nn Ť E \ u i dv

M ECH AN IKA
TEORETYCZNA
I STOSOWANA
4, 6 (1968)
STAN N APRĘ Ż EŃ I PRZEMIESZCZEŃ W TARCZY KOŁOWEJ O STAŁEJ GRUBOŚ CI,
WYWOŁANY IM PU LSEM CIEPLNYM NA WYCINKU TARCZY Aa
JAN U SZ L I P I Ń S K ,I JAN U SZ Z I Ó Ł K O W S K I (ŁÓD Ź)
1. Podstawowe równania
Rozpatruje się tarczę koł ową o stał ej gruboś ci, podlegają cą pł askiemu stanowi naprę ż eń osiowo- niesymetrycznych, który wywoł any został przył oż eniem niejednorodnego
pola temperatury T(Q, 6) n a pł aszczyznach bocznych tarczy. W tym przypadku naprę ż e-
Rys. 1
nia promieniowe, obwodowe i styczne w tarczy moż na okreś lić nastę pują cymi zależ noś cia
mi
JE \ du (\ —v2)b \ _dq r
nn *• '
«s =
E
2
u_ Q \ u i
l
1 _to_] Q 80 J 1
1— v
dv
(l—v )b
E / 1 8u dv v
gdzie b — promień zewnę trzny tarczy,
Q — bezwymiarowa współ rzę dna biegunowa promienia Q = r/ b,
© — współ rzę dna biegunowa ką ta,
5*
472
J . LlP IŃ SKI
, J . ZlÓŁKOWSKI
u — przemieszczenie promieniowe,
v — przemieszczenie obwodowe,
E — moduł Younga,
v — współ czynnik Poissona,
X — współ czynnik cieplnej rozszerzalnoś ci liniowej.
Przyjmuje się , że dla rozważ anego zakresu temperatury współ czynniki E, v, X są stał e.
Rys. 2
Równania równowagi wewnę trznej tarczy mają postać (rys. 2)
8a, 8
<yr—ffe Q
'
Q
Q
1 8rrg _
8
0 '
(1.2)
1 Sa0 Q d(y Sjro rrB
OQ Q
Podstawiają c do równań równowagi (1.2) zależ nośi c (1.1) otrzymano dla postawionego zagadnienia ukł ad równań róż niczkowych drugiego rzę du, o pochodnych czą stkowych, wyraż ony w przemieszczeniach
2
1 8u u \ - v 1 82u
+
1+
8Q Q 8Q ~f ~2~~
d u 2
8 v 3- v 1 8v . 8T(Q,
(1.3)
\ - v\ 82v 2 W 2
2
1 dv p ] 1 8 v 3- v 1 8u l+v 1 8 u
r
Q 8Q Qiy"^W i+ 2 ~ó 80 + ^ri[~dQd®~
. 1 8T(Q,
d&
Q
2. Równania róż niczkowe dla danego zagadnienia i ich rozwią zanie
Temperaturę T(Q) przył oż oną na wycinku tarczy Ace. (rys. 1) rozł oż ono w szereg trygonometryczny
nAa,
2 sin(2.1)
- cos {ni.
1+ 2
nAa.
473
STAN NAPRĘ Ż E
Ń I PRZEMIESZCZEŃ W TARCZY KOŁOWEJ
Przy zał oż eniu, że temperaturę T(Q) moż na przedstawić w postaci wielomianu potę gowego
N
(2.2) T(Q) = 5] T k gvk , gdzie r]k ^ m, k — 0, 1, 2, .., N,
fc- 0
m = l , 2 , 3, ...,
po podstawieniu (2.2) do (2.1) otrzymano nastę pują cy rozkł ad temperatury w tarczy
. nAa
Aa. VI N
n
VT
(2.3)
77/la
1+ 2 >.
— cos («<9)
Po zróż niczkowaniu wyraż enia (2.3), raz wzglę dem Q i raz wzglę dem 0 i podstawieniu
do równań (1.3), otrzymano dla rozpatrywanego zagadnienia ukł ad równań róż niczkowych
2
8 u 1 8u u j _ l - v 1 82u l+v 1 82v 2 3—v 1 8v _
~~Q~ 8Q80 00
2 ~Q8~9~~
2 sin '
C0S
nAa
n= l
(2.4)
1—v \ 82v . 1 dv v I
3 - y 1 <
2 e 2 5
N
= - 2 / 9
2 .
>
A*
n= \
gdzie
Rozwią zanie ogólne ukł adu równań róż niczkowych (2.4) przewiduje się w nastę pują cej
postaci
u(Q, 6) =
u
c o s
n(e)
n A a
(2.5)
„ . nAa
2 sin
2
si
n- l
Podstawiają c przewidywane rozwią zania ogólne wyraż one równaniami (2.5) do ukł adu
równań róż niczkowych (2.4) otrzymano
474 J. LIPIŃ SKI
, J. ZIÓŁKOWSKI
a) dla zagadnienia osiowo- symetrycznego — ukł ad równań róż niczkowych
N
du0 1 du0 u0
(2.6)
d \ | 1 dv0 v0 _
Q
^
którego rozwią zania ogólne mają postać
N
(2.7)
gdzie C i, C 2 , C 3 , C 4 — stał e znajdowane z warunków brzegowych zagadnienia;
b) dla zagadnienia osiowo- niesymetrycznego — ukł ad równań róż niczkowych zwyczajnych
(2.8)
1 dvn vĄ vn 3- v u n 1 + y 1 rfM „
Rozwią zanie ukł adu równań róż niczkowych (2.8) skł ada się z rozwią zania ogólnego
ukł adu równań jednorodnych oraz rozwią zania szczególnego ukł adu peł nego.
D la ukł adu równań jednorodnych
d2u 1 du I l- v 2 \ u \ +v 2
Je 1 dv„ 3- v p .
n
2 e dQ
(2.9)
1
—v\ d vn 2
1 dv„ v„\ :
2
vn 3—v u„
rozwią zanie ma postać
2j
1= 1
(2.10)
4
/- i
gdzie JSln — stał e znajdowane z warunków brzegowych zagadnienia.
Wykładnik potę gi przy Q okreś lony jest zależ noś ą ci
(2.11) tu = ( - l) ' - i _ ( P - 5 / + 5 ) «, n - 1, 2, 3, . . . , / - 1, 2, 3, 4,
STAN NAPRĘ Ż E
Ń I PRZEMIESZCZEŃ W TARCZY KOŁOWEJ 475
a współ czynnik
(2 IT) ;
V
' = '" 32(
Rozwią zania szczególne ukł adu równań róż niczkowych (2.8) znaleziono w nastę pują cej postaci
a) dla k = 1, 2, 3, ... N oraz k = 0 i n ź 2
gdzie
n2- (rjk+2f
*" (2.14)
b) dla k = 0 i « = 2
= | J 1
1
Otrzymano ostatecznie rozwią zanie ogólne ukł adu (2.4), które jest rozwią zaniem
w przemieszczeniach rozpatrywanego zagadnienia.
oo r " f o ®) =
( 2.16) M
4 N - I
o ( < ?) + , / ; ^j BlnQ''"- \ - ^j Mftn (e) COS (ll0),
=1
" L ' " 1 oo r 4 fc
=°
JV "j
3. Naprę ż enia w tarczy kołowej, warunki brzegowe zagadnienia
Podstawiają c do (1.1) rozwią zania w przemieszczeniach zagadnienia osiowo- synietrycznego (2.7) oraz osiowo- niesymetrycznego (2.10) i (2.13) lub (2.15) otrzymano nastę pują ce
wyraż enia dla naprę ż eń promieniowych, obwodowych i stycznych w tarczy
cos
476 J . LlPIŃ SKI
, J. ZlÓŁ KOWSKI
\1
co p n
4
=l
£j\<k e el]
Obliczenia wykonano dla tarczy peł nej pod wpł ywem przył oż onego impulsu o stał ej
temperaturze T(Q) = T o (dla k = 0). U wzglę dniając warunki cią gł ośi codkształ ceń w ś rodku tarczy dla Q = 0, z rozwią zań w przemieszczeniach (2.16) otrzymano C Ł = 0, Bln — 0,
B4n = 0.
Warunki brzegowe postawionego zagadnienia mają postać
otrzymano stąd
a) dla zagadnienia osiowo- symetrycznego — C 2 = 0
b) dla zagadnienia osiowo- niesymetrycznego — ukł ad równań
3
(3.3)
= 0;
wprowadzono tutaj oznaczenia
(3.4)
Prz;yjmując v = 0,3 rozwią zano ukł ad równań (3.3).
D la n # 2 otrzymujemy
1 ( 3, 5«2 + 3, 5»- 40) «
(3.5.1) '
5 0,8 ( M
-
1 ) ( H 2
-
4 )
( 1 , 4 - 1 , 3 K ) ( 3 , 5 »2 + 3 , 5 »- 3 3 )
STAN NAPRĘ Ż E
Ń I PRZEMIESZCZEŃ W TARCZY KOŁOWEJ 477
dla n = 2
R n*n -
m
B
4 7
'
Ostatecznie rozwią zania dla naprę ż eń mają postać
dla n # 2
dla n = 2
r
- p ' (3.6) — — ^—lng sin^da cos
dla n i= 2
CO
2
2
n
—X [- «(3,5« + 3,5«- 40) Q~ + -
+ 66] sin (- «- ) cos (nć >);
dla ?! = 2
EXT 27t\ 0,lK ' • "—7p=) sin (Aa) co s( 20) ;
* 0,7
dla n ^ 2
EAT ^ j 1
3, 5(«2 ~ 4)
[- (3>5«2+ 3)5«- 40) e- 2+ "+ (3)5»2+ 3,5«- 33) e»
n= l
dla n = 2
Rozkł ady naprę ż eń w wykonanym przykł adzie liczbowym dla wycinka tarczy o ką cie
wierzchoł kowym Aa, — TI/ 18 pokazano dla naprę ż eń promieniowych na rys. 3, obwodowych na rys. 4 i stycznych n a rys. 5. Obliczenia przykł adu ilustrują cego podaną metodę
wykonano na elektronowej maszynie cyfrowej Z AM 2.
i, »<- łft*
0,2 0,Ą 0,6 018 1,0
STAN NAPRĘ Ż EŃ I PRZEMIESZCZEŃ W TARCZY KOŁOWEJ 479
Literatura cytowana w tekś cie
1. Procznost' i deformacja w nierównomiernych temperaturnych polach, M IF I Moskwa, 1962, (praca zbiorowa).
2. B. E. GATEWOOD, Temperaturnyje napriaż enia,IIL, Moskwa 1959.
3. B. SHARMA, Thermal stress in infinites elastic discs, J. Appl- Mech., 23, (1956), 4, 527.
4. J. WEINER, An elastoplastic thermal — stress analysis of free plate, J. Appl. Mech., 23,
(1956), 3, 395.
5. D . W., WAJNBERG, O. M. RUBACZ, Konstruktiwno ortotropni krugli plastini, Izd. A. N . USSR, Kijów
1959.
P e 3 JO M e
HAITPiDKEHHOE COCTOflH H E H nEPEM EIU ,EH H a B flH CKE n OC TOilH H Ofł TOJIH IH H LI,
BBI3BAH H ŁIE TEIU IOBBIM H M n yjI L C O M irpH JI OKE H H BI M K CEKTOPY flH CKA
B pa6oTe Ą aiOTCH o6m ae jtn- HpfbepeHijHaJibHbie ypaBHemiflj onncbiBaiom;He nepeinemenjra B KpyroBom
flriCKe HOCTOHHHOH TOjimi- iHbi Harpy>i<eHHOM TennoBbiM HivmyjiLCOM T (g, &) npujiTOKenHbiM K ceKTopy
c yrjioM paciBOpa Au..
PemeHHH HH(p<hepei- mHaJibHBix ypaBHeHHH AJIH nepeMemeHHH H , 3aTeM, fljin H
B BHfle SecKOHetfflbix P H Ą OB. B peuieHHOM imcjieHHOiw npmuepe TejmepaTypa ceraopa npHHJiTa HOCTOT(Q)— const.
S u m m a r y
STATE OF STRESS AN D STRAIN I N A CIRCU LAR D ISC OF CONSTANT
TH ICKN ESS D U E TO TH ERM AL N U CLEU S IN A SECTOR OF TH E D ISC
G eneral system of displacement differential equations are given governing the problem of a circular
disc of constant thickness, loaded by the nucleus of thermoelastic strain T(Q, &), applied on the sector
of the disc with the vertex angle Aa. The Solution of the differential equations, the displacements and
stresses acting in the disc, are expressed in the form of infinite series. In the numerical example, the temperature of the sector is assumed to be constant T(g) = const.
POLITECHNIKA ŁÓDZKA
Praca został a zł oż ona w Redakcji dnia 5 stycznia 1968 r.