Seria 10. - mechanika kwantowa

Seria 10. - mechanika kwantowa
1. Jednowymiarowa cząstka kwantowa o masie m jest w pewnym stanie kwantowym opisana
2 2
funkcją falową ψ(x) = C exp(− a 2x ), gdzie a, C = const. Wyznacz wartość współczynnika
C zakładając, że wartość a jest znana. Wyznacz energię potencjalną cząstki w zależności
R∞
√
2 a2
od x wiedząc, że jej energia całkowita wynosi E = }2m
. Wskazówka:
exp(−y 2 )dy = π
−∞
Odp.: C =
q
√a ,
π
U (x) =
}2 a4 2
2m x
2. Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = 0 ma następującą postać:
(
Ψ(x, 0) =
A(a2 − x2 ) gdy x ∈ h−a, ai
0
gdy x ∈
/ h−a, ai
gdzie a ∈ R+ . Wyznacz stałą A. Jakie jest średnie położenie i pęd cząstki w chwili t = 0?
Odp.: A =
q
15
16a5 ,
hxi = 0, hpi = 0
3. Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki ma następującą postać:
Ψ(x, t) = Ae−λ|x|−iωt
gdzie λ ∈ R+ , ω ∈ R+ . Wyznacz stałą A. Jakie jest średnie położenie i średni kwadrat
położenia cząstki?
√
Odp.: A = λ, hxi = 0, hx2 i = 2λ1 2
4. Rozwiąż równanie Schrödingera, tzn. znajdź funkcję falową i dostępne poziomy energii, dla
cząstki kwantowej o masie m umieszczonej w nieskończonej studni potencjału o szerokości
a.
Odp.: ψn = Cn sin( nπx
a ), En =
h2
2
8ma2 n .
5. Cząstka o masie m i energii E atakuje z lewej na prawą stronę barierę potencjału o wysokości U0 . Wyznaczyć: współczynnik odbicia bariery dla E > U0 ; głębokość wnikania cząstek
do obszaru bariery dla E < U0 , tzn. odległość, dla której gęstość prawdopodobieństwa
znalezienia cząstki maleje e razy.
Odp.: R =
√
2
√
√E−√E−U0
,
E+ E+U0
D=
q
}2
2m(U0 −E) .
6. Wyznacz współczynnik transmisji dla prostokątnej bariery potencjału o szerokości a i
wysokości V0 w przypadku, kiedy energia cząstki E > V0 , E = V0 i 0 < E < V0 .
Odp.:
E > V0 : T = 1 +
E = V0 : T = 1 +
−1
k12 −k22 2
2
sin
k
a
,
2
2k1 k2
ka
2
2 −1
0 < E < V0 : T = 1 +
√
,k=
√
k1 =
√
2mE
~ ,
k2 =
2m(E−V0 )
~2
2mE
~
−1
k12 +k22 2
2
sinh k2 a
,
2k1 k2
1
√
k1 =
√
2mE
~ ,
k2 =
2m(V0 −E)
~2
7. Wyznacz parzyste i nieparzyste unormowane rozwiązania niezależnego od czasu równania Schrödingera dla cząstki o energii E ∈ (−V0 , 0) znajdującej się w skończonej studni
potencjału o głębokości V0 i szerokości 2a. Znajdź, w obu przypadkach, równania na dopuszczalne wartości energii (uwaga: równań tych nie daje się analitycznie rozwikłać). Dla
energii E > 0 znajdź współczynnik transmisji. Dla jakich wartości energii fala całkowicie
przejdzie przez barierę (studnię)?
Odp.:
Rozwiązania parzyste:
 k1 a
e q cos k2 a k1 x

e



a+ k1

1


 q
cos k2 x
ψ(x) =
a+ k1

1


k1 a cos k a

e

2
q

e−k1 x


a+ 1
gdy x ∈ (−∞, −a)
gdy x ∈ h−a, −ai
gdy x ∈ (a, ∞)
k1
Warunek dla energii stanów parzystych: k1 = k2 tg k2 a
Rozwiązania nieparzyste:

k1 a sin k a
2

−e q
ek1 x



a+ k1

1


 q
sin k2 x
ψ(x) =
a+ k1

1


k

1 a sin k2 a −k1 x
eq


e


a+ 1
gdy x ∈ (−∞, −a)
gdy x ∈ h−a, −ai
gdy x ∈ (a, ∞)
k1
Warunek dla energii stanów nieparzystych: k1 = −k2 ctg k2 a
h
T = 1+
V02
4E(E+V0 )
En + V0 =
sin2
2a
~
p
2m(E + V0 )
i−1
n2 ~2 π 2
8ma2
2