Podstawowe pojęcia teorii równowagi 51 Teoria równowagi

51
Podstawowe pojęcia teorii równowagi
Teoria równowagi rynkowej — Ćwiczenia 21.12.10
Rynek dwóch handlowców i dwóch towarów
1. W gospodarce wymiennej z dwoma dobrami i dwoma konsumentami alokacje początkowe są jednakowe i wynoszą
a1 = a2 = (1, 1). Funkcje użyteczności konsumentów są dane wzorami:
u1 (x1 , x2 ) = x1 + x2 ;
u2 (x1 , x2 ) = x1 + 2x2 .
(a) Naszkicować przebieg linii obojętności dla obu konsumentów względem prostokąta Edgewortha;
(b) Wyznaczyć zbiór alokacji optymalnych w sensie Pareto;
(c) Wyznaczyć funkcje popytu obu handlowców (w zależności od relacji cen p1 /p2 ) oraz naszkicować krzywą „offer
curve”;
(d) Wyznaczyć stosunek cen dla stanu równowagi walrasowskiej.
2. W gospodarce wymiennej z dwoma dobrami i dwoma konsumentami alokacje początkowe są równe odpowiednio
a1 = (a11 , a12 ) i a2 = (a21 , a22 ). Poziom cen towarów wyraża wektor p = (p1 , p2 ).
(a) Pokazać, że w prostokącie Edgewortha opisującym ten model linie budżetowe obu handlowców leżą na jednej prostej;
(b) Pokazać, że jeżeli xi (p) = (xi1 (p), xi2 (p)) dla i = 1, 2 są odpowiednio rozwiązaniami zadań maksymalizacji funkcji
użyteczności pierwszego i drugiego handlowca przy zadanym poziomie cen p, to wektor (x1 (p1 ), x2 (p1 )) opisuje stan
równowagi walrasowskiej dla wektora cen równowagi walrasowskiej (p1 , p2 ).
3. W gospodarce wymiennej z dwoma dobrami dwaj konsumenci dysponują początkowymi zasobami odpowiednio a1 =
(a11 , a12 ) i a2 = (a21 , a22 ). Funkcje użyteczności tych konsumentów są dane wzorami:
u1 (x1 , x2 ) = min(A1 x1 , B 1 x2 );
u2 (x1 , x2 ) = min(A2 x1 , B 2 x2 ).
(a) Wyznaczyć geometrycznie zbiór alokacji optymalnych w sensie Pareto;
(b) Przy jakim warunku na tym rynku możliwa jest równowaga walrasowska przy dodatnich i skończonych cenach obu
towarów i gdzie się znajduje?
(c) Wyznaczyć zbiór alokacji będących alokacjami równowagi walrasowskiej przy odpowiednio dobranych zasobach
poczatkowych.
4. W sytuacji opisanej w zadaniu powyżej alokacje początkowe są dane przez wektory (20, 10), (30, 15), a funkcje uży1/4 1/4
1/4 1/3
teczności handlowców mają postać u1 (x1 , x2 ) = x1 x2 i u2 (x1 , x2 ) = x1 x2 .
(a) Wyznaczyć funkcje popytu obu handlowców oraz funkcję nadmiernego popytu Z(p);
(b) Wyznaczyć wektor cen dla stanu równowagi walrasowskiej;
(c) Wyznaczyć alokację równowagi walrasowskiej, tj. koszyki handlowców nabyte po cenie równowagi walrasowskiej
oraz wielkość przeprowadzanych transakcji;
(d) Porównać użyteczność alokacji początkowych i końcowych dla każdego z handlowców;
(e) Wyznaczyć równanie krzywej kontraktów, tj. położenie punktów optymalnych w sensie Pareto.
5. Wykonać polecenia z zadania 4 dla następujacych danych:
1/4 1/2
1/2
1/2
(a) funkcje użyteczności u1 (x1 , x2 ) = x1 x2 i u2 (x1 , x2 ) = x1 + x2 i alokacje początkowe a1 = (12, 6) i a2 =
(10, 10);
1/2 1/3
1/3 1/4
(b) funkcje użyteczności u1 (x1 , x2 ) = x1 x2 i u2 (x1 , x2 ) = x1 x2 i alokacje początkowe a1 = (5, 5) i a2 = (5, 5).
1/2
1/4
1/3
1/4
(c) funkcje użyteczności u1 (x1 , x2 ) = x1 x2 i u2 (x1 , x2 ) = x1 x2 i alokacje początkowe a1 = (5, 5) i a2 = (5, 10).
52
Podstawowe pojęcia teorii równowagi
Rynek więcej niż dwóch towarów
6. Na rynku dwóch handlowców handluje trzema towarami. Pierwszy handlowiec dostarcza a jednostek towaru 1 i b
jednostek towaru 2. Drugi dostarcza c jednostek towaru 2 i d jednostek towaru 3. Preferencje handlowców opisują
funkcje użyteczności :
u1 (x1 , x2 , x3 ) = min{x2 , x3 },
u2 (x1 , x2 , x3 ) = min{x1 , x2 }
Wykonać polecenia (a) — (d) zadania 4.
7. Na rynek przychodzi trzech handlowców, którzy posiadają odpowiednio koszyki (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Przyjmując,
że wektor cen towarów to p = (p1 , p2 , p3 ), a funkcje użyteczności handlowców mają postać
u1 (x1 , x2 , x3 ) = min{x2 , x3 },
u2 (x1 , x2 , x3 ) = min{x1 , x3 },
u3 (x1 , x2 , x3 ) = min{x1 , x2 },
wykonać polecenia (a)–(d) z zadania 4.
8. Na pewnym rynku trzech handlowców handluje trzema towarami. Pierwszy handlowiec dostarcza a jednostek towaru
1 i chce kupić jak najwięcej towaru 2, drugi dysponuje b jednostkami towaru 2 i chce nabyć jak najwięcej towaru 3, zaś
trzeci ma c jednostek towaru 3 i chce kupić jak najwięcej towaru 1. Wykonać polecenia (a) — (d) zadania 4.