+ ∆ V

Mechanika cieczy
Ciecz jako ośrodek ciągły
1. Cząsteczki cieczy nie są związane w położeniach równowagi
– mogą przemieszczać się na duże odległości.
2. Cząsteczki cieczy oddziałują ze sobą, lecz oddziaływania te
są słabsze niż w ciele stałym. Wynikiem tych oddziaływań jest
zjawisko zwane lepkością cieczy.
3. W cieczy nie można wytworzyć trwałych naprężeń stycznych, w
rezultacie nie mogą w niej wystąpić długotrwałe odkształcenia
postaciowe.
4. Cząsteczki cieczy jednorodnej są nierozróżnialne. Ze względu
na olbrzymią liczbę cząsteczek w jednostce objętości cieczy nie
można śledzić ruchu każdej cząsteczki z osobna.
Pole prędkości cieczy
z
V(x,y,z,t)
P
Linia prądu
x
Zakładamy, że w danej chwili czasu „t” dowolna cząstka cieczy
znajdująca się w punkcie P ma określoną prędkość „v” zależną
od położenia punktu P. Jeśli znany jest przestrzenny rozkład
prędkości dla każdej chwili czasu to funkcję V(x,y,z,t) nazywamy
polem prędkości cieczy.
Stacjonarne pole prędkości cieczy
Jeżeli przestrzenny rozkład prędkości w cieczy nie zmienia się w
czasie to pole prędkości V(x,y,z) nazywamy polem stacjonarnym
V(x0, y0, z0)
Linia prądu
W polu stacjonarnym ruch cząstki cieczy jest zdeterminowany
przez warunki początkowe V(x0, y0, z0). Może ona poruszać się
tylko wzdłuż wyznaczonej linii prądu
Laminarny przepływ cieczy
W polu stacjonarnym prędkości w blisko siebie leżących punktach nie
mogą się znacznie różnić a zatem sąsiadujące ze sobą cząstki cieczy
muszą poruszać się po zbliżonych, nieprzecinających się liniach prądu.
Rurka prądu
Zbiór leżących blisko siebie linii prądu nazywamy rurką prądu.
Przepływ cieczy wzdłuż rurki prądu nazywamy przepływem laminarnym
Przyczyny przepływu cieczy
1. Gradient ciśnienia
p + p
p
x
p
grad p 
x
2. Gradient temperatury
T + T
T
x
T
grad T 
x
Równanie stanu cieczy
Zależność gęstości od ciśnienia i temperatury
  f  px, y, z ; T  x, y, z 
Przypadek szczególny – ciecz nieściśliwa
T  const
  const
Równanie przepływu cieczy nieściśliwej
d1
v1
 = const
Masa cieczy wpływającej
v2
d2
Masa cieczy wypływającej
 d 22 
  v2  t
m    
 4 
 d12 
  v1  t
m    
 4 
v1  d12  v2  d 22
 v  d 2  const
v1 S 2

v2 S1
Równanie ruchu cieczy
 


dv
   f wewn  f zewn  f lepk
dt





dv
v
v
v v
 vx
 vy
 vz

dt
x
y
z t
Ruch cieczy nieściśliwej i nielepkiej w polu grawitacyjnym

dv
    grad p      grad  
dt
Podstawowe równanie hydrostatyki

dv
0
dt
 grad p      grad    0
p     0
Ciśnienie hydrostatyczne
0
 grad p      grad    0

h
 = const
p ( 0)  p ( h )
    0
h
p ( h )  p ( 0)      h
Naczynia połączone
p (h1 )  p (0)      h1
p (h2 )  p (0)      h2
0
0
h1
h2
x
dp
0 
dx
p (h1 )  p (h2 )
h1  h2
Prawo Pascala
F1
S1
F2
S2
Ciśnienie zewnętrzne przyłożone w
pewnym punkcie cieczy podwyższa
ciśnienie w każdym punkcie cieczy
p zewn
h
F1

S1
p (h )  p zewn      h
S2
F2  p zewn  S 2  F1 
S1
Prawo Archimedesa
p (h)  p zewn   C    h
p (h  h)  p zewn   C    h  h 
W
W   p ( h  h )  p ( h )   S
S
h
h
SS
W   C    h  S   C  V  
C
h+h
G   S  S  h     S  V  
G
Fwyp  G  W   S  V     C  V  
Pływanie ciał zanurzonych w cieczy
Fwyp  G  W  (  S   C )  V  
 S   C  Fwyp  0  G  W
W
S
C
Ciało zanurzone w cieczy tonie.
G
Pływanie ciał zanurzonych w cieczy
Fwyp  G  W  (  S   C )  V  
W
S
 S   C  Fwyp  0  G  W
C
G
Ciało zanurzone w cieczy wypływa
na powierzchnię.
Pływanie ciał zanurzonych w cieczy
Fwyp  G  W  (  S   C )  V  
W
S
 S   C  Fwyp  0  G  W
C
G
Ciało unosi się swobodnie w
cieczy
Pływanie ciał po powierzchni cieczy
W
 S  C
VWYN
VZAN
G
W   C  VZAN  
G   S  VCAŁ  
W  G   S  VCAŁ   C  VZAN
VZAN  S

VCAŁ  C
Równanie Bernoulliego
Ciecz nielepka i niesciśliwa
h2
M
p2
v2
S2
p1
h1
v1
S1
M
Energia cieczy wpływającej
1
2
1
E1  M  v  M    h1
2
Energia cieczy wypływającej
1
E2  M  v22  M    h2
EC  E2  E1  L p
2
Równanie Bernoulliego
Praca wykonana przez siłę parcia
na przesunięcie elementu cieczy
M
L  p  V  ( p1  p2 ) 

1
1
M
M
M  v  M    h2  M  v  M    h1  p1 
 p2 
2
2


2
2
1
1
p2     v      h2  p1    v12      h1
2
2
2
2
1
2
Prawo Bernoulliego
W stacjonarnym polu prędkości suma energii
kinetycznej i potencjalnej oraz pracy wykonywanej
przy przemieszczaniu elementu cieczy jest stała
wewnątrz rurki prądu.
1
2
p    v      h  const
2
Ciśnienie
wewnętrzne
Ciśnienie
dynamiczne
Ciśnienie
hydrostatyczne
Zastosowanie równania Bernoulliego
v1
h
v2
p2
p1
1
1
2
2
p2     v      h  p1    v12      h
2
1
2
2
2
2
1
1
p2  p1    (v  v )  p1    vśr  (v2  v1 )
2
v2  v1 
2
p2  p1
Zastosowanie równania Bernoulliego
1
p2  p1    (v22  v12 )
2
v1  0
2  ( p1  p2 )
v2 

Krążenie cieczy
v
S
dl
v
dl
dl
v
dl
Krążenie
 
R   v  dl
v
dl
v
v
dl
Gęstość wirów
1  
   v  dl
S
Przepływ bezwirowy
1  
   v  dl  0
S
w całej objętości cieczy
W cieczy nielepkiej nie można wytworzyć ruchu
wirowego ze względu na brak możliwości wytworzenia
naprężeń stycznych.
Z zasady zachowania momentu pędu wynika, że jeśli
ruch cieczy nielepkiej był od początku bezwirowy to
pozostaje on trwale bezwirowy.
r
p0
Wypływ cieczy przez otwór w dnie
0
1
h
2
1
2
h
  v      h  p0    v02  C 
2
 
 v  dl  2  r  v  C
C
v
2  r
z
k1
h  2  k2
r
S1
Ruch wirowy cieczy
1
S1
2
Prawa Helmholtza
v1
v2
1  S1   2  S 2
v
v
v
v
v

v
v
Lepkość cieczy
S
v0
F
d
F
v0
 
S
d
 - współczynnik lepkości
[N s / m2] = [Puaz]
/ - lepkość właściwa
[m2/s]
Lepkość cieczy
Woda (20o C)
 = 1000 N . s / m2
Woda (20o C)
 / = 10-6 m2/ s
Powietrze (20o C)
 / = 15 . 10-6 m2/ s
Woda (0o C)
 / = 1,8 . 10-6 m2/ s
Lepkość cieczy
z
x
x
y
Vx +  Vx
y
Vx
 x
v x
 
y
 y   
xy
 v x v y 

   

 y x 
 xz
v y
x
  x
vx
 
y
  y   
 v v 
   x  z 
 z x 
v y
x
zy
 vz v y 

   

 y z 
Liczba Reynoldsa
D
v
 

R  v D

1
2
 v1  D1  R   v2  D2
1
2
Współczynnik oporu czołowego
F
L
D
F
F
CD 

Ek  S 1  v 2  D  L
2
Opór
Opórczołowy
czołowywalca
walca
3,5
3,5
33
2,5
2,5
C
C
22
1,5
1,5
11
ST
OL
OT
TU
0,5
0,5
00
1,E+00
1,E+00
1,E+01
1,E+01
1,E+02
1,E+03
1,E+04
1,E+05
1,E+06
1,E+07
11
10 1,E+02
102 1,E+03
103 1,E+04
104 1,E+05
105 1,E+06
106 1,E+07
107
RR
Opływ walca dla różnych liczb Reynoldsa
R = 10-2
Opływ walca dla różnych liczb Reynoldsa
R = 20
Opływ walca dla różnych liczb Reynoldsa
R = 50
Opływ walca dla różnych liczb Reynoldsa
R = 104
Opływ walca dla różnych liczb Reynoldsa
R = 106