Wielokanałowe modele AR

Laboratorium_EEG/MVAR
Spis treści
1 Wielokanałowe modele AR
2 Przyczynowość
2.1 Przyczynowość Grangera
2.2 Funkcja DTF
3 Ćwiczenia
3.1 Wstęp do ćwiczeń
3.2 Ćwiczenie 1
3.3 Ćwiczenie 2
3.4 Ćwiczenie 3
3.5 Ćwiczenie 4
3.6 Ćwiczenie 5
4 Literatura
Wielokanałowe modele AR
Model AR opisuje wartość sygnału w chwili czasu t jako kombinację liniową jego wartości w chwilach
poprzednich oraz szumu.
Wzór powyższy może posłużyć do jednoczesnego opisu wielu sygnałów tworzących układ
wielokanałowy. Mamy wtedy (dla k kanałów):
Uzyskujemy w ten sposób tzw. model wielokanałowy (wielozmienny, ang. multichannel, multivariate,
MVAR). Należy odróżniać taki model od wersji wielowymiarowej, w której opisywany proces X zależy
od wielu zmiennych, np. w wersji dwuwymiarowej szukalibyśmy X(x, y). Modelami
wielowymiarowymi nie będziemy się tu zajmować.
Podobnie jak w przypadku jednokanałowym możemy przetransformować model do przestrzeni
częstości uzyskując zależność
gdzie, podobnie jak poprzednio, odpowiednie wielkości stają się wektorami k-wierszowymi i
macierzami rozmiaru k×k:
Mnożąc powyższe równanie lewostronnie przez macierz A−1 otrzymujemy
Macierz H nazywana jest macierzą przejścia (ang. transfer matrix) modelu.
Przyczynowość
Aby móc efektywnie opisywać zależności przyczynowe między sygnałami musimy w matematyczny
sposób opisać, w jaki sposób tego typu zależności rozumiemy. W przypadku sygnałów
biomedycznych będziemy musieli uwzględnić ich stochastyczny charakter. Zakładamy również, że na
wartość danych w chwili obecnej mogą wpływać jedynie czynniki z chwil poprzednich (skutek nie
może wyprzedzać przyczyny).
Przyczynowość Grangera
Szeroko stosowaną definicją przyczynowości między sygnałami jest definicja podana przez Grangera
(Clive Granger, ekonomista i matematyk amerykański). Bazuje ona na przewidywalności szeregów
czasowych. Wyobraźmy sobie, że próbujemy przewidzieć wartość sygnału (szeregu czasowego) X w
chwili czasu t używając wartości tego samego sygnału zmierzonych w chwilach poprzednich,
wziętych z pewnymi współczynnikami A:
W powyższym wzorze wielkość E(t) jest uzyskanym przez nas błędem dopasowania.
Spróbujmy teraz przewidzieć wartość X(t), ale wzbogacając formułę po prawej stronie poprzednimi
wartości innego sygnału Y
Uzyskujemy nowy błąd dopasowania N. Zasada sformułowana przez Grangera mówi, że jeśli po
dodaniu poprzednich próbek drugiego sygnału nasze przewidywanie sygnału pierwszego się
poprawiło, to kanał drugi (Y) jest przyczynowym dla pierwszego (X). Matematycznie jakość predykcji
badamy porównując wariancje szumów N i E:
jeśli var(N) < var(E) to Y jest przyczynowy dla X.
Tak rozumianą relację przyczynowości między sygnałami nazywamy przyczynowością Grangera (lub
przyczynowością w sensie Grangera, ang. Granger causality).
Zauważmy, że predykcja nie pogorszy się (pierwotne wyrażenie z poprzednimi wartościami X wciąż
we wzorze jest), może albo pozostać bez zmian (jeśli Y nie ma nic wspólnego z X) albo się poprawić.
Funkcja DTF
W procesie dopasowywania współczynników modelu AR staramy się je tak dobrać, aby jak najlepiej
opisać nasz sygnał, czyli aby jak najmniejsza część wariancji sygnału zostawała dla składowej
losowej E(t). Możemy więc interpretować tę czynność jak w przypadku przewidywania wartości
sygnału X na podstawie jego poprzednich wartości, a składową losową traktować jak błąd predykcji.
Tak więc na podstawie badania współczynników dopasowanego modelu możemy wnioskować o
zależnościach przyczynowych w naszych danych (wielokanałowych).
Załóżmy, że dla układu dwukanałowego dopasowaliśmy model AR rzędu 1 otrzymując
Analiza współczynników dopasowanego modelu również dostarcza nam informacji o zależnościach
między sygnałami w analizowanym zestawie. Obecność niezerowego współczynnika a12 oznacza, że
poprzednie próbki sygnału X2 mają wpływ na bieżącą próbkę sygnału X1. Natomiast współczynnik a21
wynosi 0, widzimy więc, że poprzednie próbki sygnału X1 nie wpływają na bieżącą próbkę sygnału X2.
Wnioskujemy więc, że w naszym układzie występuje wpływ X2→X1, a nie ma wpływu X1→X2. Widzimy
również, że każdy kierunek możliwego wpływu jest niezależny od drugiego i mogą wystąpić każdy
osobno lub oba równocześnie, zależnie od charakteru danych. Tego typu zależności nie bylibyśmy w
stanie wykryć posługując się np. analizą korelacji.
Informacja zawarta we współczynnikach modelu A mówi nam o zależnościach w dziedzinie czasu.
Aby móc coś powiedzieć o zależnościach w dziedzinie częstości wykorzystamy macierz przejścia H
modelu AR wyrażonego w dziedzinie częstości:
Macierz H produkuje z transformat Fouriera sygnałów szumowych (posiadających z definicji widmo
płaskie, niezależne od częstości) widmo badanych sygnałów. Zawiera więc ona potrzebną nam
informację o zależnościach miedzy naszymi sygnałami w dziedzinie częstości. Jest to macierz
niesymetryczna, jej element Hij(f) mówi o intensywności wpływu sygnału Xj na sygnał Xi w częstości f.
Z elementów macierzy H zbudowana jest kierunkowa funkcja przejścia (ang. directed transfer
function, DTF). Istnieje kilka wariantów tej funkcji, poniżej prezentowane są wzory opisujące wersję
znormalizowaną i nieznormalizowaną.
Wersja znormalizowana
Wersja nieznormalizowana
Wersja nieznormalizowana to po prostu kwadrat modułu odpowiedniego elementu macierzy H. Jego
wartość jest wprost proporcjonalna do intensywności związku między sygnałami; zależy ona od
wariancji danych i może być dowolnie duża. Wersja znormalizowana opisuje stosunek wpływu z
kanału o indeksie j do kanału o indeksie i (w częstości f) w stosunku do wszystkich wpływów do
kanału o indeksie i (w tej częstości). W ten sposób wartość ta jest znormalizowana do przedziału [0,
1].
Dla obu wersji funkcji DTF wartości bliskie zeru mówią o braku związku między danymi sygnałami.
Zauważmy jeszcze, że model AR traktuje wszystkie kanały modelowanego układu na raz
(jednocześnie). Jest to sytuacja zupełnie inna niż w przypadku badania każdej pary kanałów osobno.
Ćwiczenia
Wstęp do ćwiczeń
Do ćwiczeń w tym rozdziale używać będziemy zestawu danych, które służyły w poprzednim rozdziale
do wyznaczania komponentów ICA
(http://www.fuw.edu.pl/~jarekz/LabEEG/Dane_do_ICA_alfa.tar.gz). Aby dostosować je do naszych
celów dokonamy na nich następujących operacji:
wybierzemy kanały EEG;
zastosujemy montaż do połączonych uszu (kanały A1 i A2);
zmniejszymy częstość próbkowania z 512 do 128 Hz (stosując antyaliasingowy filtr
dolnoprzepustowy funkcją filtfilt i biorąc co czwartą próbkę filtrowanego sygnału);
przefiltrujemy sygnał (po zmianie) górnoprzepustowo z granicą odcięcia 1 Hz (stosując funkcję
filtfilt).
Aby dopasować współczynniki modelu MVAR do posiadanych danych użyjemy funkcji
licz_wsp_AR.m zawartej w pakiecie: MVAR_Matlab.zip — należy go ściągnąć i wypakować do
katalogu roboczego. Funkcja ta zwraca współczynniki A modelu MVAR oraz macierz wariancji szumu
V. Aby uzyskać macierz przejścia modelu H należy zaimplementować samemu procedurę
transformacji współczynników do dziedziny częstości (patrz: tu).
Przez „szum” rozumieć będziemy wektor wartości losowych zwracanych przez funkcję randn.
Ćwiczenie 1
Z zestawu danych do obliczania ICA (poprzedni rozdział) wybierz jeden kanał EEG, zawierający
wyraźną czynność alfa.
Przytnij wybrany odcinek do długości 2000 próbek. Podziel wybrany odcinek danych przez ich
odchylenie standardowe.
Wygeneruj dwa zestawy danych:
Zestaw 1
Kanał 1 to nasz wybrany kanał EEG
Kanał 2 = (kanał 1 opóźniony o 1 próbkę)*0,6 + szum
Zestaw 2
Kanał 1 to nasz wybrany kanał EEG
Kanał 2 = szum
Dla obu zestawów danych sprawdź stosując metodę przyczynowości Grangera, który sygnał możemy
uznać za przyczynowy dla drugiego sygnału. W tym celu w każdym zestawie dopasuj kolejno
jednokanałowe modele AR oraz model dwukanałowy i porównaj otrzymane wariancje szumu.
Ćwiczenie 2
Dla obu zestawów danych z ćwiczenia 1 dopasuj dwukanałowe modele AR dla rzędów od 1 do 10.
Sprawdź, ile wynoszą współczynniki a12 i a21 dopasowanych modeli AR w dziedzinie czasu dla j =
1...p. Dla każdego rzędu p oblicz dla kanałów 1 i 2 oraz 2 i 1 miarę DC [3]:
Ćwiczenie 3
Wygeneruj dwa sygnały sinusoidalne o długości 1000 próbek każdy, o tej samej częstości 32
Hz i częstości próbkowania 128 Hz, ale różnych fazach początkowych.
Pierwszy sygnał powinien mieć fazę początkową równą 0, drugi sygnał sinusoidalny powinien
mieć fazę początkową równą π/4.
Do drugiego z sygnałów dodaj małą (o amplitudzie ok 0,2 amplitudy sinusoidy) składową
losową (czyli dodatkowy niezależny szum biały).
Z tak otrzymanych sygnałów utwórz jeden sygnał dwukanałowy (macierz o rozmiarze
(2,1000)).
Ustal optymalny rząd modelu AR (tym razem dwukanałowego) i oblicz macierz gęstości widmowej
mocy oraz koherencji między tymi sygnałami. Narysuj moduł i fazę koherencji C12 i C21.
Dla tego zestawu kanałów oblicz i narysuj normalizowaną i nienormalizowaną funkcję DTF.
Zmień fazę początkową drugiego sygnału. Jak zmienia się funkcja koherencji? Co dzieje się z funkcją
DTF?
Ćwiczenie 4
Ćwiczenie to opisuje problem tzw. wspólnego źródła. W takiej sytuacji prawdziwa analiza
wielokanałowa wykazuje swoją przewagę nad badaniem zależności parami (dla każdej pary kanałów
osobno).
Wygeneruj układ trzech sygnałów w następujący sposób:
jako pierwszego kanału użyj sygnału z ćwiczenia 1;
sygnał_w_drugim_kanale(t) = 0,4 * sygnał_z_pierwszego_kanału(t−1) + 0,4 *
szum1;
sygnał_w_trzecim_kanale(t) = 0,3 * sygnał_z_pierwszego_kanału(t−2) + 0,4 *
szum2.
Oblicz macierz koherencji zwyczajnych dla tego układu i na ich podstawie wyznacz zależności
między kanałami. Powtórz to samo dla koherencji cząstkowych.
Oblicz dla tego zestawu danych funkcje DTF.
Oblicz funkcję DTF tylko dla kanałów 2 i 3 (model dwukanałowy). Czym różni się wynik od
odpowiedniej funkcji dla układu wszystkich trzech kanałów?
Wyniki wszystkich obliczeń przedstaw na rysunkach.
Ćwiczenie 5
Oblicz funkcje DTF dla wszystkich kanałów EEG z przygotowanego zestawu danych do ICA (dla
pełnej długości w czasie każdego kanału). Zaobserwuj przepływy w paśmie częstości alfa.
Literatura
Kamiński M, Blinowska KJ. A new method of the description of the information flow in brain
structures. Biol Cybern 1991; 65:203–10.
Granger CWJ. Investigating causal relations in by econometric models and crossspectral
methods. Econometrica 1969; 37:424–38.
Kamiński M, Ding M, Truccolo W, Bressler S. Evaluating causal relations in neural systems:
Granger causality, directed transfer function and statistical assessment of significance. Biol
Cybern 2001; 85:145–57.