Rozszerzenie
Transkrypt
Rozszerzenie
Arkusz maturalny ukasz Dawidowski Powtórki maturalne 26 kwietnia 2016r. Jednym z pierwiastków wielomianu W (x) = x 3 + mx 2 + nx + 2 jest liczba 1. Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x + 1 jest równa 4. Oblicz wspóªczynniki m i n. Jednym z pierwiastków wielomianu W (x) = x 3 + mx 2 + nx + 2 jest liczba 1. Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x + 1 jest równa 4. Oblicz wspóªczynniki m i n. Rozwi¡» równanie cos2 x + sin x cos2 x = h0, 2πi. 1+sin x 4 w przedziale Uzasadnij, »e 6116 < 1824 . Kul¦ o promieniu R przeci¦to dwiema równolegªymi pªaszczyznami w sposób przedstawiony na poni»szym rysunku. Przekroje maj¡ promienie r1 oraz r2 i s¡ odlegªe od siebie o a. Liczby r1 , a, r2 w podanej kolejnosci tworz¡ trzywyrazowy ci¡g arytmetyczny, którego ró»nica jest równa 1. Suma wyrazów tego ciagu jest równa 18. Znajd¹ dªugo±¢ promienia kuli. Rozwi¡» nierówno±¢ |2x − 4| + 4x > |2x 2 − 4|. Wyznacz wszystkie warto±ci parametru m, dla których jedno rozwi¡zanie równania (m + 2)x 2 + 2mx + 1 = 0 jest sinusem, a drugie kosinusem tego samego k¡ta. W ukªadzie wspóªrz¦dnych przedstawiony jest wykres funkcji y = f (x), gdzie f (x) = loga (x − k) + m. Wyznacz warto±ci a, k i m. Pole trójk¡ta ABC o danych wierzchoªkach A = (1, −2) oraz B = (2, 3) jest równe 4, 5. Wyznacz wspóªrz¦dne trzeciego wierzchoªka wiedzac, »e nale»y on do prostej o równaniu x + y − 2 = 0. Na bokach AC i BC trójkata ABC obrano punkty P i Q takie, »e AP : PC = 2 : 1 oraz BQ : QC = 2 : 1. Odcinki AQ i BP przecinaj¡ si¦ w punkcie R . Wyka», »e pole czworokata CPRQ jest równe polu trójkata ARP . W graniastosªupie prawidªowym czworok¡tnym przek¡tne ±cian bocznych, wychodz¡ce z tego samego wierzchoªka, maja dªugo±¢ d i tworz¡ kat o mierze α. Oblicz obj¦to±¢ tego graniastosªupa. Oblicz prawdopodobie«stwo otrzymania dokªadnie dwóch jedynek lub trzech szóstek w do±wiadczeniu losowym, polegaj¡cym na pi¦ciokrotnym rzucie symetryczn¡ sze±cienn¡ kostk¡ do gry. Wyznacz reszt¦ z dzielenia wielomianu W (x) = x 2013 − 2x 2012 + 2x 2011 − 1 przez wielomian G (x) = x 3 − x . Rozwi¡» równanie ||x − 1| − |3 − x|| = 2. Oblicz wspóªrz¦dne ±rodka S i skal¦ k jednokªadno±ci, w której obrazem odcinka PR jest odcinek P1 R1 i wiadomo, »e P = (−2, 1), ~ 1 = [3, 9] i SR ~ = [2, 1]. R1 = (3, 1), SP Dªugo±¢ boku rombu ABCD jest ±redni¡ geometryczn¡ jego przek¡tnych. Oblicz miar¦ k¡ta ostrego tego rombu. Udowodnij, »e dla ka»dej liczby naturalnej n wi¦kszej od 1 prawdziwa jest nierówno±¢ 2nn > 2 n1 Rozwi¡» równanie logsin x cos x + logcos x sin x = 2. Wyka», »e pole trójk¡ta ABC jest równe P = 2R 2 sin α sin β sin γ , gdzie R jest promieniem okr¦gu opisanego na tym trójk¡cie, a α, β i γ s¡ miarami k¡tów wewn¦trznych tego trójk¡ta. W ci¡gu arytmetycznym (an )n∈N , dla n 1, dane s¡ a1 = −4 oraz ró»nica r = 4. Wyznacz najwi¦ksze n takie, »e a1 + a2 + . . . an < 2013. Naszkicuj wykres i wyznacz zbiór warto±ci funkcji okre±lonej x−6| wzorem f (x) = −2x − |3x− 2 . Dªugo±ci wszystkich kraw¦dzi ostrosªupa czworok¡tnego prawidªowego s¡ równe a. Przez wierzchoªek ostrosªupa i ±rodki dwóch s¡siednich kraw¦dzi podstawy poprowadzono pªaszczyzn¦. Wyznacz sinus k¡ta nachylenia wyznaczonego przekroju do podstawy ostrosªupa. Do koszyka wªo»ono 12 jabªek, w tym dwa jabªka lobo. Po kilku dniach przechowywania z koszyka usuni¦to dwa popsute jabªka. Nast¦pnie losowo wybrano jedno jabªko. Oblicz prawdopodobie«stwo, »e wybrano jabªko lobo. Wynik podaj w postaci uªamka nieskracalnego. Funkcja f (x) = mx 3 − (m + 2)x 2 osi¡ga w punkcie x0 = 1 minimum. Ile wynosi m? Prosta l jest styczna do wykresu funkcji f (x) = −x 3 + 2x w punkcie o odci¦tej równej 35 . Oblicz wspóªczynnik kierunkowy prostej prostopadªej do tej stycznej. Wyznacz najwi¦ksz¡ warto±¢ funkcji f (x) = x + h1, 10i. 4 x w przedziale Wielomian W (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ma t¦ wªasno±¢, »e W (2) = 0 i W 0 (2) = 0, przy dzieleniu przez (x − 1) pozostawia reszt¦ 3, a o± OY przecina w (0, 8). Znajd¹ a, b, c i d . Z drutu o dªugo±ci a odci¦to kawaªek o dªugo±ci x i zgi¦to go, robi¡c kwadrat, a pozostaªy kawaªek drutu zgi¦to w trójk¡t równoboczny. 1. Jaki musi by¢ x , aby suma pól otrzymanych gur byªa najmniejsza? 2. Poka», »e dla ka»dego x stosunek dªugo±ci obu kawaªków jest taki sam jak stosunek pól kwadratu i trójk¡ta. Udowodnij, »e dla dowolnych liczb a, b ∈ R prawdziwa jest nierówno±¢: 2ab ¬ a2 + b2 . Udowodnij, »e liczb a, b > 0 prawdziwa jest √ dla dowolnych a+b nierówno±¢: ab ¬ 2 , przy czym równo±¢ zachodzi tylko wtedy, gdy a = b. Wyka», »e dla ka»dej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówno±¢ x 2 + 1 2|x|. Wyka», »e je»eli a i b s¡ dªugo±ciami przyprostok¡tnych trójk¡ta prostok¡tnego, √ a c jest dªugo±ci¡ jego przeciwprostok¡tnej, to a+b ¬c 2 Wyka», »e je»eli x + y + z = 1, to x 2 + y 2 + z 2 13 . Wyka», »e dla dowolnych liczb rzeczywistycz x , y i z prawdziwa jest nierówno±¢ x 2 + y 2 + z 2 xy + xz + yz . Wyka», »e je»eli x > 0, y > 0 oraz xy = 25, to (1 + x)(1 + y ) 36. Wyka», »e je»eli x > 0, to x + 1 x 2. Wyka», »e je»eli ab > 0, to a b + b a 2. Wyka», »e je»eli α jest k¡tem ostrym, to sin α cos α + cos α sin α 2. Wyka», »e je»eli x , y i zs¡ liczbami dodatnimi, to (x + y + z) x1 + y1 + z1 9. Wyka», »e liczba 354 jest rozwi¡zaniem równania 24311 − 8114 + 7x = 927 . Dany jest prostok¡t ABCD i dowolny punkt P poªo»ony wewn¡trz tego prostok¡ta. Udowodnij, »e AP 2 + CP 2 = BP 2 + DP 2 . Przek¡tne AC i BD czworok¡ta wypukªego ABCD s¡ prostopadªe. Udowodnij, »e AB 2 + CD 2 = AD 2 + BC 2 . Dwa okr¦gi przecinaj¡ si¦ w punktach A i B . Odcinki AC i AD s¡ ±rednicami tych okr¦gów. Udowodnij, »e punkty C , B i D s¡ wspóªliniowe. Trójk¡t równoboczny ABC jest wpisany w okr¡g. Punkt D le»y na krótszym ªuku AB . Punkt E le»y na odcinku CD oraz DE = DB . Udowodnij, »e trójk¡ty BAD i BCE s¡ przystaj¡ce. Dany jest prostok¡t ABCD . Okr¦gi o ±rednicach AB i AD przecinaj¡ si¦ w punktach A i P . Wyka», »e punkty B , P i D le»¡ na jednej prostej. Miara jednego z k¡tów ostrych w trójk¡cie prostok¡tnym jest równa α. Uzasadnij, »e speªniona jest nierówno±¢ sin α − tg α < 0. Wyka», »e dla ka»dego m ci¡g m+1 m+3 m+9 4 , 6 , 12 jest arytmetyczny. Uzasadnij, »e je±li (a2 + b2 )(c 2 + d 2 ) = (ac + bd)2 , to ad = bc . Trójk¡ty prostok¡tne równoramienne ABC i CDE s¡ poªo»one tak, jak na poni»szym rysunku (w obu trójk¡tach k¡t przy wierzchoªku C jest prosty). Wyka», »e AD = BE .