maszyna wzbudzana magnesami trwałymi z anizotropowym

Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne Nr 4/2014 (104)
259
Tomasz Węgiel, Adam Warzecha
Politechnika Krakowska
MASZYNA WZBUDZANA MAGNESAMI TRWAŁYMI
Z ANIZOTROPOWYM STOJANEM
(CZĘŚĆ I – MODEL MATEMATYCZNY)
PERMANENT MAGNET MACHINE WITH STATOR ANISOTROPY
(PART I – MATHEMATICAL MODEL)
Streszczenie: Temat podjęty w pracy dotyczy metodycznych aspektów modelowania maszyn
z powierzchniowo montowanymi magnesami trwałymi na wirniku z uwzględnieniem anizotropowych blach
stojana. Rozważania te mają na celu pokazanie wpływu anizotropii na strukturę modelu matematycznego
maszyny i udzielenia odpowiedzi czy bazując na klasycznych założeniach modelowania obwodowego jest
możliwe jej uwzględnienie. W tym celu został wykorzystany formalizm Lagrange’a dla przykładu maszyny,
w którym obwód magnetyczny jest liniowy, ale zakłada się występowanie anizotropii. Uwzględnianie
anizotropii jest uwzględnione poprzez dodanie spadków napięć magnetycznych występujących dla osi
poprzecznej walcowania (TD) do spadków występujących w szczelinie powietrznej. Takie podejście powoduje
lokalne powiększenie rozmiarów zastępczej szczeliny powietrznej maszyny i w ten sposób zmodyfikowana
zostaje funkcja permeancji jednostkowej. Pozwala to w konsekwencji na zapis skorygowanej postaci funkcji
koenergii w stanie bezprądowym oraz zależności strumieniowo-prądowych dla uzwojeń stojana.
Abstract: The article deals with the methodological aspects of modeling machines with surface mounted
permanent magnets on the rotor taking into account the anisotropic stator. These considerations are intended to
show the effect of anisotropy on the structure of the mathematical model machine and answer the question if
based on the classical modeling is possible take into account rotational magnetization phenomena. On this
purpose, the Lagrange formalism is used for exemplary machine which a linear magnetic circuit assumed
anisotropy. Anisotropy is presented by adding magnetic voltage drops occurring for the transverse axis of
rolling (TD) to magnetic voltages of the air gap. This approach leads to the local increase of the air gap size to
be able to modified function of permeance. As a consequence, it allows to modify the function of co-energy
and the flux-current relationships of the stator windings.
Słowa kluczowe: anizotropia stojana, maszyna synchroniczna z magnesami trwałymi
Keywords: stator anisotropy, PM synchronous machine
1. Wstęp
W klasycznych
modelach
maszyn
elektrycznych
zjawisko
magnesowania
obrotowego
wynikające
z
właściwości
anizotropowych blach rdzeni magnetycznych
jest zwykle pomijane [1]. Temat podjęty w
pracy dotyczy metodycznych aspektów
modelowania
maszyn
z powierzchniowo
montowanymi magnesami trwałymi na wirniku
z uwzględnieniem anizotropii rdzenia stojana
przy założeniu liniowych charakterystyk
magnesowania w osiach RD i TD. Rozważania
te mają na celu pokazanie wpływu anizotropii
na strukturę modelu matematycznego maszyny
i udzielenia odpowiedzi czy bazując na
klasycznych
założeniach
modelowania
obwodowego jest możliwe jej uwzględnienie.
W tym celu zostanie wykorzystany formalizm
Lagrange’a dla przykładu maszyny, w którym
obwód magnetyczny jest liniowy, ale zakłada
się występowanie anizotropii.
Formalizm
Lagrenge’a
jest
jednym
z wygodniejszych narzędzi do obwodowego
modelowania maszyn elektrycznych również
tych, które posiadają w swojej strukturze
magnesy trwałe pod warunkiem, że przyjmie
się pewne ogólne założenia. Formalizm ten
bazujący na tzw. energetycznym opisie
elementów zakłada, że ich stan opisuje
jednoznacznie funkcja koenergii [2], [3]. Dla
współczesnych magnesów z Ziem Rzadkich
typy NdFeB można przyjąć, że dla zmian
wywoływanych oddziaływaniem uzwojeń,
punkt pracy magnesu trwałego porusza się po
jednoznacznej krzywej odmagnesowania, co
odpowiada jednoznaczności zmian koenergii
magnesu trwałego. Tak postawione założenie
stwarza możliwości wykorzystania formalizmu
Lagrange’a
do
modelowania
maszyn
260
Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne Nr 4/2014 (104)
z magnesami trwałymi również dla przypadku,
gdy
elementy
obwodu
magnetycznego
posiadają cechy anizotropowe.
2. Równania Lagrange’a maszyny
wzbudzanej magnesami trwałymi
Całkowita koenergia zgromadzona w obwodzie
magnetycznym
maszyny
wzbudzanej
magnesami trwałymi będzie sumą koenergii
cewek oraz koenergii wprowadzanej do
obwodu maszyny przez magnes trwały w stanie
bezprądowym. Ogólną postać tej funkcji można
zapisać dla 3-fazowej maszyny w następującej
postaci [2]:
E0 (ϕ, i1, i2 , i3 ) = E0Θ (ϕ, i1, i2 , i3 ) + E0PM (ϕ) (1)
gdzie składowe koenergii magnetycznej:
E0 Θ (ϕ, i1 , i2 , i3 ) - koenergia wprowadzana do
układu poprzez prądy uzwojeń
w obecności magnesów,
E0 PM (ϕ) - koenergia wprowadzana do układu w
stanie bezprądowym.
Wtedy równania Lagrange’a modelu maszyny
wzbudzanej magnesami trwałymi mogą być
zapisane w formie:
d ∂E0 Θ (ϕ, i1 , i2 , i3 )
= u i − Rs ⋅ ii dla i = 1,2,3
dt
∂ii
J
d 2 ϕ ∂ E0Θ (ϕ, i1 , i2 , i3 ) ∂E0 PM (ϕ)
dϕ
=
+
+ Tl − D
2
∂ϕ
∂ϕ
dt
dt
(2)
Z uwagi na złożoność obwodu magnetycznego
wynikającą
z rozmieszczenia
magnesów
trwałych
i sposobu
ułożenia
uzwojeń,
analityczne wyznaczenie funkcji koenergii nie
jest proste i wymaga dodatkowych założeń
upraszczających. Ponieważ żelazne rdzenie
stojana i wirnika mają bardzo duże
przewodności magnetyczne w stosunku do
powietrza oraz materiału magnesów, dlatego w
klasycznych rozważaniach przeważnie zakłada
się,
że
koncentracja
energii
pola
magnetycznego zachodzi głównie w objętości
szczeliny i magnesów trwałych, czyli
zaniedbuje się spadki napięć magnetycznych w
żelaznych
jarzmach
maszyny.
Chcąc
uwzględnić efekt anizotropii rdzenia stojana
maszyny należy odejść od klasycznych założeń
napięć
i
uwzględnić również spadki
magnetycznych w żelazie. Dla zjawiska
magnesowania obrotowego będą występować
różnice przenikalności magnetycznej żelaza dla
założonego kierunku walcowania (RD) w
stosunku do osi poprzecznej (TD).
Najłatwiejszym
sposobem
uwzględnienia
spadków napięć magnetycznych w żelazie dla
strumieni magnetycznych uzwojeń oraz
magnesów trwałych jest dodanie tych spadków
do spadków występujących dla szczeliny
powietrznej i na tej podstawie skorygowanie
rozkładu pola magnetycznego. Takie podejście
powoduje lokalne powiększenie rozmiarów
zastępczej szczeliny powietrznej maszyny dla
kierunku (TD). Funkcję koenergii należy więc
odpowiednio zmodyfikować w stosunku do
klasycznych maszyn elektrycznych.
3.
Rozkład
pola
magnetycznego
w maszynie wzbudzanej magnesami
trwałymi z uwzględnieniem anizotropii
Zastępcza szczelina powietrzna w maszynie
wzbudzanej
magnesami
trwałymi
jest
relatywnie duża, dlatego można uznać, że
lokalne powiększenie szczeliny modelujące
anizotropię w osi TD, będzie występować
głównie dla linii sił pola magnetycznego
pochodzących od strumienia magnesów.
Dla najprostszych modeli maszyn klasycznych,
indukcyjności są obliczane na podstawie
rozkładu składowej promieniowej pola w
szczelinie powietrznej, gdyż na to pozwala
specyficzna
budowa
ich
obwodu
magnetycznego.
Geometria
obwodu
magnetycznego
maszyn
wzbudzanych
magnesami trwałymi jest bardzo różnorodna
i nie zawsze proste zależności, wystarczająco
dokładne dla maszyn klasycznych, można
wykorzystywać dla maszyn z magnesami
trwałymi. Niezależnie od indukcyjności, dla
tych maszyn należy także określić zmienność
strumieni
skojarzonych
oraz
koenergii
w funkcji kąta obrotu w stanie bezprądowym.
Zatem w wielu wypadkach obliczanie
parametrów równań maszyn z magnesami
trwałymi będzie wymagało numerycznego
wyznaczenia rozkładu pola w maszynie i na tej
podstawie określenia wartości wymaganych
parametrów modelu matematycznego.
W pracy skupiono się w pierwszej kolejności
nad maszynami z wirnikiem cylindrycznym
Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne Nr 4/2014 (104)
o powierzchniowo mocowanych magnesach.
Dla tych rozwiązań konstrukcyjnych można
poszukiwać formuł analitycznych opisujących
parametry modelu matematycznego. Podstawą
tych analiz jest jak zawsze rozkład pola
magnetycznego
w szczelinie
powietrznej
maszyny. W modelach analitycznych tego
rozkładu, geometria obwodu magnetycznego
jest scharakteryzowana za pomocą funkcji
permeancji jednostkowej [2 - 5]. Dla maszyn
z gładką powierzchnią szczeliny powietrznej,
formuły te są stosunkowo proste, natomiast
problem zaczyna się komplikować, gdy chce się
uwzględnić
dowolny
kształt
obwodu
magnetycznego w tym również żłobkowanie
powierzchni stojana oraz anizotropię blach
stojana.
W celu zilustrowania metodyki analizy
rozkładu pola w szczelinie powietrznej
posłużono się modelem maszyny z magnesami
trwałymi rozmieszczonymi powierzchniowo na
wirniku z gładkim stojanem przedstawionym
schematycznie na rys. 1.
x0
TD
x y
∆lδ
N
S
lδ
lm
N
rs
TD
rm
S
RD
Rys. 1. Przekrój maszyny z magnesami trwałymi
z anizotropią stojana
Dla maszyny tej przyjęto założenie odnośnie
liniowej
aproksymacji
charakterystyki
odmagnesowania
magnesu
trwałego
Bm = Br + µ 0 ⋅ µ r m ⋅ H m - przybliżenie to jest
powszechnie akceptowalne dla współczesnych
magnesów trwałych z grupy ziem rzadkich).
Anizotropia
rdzenia
stojana
została
uwzględniona przez wprowadzenie drugiej
harmonicznej
przewodności
zastępczej
szczeliny powietrznej o osi zgodnej z osia RD
magnesowania rdzenia.
Zapis prawa Ampera dla konturu zaznaczonego
na rys. 1. pozwala na wyprowadzenie związków
opisujących uproszczony jednowymiarowy
261
rozkład pola w szczelinie powietrznej maszyny
z magnesami trwałymi [2]:
B ( x , ϕ, i1 , i 2 , i3 ) = BΘ ( x, ϕ, i1 , i2 , i3 ) + BPM ( x, ϕ)
(3)
gdzie:
BΘ ( x, ϕ, i1 , i2 , i3 ) = Θ s ( x, i1 , i2 , i3 ) ⋅ λ( x, ϕ) +
+ C Θ ( x, ϕ, i1 , i2 , i3 )
(4)
BPM ( x, ϕ) = Bm ( x − ϕ)
λδm =
λ ( x, ϕ)
+ C PM ( x, ϕ)
λ δm
µ0
lδ + l m / µ r m
(5)
(6)
BΘ ( x, ϕ, i1 , i2 , i3 ) - składowa radialna pola
magnetycznego wywołana prądami uzwojeń,
BPM ( x, ϕ) - składowa radialna pola
magnetycznego
wzbudzona
magnesami
trwałymi,
λ δm - permeancja jednostkowa przy założeniu
gładkiej cylindrycznej powierzchni stojana,
Θ s ( x, i1 , i2 , i3 ) - funkcja okładu prądowego
uzwojeń stojana,
Bm ( x − ϕ) -funkcja opisująca jednowymiarowy
rozkład pola magnetycznego w stanie
bezprądowym maszyny wzbudzanej magnesami
trwałymi przy założeniu gładkiego stojana.
Zależności funkcyjne CΘ oraz C PM we
wzorach (4) i (5) wynikające z warunku
bezźródłowości
pola
magnetycznego
w rozważanych przypadkach są tożsamościowo
równe zero.
Obwód magnetyczny może być w ogólnym
przypadku scharakteryzowany za pomocą
funkcji permeancji jednostkowej λ ( x, ϕ) ,
której rozwiniecie w szereg Fouriera można
przedstawić w postaci podwójnego szeregu [3]:
λ ( x , ϕ) =
∑ ∑λ
m ,n
⋅ e jmx ⋅ e jnϕ
(7)
m∈M n∈N
Funkcja permeancji jednostkowej umożliwia
zamodelowanie dowolnego kształtu obwodu
magnetycznego, dlatego w ogólnym przypadku
Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne Nr 4/2014 (104)
262
zbiory M i N ze wzoru (7) mogą zawierać
wszystkie liczby całkowite.
Funkcja
rozkładu
pola
magnetycznego
w maszynie dla modelu 1-D w stanie
bezprądowym, przy założeniu gładkiego stojana
i nie uwzględnieniu anizotropii (rys. 2.), jest
funkcją jednej zmiennej [2].
Bm ( x − ϕ )
λ ( x) =
∑λ
m ,0
⋅ e jmx
(12)
m∈M
Konsekwencją tego założenia będzie fakt, że
indukcyjności uzwojeń stojana nie będą
funkcjami kąta obrotu, a rozkład pola
w szczelinie w stanie bezprądowym przybierze
uproszczona formę:
B0
x−ϕ
− πp
− 2πp
π
2p
β
−β
π
p
BPM ( x, ϕ) =
λ m, 0
∑∑ B
mς
λ δm
m∈M ς∈Q
e j ( m+ ς ) x ⋅ e - jςϕ (13)
− B0
Rys. 2. Rozkład indukcji na obwodzie maszyny
dla maszyny cylindrycznej bezżłobkowej przy
założeniu braku anizotropii
Współczynniki rozwinięcia w szereg Fouriera
funkcji rozkładu pola z rys. 2, można
wyznaczyć z następujących formuł [2]:
Bm ( x − ϕ) =
∑B
mς
⋅ e jς ( x −ϕ )
(8)
ς∈Q
gdzie zbiór Q = {K − 5 p,−3 p,− p, p,3 p,5 p K}
Bm ς =
2 B0
p ⋅ sin(ς ⋅ β)
π ς
l /µ
B0 = Br m rm
lm / µ rm + lδ
(9)
(10)
Dla przypadku szczególnego, gdy zakłada się
gładką cylindryczną powierzchnie stojana oraz
równomierną szczelinę powietrzną, funkcja
permeancji jednostkowej (7), ze względu na
właściwości magnesu zbliżone do powietrza
( µ rm ≅ 1 ), staje się zależna jedynie od x.
µ0
λ ( x, ϕ) = λ ( x) =
lδ + ∆lδ ( x) + lm / µ rm
(11)
4. Zapis funkcji koenergii dla maszyny
wzbudzanej
magnesami
trwałymi
z uwzględnieniem anizotropii
W celach metodycznych zapis funkcji koenergii
zostanie przedstawiony dla uproszczonego
przypadku maszyny anizotropowej o gładkich
cylindrycznych powierzchniach stojana i
założenia
odnośnie
wirnika.
Przyjęcie
liniowości obwodu magnetycznego, co w
maszynach wzbudzanych magnesami trwałymi
jest przeważnie dopuszczalne, pozwala
zdefiniować charakterystyki uzwojeń oraz
zależność opisującą koenergię z użyciem
indukcyjności własnych i wzajemnych ( Lab ).
Funkcje charakterystyk uzwojeń posiadają
dodatkowo człon reprezentujący strumień
sprzężony ψ PM a (ϕ) wzbudzony magnesami
trwałymi będący funkcją kąta obrotu ϕ .
Przykładowo zapis zależności strumieniowoprądowej dla uzwojenia „a” opisuje wzór
ψ a (ϕ, i1 , i2 , i3 ) = La1 i1 + La 2 i2 + La3 i3 + ψ PM a (ϕ)
(14)
W konsekwencji składową koenergii związaną
z prądami uzwojeń opisuje wyrażenie [2]
E 0Θ (ϕ, i1 , i2 , i3 ) =
1
2
3
3
a =1
b=1
∑ ∑L
ab
⋅ i a ⋅ ib +
3
Dla maszyn anizotropowych o gładkich
powierzchniach stojana i wirnika, zbiór
M będzie
zawierał
harmoniczne
{K − 4,−2, 0 , 2, 4K} , natomiast zbiór N
zawiera jedynie harmoniczną zerową { 0} .
+
∑ψ
PM a (ϕ) ⋅ ia
a =1
(15)
W celu określenia charakterystyk uzwojeń,
czyli zależności strumieniowych założono, że
Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne Nr 4/2014 (104)
spektra
Fouriera
przepływu
zawierają
harmoniczne „ ν ” należące do zbioru P .
Zawartości tego
zbioru
dla
uzwojeń
o całkowitej liczbie żłobków na biegun i fazę
przedstawia
się
następująco:
Ponadto
P = {K − 5 p,−3 p,− p, p,3 p,5 p K} .
przyjęto, że uzwojenia „ a ” i „ b ” o liczbie
zwojów odpowiednio ws są scharakteryzowane
ν
za pomocą współczynników uzwojeń k u .
Indukcyjności można, więc wyznaczyć na
podstawie [2 - 4] z zależności
Lab =
∑∑
ν∈P m∈M
Q1
2rs ⋅ l c ( ws ) 2 ⋅ k u|ν| ⋅ k u|ν + m|
λ m,0 ⋅
π
|ν | ⋅|ν + m |
⋅ e j( ν + m ) xa ⋅e - jνxb
(16)
gdzie lc jest zastępczą długością osiową
maszyny, natomiast parametr Q1 zależy od
zawartości zbiorów P, M i jest zdefiniowany
następująco:
1⇔ ∀ν, ∀m,ν ∈ P ∧ m ∈ M ∧ (ν + m) ∈ P
Q1 = 
w przeciwnym przypadku
0
(17)
kąty
Dla 3-fazowego uzwojenia stojana
pomiędzy pasmami uzwojeń wynoszą:
xa = ( a − 1)
2π
2π
dla a, b = 1, 2, 3
, xb = (b − 1)
3p
3p
Składową
strumienia
magnetycznego
skojarzonego z uzwojeniem „a” w stanie
bezprądowym, zgodnie z [2] przedstawia
zależność:
ψ PM a (ϕ) =
∑∑
ς∈Q m∈M
D1
2 rs lc
w k |ς + m|
Bm ς s u λ m , 0 ⋅
|ς + m |
λδm
⋅e
j( ς + m ) xa
⋅e
- jςϕ
263
1⇔ ∀ς, ∀m, ς ∈ Q ∧ m ∈ M ∧ (ς + m) ∈ P
D1 = 
w przeciwnym przypadku
0
(19)
Składowa koenergii niezależna od prądów
uzwojeń, jest
związana
z
obszarami
gromadzenia energii (szczelina powietrzna,
magnes)
[2].
Analityczne
wyznaczenie
koenergii w stanie bezprądowym nie jest
zadaniem prostym, jeżeli chce się uwzględnić
rzeczywiste kształty obwodu magnetycznego.
W pracy proponuje się podejście uproszczone
bazujące na przypadku rozkładu pola 1-D [2].
Jeżeli uwzględnieni się zdefiniowaną wcześnie
funkcję permeancji jednostkowej (7), składowa
koenergii dla stanu bezprądowego przybiera
postać [2]:
E0 PM (ϕ) =
rm lc
2
2π
∫
0
[BPM ( x, ϕ)]2
λ( x, ϕ)
dx
(20)
W przypadku szczególnym, gdy zakładamy
uproszczone zapisy funkcji permeancji (15)
oraz rozkładu indukcji (16) otrzymujemy
zależność opisującą koenergię dla stanu
bezprądowego w postaci:
2π
l ⋅r
E0 PM (ϕ) = c m 2 [λ( x, ϕ) ⋅ Bm ( x − ϕ)2 ] dx (21)
2(λδ m ) 0
∫
gdzie:
Bm ( x − ϕ) 2 =
∑ BB
mk
⋅ e jk ( x −ϕ)
(22)
k∈K
zbiór K = {... − 6 p, − 4 p, − 2 p, 0 ,2 p ,4 p ,6 p K}
BBm k
2
2
 π ( B0 ) ⋅ p ⋅ β
=
2
 2 ( B0 ) p ⋅ sin(k ⋅ β)
 π k
dla k = 0
dla k ≠ 0
(18)
(23)
gdzie parametr D1 zależy od zawartości
zbiorów P, Q, M i jest określony następująco:
Przyjmując zdefiniowane postaci funkcji
permeancji jednostkowej (12) oraz kwadratu
indukcji (22) i wykonując formalne operacje
matematyczne dla wyrażenia z formuły (21),
otrzymuje się następującą zależność:
Zeszyty Problemowe – Maszyny Elektryczne Nr 4/2014 (104)
264
2π
∫
[λ( x, ϕ) ⋅ Bm ( x − ϕ) 2 ] dx =
0
∑ ∑∑λ
 2π
=  k∈K
0
m,n
⋅ BBm k ⋅e j(−k +n)ϕ dla k + m = 0
m∈M n∈N
dla k + m ≠ 0
(24)
Formuła opisująca zależność koenergii dla
stanu
bezprądowego
przybiera
wtedy
następującą formę:
E0 PM (ϕ) =
π ⋅ lc ⋅ rm
Re {
λ − k ,n ⋅
(λ δ m ) 2
k∈K n∈N
∑∑
⋅ BBm k ⋅ e j( − k + n )ϕ }
(25)
Dla maszyn anizotropowych o gładkiej
powierzchniach
stojana,
zbiory
M = {K − 4,−2, 0 , 2, 4K} i N = { 0} , więc
zapis funkcji koenergii dla stanu bezprądowego
staje się znacznie uproszczony:
E0 PM (ϕ) =
π ⋅ lc ⋅ rm
(λ δ m ) 2
Re {
∑λ
−k ,0
⋅ BBm k ⋅ e - jkϕ}
k∈K
(26)
5. Podsumowanie
Przedstawione w artykule metodyczne aspekty
modelowania
pokazują
możliwość
uwzględnienia
zjawiska
magnesowania
obrotowego
jarzma
stojana
maszyn
wzbudzanych magnesami
trwałymi.
Uwzględnienie
anizotropii
wymaga
wyznaczenia poprawek funkcji permeancji
jednostkowej, które uwidaczniają się przede
wszystkim dla drugiej harmonicznej jej
rozkładu. Określenie tych korekt jest możliwe
jedynie na drodze modelowania rozkładu pola
z użyciem numerycznych metod analizy FEA.
W konsekwencji staje się realny do pokazania
wpływ anizotropii na postać funkcji koenergii
dla stanu bezprądowego oraz na zależności
strumieniowo-prądowe dla uzwojeń stojana.
Przedstawiony model matematyczny maszyny
anizotropowej mimo dużych uproszczeń daje
możliwość wykonania obliczeń, których wyniki
mogą być przydatne z eksploatacyjnego punktu
widzenia.
6. Literatura
[1]. A. Warzecha,
T. Sobczyk,
W. Mazgaj,
Matematyczny opis silnika indukcyjnego z
anizotropią
magnetyczną
rdzenia,
Zeszyty
Problemowe-Maszyny Elektryczne, Nr 100, 2013,
str.123-128
[2]. T. Węgiel, Space harmonic interactions in
permanent magnet generators, Monografia 447,
Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, 2013
[3]. T. Sobczyk, Metodyczne aspekty modelowania
matematycznego maszyn indukcyjnych, WNT,
Warszawa 2004
[4]. T. Sobczyk, P. Drozdowski, Inductances of
electrical machine winding with a nonuniform airgap, Archiv fur Elektrotechnik 76, pp. 213-218,
1993
[5]. B. Heller, V. Hamata, Harmonic Field Effect in
Induction Machines, New York, Elsevier Scientific,
1977
Autorzy
Dr inż. Tomasz Węgiel *
Dr hab. inż. Adam Warzecha **
Politechnika Krakowska,
Wydział Inżynierii Elektrycznej i Komputerowej,
Instytut Elektromechanicznych Przemian Energii,
31-155 Kraków, ul. Warszawska 24
* tel. +48 12 628-26-21, [email protected]
** tel. +48 12 628-26-21, [email protected]
Źródło finansowania
Praca powstała w ramach projektu finansowanego ze
środków Narodowego Centrum Nauki przyznanych
na
podstawie
decyzji
numer
DEC2011/01/B/ST7/04479 „Modelowanie nieliniowości,
histerezy i anizotropii w magnetowodach
przetworników elektromechanicznych z wirującym
polem magnetycznym”