Zadania z przedmiotu Matematyka Dyskretna, I semestr seria 3 1

Zadania z przedmiotu
Matematyka Dyskretna, I semestr
seria 3
1. Znaleźć resztȩ z dzielenia:
a) 39100 przez 38,
b) 16231 + 550 przez 17,
c) 3 · 1818 − 500 · 5120 przez 8,
d) 423200 · 562100 przez 7.
2. Pokazać, że
a) liczba 222333 + 333222 jest podzielna przez 13.
b) liczba 22225555 + 55552222 jest podzielna przez 7.
3. Znaleźć ostatnia̧ cyfrȩ liczby: a) 191234 , b) 23212 + 41256, c) 7 · 312553 − 6543.
4. Znaleźć dwie ostatnie cyfry liczby: a) 7204 , b) 311121 + 482, c) 203228 − 1234.
5. Rozwia̧zać kongruencje:
a) 4x ≡ 3 (mod 7),
b) 3x ≡ 4 (mod 8),
c) 3x ≡ 10 (mod 12),
d) 69x ≡ 192 (mod 201).
6. Rozwia̧zać kongruencjȩ x5 − 2x + 1 ≡ 0 (mod 7).
7. i) W ciele Z5 obliczyć: a) 2 + 3 · 4, b) 320 − 46 , c) 2−1 , d) 2−8 − 4 · 3−6 .
ii) W ciele Z29 obliczyć: a) 27 · 5 − 19, b) 12−1 , c) 4 · 21−3 + 34 · 5 − 2−6 .
8. W ciele Z17 rozwia̧zać równania: a) 8x = 1, b) 9x = 16, c) −10x = 11, d) x2 +3x+11 = 0.
9. Niech m > 1 oraz a, b, c, d bed
, a, liczbami calkowitymi takimi, że NWD(c, m) = 1,
NWD(d, m) = 1, a ≡ b (mod m), c ≡ d (mod m). Wykazać, że jeśli c | a i d | b, to
b
a
c ≡ d (mod m).
10. (a) Wykazać, że ostatnie cyfry liczb 2n (n = 1, 2, 3 . . . ), napisanych w ukladzie dziesietnym
,
1000 .
tworza, ciag
, okresowy. Wyznaczyć ostatnia, cyfre, liczby 2
n
(b) Zbadać ciag
, reszt z dzielenia przez 100 liczb 2 (n = 1, 2, . . . ).
(c) Dowieść, że reszty z dzielenia przez 1000 liczb 2n (n = 1, 2, . . . ) tworza, ciag
, okresowy.
11. (a) Wykazać, że liczba naturalna m jest podzielna przez 11 wtedy i tylko wtedy, gdy
różnica miedzy
miedzy
suma, jej cyfr znajdujacych
sie, na miejscach nieparzystych a suma, jej
,
,
,
cyfr znajdujacych
si
e
na
miejscach
parzystych
jest
podzielna przez 11.
,
,
(b) Opierajac
, sie, na kongruencjach 1000 ≡ 1 (mod 27), 1000 ≡ 1 (mod 37) wyprowadzić
cechy podzielności przez 27 i przez 37.