1 Tożsamości trygonometryczne 2 Pochodne funkcji elementarnych

1 Tożsamości trygonometryczne 2 Pochodne funkcji elementarnych

1
Tożsamości trygonometryczne
sin2 x + cos2 x = 1
ctg x =
cos x
sin x
x 6= k π,
k ∈Z
sin 2x = 2 sin x cos x
sin x
tg x =
cos x
2
π
x 6= + kπ,
2
k∈Z
Pochodne funkcji elementarnych
(c)0 = 0,
(ex )0 = ex
(cos x)0 = − sin x
c = const.
(xα )0 = αxα−1 ,
(tg x)0 =
α∈R
1
cos2 x
ctg x)0 = −
(sin x)0 = cos x
3
cos 2x = cos2 x − sin2 x
(ln |x|)0 =
1
sin2 x
Ogólne reguły różniczkowania
0
4
R
f (x)
g(x)
0
=
f 0 (x) · g(x) − f (x) · g 0 (x)
2
[g(x)]
Wzory całkowe

 xα+1
+ C,
xα dx =
α+1
 ln
|x| + C,
R
ex dx = ex + C
R
ax dx =
R
sin xdx = − cos x + C
R
cos xdx = sin x + C
Z
dx
= tg x + C,
cos2 x
Z
Z
ax
+ C,
ln a
gdy
a > 0,
α 6= −1
α = −1
a 6= 1
cos x 6= 0
dx
= − ctg x + C,
sin2 x
√
gdy
sin x 6= 0
dx
x
x
= arc sin √ + C = − arc cos √ + C,
2
k−x
k
k
1
x
(arc sin x)0 = √
[f (x) · g(x)] = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x)
(arc cos x)0 = − √
k>0
Z
dx
1
x
1
x
= √ arctg √ + C = − √ arcctg √ + C,
2
k+x
k
k
k
k
Z
p
dx
√
= ln |x + x2 + k| + C
x2 + k
Z 0
f (x)dx
= ln |f (x)| + C
f (x)
Z 0
p
f (x)dx
p
= 2 f (x) + C
f (x)
R
R
f (x) · g 0 (x)dx = f (x) · g(x) − f 0 (x) · g(x)dx
k>0
( arctg x)0 =
1
1 − x2
1
1 − x2
1
1 + x2
( arcctg x)0 = −
1
1 + x2