1 Logika temporalna czasu liniowego 2 Zdaniowa logika tempralna

1
Logika temporalna czasu liniowego
• (A(w), n) |= Yα wtw n > 0 oraz (A(w), n − 1) |= α
2
Zdaniowa logika tempralna LTL
• (A(w), n) |= αSβ wtw istnieje m ∈ N takie, że m < n oraz (A(w), m) |= β i (A(w), k) |=
α dla wszystkich m < k ≤ n.
Tematem tego rozdzialu bedzie
zdaniowa logika temporalna czasu liniowego LTL. Jej skladnia
֒
jest rozszerzeniem skladni logiki zdaniowej o operatory modalne, odnoszace
sie֒ do czasu.
֒
znowu strukturami-slowami nad alfabetem AN .
Zajmować sie֒ bedziemy
֒
Definicja 2.1
• ⊥ jest formula֒ LTL.
używa sie֒ terminu: stanu) w
Jak widać, każda formula wyraża wlasność elementu (czesto
֒
danym modelu. Spójniki logiki klasycznej lacz
a
w
lasności
tego
samego stanu, natomiast
֒ ֒
operatory temporalne pozwalaja֒ odwolywać sie֒ do wlasności stanów poprzednich i nastepnych.
֒
Definiujemy teraz skróty notacyjne, które wprowadziliśmy do skladni:
• Fα (kiedyś w przyszlości α) oznacza (¬⊥)Uα
• Każda zmienna zdaniowa ze zbioru zmiennych zdaniowych ZZN = {p0 , p1 , . . . , pN } jest
formula֒ LTL.
• Jeśli α, β sa֒ formulami LTL, to także ¬α, α ∨ β sa֒ sa֒ formulami LTL.
wyrażenia sa֒ formulami LTL:
• Jeśli α, β sa֒ formulami LTL, to także nastepujace
֒
chwili α)
– Xα (w nastepnej
֒
• Gα (zawsze w przyszlości α) oznacza ¬(F(¬α))
• Hα (zawsze w przeszlości α) oznacza ¬(P(¬α))
• Pα (kiedyś w przeszlości α) oznacza (¬⊥)Sα.
2.1
– Gα (zawsze w przyszlości α)
– Fα (kiedyś w przyszlości α)
– αUβ (α bedzie
zachodzić aż β zajdzie)
֒
Równoważność logiki LTL i logiki pierwszego rzedu
֒
Twierdzenie 2.3 (Kamp) Dla każdego zdania α logiki LTL istnieje formula ϕα (x) logiki
taka, że dla każdego modelu A(w) LTL i każdego n ≤ |w| − 1
pierwszego rzedu
֒
– Yα (w poprzedniej chwili α)
(A(w), n) |= α wtw (A(w), x : n) |= ϕα .
– Hα (zawsze w przeszlości α)
– Pα (kiedyś w przeszlości α)
– αSβ (α zachodzilo od ostatniego zajścia β)
Modelem dla logiki temporalnej jest każdy model-slowo A(w), tak jak poprzednio nad sygnatura֒ skladajac
֒ a֒ sie֒ z jednego dwuargumentowego symbolu relacyjnego ≤ i N jednoraguzmiennym zdaniowym. Zakladamy, że
mentowych symboli relacyjnych pi , odpowiadajacych
֒
uniwersum każdego modelu-slowa A(w) to zbiór liczb naturalnych {0, . . . , |w| − 1}.
Określamy teraz relacje֒ spelniania |= miedzy
parami (model-slowo, element uniwersum mo֒
delu) a formulami LTL jak nastepuje:
֒
Definicja 2.2
z jedna֒ zmienna֒ wolna֒ istnieje zdanie αϕ
Dla każdej formuly ϕ(x) logiki pierwszego rzedu
֒
logiki LTL takie, że dla każdego modelu A(w) LTL i każdego n ≤ |w| − 1
(A(w), n) |= αϕ wtw (A(w), x : n) |= ϕ.
Narzedziem
do udowodnienia tego twierdzenia jest inne, ważne również niezależnie, twierdze֒
nie Gabbaya o separacji.
Najpierw terminologia: formula α jest formula֒ czasu przeszlego, jeśli nie używa operatorów
temporalnych X ani U; jest formula֒ czasu przyszlego jeśli nie używa operatorów temporalnych
Y ani S.
• (A(w), n) 6|= ⊥.
Twierdzenie 2.4 (Gabbaya o separacji) Każda formula logiki LTL jest logicznie równoważna
boolowska֒ kombinacja֒ formul czasu przeszlego i formul czasu przyszlego.
formule, bed
֒ acej
֒
• (A(w), n) |= pi wtw n ∈ pA (w)i .
• (A(w), n) |= ¬α wtw (A(w), n) 6|= α
• (A(w), n) |= α ∨ β wtw (A(w), n) |= α lub (A(w), n) |= β
Dowód:
• (A(w), n) |= Xα wtw n < |w| − 1 i (A(w), n + 1) |= α
Dowód przebiega za pomoca֒ pracowitej eliminacji wzajemnych zagnieżdżeń operatorów temporalnych dotyczacych
przeszlości i przyszlości. Na przyklad jest osiem istotnych możliwych
֒
S:
form zagnieżdżenia U wewnatrz
֒
• (A(w), n) |= αUβ wtw istnieje m ∈ N takie, że m > n oraz (A(w), m) |= β i (A(w), k) |=
α dla wszystkich n ≤ k < m.
1
2
1.ϕS(ψ ∧ aUb)
3. (ϕ ∨ aUb)Sψ
5. (ϕ ∨ aUb)S(ψ ∧ a′ Ub′ )
7. (ϕ ∨ aUb)S(ψ ∧ ¬(a′ Ub′ ))
2.
4.
6.
8.
ϕS(ψ ∧ ¬(aUb))
(ϕ ∨ ¬(aUb))Sψ
(ϕ ∨ ¬(aUb))S(ψ ∧ a′ Ub′ )
(ϕ ∨ aUb)S(ψ ∧ ¬(a′ Ub′ ))
przy czym a, a′ , b, b′ to kombinacje boolowskie zdań atomowych.
Przeanalizujmy pierwszy z tych przypadków. Formula orzeka o stanie n, że istnieje wcześniejszy
stan m, od którego aż do n prawdziwe jest ϕ, oraz w którym prawdziwe jest ψ ∧ aUb. To zaś
oznacza, że istnieje stan ℓ późniejszy od m, w którym zachodzi b, a pomiedzy
m i ℓ prawdziwe
֒
n.
W
każdym z tych
jest a. Mamy teraz trzy przypadki, zależnie od polożenia ℓ wzgledem
֒
przypadków formule֒ wyjściowa֒ przepisujemy do postaci boolowskiej kombinacji formul czasu
przeszlego i czasu przyszlego.
• ℓ < n – w tym wypadku użyjemy wylacznie
operatorów czasu przeszlego.
֒
• ℓ = m – w tym wypadku użyjemy wylacznie
operatorów czasu przeszlego.
֒
wylacznie
opera• ℓ > n – w tym wypadku użyjemy koniunkcji formuly używajacej
֒
֒
torów czasu przeszlego i opisujacej
sytuacj
e
pomi
edzy
m
a
n,
oraz
formu
ly
używaj
acej
֒
֒
֒
֒
operatorów
czasu
przysz
lego,
opisuj
acej
sytuacj
e
pomi
edzy
n
a
ℓ.
wylacznie
֒
֒
֒
֒
Dowód:
Szkic dowodu drugiej cześci
przeprowadzimy w troche֒ prostszym przypadku, gdy formula
֒
na range֒ kwantyfikatorowa֒
jest zdaniem. Udowodnimy mianowicie przez indukcje֒ ze wzgledu
֒
zdania ϕ logiki pierwszego rzedu,
że istnieja֒ zdania α i β logiki LTL takie, że A(w) |= ϕ wtw.
֒
(A(w), 0) |= α wtw. (A(w), |w| − 1) |= β.
Jedynym zdaniem logiki pierwszego rzedu
o randze kwantyfikatorowej 0 jest ⊥, która jest
֒
równoważna zdaniu ⊥ logiki LTL.
Zlóżmy zatem, że teza jest udowodniona dla zdań o randze kwantyfikatorowej do n wlacznie
i
֒
zdaniem
o
randze
kwantyfikatorowej
n
+
1.
Jest
zatem
boolowsk
a
kombinacj
a
niech ϕ bedzie
֒
֒
֒
n (które z zalożenia indukcyjnego sa֒
zdań o randze kwantyfikatorowej nie przekraczajacej
֒
równoważne zdaniom LTL) oraz zdań postaci ∃xψ(x) o randze kwantyfikatorowej n + 1, w
których ranga kwantyfikatorowa ψ(x) wynosi n. Zatem wystarczy pokazać, że te ostatnie
zdania postaci ∃xψ(x) też sa֒ równoważne zdaniom LTL.
Teraz wprowadzimy pewne uzupelnienie tw. Fraı̈ssé. Dotyczy ono “klas abstrakcji” relacji
≡n . Otóż zachodzi dodatkowo nastepuj
acy
fakt:
֒
֒
Twierdzenie 2.6 Dla każdej struktury A i każdego naturalnego n istnieje zdanie ξA,n o
randze kwantyfikatorowej n takie, że dla każdej struktury B
A ≡n B wtw. B |= ξA,n .
Teraz alternatywa tych trzech formul jest równoważna wyjściowej formule ϕS(ψ ∧ aUb).
Pozostale przypadki rozpatruje sie֒ analogicznie, po czym trzeba to też powtórzyć dla zagnieżdżeń wszystkich innych operatorów temporalnych we wszystkich ustawieniach modalności
czasu przeszlego i modalności czasu przyszlego wzgledem
siebie.
֒
Wniosek 2.5 Dla każdej formuly α logiki LTL istnieje formula β czasu przyszlego LTL taka,
że dla każdego modelu A(w) zachodzi
(A(w), 0) |= α wtw (A(w), 0) |= β.
Dowód pierwszej cześci
jest latwa֒ indukcja,֒ która֒ zostawiamy czytelnikowi.
֒
Co wiecej,
dla każdego n istnieje tylko skończenie wiele parami nierównoważnych zdań postaci
֒
ξA,n .
Ponadto potrzebny nam bedzie
nastepuj
acy
lemat.
֒
֒
֒
Lemat 2.7 Jeśli dla dwóch struktur A(w) i A(w′ ) oraz dwóch liczb i, i′ ∈ N zachodza֒ warunki
A(w)|{0,...,i} ≡n A(w′ )|{0,...,i′ }
Analogicznie, dla każdej formuly α logiki LTL istnieje formula β czasu przeszlego LTL taka,
że dla każdego modelu A(w) zachodzi
(A(w), |w| − 1) |= α wtw (A(w), |w| − 1) |= β.
oraz
A(w)|{i,...,|w|−1} ≡n A(w′ )|{i′ ,...,|w′ |−1} ,
to
A(w) ≡n A(w′ ).
Dowód:
Zgodnie z tw. o separacji α można wyrazić rónowoważnie jako kombinacje֒
boolowska֒ formul czasu przeszlego i formul czasu przeszlego. W stanie 0 modelu A(w) każda
z podformul używajacych
na najbardziej zewnetrznym
poziomie X i U jest falszywa. Zatem
֒
֒
można je zastapić
przez
⊥
i
w
ten
sposób
uzyskać
formu
le֒ czasu przyszlego równoważna֒ w 0
֒
formule α.
Dowód drugiej tezy jest analogiczny.
Teraz możemy przejść do dowodu tw. Kampa.
3
Dowód: Z zalożenia gracz II ma w grach Gn (A(w)|{0,...,i} , A(w′ )|{0,...,i′ } ) oraz Gn (A(w)|{i,...,|w|−1} ,
strategie wygrywajace.
֒
′
Na ich podstawie konstruujemy dla niego strategie֒ wygrywajac
֒ a֒ w grze Gn (A(w), A(w )).
Polega ona na odpowiadaniu na ruchy gracza I w zależności od tego, jak wykonuje on ruch:
jeśli na lewo od i lub i′ to zgodnie ze strategia֒ w pierwszej grze, jeśli na prawo, to wedle
drugiej strategii.
4
Wracamy do dowodu tw. Kampa, rozważajac
֒ formule֒ ∃xψ(x). Twierdzimy, że w tej sytuacji
istnieje skończenie wiele par zdań ξA1 ,n ξB1 ,n , . . . , ξAm ,n ξBm ,n takich, że dla każdego modeluslowa A(w) i każdego ℓ,
A(w), x : ℓ |= ψ(x)
wtw
istnieje k takie, że A(w)|{0,...,ℓ} |= ξAk ,n i A(w)|{ℓ,...,|w|−1} |= ξBk ,n .
Semantyke֒ logiki LTL można także rozważać w wersji z czasem nieograniczonym w przyszlość
(czyli o strukturze porzadku
liczb naturalnych) i nieograniczonym zarówno w przyszlość jak
֒
liczb calkowitych). W każdej z tych wersji zachodzi
i przeszlość (czyli o strukturze porzadku
֒
zarówno twierdzenie Gabbaya o separacji, jak i twierdzenie Kampa o równoważności LTl z
logika֒ pierwszego rzedu.
֒
Ćwiczenia
Istotnie, jeśli w jakiejś strukturze A(w) i dla jakiegoś ℓ zachodzi A(w), x : ℓ |= ψ(x), to dla
każdego innego A(w′ ) i dla jakiegoś innego ℓ′ zachodzi
1. Sformalizować w LTL wlasność ”ϕ jest prawdziwe we wszystkich parzystych stanach, a falszywe
we wszystkich nieparzystych”
A(w)|{0,...,ℓ} ≡n A(w′ )|{0,...,ℓ′ } i A(w)|{ℓ,...,|w|−1} ≡n A(w′ )|{ℓ′ ,...,|w′ |−1} ,
2. Pokazać, że nie da sie֒ w LTL sformalizować wlasności ϕ jest prawdziwe we wszystkich parzystych
stanach”.
to z Lematu w pozostalych n ruchach gry gracz II ma strategie֒ wygrywajac
֒ a.
֒
Zatem dla każdej struktury
A(w′ )
ℓ′
i każdego
≤
|w′ |
− 1, jeśli
k
k
A(w′ )|{0,...,ℓ′ } |= ξA(w)
i A(w′ )|{ℓ,...,|w′ |−1} |= ξA(w)
,
|{o,...,ℓ} ,n
|{ℓ,...,|w|−1} ,n
to A(w′ ), x : ℓ′ |= ψ(x).
3. Dokonać separacji kilku dodatkowych przypadków w dowodzie tw. Gabbaya.
tak aby bylo ono
4. Jak można by sformulować twierdzenie o separacji dla logiki pierwszego rzedu,
֒
prawdziwe?
5. Prosze֒ sformulować i udowodnić analogiczne twierdzenie o separacji dla monadycznej logiki
drugiego rzedu.
֒
k
k
W tej sytuacji pare֒ formul ξA(w)
, ξA(w)
można wpisać na liste֒ par, w przeci|{o,...,ℓ} ,n
|{ℓ,...,|w|} ,n
wnym razie nie. Wszystkich parami nierównoważnych zdań tej postaci jest skończenie wiele,
wiec
֒ i lista par jest skończona.
Z zalożenia indukcyjnego, istnieja֒ formuly LTL β1 , . . . , βm takie, że prawdziwość βk w ostatnim stanie modelu-slowa jest równoważna prawdziwości ξAk ,n w tym modelu-slowie. Na mocy
Wniosku możemy zakladać, że formuly β k sa֒ formulami czasu przeszlego.
Z zalożenia indukcyjnego, istnieja֒ także formuly LTL α1 , . . . , αm takie, że prawdziwość αk w
pierwszym stanie modelu-slowa jest równoważna prawdziwości ξBk ,n w tym modelu-slowie.
Na mocy Wniosku możemy zakladać, że formuly αk sa֒ formulami czasu przyszlego.
W ten sposób uzyskujemy równoważność zdania
∃xψ(x)
i formuly wylicznej w stanie poczatkowym
֒
F(
m
_
(αk ∧ βk )
k=1
oraz formuly wylicznej w stanie końcowym
P(
m
_
(αk ∧ βk ).
k=1
5
6