.