Inwersja

Inwersja
Dany jest okrąg o środku w punkcie i promieniu, oraz punkt , różny od . Obrazem inwersyjnym punktu
okręgu będzie punkt , leżący na prostej
, po tej samej stronie punktu , co punkt , taki, że
nazwiemy okręgiem inwersyjnym.
względem
. Okrąg
Własności inwersji:






Proste przechodzące przez środek okręgu inwersyjnego przechodzą na siebie;
Okręgi przechodzące przez środek okręgu inwersyjnego przechodzą na proste;
Proste nieprzechodzące przez środek okręgu inwersyjnego przechodzą na okręgi przechodzące przez środek okręgu
inwersyjnego;
Okręgi nieprzechodzące przez środek okręgu inwersyjnego przechodzą na okręgi nieprzechodzące przez środek
okręgu inwersyjnego;
Okrąg prostopadły do okręgu inwersyjnego przechodzi na siebie;
Inwersja zachowuje kąty pomiędzy okręgami (również pomiędzy okręgiem a prostą i pomiędzy prostymi).
Zadanka:
1. Okrąg
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
jest opisany na trójkącie
. Okrąg jest styczny do okręgu w punkcie , oraz styczny do odcinków
i
odpowiednio w punktach i . Okręgi i są styczne wewnętrznie do okręgu oraz styczne
zewnętrznie do okręgu odpowiednio w punktach i . Udowodnić, że istnieje styczna do okręgów
.
Dane są okręgi rozłączne i , przy czym okrąg leży wewnątrz okręgu . Udowodnić, że istnieje inwersja
przekształcająca okręgi i na okręgi współśrodkowe.
Skonstruować okrąg styczny zewnętrznie do danych trzech okręgów.
Styczne zewnętrznie półokręgi
i o średnicach leżących na prostej
są styczne wewnętrznie do półokręgu . Rozważmy nieskończony ciąg
okręgów
o średnicach odpowiednio
,
taki, że okrąg (dla
) jest styczny zewnętrznie do okręgów
. Udowodnić, że odległość środka okręgu od prostej
jest równa
Okręgi
i
przecinają się w punktach i . Okrąg o promieniu mniejszym niż
przecina okrąg
w
punktach , , a okrąg
w punktach i . Proste
przecinają się w punkcie , a proste
i
przecinają
się w punkcie . Udowodnić, że proste
i
są prostopadłe.
Okręgi
przecinają się w różnych punktach i . Prosta przechodząca przez punkt przecina te okręgi
odpowiednio w punktach
, różnych od . Punkty
leżą odpowiednio na okręgach
i są środkami
odpowiednio łuków
, niezawierających punktu . Udowodnić, że proste
i
są prostopadłe.
Okrąg jest opisany na kwadracie
. Punkt , różny od wierzchołków tego kwadratu, leży na okręgu . Proste
i
przecinają prostą
odpowiednio w punktach i Udowodnić, że punkty
są inwersyjne względem
okręgu
Dany jest okrąg , przechodzący przez punkty
. Okręgi
są styczne wewnętrznie z okręgiem oraz
są punktami styczności odpowiednio okręgów i , i , , i . Udowodnić, że punkty
leżą na jednym okręgu.
Inwersja w przestrzeni:
1.
2.
Dany jest czworościan
. Sfera , o środku w środku okręgu opisanego na trójkącie
, przechodząca przez
punkty
, przecina odcinki
odpowiednio w punktach
. Płaszczyzny styczne do tej sfery w
punktach
przecinają się w punkcie . Wykazać, że punkt jest środkiem sfery opisanej na czworościanie
.
Podstawą ostrosłupa
jest czworokąt ABCD, którego przekątne przecinają się pod kątem prostym w punkcie
. Ponadto punkt O jest rzutem prostokątnym punktu na płaszczyznę
. Udowodnić, że rzuty prostokątne
punktu na ściany boczne danego ostrosłupa leżą na jednym okręgu.