+Q -Q U Γ

1.9.
Cyrkulacyjny opływ walca kołowego
Jeżeli przyczyną paradoksu d’Alemberta jest symetryczny kształt linii prądu, to
oczywistym sposobem umożliwiającym ich odkształcenie jest zastosowanie cyrkulacji czyli
wiru potencjalnego. Złożenie tego przepływu elementarnego wraz z dipolem i przepływem
jednorodnym utworzy przepływ złożony, którego linie prądu nie będą już symetryczne
względem osi x (patrz rys. 1.42).
U
+Q
Rys.1.42.
-Q
Γ
Złożenie przepływów elementarnych tworzące potencjalny opływ cylindra z
cyrkulacją.
Zespolony potencjał tego przepływu można zapisać:
M 1
Γ
z
f(z) = U ∞ z +
+i
ln
(1.80)
2π z
2π
a
a jeżeli założymy, że zerowa linia prądu winna tworzyć okrąg o promieniu a, wówczas
konieczne będzie aby moment dipola przyjmował wartość równą:
M = 2π a 2 U ∞
co w układzie współrzędnych daje następujący potencjał zespolony:



a 2 
Γ
a 2 
Γ r


f(z) = U ∞ r +
cos ϑ −
sin ϑ +
ln 
ϑ + i U ∞ r −


r 
2π
r 
2π a 




Z powyższego równania mamy funkcję potencjału prędkości:

a 2 
Γ
cos ϑ −
ϕ = U∞ r +
ϑ
(1.81)


r 
2π

oraz funkcję prądu:
 a2 
 sin ϑ + Γ ln r
Ψ = U∞ r −
(1.82)

r 
2π a

Jeżeli założymy Ψ = C , wówczas równanie dowolnej linii prądu będzie następujące:
Γ
r
C−
ln
2π a
sin ϑ =

a 2 
U∞ r −

r 

a przykładową siatkę linii prądu i potencjału, wyliczoną dla Γ = 2 π a U ∞ pokazano na rys.
1.43. Można tu zauważyć, że zerowa linia prądu r=a jest identyczna jak dla potencjalnego
opływu walca bez cyrkulacji, lecz zgodnie z oczekiwaniami pozostałe linie prądu utraciły
symetrię względem osi x. Nałożenie cyrkulacji nie zakłóciło jednak symetrii linii prądu
względem osi y co sugeruje, że wypadkowa reakcja w kierunku osi x będzie nadal równa zeru.
56
ϕ =2
ϕ =3
ϕ =4
ϕ =5
ϕ =0
ϕ =6
ϕ =1
ϕ =2
ϕ =4
ϕ =3
Nad cylindrem odległość między poszczególnymi liniami prądu jest znacznie mniejsza niż
pod spodem co oznacza, że cyrkulacja zwiększyła prędkość na górnej powierzchni cylindra i
zmniejszyła ją na dolnej części powierzchni cylindra. Zmiany prędkości muszą oczywiście
oddziaływać na rozkład ciśnienia i w efekcie możemy oczekiwać pojawienia się siły
wypadkowej w kierunku pionowym (wartość tej siły zostanie wyliczona później).
2.2
2.2
1.8
1.8
a
1.4
1.4
0.6
0.2
ψ= 0
-0.2
-0.6
0.2
ψ= 0
-0.2
-0.6
Rys.1.43.
ϕ =1.0
ϕ =2.0
ϕ =3.0
0.6
ϕ =4.0
1.0
ϕ =6.0
1.0
Siatka linii potencjału i prądu dla opływu cylindra z nałożoną cyrkulacją o
wartości Γ = 2πaU ∞ .
Linie prądu pochodzące z przepływu równoległego, które dochodzą do okręgu poniżej
osi x tworzą dwa punkty stagnacji. Położenie tych punktów można wyliczyć z równania
opisującego prędkość sprzężoną w punkcie stagnacji, gdzie U x = U y = 0, tzn.:
df
=0
dz
Różniczkowanie zal. (1.80) prowadzi do następującego równania:
iM
z2 +
z − a2 = 0
2πU ∞
a jego rozwiązanie opisuje położenie punktów stagnacji:
U x − iU y =
2
 Γ 
Γ
 + a 2
z1,2 = −
± − 
4 πU ∞
 4 πU ∞ 
Jeżeli wyrażenie pod pierwiastkiem jest dodatnie, tzn.:
2
 Γ 
 + a 2
− 
 4 πU ∞ 
> 0
co wymaga:
Γ
< 4 π aU ∞
wówczas na powierzchni cylindra mamy dwa punkty stagnacji położone symetrycznie
względem osi y, których współrzędne są następujące:
2
 Γ 
 + a 2 ;
x1,2 = ± − 
 4π U ∞ 
y=
Γ
4 πU ∞
57
Jeżeli zwiększymy wartość cyrkulacji do:
Γ
= 4 π aU ∞
wówczas otrzymamy podwójny punkt stagnacji:
z1,2 = − i a
o następujących współrzędnych:
x = 0 ; y = ±a
Dalsze zwiększanie cyrkulacji powyżej wartości granicznej:
Γ > 4 π aU ∞
daje rozwiązanie urojone:
2


 Γ 
Γ

 − a 
z1,2 = i −
± 

 4π U ∞
 4 πU∞ 


i ostatecznie otrzymujemy dwa punkty stagnacji o współrzędnych:
2
 Γ 
Γ
 − a 2
x1,2 = 0 ; y1,2 =
± 
4 πU ∞
 4 πU ∞ 
co oznacza, że obydwa punkty stagnacji leżą na osi y. Odległość punktów stagnacji od
początku układu współrzędnych można wyliczyć w sposób następujący:
Γ
z1 =
4 πU ∞
2
+
 Γ 

 − a 2 > a
 4 πU ∞ 
2
 Γ 

 − a 2 < a
+
4
U
π
∞

co oznacza, że urojone punkty stagnacji są położone albo na zewnątrz lub wewnątrz okręgu.
Oczywiście ten ostatni przypadek nie ma sensu fizycznego i dlatego też jedynie przepływ o
cyrkulacji spełniającej warunek:
Γ
≤ 4 π aU ∞
Γ
z2 =
4 πU ∞
będzie rozważany dalej.
Zajmijmy się teraz analizą pola prędkości, które w biegunowym układzie
współrzędnych może być opisane jako prędkość sprzężona:

 a2
iΓ
df
Ur − i Uϑ =
exp (i ϑ) = U ∞ 1 −
exp (− i 2 ϑ) exp (i ϑ) +
dz
2πr

 r 2
co po rozdziale na część rzeczywistą i urojoną daje:

a 2 
U r = U ∞ 1 −
cos ϑ
(1.83.a)
2

r



a 2 
Γ
(1.83.b)
U ϑ = −U ∞  1 +
sin ϑ −
2

2
π
r
r


Sprawdzenia, czy spełnione są warunki brzegowe w nieskończoności można dokonać
podstawiając r→∞ do równ. (1.83.a oraz b), co daje następujące wartości składowych
prędkości:
U r = U ∞ cos ϑ
U ϑ = − U ∞ sin ϑ
oraz wartość modułu wektora prędkości:
U = U r2 + U ϑ2 = U ∞
58
Można zatem stwierdzić, że warunki brzegowe w nieskończoności są spełnione, gdyż
otrzymujemy przepływ jednorodny w nieskończenie dużej odległości od początku układu
współrzędnych. Drugi zestaw warunków brzegowych powinien być spełniony na powierzchni
cylindra, gdzie podstawiając r=a do równ. (1.83.a oraz b) możemy napisać:
U rc = 0

Γ 

U ϑc = − U ∞  2 sin ϑ +
2 πaU ∞ 

gdzie c – oznacza powierzchnię cylindra.
Można zatem stwierdzić, że także drugi zestaw warunków brzegowych jest spełniony,
ponieważ powyższe zależności potwierdzają fizycznie poprawną sytuację, kiedy na
powierzchni cylindra istnieje tylko styczna składowa prędkości. Zależność wyrażająca moduł
wektora prędkości, którą można zapisać następująco:
Γ
Uc =
U r2 + U ϑ2 = U ϑc
= 2 U ∞ sin ϑ +
= U c1 + U c2
(1.84)
2 πa
potwierdza, że prędkość na powierzchni walca jest superpozycją prędkości wynikającej z
bezcyrkulacyjnego opływu (pokazanego na rys. 1.44.a):
U c1 = 2U ∞ sin ϑ
oraz pola prędkości indukowanego cyrkulacją Γ (rys. 1.44.b), która na powierzchni walca
wynosi:
=
U c2
a)
1
2π a
b)
1
2U
Uc2
a
ϑ
U
Γ
ψ =0
2
Uc2
2U
c)
1
2U
Uc2
U
Rys.1.44.
Uc2
2
2U
Prędkość w dwóch przykładowych punktach na powierzchni cylindra
indukowana przez przepływ wokół cylindra a), cyrkulację b) oraz ich
superpozycja c).
Jak pokazano na rys. 1.44.c, na górze cylindra (punkt 1) składowe prędkości Uc1 oraz Uc2
sumują się, podczas gdy w punkcie 2 ich zwroty są przeciwne, czego skutkiem jest
niesymetryczny rozkład prędkości i ciśnienia wzdłuż obwodu walca. W punkcie
59
zlokalizowanym na górze cylindra dla ϑ = π/2 , obwodowa składowa prędkości ma zawsze
wartość maksymalną:

Γ 

U c max = U c1 + U c2 = U ∞  2 +
2
aU
π
∞

3
π zawsze występuje minimum prędkości:
2

Γ 

U c min = U c1 − U c2 = U ∞  − 2 +
2 πaU ∞ 

Dla krytycznej wartości cyrkulacji równej:
Γ crit = 4 π a U ∞
minimalna prędkość wynosi Uc min = 0 w podwójnym punkcie stagnacji zlokalizowanym w
3
ϑ= π.
2
podczas gdy na dole cylindra, tzn. dla ϑ =
Tablica 3. Obrazy przepływu dla przykładowych wartości cyrkulacji Г.
Γ
U cmax
sinϑ =
Γ
4Π aU ∞
ϑ for
0
2U ∞
2Π a U ∞
3U ∞
4Π a U ∞
4U ∞
0
1
2
7
4
Π; Π
6
6
−1
−
0
Uc = 0
Π
3
Π
a
y
x
Vc max
Vc max
x
Γ
> 4Π a U ∞
y
Vc max
x
x
y
Γ
x
Podsumowanie powyższej dyskusji podano w tabl. 3, która przedstawia również
schematyczne obrazy przepływu dla przykładowych wartości cyrkulacji Γ . Można tu
zauważyć, że wraz ze wzrostem Γ linie prądu stają się coraz bardziej asymetryczne
względem osi x, natomiast punkty stagnacji przesuwają się w kierunku dolnej powierzchni
cylindra. Jeżeli cyrkulacja przekracza krytyczną wartość:
Γ crit = 4 π a U ∞
wówczas zerowa linia prądu otacza cylinder i przepływ przestaje przejawiać podobieństwo do
jakiegokolwiek fizycznie możliwego pola przepływu.
Należy pamiętać, że rozważany przepływ jest nadal potencjalny, nawet jeżeli
cyrkulacja obliczona wzdłuż zamkniętego konturu „s” otaczającego cylinder nie jest równa
zeru, tzn.:
∫
(
)
r
U cos U, ds ds =
2π
∫
o
 
U ∞  1 +
 
a 2 
Γ 
 rdϑ =
sin ϑ +
2 πr 
r 2 

Γ
60
Wyjaśnienie tej sprzeczności jest identyczne jak w przypadku wiru potencjalnego,
mianowicie w środku układu współrzędnych występuje punkt osobliwy funkcji opisanej
równ. (1.80).
Najważniejszym parametrem przepływu z aplikacyjnego punktu widzenia jest rozkład
ciśnienia, który można wyliczyć tak samo jak dla przepływu wokół cylindra bez nałożonej
cyrkulacji, tzn. z równania Bernoulliego:
 U2 
pc = p∞ + q∞ 1 −

 U ∞2 
Jeżeli chcemy wyliczyć rozkład ciśnienia na powierzchni cylindra, wówczas po podstawieniu
z równ. (1.84):
Γ
U = U c = 2U ∞ sin ϑ +
2πa
i po wprowadzeniu powyższego związku do równania Bernoulliego, można zapisać
wyrażenie na współczynnik ciśnienia:
2

p − p∞
Γ 

= 1 −  2sin ϑ +
(1.85)
Cp = c
π
q∞
2
aU
∞


Równanie powyższe wskazuje wyraźnie, że ciśnienie na górnej części cylindra ( 0 < ϑ < π )
jest niższe niż na części dolnej ( π < ϑ < 2π ). Jeżeli koniecznym jest określenie położenia
punktów, w których ciśnienie na powierzchni cylindra jest równe ciśnieniu statycznemu w
przepływie niezakłóconym p ∞ , można to wyliczyć z następującego warunku:
2

Γ 
 =0
C p = 1 −  2 sin ϑ +
2πaU ∞ 

co daje:
1
Γ 

sin ϑ =  ± 1 −
2
2πaU ∞ 
Położenie charakterystycznych punktów, w których współczynnik ciśnienia przyjmuje
wartości ekstremalne można wyliczyć z warunku:

d
Γ 
 cos ϑ = 0
C p = − 4  2sin ϑ +
dϑ
2 πaU ∞ 

Oznacza to, że dla położeń określonych następującym warunkiem:
Γ
sin ϑ = −
4πaU ∞
otrzymujemy na powierzchni cylindra punkty stagnacji, w których ciśnienie przybiera wartość
maksymalną:
pc max = p ∞ + q∞
( )
Jeżeli cos ϑ = 0 , wówczas w punktach określonych wartością kąta ϑ =
π 3
; π ciśnienie na
2 2
powierzchni cylindra osiąga minimum:
 
Γ 

(1.86)
pc min = p∞ + q∞ 1 −  ± 2 +
2πaU ∞ 
 
Rozkład współczynnika ciśnienia wzdłuż powierzchni cylindra pokazano na rys. 1.45
zarówno dla przypadku opływu bezcyrkulacyjnego ( Γ = 0 ) jak również dla kilku
charakterystycznych wartości cyrkulacji nałożonej na opływ cylindra. Jak można łatwo
zauważyć, wzrost cyrkulacji zmniejsza ciśnienie na dolnej części cylindra i zwiększa je na
części górnej. Biegunowy wykres współczynnika Cp dla Γ = πaU ∞ pokazany na rys. 1.46.a
pokazuje w sposób przekonywujący, że rozkład ciśnienia na powierzchni cylindra jest
61
symetryczny względem osi y i niesymetryczny względem osi x. Można zatem oczekiwać
wystąpienia siły wypadkowej L (rys. 1.46.b), prostopadłej do kierunku przepływu głównego i
skierowanej pionowo w górę. Taka siła wypadkowa nazywana jest siłą nośną i uwzględniając
rozkłady współczynnika Cp z rys. 1.45 można oczekiwać, że jej wielkość będzie rosła wraz ze
wzrostem cyrkulacji Γ . Siła oporu D działająca na cylinder w kierunku napływającego
strumienia, którą także pokazano na tym rysunku, będzie rzecz jasna równa zeru z powodu
symetrycznego względem osi y rozkładu ciśnienia.
Cp
2
Γ =0
-2
Γ = Π aU
-4
Γ = 2Π aU
Γ = 4Π aU
1
0
-6
-8
a
-10
Γ
U
-12
-14
-16
Π
0
Rys.1.45.
3
2Π
Π
2
ϑ
2Π
Rozkłady współczynnika ciśnienia na powierzchni cylindra dla przykładowych
wartości cyrkulacji.
a)
y
U
x
p
Cp= 0
b)
L
y
U
Γ
x
Rys.1.46.
D
Biegunowy wykres współczynnika ciśnienia Cp dla cyrkulacji Γ = πaU ∞ a)
oraz szkic wypadkowej siły nośnej b).
62
Prawdziwość tego stwierdzenia można udowodnić obliczając składowe siły
wypadkowej działającej na powierzchnię cylindra (patrz rozdz. 1.8):
2π
Px = D = − a
∫
pc cosϑ dϑ
∫
pc sin ϑ dϑ
o
2π
Py = L = − a
o
i wprowadzając pc z równ. (1.80) otrzymujemy po scałkowaniu:
Px = D = 0
Py = L =
Podstawiając q∞ =
ρU ∞2
2
2q∞ Γ
U∞
otrzymujemy ostatecznie związek między siłą nośną i cyrkulacją:
Py = L = ρU ∞ Γ
(1.87)
znany jako twierdzenie Kutty-Żukowskiego. To słynne równanie, wyprowadzone niezależnie
w r. 1902 przez W.M.Kutta i w r. 1906 przez N.Żukowskiego można ująć następująco:
„...zgodnie z teorią przepływów potencjalnych, siła nośna L przypadająca na jednostkę
długości cylindra opływanego strumieniem jednorodnym płynu nielepkiego jest
proporcjonalna do gęstości płynu ρ , prędkości przepływu niezakłóconego U ∞ oraz wartości
cyrkulacji Γ nałożonej na cylinder. Wypadkowa siła nośna jest przy tym obrócona pod kątem
90o względem napływającego strumienia w kierunku przeciwnym do zwrotu cyrkulacji”.
Znaczenie tego twierdzenia wynika z nieoczekiwanej własności tej bardzo prostej
teorii przepływu nielepkiego, jaką jest możliwość dokładnego wyliczenia siły nośnej
wytwarzanej przez skrzydła samolotów, łopatki maszyn przepływowych, śmigła itp. Teoria ta
wyjaśnia również szereg zjawisk, które znamy z życia codziennego, np. odchylenie toru piłki
tenisowej, której w sposób celowy nadano rotację (piłka „podcięta”). Wyobraźmy sobie, że
poruszającej się piłce (rys. 1.47.a) gracz nadaje rotację o kierunku zgodnym ze wskazówkami
zegara (w żargonie tenisowym – lob) i wówczas zgodnie z twierdzeniem Kutty-Żukowskiego
pojawi się siła nośna skierowana pionowo w górę, która wzniesie piłkę ponad jej trajektorię
balistyczną. W rezultacie piłka poruszać się będzie torem bardziej stromym w porównaniu z
trajektorią, po której poruszałaby się ona, gdybyśmy uwzględniali tylko prędkość początkową
i kąt rzutu oraz opór powietrza.
a)
b)
Py
U
U
Γ
−Γ
Py
Rys.1.47. Ilustracja siły pojawiającej się na piłce „podciętej” (tzw. lob) – ) oraz „ściętej” b).
63
Jeżeli natomiast piłce nadana zostanie rotacja w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek
zegara (tzw. ścięcie piłki – rys. 1.47.b), wówczas siła wypadkowa skierowana będzie pionowo
w dół i piłka poruszać się będzie poniżej trajektorii balistycznej. Zjawisko to zostało odkryte
już w wieku XVIII, kiedy kuliste pociski wystrzeliwane z armat leciały niekiedy po
przypadkowych torach. Związek odchylenia toru pocisku z jego rotacją został po raz pierwszy
odkryty przez niemieckiego naukowca H.G.Magnusa i nazywany jest od tej pory efektem
Magnusa.
Ur
a
Ur
l
Rys.1.48.
Geometria wirującego cylindra i generowane przezeń pole prędkości przy
bezpoślizgowym warunku na ścianie.
Inny niemiecki naukowiec A.Flettner zaprojektował w r. 1924 statek wyposażony w kilka
wirujących cylindrów, które wytwarzały ciąg dzięki wiatrowi opływającemu statek i dawały
mu siłę nośną opisaną twierdzeniem Kutty-Żukowskiego. Zaletą tego rozwiązania jest
niezależność siły ciągu od kierunku napływającego wiatru, uzyskiwana dzięki możliwości
odwracania kierunku rotacji cylindrów, eliminująca podstawową wadę statków żaglowych.
Przepływ wiatru wokół obracającego się cylindra jest fizyczną realizacją modelowego
przepływu utworzonego przez dipol, potencjalny wir o cyrkulacji Γ oraz przepływ
równoległy z prędkością U ∞ identyczną z prędkością wiatru. Zakładając, że prędkość
obwodowa (rys. 1.48) na powierzchni cylindra wynosi:
Ur = a ⋅ω
przyjmujemy, że dzięki siłom lepkości na styku powierzchni ciała i płynu otrzymujemy tę
samą prędkość obwodową płynu jak na powierzchni cylindra (warunek bezpoślizgowy). W
takim przypadku cyrkulacja indukowana przez obracający się cylinder wynosi:
Γ = 2π Ur a = 2π ω a2
i wówczas teoretyczna siła nośna Lt wytwarzana przez cylinder o wysokości l może być
wyliczona z równ. (1.87) w sposób następujący:
Lt = L ⋅ l = ρ U ∞ ⋅ Γ ⋅ l = 2 π ρ U ∞ ⋅ ω ⋅ a 2 ⋅ l
(należy tu pamiętać, że wzór Kutty-Żukowskiego podaje siłę nośną przypadającą na jednostkę
wysokości cylindra).
Teoretyczny współczynnik siły nośnej równy jest:
LT
C Lt =
q∞ ⋅ S
gdzie S=2al jest polem przekroju poprzecznego cylindra w płaszczyźnie przechodzącej przez
jego oś, a po prostych przekształceniach otrzymujemy związek:
64
C Lt =
2πaU ∞ ⋅ ω ⋅ a 2 l
ρ U ∞2
⋅ 2al
=
2π ⋅ a ⋅ ω
= 2 π Vr
U∞
2
z którego wynika liniowa proporcjonalność teoretycznej siły nośnej do stosunku prędkości
obwodowej cylindra do prędkości napływającego strumienia:
aω
Vr =
.
U∞
Teoretyczny współczynnik oporu wynosi:
Dt
C Dt =
=0
q∞ ⋅ S
ponieważ teoretyczna siła oporu zgodnie z paradoksem d’Alemberta równa jest zeru, tzn.
Dt = 0.
Na rys. 1.49 pokazano eksperymentalną łódź napędzaną wirnikiem Flettnera, która
została zbudowana przez studentów Uniwersytetu Rhode Island. Górna część rys. 1.49
przedstawia porównanie pomiędzy teoretycznymi rozkładami CL oraz CD wyrażonymi w
funkcji stosunku prędkości Vr, z wartościami określonymi eksperymentalnie przez H. Rouse.
Można zauważyć, że wartości CL określone eksperymentalnie są zawsze mniejsze niż
wartości teoretyczne i jedynie w ograniczonym zakresie stosunków prędkości (Vr < 3)
zmienność CL określona z eksperymentu może być z pewnym przybliżeniem aproksymowana
linią prostą (jednak kąt nachylenia tej linii jest wyraźnie różny od teoretycznego). Dla
większych wartości Vr rozkład rzeczywistych wartości CL staje się wyraźnie nieliniowy i przy
dalszym wzroście Vr współczynnik CL określony eksperymentalnie dąży asymptotycznie do
stałej wartości. Eksperymentalnie określone wartości współczynnika oporu CD nie są rzecz
jasna równe zeru a jego zmienność jest nieliniowa w funkcji stosunku prędkości Vr. Warto
również zauważyć, że także i rzeczywiste wartości współczynnika oporu CD zdążają
asymptotycznie do stałej wartości wraz ze wzrostem stosunku prędkości Vr. Wyniki te są
rzecz jasna całkowicie sprzeczne z rezultatami analizy przepływu potencjalnego
potwierdzając w ten sposób ograniczenia wskazane przez paradoks d’Alemberta.
Najważniejszym powodem różnic między teoretycznymi i rzeczywistymi rozkładami
współczynników oporu CD i siły nośnej CL jest rzecz jasna lepkość płynu, która w analizie
przepływów potencjalnych jest całkowicie pomijana. Siły lepkości są odpowiedzialne za
sprzeczną z teorią niezerową wartość współczynnika oporu. Jak wyjaśniono w rozdziale
poświęconym warstwie przyściennej, opór aerodynamiczny a więc także i współczynnik
oporu w przepływie płynu nieściśliwego składa się z dwóch części:
C D = C DV + C DP
gdzie:
CDV – współczynnik oporu tarcia,
CDP – współczynnik oporu ciśnieniowego.
Pominięcie lepkości w teorii przepływów potencjalnych jest równoznaczne z przyjęciem
zerowej wartości współczynnika oporu tarcia CDV , podczas gdy w przepływie rzeczywistym
opór tarcia jest oczywiście niezerowy. Lepkość sprawia również, że na powierzchni cylindra
występuje zjawisko oderwania prowadzące do wystąpienia omówionego w rozdz. 1.8 śladu
lepkiego, czego konsekwencją jest niesymetryczny względem osi y rozkład ciśnienia na
powierzchni walca. W rezultacie otrzymujemy w przepływie rzeczywistym niezerową
wartość współczynnika oporu ciśnieniowego CDP, podczas gdy w rozwiązaniu potencjalnym
rozkład ciśnienia na powierzchni walca jest symetryczny względem osi y. Obydwie te
przyczyny wyjaśniają zatem rozbieżność między teoretycznym i rzeczywistym przebiegiem
współczynnika oporu CD pokazanym na rys. 1.49. Oderwanie strumienia i istnienie śladu
lepkiego jest również przyczyną rozbieżności między teoretycznym i rzeczywistym
przebiegiem współczynnika siły nośnej CL, przy czym rys. 1.49 sugeruje, że wraz ze
wzrostem wartości Vr oderwanie strumienia i ślad lepki odgrywają coraz większą rolę.
65
Rys.1.49.
Eksperymentalna łódź z rotorami Flettnera zbudowana przez studentów
University of Rhode Island (cyt. wg książki F.M.White).
66
Urządzenie zaprojektowane przez Flettnera nie zostało zastosowane w praktyce, mimo iż siła
nośna wytwarzana przez obracający się cylinder jest większa niż wytwarzana przez profil
aerodynamiczny o porównywalnej cięciwie. Powodem jest duża wartość oporu
aerodynamicznego, co po uwzględnieniu konieczności dostarczenia dodatkowej energii do
napędu walców sprawia, że napęd żaglowy okazuje się bardziej ekonomiczny. Jeżeli dodamy
do tego problemy konstrukcyjne i eksploatacyjne z obracającymi się dużymi walcami,
wówczas stanie się jasne, dlaczego rozwiązanie to jest obecnie jedynie ciekawostką,
wykorzystywaną niekiedy dla celów dydaktycznych, czego przykładem jest pokazana na rys.
1.49 łódka.
Najważniejszym jednak wynikiem tego rozdziału jest teoretyczny model powstawania
siły nośnej dany przez twierdzenie Kutty-Żukowskiego (równ. 1.87). Model ten jest
powszechnie wykorzystywany w teorii profili lotniczych, gdzie uproszczony, nielepki opis
przepływu daje zdumiewająco użyteczne wyniki.
67