Model Beukena 1 Wstęp 2 Podstawowe wzory

Model Beukena
1 Wstęp
Wykonywanie modeli obiektów w celu przeprowadzenia eksperymentu fizycznego, mającego na
celu opracowanie optymalnej konstrukcji, jest niesłychanie kosztowne i czasochłonne. Z tych
powodów, budowanie fizycznych modeli obiektów termokinetycznych stosowane jest niezwykle
rzadko, jedynie w konstrukcjach niezwykle odpowiedzialnych.
Wraz z rozwojem technik komputerowych, coraz szersze zastosowanie przy rozwiązywaniu
zagadnień termokinetycznych znajdowały metody numeryczne. Dziś właśnie te metody mają
największe znaczenie praktyczne, ze względu na szybkość i łatwość budowy modelu oraz
dokładność uzyskiwanych wyników.
W czasach, kiedy moc obliczeniowa analogowych i cyfrowych maszyn liczących była ograniczona,
szerokie zastosowanie praktyczne wyznaczania pól temperatury miały metody analogowe. Nauka o
analogii znalazła swój początek w znajdowaniu podobieństw w równaniach matematycznych
opisujących odmienne pod względem fizycznym zjawiska.
Dwa układy są analogiczne, jeśli istnieje jednoznaczna odpowiedniość matematyczna miedzy
funkcjami wymuszenia i reakcji poszczególnych elementów oraz całego układu. Odpowiadające
sobie wielkości w badanym obiekcie i jego analogu muszą mieć ten sam charakter matematyczny.
Analogiczna wielkością dla skalara może wiec być tylko skalar, a dla wektora – wektor. Pole
temperatur może być opisywane za pomocą analogicznego pola innej wielkości skalarnej.
Wymogiem jest, by analogiczne do temperaturowego pole było opisywane przez równanie
różniczkowe z pochodnymi cząstkowymi o tej samej postaci matematycznej. Warunki początkowe i
brzegowe równie muszą pozostać analogiczne, ale oczywiście przeliczone przez specjalnie dobrane
skale między układami.
Dzięki zastosowaniu metod analogowych, możliwe jest głębsze poznawanie dziedzin mniej
zbadanych, na podstawie dziedzin poznanych lepiej. Podobieństwo takie nie jest osobliwością i
wynika z przyjęcia do opisu odmiennych zjawisk fizycznych, analogicznych modeli
matematycznych. Istnieje podobieństwo miedzy poszczególnymi prawami elektrotechniki i
mechaniki, elektrotechniki i chemii fizycznej, akustyki i elektrodynamiki, termokinetyki i
hydrodynamiki.
2 Podstawowe wzory
Podstawowym równaniem określającym gęstość przepływu ciepła q [W/m2] jest równanie Fouriera
(2.1).
q=− ∇ t
(2.1)
Analogią do tego równania jest znane równanie elektrotechniczne, pozwalające określić gęstość
prądu w środowisku (materiale) o konduktywności γ, przy pewnym rozkładzie potencjału
elektrycznego φ (2.2).
j=− ∇ 
(2.2)
Na podstawie równania Fouriera, można zapisać wzór na strumień cieplny przenikający przez
1
obiekt o powierzchni F [m2] (2.3). Wielkość W nazywana jest oporem cieplnym - jednostka [K/W].
Wzór (2.4) który jest postacią ogólną równania (2.3) jest analogią prawa Ohma dla obwodów
elektrycznych prądu stałego I = U/R. Natężenia prądu jest analogią do wartości mocy przenikającej
przez obiekt, różnica potencjałów (napięcie) to odpowiednik różnicy temperatur, opór elektryczny
R to odpowiednik oporu cieplnego, oznaczanego w literaturze termokinetycznej zwykle literą W.
P=−
Δt
Δt
⋅F =
Δx
Δx
⋅F
P=
Δt
W
(2.3)
(2.4)
Za pomocą modelu Beukena badanego w czasie laboratorium, należy rozwiązać kilka zadań,
związanych z projektem z Wymiany Ciepła.
Dla określenia pola temperatury na podstawie pomiarów napięć elektrycznych, należy określić
sposób przeliczania między różnymi zjawiskami fizycznymi – a więc określić stopień podobieństwa
między zjawiskami. Sposób dokonywania tego zostanie zaprezentowany na przykładzie
obliczeniowym, który należy wykonać na początku w laboratorium.
3 Zadania do wykonania na ćwiczeniach
3.1 Zadanie 1
Należy dokonać obliczenia temperatury w czterech punktach ściany, wykonanej z materiału o
przewodności cieplnej λ = 0,4 W/mK, powierzchni przenikania ciepła F = 10 m2. Na
powierzchniach ściany przyjąć temperatury tz1 = 130°C, tz2 = 30°C. Grubość ściany δ = 0,5 m.
Określić temperatury w punktach x1 = 0,1 m, x2 = 0,2 m, x3 = 0,3 m, x4 = 0,4 m.
Rysunek 1: Schemat oporów pozwalających określić rozkład temperatury w badanym obiekcie
Na rysunku 1 przedstawiono schemat oporów cieplnych, połączonych szeregowo, zaznaczono
punkty w których należy określić temperatury.
Aby rozwiązać to zadanie na dostępnym modelu Beukena, należy określić parametr St,
umożliwiający przeliczanie wartości napięć zmierzonych w obiekcie na temperatury.
2
St=
t
U
(3.1.1)
Równanie (3.1.1) umożliwia określenie tej wielkości. Wartość St określa się w ten sposób, że
maksymalne dostępne napięcie ze źródła napięciowego, powinno odpowiadać maksymalnej
temperaturze występującej w zadaniu. Jeżeli napięcie źródła wynosi 8,677 V, a maksymalna
temperatura w zadaniu 130°C, wtedy St = 14,982 ºC/V. Ale w tym wypadku, należy ustawić na
drugiej powierzchni napięcie o wartości 30°C · St = 2,002 V. Ponieważ nie będzie drugiego
zasilacza w ćwiczeniu, należy przyjąć dla drugiej powierzchni napięcie 0 V (zewrzeć do masy
układu). W tym wypadku przyjmujemy na powierzchni lewej temperaturę nie tz1 = 130°C, a
wartość tz1 = 100°C. Uzyskane wyniki należy powiększyć o 30°C. Przyjmujemy więc w stałą St =
100/8,677 = 11,52.
Teraz należy określić wartości oporu pięciu oporów elektrycznych, zastępujące układ z rysunku 1.
W dostępnym modelu Beukena, nie ma możliwości wybrania dowolnej wartości oporu
elektrycznego, a jedynie za pomocą przełączników pewnych wartości. Zalecane jest wybranie
wartości oporu nie mniejszej niż 100 kΩ. Wybrany R = 200 kΩ. Stała Sw określająca stałą oporu
zdefiniowana jest wzorem (3.1.2).
SW=
W
R
(3.1.2)
Wartość jednego oporu cieplnego, dla grubości δ1 = 0,1 m (ścianę dzielimy na 5 jednakowych
warstw) wynosi W1 = δ1 /(λ·F) = 0,025 K/W. Dla podanej wartości oporu elektrycznego, stała Sw
przyjmuje wartość 6,25·10-7.
Należy ustawić na każdym z bloków modelu Beukena wartość R = 200 kΩ, połączyć ze sobą w
szeregu, do lewego skrajnego bloku doprowadzić napięcie 8,677 V, do prawego, piątego bloku –
masę układu.
Po naciśnięciu przycisku praca, za pomocą sondy dostępnej na stanowisku laboratoryjnym, należy
dokonać pomiaru wartości napięcia na każdym z oporników. Uzyskane wartości, poczynając od
bloku lewego: U1 = 8,677 V, U2 = 6,940 V, U3 = 5,196 V, U4 = 3,465 V, U5 = 1,761 V. Korzystając
ze stałej St należy dokonać przeliczenia napięcia na wartości temperatur: t2 = 6,940·11,52 V + 30°C
= 109,981°C, t3 = U3·11,52 V + 30°C = 89,882°C, t4 =U4·11,52 V + 30°C = 69,933°C, t5 =U5·11,52
V + 30°C = 50,295°C.
Dla sprawdzenia uzyskanych wyników, skorzystano z rozkładu temperatury dla płaskiej ściany,
przy warunkach brzegowych 1 rodzaju na obydwu jej powierzchniach. Rozkład dany jest
równaniem:
t x =
t z2−t z1
⋅xt z1

(3.1.3)
Dla danych w zadaniu, funkcja opisująca rozkład temperatur dana jest wzorem: t(x) = -200x+130.
Według tego równania, temperatura t2 (dla x=0,1 m) wynosi t(0,1) = 110°C, co jest wartością
praktycznie identyczną z uzyskaną w pomiarach Modelu Beukena.
3.2 Zadanie 2
Proszę zmodyfikować zadanie poprzednie tak aby dokonać badania rozkładu temperatury w
płaskiej ścianie, przy założeniu że na powierzchniach ściany zdefiniowane są warunki brzegowe
3
trzeciego rodzaju. Na powierzchni lewej dana jest α1 = 10 W/m2K, na powierzchni prawej α2 = 8
W/m2K. Temperatury i pozostałej dane pozostają bez zmian.
Skala temperatur St = 100/8,677 = 11,52.
Skalę oporów przyjmujemy w trochę inny sposób. Wyznaczyć całkowity opór warstwy powietrza
Wα1, Wα2, oraz opór ściany Ws. Znów określić skalę oporów w odniesieniu do 200 kΩ. Określić skalę
oporu ściany i na tej podstawie określić jakie powinny być opory elektryczne Rα1 oraz Rα2. Rozkład
temperatury dla tego przypadku dany jest równaniem:
t x =−169,49⋅x123,23
(3.2.1)
Określić temperatury na powierzchni ścian i we wnętrzu ściany.
3.3 Zadanie 3
Dana jest ściana budynku złożona z warstw:
•
Płyta Fasrock MAX grubość δ1 = 15 cm – przewodność cieplna właściwa λ = 0,038 W/mK
•
Beton komórkowy Ytong700 grubości δ2 = 24 cm - przewodność cieplna właściwa λ = 0,21
W/mK
•
Tynk grubości δ2 = 1,5 cm - przewodność cieplna właściwa λ = 1.0 W/mK
Określić temperatury na powierzchniach warstw przy pomocy modelu Beukena
W sprawdzeniu zamieścić sposób doboru elementów modelu i wyniki obliczeń oraz pomiarów dla
każdego z zadań. Zamieścić również schemat elektryczny połączeń dla każdego z zadań dla modelu
Beukena.
4